高級中學名校試卷PAGEPAGE1安徽省阜陽市皖江名校聯盟2024屆高三模擬預測數學試題一、選擇題1.已知集合，，則（）A. B. C. D.〖答案〗A〖解析〗依題意，，因此.故選：A.2.已知雙曲線的焦距為4，則該雙曲線經過一、三象限的漸近線的斜率為（）A. B. C. D.〖答案〗B〖解析〗因為雙曲線的焦距為4，所以，解得，所以則該雙曲線經過一、三象限的漸近線的斜率為.故選：B3.記，，，則（）A. B. C. D.〖答案〗C〖解析〗因為，，，故選：C.4.已知空間中不過同一點的三條直線m，n，l，則“m，n，l在同一平面”是“m，n，l兩兩相交”的（）A.充分不必要條件 B.必要不充分條件C.充分必要條件 D.既不充分也不必要條件〖答案〗B〖解析〗依題意是空間不過同一點的三條直線，當在同一平面時，可能，故不能得出兩兩相交.當兩兩相交時，設，根據公理可知確定一個平面，而，根據公理可知，直線即，所以在同一平面.綜上所述，“在同一平面”是“兩兩相交”的必要不充分條件.故選：B5.已知復數滿足，則下列結論正確的是（）A. B. C. D.〖答案〗D〖解析〗對于D，因為，所以，從而，故D正確，對于A，或，故A錯誤；對于B，，故B錯誤；對于C，，故C錯誤.故選：D.6.在二項式的展開式中，下列說法正確的是（）A.常數項為 B.各項的系數和為64C.第3項的二項式系數最大 D.奇數項二項式系數和為〖答案〗A〖解析〗對于A，的展開式通項為，當時，常數項為，選項A正確；對于B，令，得各項的系數和為，選項B錯誤；對于C，展開式共7項，二項式系數最大應為第4項，故選項C錯誤；對于D，依題意奇數項二項式系數和為，選項D錯誤.故選：A.7.在平面直角坐標系中，已知向量與關于軸對稱，若向量滿足，記的軌跡為，則（）A.是一條垂直于軸的直線 B.是兩條平行直線C.是一個半徑為1的圓 D.是橢圓〖答案〗C〖解析〗不妨設點的坐標為，，，，由可得，即.故選：C.8.設正數數列的前項和為，且，則（）A.是等差數列 B.是等差數列 C.單調遞增 D.單調遞增〖答案〗D〖解析〗依題意可得：，.因為，所以當時，，即，解得，當時，，整理得：，所以數列是以為首項，為公差的等差數列.從而，.因為當時，，當時，.也適合上式，所以，故選項A、B錯誤，選項D正確.因為，所以選項C錯誤.故選：D.二、選擇題9.設離散型隨機變量的分布列如表，若離散型隨機變量滿足，則（）012340.10.40.20.2A. B.，C.， D.，〖答案〗BD〖解析〗因為，所以，A選項錯誤；由，故，因此選項B正確；又，所以，，，故C錯D對.故選：BD10.已知函數（，，）的部分圖象如圖所示，且圖中陰影部分的面積為，則（）A.B.點是曲線的一個對稱中心C.直線是曲線的一條對稱軸D.函數在區間內單調遞減〖答案〗ABC〖解析〗設函數的最小正周期為，由題意可知：，，則，即函數的最小正周期為，可得，故A正確；且，可得，又因為，所以，即，且，可得，所以.對于選項B：因為，所以點是曲線的一個對稱中心，故B正確；對于選項C：因為為最大值，所以直線是曲線的一條對稱軸，故C正確；對于選項D：因為，則，且在不單調，所以函數在區間內不單調，故D錯誤；故選：ABC.11.拋物線的焦點為，準線為直線，過點的直線交拋物線于，兩點，分別過，作拋物線的切線交于點，于點，于點，則（）A.點在直線上 B.點在直線上的投影是定點C.以為直徑的圓與直線相切 D.的最小值為〖答案〗BCD〖解析〗對于，依題意焦點的坐標為，準線為直線：，不妨設，，直線的方程為，聯立與，得，從而，，，，由題意，所以，故拋物線過點，的切線方程分別為，，解得點的坐標為，故錯誤；對于，因為，，所以，所以，即點在直線上的投影是點（定點），故選項正確；對于，可證，，因此，即以為直徑的圓與直線相切，選項正確；對于選項，因，，從而，令，由函數在上單調遞增，所以當，即時，函數取最小值，故正確.故選：.三、填空題12.已知，則的最小值為______.〖答案〗20〖解析〗依題意，，由可得，所以，等號成立當且僅當.故〖答案〗為：20.13.