第二課時函數(shù)的最大（小）值

課標(biāo)要求

素養(yǎng)要求

借助函數(shù)圖象，會用符號語言表達(dá)函數(shù)通過圖象經(jīng)歷函數(shù)最值的抽象過程，發(fā)

的最大值、最小值，理解它們的作用和展學(xué)生的數(shù)學(xué)抽象、邏輯推理和數(shù)學(xué)運(yùn)

意義.算素養(yǎng).

課前預(yù)習(xí)知識探究

新知探究

?情境引入

科考隊對“早穿棉襖午穿紗，圍著火爐吃西瓜”這一獨特的沙

漠氣候進(jìn)行科學(xué)考查，如圖是某天氣溫隨時間的變化曲線.請根

據(jù)曲線圖說說氣溫的變化情況？

問題1該天的最高氣溫和最低氣溫分別是多少？

問題2設(shè)該天某時刻的氣溫為/U），則#幻在哪個范圍內(nèi)變化？

問題3從函數(shù)圖象上看，氣溫的最大值（最小值）在什么時刻取得?

提示1.該天的最高氣溫為25℃,最低氣溫為一5℃.

2.該天某時刻的氣溫變化范圍是（-5℃,25°C』.

3.氣溫的最大值在r=17處取得，氣溫的最小值在f=6時取得.

A知識梳理

函數(shù)的最大值與最小值函數(shù)的最大值與最小值是一個整體概念

最大值最小值

一般地，設(shè)函數(shù)y=/")的定義域為/，如果存在實數(shù)M滿足：VxG/,

都有

條件

危)危)三M

3xoe/,使得/Uo)=M

結(jié)論稱M是函數(shù)y=/(x)的最大值稱M是函數(shù)y=/(x)的最小值

幾何意義/U)圖象上最高點的縱坐標(biāo)ZU)圖象上最低點的縱坐標(biāo)

拓展深化

『微判斷』

1.若對任意xe/,都有/)WM,則M是函數(shù)/)的最大值.(X)

提示M是存在的，并且3優(yōu)W/,使得./(xo)=M.

2.一個函數(shù)可能有多個最小值.(X)

提示最大(小)值至多有1個.

3.如果函數(shù)有最值，則最值一定是其值域中的一個元素.(J)

4.如果函數(shù)的值域是確定的，則它一定有最值.(X)

提示值域確定，但不一定有最值.

5.因為不等式1總成立，所以一1是的最小值.(X)

提示的最小值為o.

『微訓(xùn)練』

1.函數(shù)7U)=R,r-1,3J,則於)的最大值為.

『解析』根據(jù)圖象可知，?X)max=3.

『答案』3

2.函數(shù)"在『2,3J上的最小值為.

『解析』在『2,3』上遞減，，ymin=*3)=；.

X1N

『答案』I

3.函數(shù)丁=-3~+2在區(qū)間『一1,2』上的最大值為.

『解析』函數(shù)y=-3』+2的對稱軸為x=0,又OS[-I,2』，.\Ax）max=A。）

=2.

『答案』2

4.已知函數(shù)_/U）=:在區(qū)間『1，2』上的最大值為A,最小值為B,則A~B=.

『解析』因為_/（彳）=:在ri,2』上為減函數(shù)，

/.A=X1）=1,B=/（2）=1,則4-8=當(dāng)

『答案』|

『微思考』

若函數(shù)y=Ax）在區(qū)間『。，bl上為增函數(shù)，則八》）的最大值與最小值分別是多少？

提示最大值為/（份，最小值為次a）.

課堂互動題型剖析

題型一利用圖象求函數(shù)的最值

%2—JC（0WxW2）,

『例1』已知函數(shù)1x）="_2_/求函數(shù)/U）的最大值、最小值.

[（x>2）9

X—1

解作出大X）的圖象如圖：

由圖象可知，當(dāng)x=2時，取最大值為2；當(dāng)尤=g時，/（X）取最小值為一".

所以人x）的最大值為2,最小值為一；.

規(guī)律方法用圖象法求最值的三個步驟

@_I作出函數(shù)圖象

x2,TWxWl,

『訓(xùn)練1』（1）（多空題）已知函數(shù)*x）={l則"r）的最大值、最小

一，x>l.

1X

值分別為，.

（2）若尤是y=2—f,y=x這兩個函數(shù)中的較小者，則/U）的最大值為（）

A.2B.1

C.-lD.無最大值

『解析』（1）作出函數(shù).*x）的圖象（如圖（1））.由圖象可知，當(dāng)x=±l時，凡6取最

大值4±1）=1.當(dāng)尤=0時，式幻取最小值寅0）=0,

故7U）的最大值為1,最小值為o.

