人教版初中數(shù)學(xué)中考專題復(fù)習(xí)《圓的綜合題》黔東南州復(fù)習(xí)專版

導(dǎo)學(xué)案

黎平縣地坪附中劉永懷

姓名：班級(jí)：

§復(fù)習(xí)目標(biāo)

1.重溫圓的知識(shí)，掌握基本定理和公式

2.掌握中考最新考題考點(diǎn)

§教學(xué)過程c

-、溫故知新jI\

圓常考相關(guān)知識(shí)（I）

1、垂徑定理：垂直于弦的直徑平分弦，并且平分弦所對(duì)的兩條弧。★生B

如右圖幾何語言：的直徑CD垂直于弦AB,且垂足為點(diǎn)E（已知）D

...AE=BE=，AB,弧AD=MBD,弧AC=MBC（垂徑定理）。

考試時(shí)，通常只有半徑ODLAB,也能/\

2、圓心角定理：在同圓或等圓中，相等的圓心角所對(duì)的弧相等，所對(duì)/\

的弦也相等。AT-----h

如右圖幾何語言：?.?在。0中，NAOB=NCOD（已知或已證）\/

.,.AB=CD,AB=CD（圓心角定理）

備注：在同圓或等圓中，相等的圓心角，相對(duì)的弧，相對(duì)的弦，

三者知一推二/Y

3、圓周角定理：一條弧所對(duì)的圓周角等于它所對(duì)的圓心角的一半。★//

幾何語言：???NC與ND是劣弧AB所對(duì)的圓周角，ZAOB是劣弧ABc卜、J/

所對(duì)的圓心角（由圖可知）\\

/.ZC=ZD=1ZAOB（圓周角定理）NT

圓周角定理的推論：①同弧或等弧所對(duì)的圓周角相等；★

②直徑所對(duì)的圓周角是直角★;/\\

如右圖幾何語言：YBE是。0的直徑（已知）\

...NC=NAEB（同弧所對(duì)的圓周角相等）cVV'

AZD=90°（直徑所對(duì)的圓周角是直角）

③90°圓周角所對(duì)的弦是直徑（可以用于證明某條弦是直徑）。A

如右圖幾何語言：???ND是。0中弦BE所對(duì)的圓周角，且ND=90°（已知）

.??BE是。0的直徑（90°圓周角所對(duì)的弦是直徑）

4、圓內(nèi)接四邊形性質(zhì)：圓內(nèi)接四邊形的對(duì)角互補(bǔ)。★

c

5、弦切角定理：如果有一個(gè)角的兩條邊，一條邊與圓相交，

另一條邊與圓相切，則于圓相交的兩點(diǎn)之間的弧所對(duì)的圓周

角與這個(gè)角相等，我們把這個(gè)角叫做弦切角。

幾何語拿

如圖所示：：BP與。O相切，AB、BC、AC都是。0的弦（已知）

ZPBC=ZA（弦切角定理）★

6、切線的判定定理：經(jīng)過半徑的外端并且垂直于這條半徑的直線是圓的切線。★

證明一條線是圓的切線有兩個(gè)條件：①這一條線首先經(jīng)過一條半徑

外端；②這一條線必須垂直于這條半徑.

幾何語言：?.?線段AP經(jīng)過半徑0A的外端，且AP_LOA（已知或已證）

...AP是。O的切線

切線的性質(zhì)：圓的切線垂直過切點(diǎn)的半徑。

幾何語言：如圖所示：YAP與。。相切于點(diǎn)A,

且0A為。0的半徑（已知）

/.AP±OA（切線的性質(zhì)）

7、n邊形內(nèi)角和公式=（"-2）x180°

n邊形外角和=360°

正多邊形：每一個(gè)角都相等，每條邊都相等.

邊長(zhǎng)為。的正六邊形面積：S正六邊形=等《

8、圓的弧長(zhǎng)公式：；=--

1o（）

如右圖所示：AB的長(zhǎng)就按以上公式計(jì)算。

?JIr21

9、圓的扇形面積公式：S扇形=='卜

如右上圖所示：扇形OAB的面積就按以上公式計(jì)算。

10、圓錐的體積公式：V圓錐=2S底=L/用

圓錐的表面積公式：S圓錐=$側(cè)+5底=五水+”，

備注：底面圓半徑為r,圓錐的高為h,母線長(zhǎng)為R,并且R2=r2+外

與圓結(jié)合的相關(guān)知識(shí)點(diǎn)

2

11、直角三角形銳角三角函數(shù)★

如圖所示：在R/^ABC中，以NA為研究對(duì)象:

NA的對(duì)邊BC

sinA=

-AB

NA的鄰邊AC

cosA=

斜邊AB

人NA的對(duì)邊BC

tan-/A的令R邊一反己

此重點(diǎn)內(nèi)容，會(huì)出現(xiàn)在選擇題、填空題和計(jì)算題中求一些線段的長(zhǎng)度，在今后的

高中和大學(xué)數(shù)學(xué)中還會(huì)繼續(xù)用到，所以務(wù)必記住！

12、特殊銳角三角函數(shù)值表支

度數(shù)

三角的野30°45°60°

■Ano招

sinAsin30°=-sin45°=—sm60二——

222

cosAcos30°二-cos45°=-cos60°=—

222

tanAtan30°=—tan45°=1tan60°=K

3

知道度數(shù)會(huì)求值，知道結(jié)果會(huì)求度數(shù)。知道60°,會(huì)求正弦值sin600=^

2

反過來，知道tanA=L能快速求得NA=45°.

