第第頁3.2.1單調(diào)性與最大（小）值—最值(第2課時）（分層作業(yè)）（3種題型分類基礎練+能力提升練）【夯實基礎】題型一：圖像法求函數(shù)最值1.用min{a，b}表示a，b兩個數(shù)中的最小值．設f(x)＝min{x＋2,10－x}(x≥0)，則f(x)的最大值為________．【答案】6在同一個平面直角坐標系內(nèi)畫出函數(shù)y＝x＋2和y＝10－x的圖象．根據(jù)min{x＋2,10－x}(x≥0)的含義可知，f(x)的圖象應為圖中的實線部分．解方程x＋2＝10－x，得x＝4，此時y＝6，故兩圖象的交點為(4,6)．所以f(x)＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＋2，0≤x≤4，,10－x，x>4，))其最大值為交點的縱坐標，所以f(x)的最大值為6.2.畫出函數(shù)f(x)＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(－\f(2,x)，x∈－∞，0，,x2＋2x－1，x∈[0，＋∞))的圖象，并寫出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，函數(shù)的最小值．[解]函數(shù)的圖象如圖所示．由圖象可知f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間為(－∞，0)和[0，＋∞)，無遞減區(qū)間．由函數(shù)圖象可知，函數(shù)的最小值為f(0)＝－1.題型二：利用函數(shù)的單調(diào)性求最值3.函數(shù)在區(qū)間上的最大值為（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】利用換元法以及對勾函數(shù)的單調(diào)性求解即可．【詳解】設，則問題轉(zhuǎn)化為求函數(shù)在區(qū)間上的最大值．根據(jù)對勾函數(shù)的性質(zhì)，得函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞減，在區(qū)間上單調(diào)遞增，所以．故選：B4.函數(shù)的最大值為（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】分析函數(shù)在上的單調(diào)性，即可求得該函數(shù)的最大值.【詳解】因為函數(shù)、在區(qū)間上均為增函數(shù)，故函數(shù)在上為增函數(shù)，當時，.故選：B.5.設函數(shù)在區(qū)間上的最大值和最小值分別為M，m則（

）A．4 B．6 C．10 D．24【答案】C【分析】將函數(shù)分離常數(shù)變形后，判斷出其單調(diào)性，根據(jù)單調(diào)性求出最值即可得解.【詳解】因為f(x)==2+，所以f(x)在[3，4]上是減函數(shù).所以m=f(4)=4，M=f（3）=6.所以.故選：C.題型三：函數(shù)最值的實際應用6.某公司在甲、乙兩地同時銷售一種品牌車，利潤(單位：萬元)分別為L1＝－x2＋21x和L2＝2x(其中銷售量單位：輛)．若該公司在兩地共銷售15輛，則能獲得的最大利潤為()A．90萬元 B．60萬元C．120萬元 D．120.25萬元【答案】C設公司在甲地銷售x輛，則在乙地銷售(15－x)輛，公司獲利為L＝－x2＋21x＋2(15－x)＝－x2＋19x＋30＝－eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x－\f(19,2)))2＋30＋eq\f(192,4)，∴當x＝9或10時，L最大為120萬元．]7．某商場經(jīng)營一批進價是每件30元的商品，在市場試銷中發(fā)現(xiàn)，該商品銷售單價x(不低于進價，單位：元)與日銷售量y(單位：件)之間有如下關系：x4550y2712(1)確定x與y的一個一次函數(shù)關系式y(tǒng)＝f(x)(注明函數(shù)定義域)．(2)若日銷售利潤為P元，根據(jù)(1)中的關系式寫出P關于x的函數(shù)關系式，并指出當銷售單價為多少元時，才能獲得最大的日銷售利潤？[解](1)因為f(x)是一次函數(shù)，設f(x)＝ax＋b，由表格得方程組eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(45a＋b＝27，,50a＋b＝12，))解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a＝－3，,b＝162，))所以y＝f(x)＝－3x＋162.又y≥0，所以30≤x≤54，故所求函數(shù)關系式為y＝－3x＋162，x∈[30,54]．(2)由題意得，P＝(x－30)y＝(x－30)(162－3x)＝－3x2＋252x－4860＝－3(x－42)2＋432，x∈[30,54]．當x＝42時，最大的日銷售利潤P＝432，即當銷售單價為42元時，獲得最大的日銷售利潤．【能力提升】1．已知函數(shù)，若，恒有，則實數(shù)a的取值范圍為（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】函數(shù)恒成立問題，直接求最值利用二次函數(shù)的性質(zhì)可得；或利用參變分離法，利用基本不等式求最值即得.【詳解】解法一：若，恒有，只需，設函數(shù)在上的最小值為，則（1）當，即時，，即，所以；（2）當，即時，，即，所以此時不滿足題意；（3）當，即時，，所以，即，得，則.綜上，實數(shù)的取值范圍為.故選：B.解法二：若，恒有，即對任意恒成立，所以對任意的恒成立，而，當且僅當，即時取等號，所以.因此，實數(shù)的取值范圍是.故選：B.2.