重慶康德卷2023-2024學年數學高一下期末統考試題考生請注意：1．答題前請將考場、試室號、座位號、考生號、姓名寫在試卷密封線內，不得在試卷上作任何標記。2．第一部分選擇題每小題選出答案后，需將答案寫在試卷指定的括號內，第二部分非選擇題答案寫在試卷題目指定的位置上。3．考生必須保證答題卡的整潔。考試結束后，請將本試卷和答題卡一并交回。一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每個小題給出的四個選項中，恰有一項是符合題目要求的1．在中，若則等于（）A． B． C． D．2．已知函數，則函數的最小正周期為（）A． B． C． D．3．已知數列的前項和為，若，則（）A． B． C． D．4．問題：①有1000個乒乓球分別裝在3個箱子內，其中紅色箱子內有500個，藍色箱子內有200個，黃色箱子內有300個，現從中抽取一個容量為100的樣本；②從20名學生中選出3名參加座談會.方法：Ⅰ.隨機抽樣法Ⅱ.系統抽樣法Ⅲ.分層抽樣法.其中問題與方法能配對的是()A．①Ⅰ，②Ⅱ B．①Ⅲ，②Ⅰ C．①Ⅱ，②Ⅲ D．①Ⅲ，②Ⅱ5．將函數的圖象上所有的點向右平行移動個單位長度，再把所得各點的橫坐標伸長到原來的2倍（縱坐標不變），所得圖象的函數解析式是()A． B．C． D．6．《九章算術》是我國古代數學成就的杰出代表作之一，其中《方田》章給出計算弧田面積所用的經驗公式為：弧田面積（弦矢矢），弧田（如圖）由圓弧和其所對弦所圍成，公式中“弦”指圓弧所對弦長，“矢”等于半徑長與圓心到弦的距離之差，現有圓心角為，半徑等于6米的弧田，按照上述經驗公式計算所得弧田面積約為（）A．12平方米 B．16平方米 C．20平方米 D．24平方米7．若三棱錐的所有頂點都在球的球面上，平面，，，且三棱錐的體積為，則球的體積為()A． B． C． D．8．設等比數列的前項和為，若，公比，則的值為（）A．15 B．16 C．30 D．319．設為直線，是兩個不同的平面，下列命題中正確的是()A．若，，則 B．若，，則C．若，，則 D．若，，則10．在復平面內，復數滿足，則的共軛復數對應的點位于A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限二、填空題：本大題共6小題，每小題5分，共30分。11．數列的前項和為，若對任意，都有，則數列的前項和為________12．若點，是圓C：上不同的兩點，且，則的值為______.13．若，則________.14．函數的最小正周期為______________.15．數列的前項和為，已知，且對任意正整數，都有，若恒成立，則實數的最小值為________.16．己知是等差數列，是其前項和，，則______.三、解答題：本大題共5小題，共70分。解答時應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．已知（1）求的值；（2）求的值.18．已知動點P與兩個定點O（0，0），A（3，0）的距離的比值為2，點P的軌跡為曲線C．（1）求曲線C的軌跡方程（2）過點（﹣1，0）作直線與曲線C交于A，B兩點，設點M坐標為（4，0），求△ABM面積的最大值．19．正方體的棱長為點分別是棱的中點（1）證明：四邊形是一個梯形：（2）求幾何體的表面積和體積20．如圖，矩形中，平面，，為上的點，且平面，．（Ⅰ）求證：平面；（Ⅱ）求三棱錐的體積．21．如圖，已知是半徑為1，圓心角為的扇形，是扇形狐上的動點，點分別在半徑上，且是平行四邊形，記，四邊形的面積為，問當取何值時，最大？的最大值是多少？

參考答案一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每個小題給出的四個選項中，恰有一項是符合題目要求的1、D【解析】