（2）在同一坐標(biāo)系中，作出函數(shù)的圖象（如圖（2）中實線部分）,則/）max=AD=l,

故選B.

『答案』（1）10（2）B

題型二利用單調(diào)性求函數(shù)的最值

『例2』已知函數(shù)./0）=尤+9

（1）求證7U）在[1,十8）上是增函數(shù)；

（2）求/U）在『1,4』上的最大值及最小值.

⑴證明設(shè)1WXI<X2,

則7U1）-/（X2）=（汨+：）—[x2+￡]

（九X2）（九1X2—1）

X}X2?

V/.Xl—X2<0,X\X2>i,

???尢1X2—1>0,

（X1-X2）（X1X2-1）如

?'--<0，即yUi）勺（及）.

人1人2

?MX）在『1,+8）上是增函數(shù).

⑵解由（1）可知氏C）在『1,4』上單調(diào)遞增，

.?.當(dāng)x=l時,/）取得最小值,最小值為貝1）=2,

17

當(dāng)x=4時，.*x）取得最大值，最大值為_A4）=N".

綜上所述，7U）在『1,4』上的最大值是號,最小值是2.

規(guī)律方法1.利用單調(diào)性求最值：

首先判斷函數(shù)的單調(diào)性；然后利用單調(diào)性寫出最值.

2.函數(shù)的最值與單調(diào)性的關(guān)系：

（1）若函數(shù)在閉區(qū)間『。，。』上是減函數(shù)，則危）在ra,。』上的最大值為次。），最

小值為fib）-,

（2）若函數(shù)在閉區(qū)間『a,。』上是增函數(shù)，則/U）在『“，。』上的最大值為人與，最

小值為j[d）.

e+2x+〃

『訓(xùn)練2』已知函數(shù)./u）=---,XGn,+8）.

A-

（1）當(dāng)a=f時，求函數(shù)加）的最小值；

（2）若對任意的xGfl,+8）,外）〉o恒成立，試求實數(shù)。的取值范圍.

]/+2龍+g.

解（1）當(dāng)時，風(fēng)r）=--------=x+云：+2.

任取X],%2仁『1,+°°）,且X]<M,

所以/U1）—/（X2）=（X1—X2）（1—云3],

因為X1<X2且汨>1,X2>1,所以汨-X2<0,X\X2>\,

所以1-六>6所以（xf）（l—直）<0，

所以犬用）勺（X2）,即函數(shù)/U）在“，+8）上是增函數(shù).

17

所以函數(shù)次x）在fl,+8）上的最小值為11）=1+]+2=/.

(2)因為?r)=史子也>0在fl,+8)上恒成立，

所以V+2x+a>0在[1,+8)上恒成立.

記、=幺+2%+〃，xC[1,+°°),

所以y=(x+l)2+a—1在『1,+8)上單調(diào)遞增，故當(dāng)x=l時，y取得最小值，

最小值為3+a.

所以當(dāng)3+a>0,即a>—3時，凡r)>0恒成立，

所以實數(shù)。的取值范圍為(一3,+8).

題型三二次函數(shù)的最值

角度1不含參數(shù)的二次函數(shù)的最值

『例3一1』(多空題)函數(shù)_/U)=*—4x+7(0WxW6)的最大值為,最小

值為.

『解析』—4x+7=(x—2月+3,

.?.此二次函數(shù)的對稱軸為x=2,

二原函數(shù)的最大值為7(6)=19,最小值為刈2)=3.

『答案』193

角度2含參數(shù)的二次函數(shù)的最值

『例3-2』已知函數(shù)<x)=/一ax+1,

⑴求為)在『0,1』上的最大值;

(2)當(dāng)a=l時,求段)在閉區(qū)間h,r+1』”R)上的最小值.

解(1)因為函數(shù)段)=f—ax+1的圖象開口向上，其對稱軸為x=F，

所以區(qū)間ro,1J的哪一個端點離對稱軸遠(yuǎn)，則在哪個端點取到最大值，

當(dāng)為；，即aWl時，/)的最大值為11)=2—0；

當(dāng)奈>3，即。>1時，於)的最大值為型)=1.

(2)當(dāng)a=l時，/0)=/—x+1,其圖象的對稱軸為x=g.