已知函數(shù)在區(qū)間上的最大值為，則實數(shù)的取值范圍是（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】分和，分析函數(shù)在區(qū)間上的單調(diào)性，得出函數(shù)的最大值，并結(jié)合得出實數(shù)的取值范圍.【詳解】二次函數(shù)的圖象開口向上，對稱軸為直線.①當時，函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增，則；②當時，函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞減，在區(qū)間上單調(diào)遞增，此時，函數(shù)在或處取得最大值，由于，所以，，即，解得，此時.綜上所述，實數(shù)的取值范圍是，故選D.【點睛】本題考查二次函數(shù)的最值問題，屬于定軸動區(qū)間型，解題時要分析二次函數(shù)在區(qū)間上的單調(diào)性，借助單調(diào)性求解，考查分析問題和解決問題的能力，屬于中等題.3.設函數(shù)若存在最小值，a的取值范圍___________.【答案】【分析】根據(jù)分段函數(shù)中的函數(shù)的單調(diào)性進行分類討論，可知，符合條件，不符合條件，時函數(shù)沒有最小值，故的最小值只能取的最小值再求解即可.【詳解】若時，，∴；若時，當時，單調(diào)遞增，當時，，故沒有最小值，不符合題目要求；若時，當時，單調(diào)遞減，，當時，∴或，解得，綜上可得；故答案為：4.若函數(shù)與同在一個區(qū)間內(nèi)取同一個自變量時，同時取得相同的最小值，則稱這兩個函數(shù)為“兄弟函數(shù)”，已知函數(shù)與是定義在區(qū)間上的“兄弟函數(shù)”，那么在區(qū)間上的最大值是___________.【答案】【分析】利用基本不等式求出的最小值及對應的的值，根據(jù)“兄弟函數(shù)”的定義可知在區(qū)間上最小值為，根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)求出、的值，即可得到的解析式，最后根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)計算可得；【詳解】解：，當且僅當即時取等號，當時，取最小值．函數(shù)與同在一個區(qū)間內(nèi)取同一個自變量時，同時取得相同的最小值，則稱這兩個函數(shù)為“兄弟函數(shù)”，函數(shù)在區(qū)間上最小值為．點為拋物線的頂點．，．．在區(qū)間上單調(diào)遞減，在區(qū)間上單調(diào)遞增．，，在區(qū)間上的最大值是．故答案為：．5.設，已知函數(shù)過點，且函數(shù)的對稱軸為.(1)求函數(shù)的表達式；(2)若，函數(shù)的最大值為，最小值為，求的值.【答案】(1)(2)【分析】根據(jù)函數(shù)過點及二次函數(shù)的對稱軸，得到方程組，解得、即可求出函數(shù)解析式；（2）將函數(shù)配成頂點式，即可得到函數(shù)的單調(diào)性，從而求出函數(shù)的最值.（1）解：依題意，解得，所以；（2）解：由（1）可得，所以在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，又，，，所以，，即、，所以.6.已知函數(shù).(1)用定義法證明在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增；(2)若的最小值是6，求a的值．【答案】(1)證明見解析(2)【分析】（1）由定義法,分別設和兩種不同情況時,計算的正負即可；（2）分別計算在和時的最小值,更小的那個即為函數(shù)的最小值,再分不同情況時將的函數(shù)解析式表示出,使得即可求解.(1)證明：對任意的，．當時，，，則，即；當時，，，則，即．故在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增．(2)由（1）可知在上的最小值是．當時，，其圖象的對稱軸方程是直線．①若，在上單調(diào)遞減，則在上的最小值是．②若，在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，則在上的最小值是．綜上，，因為的最小值是6，所以或或解得．7.已知函數(shù)（1）求函數(shù)的解析式；（2）設，若存在使成立，求實數(shù)的取值范圍【答案】．（1）；（2）．【詳解】（1）解法一：∵，∴．又，∴．解法二：令，則．由于，所以．代入原式有，所以．（2）∵，∴．∵存在使成立，∴在時有解．令，由，得，設．則函數(shù)的圖象的對稱軸方程為，∴當時，函數(shù)取得最小值．∴，即的取值范圍為．8.已知函數(shù)．(1)求f(1)，f(2)的值；(2)設a＞b＞1，試比較f（a），f（b）的大小，并說明理由；(3)若關于x的不等式恒成立，求實數(shù)m的取值范圍．【答案】(1)，；(2)，理由見解析；(3)的取值范圍為.【分析】（1）代值即可求解；（2）采用作差法得，分析正負即可判斷；（3）將條件化簡得對一切恒成立，即恒成立，解不等式即可(1)因為，所以，；(2)，理由如下：.因為，則，，所以，即，，所以，即；(3)因為函數(shù)，則不等式可化為，化簡可得對一切恒成立，所以，解得所以的取值范圍為.9.在①，②這兩個條件中任選一個，補充到下面問題的橫線中，并求解該問題．已知函數(shù)．(1)當時，求函數(shù)在區(qū)間上的值域；(2)若______，，求實數(shù)a的取值范圍．【答案】(1)(2)答案見解析【分析】（1）利用二次函數(shù)的性質(zhì)直接求解其值域，（2）若選條件①，求出拋物線的對稱軸，分，和三種情況求出函數(shù)的最小值，使最小值大于等于零，即可求出a的取值范圍，若選條件②，則，由拋物線的性質(zhì)可得或，從而可求出a的取值范圍.（1）當時，，∴在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，∴，，∴