13、三角形相似★

(1)三角形相似的判定：

①平行于三角形一邊的直線和其他兩邊相交，所構(gòu)成的三角形與原三角形相似.

②三邊成比例的兩個(gè)三角形相似.

⑥兩邊成比例且夾角相等的兩個(gè)三角形相似.

④兩角分別相等的兩個(gè)三角形相似★.(中考常用重點(diǎn)考點(diǎn))

⑤斜邊和一條直角邊成比例的兩個(gè)直角三角形相似.

3

如右圖所示：若aABC是直角三角形，CD是斜邊AB上的高，A

則根據(jù)判定四可以得到△ACDs^CBDsaABC（注意對(duì)應(yīng)頂

點(diǎn)順序不能錯(cuò)亂），根據(jù)相似三角形對(duì)應(yīng)邊成比例，則有

—=—;就能證明AC?=AB?AD,BCZuAB.BD這

ABACARRCC

樣的等式.

（2）相似三角形性質(zhì)

①相似三角形對(duì)應(yīng)高的比，對(duì)應(yīng)中線的比與對(duì)應(yīng)角平分線的比都等于相似比.

②相似三角形對(duì)應(yīng)線段的比等于相似比.

③相似三角形面積的比等于相似比的平方.★

例：如圖所示：△AEFS^ABC,且相似比左為L(zhǎng)

2

（1）若AE=5,Z\AEF的高AG=4,求AB,AD的長(zhǎng)度;

（2）右S^AEF=12,SAADC=6,求S^ABC,^AAGF,

解：（1）VAAEF^AABC,且相似比為L(zhǎng)AE=5,

2

△AEF的高AG=4（已知）

：.—=k=1?即二=1=>AB=1O（相似三角形對(duì)應(yīng)線段的比等于相似比）

AB2AB2

3=女」即/_」nAD=8（相似三角形對(duì)應(yīng)高的比等于相似比）

AD2AD2

⑶VAAEF-AABC,且相似比也，且SX⑵f（已知）

/.殳恒=k-=［工［即一U—=-=>SAABC=48（相似三角形面積的比等于相似比的平方）

^△ABCSAABC4

???在4AGF與AADC中，NGAF=NDAC（公共角）,ZAGF=ZADC=90°

AAGF^AADC,且相似比攵=必=，

AD2

二、經(jīng)典考題分析講解

1、圓的綜合題經(jīng)典考題類型:

考點(diǎn)1：求證直線與圓相切★

考點(diǎn)2：求線段長(zhǎng)度或者利用銳角三角函數(shù)求線段長(zhǎng)支

考點(diǎn)3：求陰影部分面積十

考點(diǎn)4：利用相似三角形求證AC2=AB?AD,BC2=AB?BD類似的等式

4

2、考題分析

黔東南州近幾年中考及2021中考模擬考試《圓的綜合》考題分析

2021、5、18地坪附中教務(wù)處

年份題號(hào)內(nèi)容分值

第（1）問求證切線

20152112分

第（2）問求弧長(zhǎng)

第（1）問求證切線

20162212分

第（2）問求線段長(zhǎng)（半徑）

第（1）問求證等式衣=以尸3

20172112分

第（2）問求陰影面積

第（1）問求證切線

20182212分

第（2）問利用銳角三角函數(shù)求線段長(zhǎng)

第（1）問求證線段等式關(guān)系

20192212分

第（2）問角度數(shù)量關(guān)系

第（1）問求證切線

20202312分

第（2）問求陰影面積（結(jié)合銳角三角函數(shù)）

2021全第（1）問求線段長(zhǎng)

縣中考

2312分

模擬考第⑵問求陰影面積

試

2021全第（1）問求證切線

2312分

州中考第⑵問利用銳角三角函數(shù)求線段長(zhǎng)

5

模擬考

、一b

瓜

典例精講

例1（2021黔東南州中考模擬考試23題12分）如圖,在

占

△ABC中,AB=AC,以AB為直徑的。0交BC于點(diǎn)D,連接AD,過八、、

作DE1AC,垂足為E.⑴

求證:DE是。。的切線.⑵

若AB=2,sin/ADE=3,求線段DE的長(zhǎng).