①當(dāng)/制時，段)在U,r+1J上是增函數(shù)，.\Ax)min=A0=尸一f+1;

②當(dāng)f+iwg,即W—3時，加)在E，+1』上是減函數(shù)，

?'Dmin="+1)=產(chǎn)+，+1；

③當(dāng)?<!</+1,即一；</<1時，函數(shù)兀0在t,3上單調(diào)遞減，在;，，+1上單調(diào)

遞增，

所以/(X)min=dm=*

規(guī)律方法1.含參數(shù)的二次函數(shù)最值問題的解法

解決含參數(shù)的二次函數(shù)的最值問題，首先將二次函數(shù)化為y=a(x+h)2+k的形式,

再依。的符號確定拋物線的開口方向，依對稱軸X=一%得出頂點的位置，再根據(jù)

X的定義區(qū)間結(jié)合大致圖象確定最大或最小值.

2.對于含參數(shù)的二次函數(shù)的最值問題，一般有如下幾種類型：

(1)區(qū)間固定，對稱軸變動(含參數(shù))，求最值；

(2)對稱軸固定，區(qū)間變動(含參數(shù))，求最值；

(3)區(qū)間固定，最值也固定，對稱軸變動，求參數(shù).

通常都是根據(jù)區(qū)間端點和對稱軸的相對位置進(jìn)行分類討論.

『訓(xùn)練3』已知二次函數(shù)_/U)=f—2r+3.

⑴當(dāng)xGr-2,0』時，求?r)的最值；

(2)當(dāng)xWf—2,3J時，求.*x)的最值；

(3)當(dāng)尤eU,/+1J時，求段)的最小值g(t).

解y(x)=f—2%+3=。-1)2+2,其對稱軸為X=1,開口向上.

(1)當(dāng)xW『一2,0J時，/U)在F-2,0J上是減函數(shù)，

故當(dāng)x=—2時，/U)有最大值火-2)=11；

當(dāng)x=0時，於)有最小值式0)=3.

(2)當(dāng)xWF-2,3』時，_/U)在F-2,3』上先遞減后遞增，

故當(dāng)x=l時，火x)有最小值負(fù)1)=2.

又|一2-1|>|3-1|,

.?JU)的最大值為1-2)=11.

(3)①當(dāng)/>1時，於)在\t,r+U上是增函數(shù)，

所以當(dāng)X=f時，式X)取得最小值，

此時g⑺=W)=p-2t+3.

②當(dāng)rWlWt+1,即OWtWl時，

./U)在It,z+U上先遞減后遞增，

故當(dāng)x=l時,而c)取得最小值,此時g⑺=*1)=2.

③當(dāng)什1<1,即/<0時，/)在It,/+1J上是減函數(shù)，

所以當(dāng)x=f+l時，(x)取得最小值,

此時g⑺=力7+1)=於+2,

ft2—2/+3,?>1,

綜上得g(t)=，2,0W/W1,

l?+2,z<0.

題型四函數(shù)最值——實際應(yīng)用

『例4』某公司生產(chǎn)一種電子儀器的固定成本為20000元，每生產(chǎn)一臺儀器需

400A—lx2(0&W400),

增加投入100元，已知總收益滿足函數(shù)：H(x)=2其中

.80000(x>400).

x是儀器的月產(chǎn)量.

(1)將利潤表示為月產(chǎn)量的函數(shù)/U);

(2)當(dāng)月產(chǎn)量為何值時，公司所獲利潤最大？最大利潤為多少元？(總收益=總成本

+利潤)

解(1)設(shè)月產(chǎn)量為x臺，則總成本為20000+100x,

,1

一牛+300光一20000(0W無W400),

從而危)=J2

,60000-100%(x>400).

⑵當(dāng)0WxW400時，大幻=一點>一300)2+25000；

，當(dāng)X=300時，/)max=25000,

當(dāng)x>400時，/x)=60000-100%是減函數(shù)，

.*x)<60000-100X400<25000.

，當(dāng)X=300時，/U)max=25000.

即每月生產(chǎn)300臺儀器時利潤最大，最大利潤為25000元.

規(guī)律方法對于實際應(yīng)用問題，首先栗審清題意，確定自變量和因變量的條件關(guān)

系，建立數(shù)學(xué)模型，列出函數(shù)關(guān)系式，進(jìn)而分析函數(shù)的性質(zhì)，從而解決問題.同時

要注意自變量的取值范圍.