已知三棱錐的外接球為球，為球的直徑，且，，，則三棱錐的體積為______.〖答案〗〖解析〗如圖，易知，，所以，作于點，易知，所以，，，故三棱錐的體積為.故〖答案〗為：.14.“完全數”是一類特殊的自然數，它的所有正因數的和等于它自身的兩倍．尋找“完全數”用到函數：，為n的所有正因數之和，如，則_______；_______．〖答案〗42〖解析〗根據新定義可得，，因為正因數，所以故〖答案〗為：；四、解答題15.設，函數的最小正周期為，且圖象向左平移后得到的函數為偶函數.（1）求〖解析〗式，并通過列表?描點在給定坐標系中作出函數在上的圖象；（2）在銳角中，分別是角對邊，若，求的值域.解：（1）函數的最小正周期，，∵圖象向左平移后得到的函數為，由已知，又，.，〖解析〗式為：，由五點法可得，列表如下：0010-10在上的圖象如圖所示：（2），由正弦定理可得，，所以，即，因為，所以所以，又，所以，又因為三角形為銳角三角形，，,所以，所以，又所以16.籃球運動深受青少年喜愛，2024《街頭籃球》全國超級聯賽賽程正式公布，首站比賽將于4月13日正式打響，于6月30日結束，共進行13站比賽.（1）為了解喜愛籃球運動是否與性別有關，某統計部門在某地隨機抽取了男性和女性各100名進行調查，得到列聯表如下：

喜愛籃球運動不喜愛籃球運動合計男性6040100女性2080100合計80120200依據小概率值的獨立性檢驗，能否認為喜愛籃球運動與性別有關？（2）某校籃球隊的甲、乙、丙、丁四名球員進行傳球訓練，第1次由甲將球傳出，每次傳球時，傳球者都等可能將球傳給另外三個人中的任何一人，如此不停地傳下去，且假定每次傳球都能被接到.記甲第次觸球的概率為，則.（i）證明：數列是等比數列；（ii）判斷第24次與第25次觸球者是甲的概率的大小.附：.0.10.050010.0050.0012.7063.8416.6357.87910.828解：（1）假設：喜愛籃球運動與性別獨立，即喜愛籃球運動與性別無關.根據列聯表數據，經計算得，依據小概率值的獨立性檢驗，我們推斷不成立，即能認為喜愛籃球運動與性別有關，此推斷犯錯誤概率不超過0.001.（2）（i）由題意，，所以又，所以是以為首項，為公比的等比數列.（ii）由（i）得，，所以，.故甲第25次觸球者的概率大.17.如圖，在圓臺中，分別為上、下底面直徑，且，，為異于的一條母線．（1）若為的中點，證明：平面；（2）若，求二面角的正弦值．（1）證明：如圖，連接．因為在圓臺中，上、下底面直徑分別為，且，所以為圓臺母線且交于一點P，所以四點共面.在圓臺中，平面平面，由平面平面，平面平面，得.又，所以，所以，即為中點．在中，又M為的中點，所以．因為平面，平面，所以平面；（2）解：以為坐標原點，分別為軸，過O且垂直于平面的直線為軸，建立如圖所示的空間直角坐標系．因為，所以．則．因為，所以．所以，所以．設平面的法向量為，所以，所以，令，則，所以，又，設平面的法向量為，所以，所以，令，則，所以，所以．設二面角的大小為，則，所以．所以二面角的正弦值為.18.已知函數，其中.（1）若曲線在點處的切線方程為，求的最小值；（2）若對于任意均成立，且的最小值為1，求實數.解：（1）由題意，且的定義域為，且，依題意即，從而，故，，從而函數在上單調遞減，在上單調遞增，所以.（2）依題意，，其中，記，則，因為，，即是的極小值也是最小值，故，而，所以，解得，此時，若，則趨近時，趨近，趨近負無窮，趨近，即趨近負無窮，與矛盾！若，，當時，，單調遞減，當時，，單調遞增，符合題意.故.所以，其中.若即時，則函數在上最小值為，依題意，解得，符合題意；若即時，則函數在上最小值為，依題意，即，無解，不符合題意.所以，.19.如圖,各邊與坐標軸平行或垂直的矩形內接于橢圓，其中點，分別在第三、四象限，邊，與軸的交點為，.（1）若，且，為橢圓的焦點，求橢圓的離心率；（2）若是橢圓的另一內接矩形，且點也在第三象限，若矩形和矩形的面積相等，證明：是定值，并求出該定值；（3）若是邊長為1的正方形，邊，與軸的交點為，，設（，，…，）是正方形內部的100個點，記，其中，，，.證