由正弦定理，求得，再由，且，即可求解，得到答案.【詳解】由題意，在中，由正弦定理可得，即，又由，且，所以或，故選D.【點睛】本題主要考查了正弦定理的應用，其中解答中熟記三角形的正弦定理，準確運算是解答的關鍵，著重考查了推理與運算能力，屬于基礎題.2、D【解析】

根據二倍角公式先化簡，再根據即可。【詳解】由題意得，所以周期為.所以選擇D【點睛】本題主要考查了二倍角公式;?？嫉亩督枪接姓?、余弦、正切。屬于基礎題。3、A【解析】

再遞推一步，兩個等式相減，得到一個等式，進行合理變形，可以得到一個等比數列，求出通項公式，最后求出數列的通項公式，最后求出，選出答案即可.【詳解】因為，所以當時，，兩式相減化簡得：，而，所以數列是以為首項，為公比的等比數列，因此有，所以，故本題選A.【點睛】本題考查了已知數列遞推公式求數列通項公式的問題，考查了等比數列的判斷以及通項公式，正確的遞推和等式的合理變形是解題的關鍵.4、B【解析】解：（1）中由于小區中各個家庭收入水平之間存在明顯差別故（1）要采用分層抽樣的方法（2）中由于總體數目不多，而樣本容量不大故（2）要采用簡單隨機抽樣故問題和方法配對正確的是：（1）Ⅲ（2）Ⅰ．故選B．5、C【解析】

將函數的圖象上所有的點向右平行移動個單位長度，所得函數圖象的解析式為y＝sin(x－);再把所得圖象上各點的橫坐標伸長到原來的2倍（縱坐標不變），所得圖象的函數解析式是.故選C.6、C【解析】

在中，由題意OA＝4，∠DAO＝，即可求得OD，AD的值，根據題意可求矢和弦的值，即可利用公式計算求值得解．【詳解】如圖，由題意可得：∠AOB＝，OA＝6，在中，可得：∠AOD＝，∠DAO＝，OD＝AO＝×6＝3，可得：矢＝6﹣3＝3，由AD＝AO＝6×＝3，可得：弦＝2AD＝2×3＝6，所以：弧田面積＝（弦×矢+矢2）＝（6×3+32）＝9+4.5≈20平方米．故選：C【點睛】本題考查扇形的面積公式，考查數學閱讀能力和數學運算能力，屬于中檔題．7、A【解析】

由的體積計算得高，已知將三棱錐的外接球，轉化為長2，寬2，高的長方體的外接球，求出半徑，可得答案．【詳解】∵，，故三棱錐的底面面積為，由平面，得，又三棱錐的體積為，得，所以三棱錐的外接球，相當于長2，寬2，高的長方體的外接球，故球半徑，得，故外接球的體積.故選：A．【點睛】本題考查了三棱錐外接球的體積，三棱錐體積公式的應用，根據已知計算出球的半徑是解答的關鍵，屬于中檔題．8、A【解析】

直接利用等比數列前n項和公式求.【詳解】由題得.故選A【點睛】本題主要考查等比數列求和，意在考查學生對該知識的理解掌握水平和分析推理能力.9、B【解析】A中，也可能相交；B中，垂直與同一條直線的兩個平面平行，故正確；C中，也可能相交；D中，也可能在平面內.【考點定位】點線面的位置關系10、A【解析】

把已知等式變形，利用復數代數形式的乘除運算化簡，再由共軛復數的概念得答案．【詳解】由z（1﹣i）=2，得z=，∴．則z的共軛復數對應的點的坐標為（1，﹣1），位于第四象限．故選D．【點睛】本題考查復數代數形式的乘除運算，考查復數的代數表示法及其幾何意義，是基礎題．二、填空題：本大題共6小題，每小題5分，共30分。11、【解析】