『訓(xùn)練4』近年來，“共享單車”的出現(xiàn)為人們“綠色出行”提供了極大的方

便，某共享單車公司計劃在甲、乙兩座城市共投資240萬元，根據(jù)行業(yè)規(guī)定，每

座城市至少要投資80萬元，由前期市場調(diào)研可知：甲城市收益P（單位：萬元）與

投入資金。（單位：萬元）滿足P=4?-6,乙城市收益。（單位：萬元）與投入資

fl

??+2,80WaW120,

金4（單位：萬元）滿足。=4設(shè)甲城市的投入資金為其單位:

,32,120<260.

萬元），兩城市的總收益為yu）（單位：萬元）.

（1）當(dāng)投資甲城市128萬元時，求此時公司總收益；

（2）試問如何安排甲、乙兩座城市的投資，才能使公司總收益最大？

解（1）當(dāng)x=128時，此時甲城市投資128萬元，乙城市投資112萬元，所以總

收益7028）=4^2*128-6+、X112+2=88（萬元）.

（2）設(shè)甲城市投資x萬元，則乙城市投資（240—x）萬元，

卜280,

依題意得解得80&W160.

[240—％280,

當(dāng)80Wx<120時，120<240-x<160,

.*x）=4?-6+32=4叵+26<26+16VB.

當(dāng)120這xW160時,80W240—九W120,

7U）=4/-6+1（240—x）+2

=一卒+4^^+56.

令t=G，貝u舊12小5,4回』，

所以y=—1+4啦/+56=一（“一8啦>+88,

當(dāng)/=86，即x=128時，y的最大值為88.

因為88〉26+16VB,所以當(dāng)甲城市投資128萬元，乙城市投資112萬元時，公

司總收益最大，且最大收益為88萬元.

素養(yǎng)達(dá)成逐步落實

一、素養(yǎng)落地

1.通過本節(jié)課的學(xué)習(xí)，應(yīng)提升推理、計算的能力，重點提升學(xué)生的數(shù)學(xué)抽象、邏

輯推理、數(shù)學(xué)運(yùn)算素養(yǎng).

2.函數(shù)的最大值M首先是一個函數(shù)值，它是值域的一個元素，即定義中一定存在

一個點xo，使/(xo)=M.

3.定義域內(nèi)全部元素都滿足

4.最大值M是函數(shù)圖象最高點的縱坐標(biāo)，也就是函數(shù)的整個圖象都在直線y=M

的下方.

5.最小值有類似定義.

二、素養(yǎng)訓(xùn)練

1.函數(shù)/U)=—2x+l(xWf—2,2』)的最小、最大值分別為()

A.3,5B.-3,5

C.1,5D.5,-3

『解析』因為_/U)=-2x+l在『-2,2]是減函數(shù)，所以當(dāng)x=2時，函數(shù)的

最小值為-3.當(dāng)尤=一2時，函數(shù)的最大值為5.

『答案』B

2.函數(shù)y=f—2x,xefO,3』的值域為()

A.fO,3」B.F-L0』

C.[—1,+°°)D.f—1,3J

『解析』..,函數(shù)1)2—1,JCE『0,3』，.?.當(dāng)x=l時，函數(shù)y

取得最小值為-1,當(dāng)尤=3時，函數(shù)取得最大值為3,故函數(shù)的值域為F-1,3』，

故選D.

『答案』D

x+7,—1WX<1,

3.已知函數(shù)/x)=L一則式X)的最大值、最小值分別為()

.2xI6,1WXW2,

A.10,6B.10,8

C.8,6D.以上都不對

『解析』當(dāng)一1WX<1時，.*x)=x+7為增函數(shù)，值域『6,8)；當(dāng)1-W2時，

凡。=2%+6為增函數(shù)，值域『8,10』，故/U)最大為10,最小為6.

『答案』A

4.已知函數(shù).*x)=2x—3,當(dāng)時，恒有.*x)巳機(jī)成立，則實數(shù)機(jī)的取值范圍是

A.RB.（—8,-J]

C.[-],+°o）D.0

『解析』因為y（x）=2x—3在xGFl,+8）上為增函數(shù),

所以於）min=-L故滿足式力2—1.

又因為在時，兀。2根恒成立，

所以mW—1,故機(jī)￡（—8,—1].

『答案』B

5.在如圖所示的銳

角三角形空地中，欲建一個面積最大的內(nèi)接矩形花園（陰影部分），則其邊長x為

________m.

『解析』設(shè)矩形花園的寬為》則a=專三即y=40—x,矩形花園的面積

S=x（40-x）=-X2+40X=-（X-20）2+400,其中X6（0,40）,故當(dāng)x=20m時，

面積最大.

『答案』20

三'審題答題

示范（三）利用函數(shù)的單調(diào)性求最值

2

『典型示例』（12分）已知函數(shù)人》