例2（2021黎平縣中考模擬考試23題12分）如圖，已知AB是。0的直徑，點(diǎn)C、D在。0

上，ZD=60°且AB=6,過0點(diǎn)作0E1AC,垂足為E。

⑴求0E的長(zhǎng)；

（2）若0E的延長(zhǎng)線交。0于點(diǎn)F,求弦AF、AC和弧CF圍成的圖形（陰影部分）的面積S.

6

一試牛刀

1(2020懷化改編)如圖，在。。中，4B為直徑，點(diǎn)C是圓上一點(diǎn)，延長(zhǎng)A8到點(diǎn)。，使C￡)=CA,且NO

=30。，分別過A、8兩點(diǎn)作直線C。的垂線，垂足分別為E、尸兩點(diǎn)，AE與交于點(diǎn)H.

⑴求證：CO是。。的切線；

(2)過點(diǎn)C作AB的垂線，垂足為點(diǎn)G,求證CG2=AEBF；

(3)求證：四邊形HO8C為菱形；1gs

(4)若80=2,求。0的半徑和線段QE的長(zhǎng)；X.2^/

(5)若。0的半徑為2,求翁的弧長(zhǎng)及陰影部分的面積.

7

2.(2020荷澤改編)如圖，在△ABC中，AB=AC,以AB為直徑的。。與BC相交于點(diǎn)。，過點(diǎn)。作。。的

切線交AC于點(diǎn)E.

(1)小明在研究的過程中發(fā)現(xiàn)OE與AC是一個(gè)確定的位置關(guān)系，請(qǐng)回答這個(gè)位置關(guān)系是什么？并對(duì)小明

發(fā)現(xiàn)的結(jié)論加以證明；

(2)若。O的半徑為5,8c=16,求OE的長(zhǎng).

3.(2020淮安)如圖，AB是。O的弦，C是。。外一點(diǎn)，OCJ_OA,CO交AB于點(diǎn)P,交。。于點(diǎn)。，且CP

=CB.

(1)判斷直線BC與。O的位置關(guān)系，并說明理由;

(2)若N4=30。，OP=\,求圖中陰影部分的面積.

8

針對(duì)演練

1.解：(I)證明：如解圖，連接0C,

'JCA^CD,且/。=30°,

/。。=/。=30。，

,?OA=OC,

：.NCAZ)=NACO=30。，

ZCOD=ZCAD+NAC。=30。+30。=60。，

ZOCD=180°-ZD-NCOD=180°-30°-60°=90°,

OCLCD,

又?.?點(diǎn)C在。。上，

/.CO是。。的切線；

(2)證明：如解圖，連接8C,

,：ZCOB=60°,且OC=OB,

...△OCB為等邊三角形，ZCBG=60°,

又,.,CG_LA￡>,：.ZCGB=90°,

：.ZGCB=90°~ZCBG=30°,

又；NGCD=60。,

；.CB是NGC￡>的平分線，S.BF1CD,BG_LCG,

:.BF=BG,

又,：BC=BC,

.,.△BCG絲△BCF,

：.CF=CG.

VZ￡>=30°,AE±ED,N4EC=90。，

ZEAD=60°,

又CAO=30°,

；.AC是NE4G的平分線，且CE_LAE,CG±AB,

：.CE=CG,

/AEC=ZBFC=90°,/EAC=30°=NBCF,

：./\A.EC^/\CFB,

AFCE

??CF=BF，AE,BF=CF-CEf

又,：CE=CG,CF=CG,

：.AE?BF=CG2；

(3)證明：如解圖，連接。"，HC,OC,CB,

VZD=30°,AELED,

：.ZEAD=6O0,

?：OA=OH,

??/\AOH為等邊三角形，

：.ZHOA=ZOBC=GO°1

：.OH//BC,

VZCBO=60°,OC=OB,

.??△0C8是等邊三角形，

JOH=BC,

???四邊形HOBC是平行四邊形，

XVOH=OB,

???四邊形H03C是菱形；

9

(4)VZOCE>=90°,NOC8=60。,

JZBCD=30°,

:?BC=BD=2,

???。0的半徑為2,

VZOC//=60°,NOCE=90。，

：.ZHCE=30°9

???在RtZXHEC中，EC=CHcos30°=小,

在RtZ\OCQ中，CQ=OD.cos30。=2由，

:?ED=EC+CD=3小;

(5)???NAO”=60。，。。的半徑為2,

60不義22Ji

的弧長(zhǎng)=inn=丁,

IoU3

]\/360>22_V3Q2"_3小

=2"

S陰影=SA//EC+S^HCO—S就形HOC2義1義小+4義2?360——2十73一亍一2

2.解：(1)OE與AC垂直，

證明：如解圖，連接0。，

\9AB=AC,

:.NB=/C,

???OB=OD,

：.ZB