根據數列的遞推公式，求得，再結合等差等比數列的前項和公式，即可求解，得到答案.【詳解】由題意，數列滿足，…①，…②由①-②，可得，即當時，，所以，則數列的前項和為.【點睛】本題主要考查了數列的遞推關系式的應用，以及等差、等比數列的前項和的應用，其中解答中熟練應用熟練的遞推公式得到數列的通項公式，再結合等差、等比數列的前項和公式的準確計算是解答的關鍵，著重考查了推理與運算能力，屬于中檔試題.12、【解析】

由，再結合坐標運算即可得解.【詳解】解：因為點，是圓C：上不同的兩點，則，，又所以，即，故答案為：.【點睛】本題考查了向量模的運算，重點考查了運算能力，屬基礎題.13、【解析】

直接利用倍角公式展開，即可得答案.【詳解】由，得，即，．故答案為：．【點睛】本題考查三角函數的化簡求值，考查倍角公式的應用，屬于基礎題．14、【解析】

利用函數y＝Atan（ωx+φ）的周期為，得出結論．【詳解】函數y＝3tan（3x）的最小正周期是，故答案為：．【點睛】本題主要考查函數y＝Atan（ωx+φ）的周期性，利用了函數y＝Atan（ωx+φ）的周期為．15、【解析】令，可得是首項為，公比為的等比數列，所以，，實數的最小值為，故答案為.16、-1【解析】

由等差數列的結合，代入計算即可.【詳解】己知是等差數列，是其前項和，所以，得，由等差中項得，所以.故答案為-1【點睛】本題考查了等差數列前項和公式和等差中項的應用，屬于基礎題.三、解答題：本大題共5小題，共70分。解答時應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、(1)20，（2）【解析】

（1）先利用同角三角函數的基本關系求得cos和tan的值，進而利用二倍角公式把sin2展開，把sin和cos的值代入即可．（2）先利用誘導公式使=tan（﹣），再利用正切的兩角和公式展開后，把tanα的值代入即可求得答案．【詳解】(1)由，得，所以＝（2）∵，∴【點睛】本題主要考查了三角函數的化簡求值的問題．要求學生能靈活運用三角函數的基本公式．18、（1）；（2）2【解析】

（1）設點，運用兩點的距離公式，化簡整理可得所求軌跡方程；（2）由題意可知，直線的斜率存在，設直線方程為，求得到直線的距離，以及弦長公式，和三角形的面積公式，運用換元法和二次函數的最值可得所求．【詳解】（1）設點，,即，，即，曲線的方程為．（2）由題意可知，直線的斜率存在，設直線方程為，由（1）可知，點是圓的圓心，點到直線的距離為，由得，即，又，所以，令，所以，，則，所以，當，即，此時，符合題意，即時取等號，所以面積的最大值為.【點睛】本題主要考查了軌跡方程的求法，直線和圓的位置關系，以及弦長公式和點到直線的距離公式的運用，考查推理與運算能力，試題綜合性強，屬于中檔題．19、（1）證明見解析（2）表面積為，體積為【解析】

（1）在正方體中，根據分別是棱的中點，由中位線得到且，又由，根據公理4平行關系的傳遞性得證.（2）幾何體的表面積，上下底是直角三角形，三個側面，有兩個是全等的直角梯形，另一個是等腰梯形求解，體積按照棱臺體積公式求解.【詳解】（1）如圖所示：在正方體中，因為分別是棱的中點，所以且，又因為，所以且，所以四邊形是一個梯形.（2）幾何體的表面積為：.體積為：.【點睛】本題主要考查幾何體中的截面問題，還考查了空間想象，抽象概括，推理論證的能力，屬于中檔題.20、（Ⅰ）見解析（Ⅱ）【解析】

（Ⅰ）先證明，再證明平面；（Ⅱ）由等積法可得即可求解.【詳解】（Ⅰ）因為是中點，又因為平面，所以，由已知，所以是中點，所以，因為平面，平面，所以平面．（Ⅱ）因為平面，，所以平面，則，又因為平面，所以