湖南省寧鄉(xiāng)縣第一高級中學2024年數(shù)學高一下期末質量跟蹤監(jiān)視模擬試題請考生注意：1．請用2B鉛筆將選擇題答案涂填在答題紙相應位置上，請用0．5毫米及以上黑色字跡的鋼筆或簽字筆將主觀題的答案寫在答題紙相應的答題區(qū)內。寫在試題卷、草稿紙上均無效。2．答題前，認真閱讀答題紙上的《注意事項》，按規(guī)定答題。一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每個小題給出的四個選項中，恰有一項是符合題目要求的1．設函數(shù)的圖象為，則下列結論正確的是（）A．函數(shù)的最小正周期是B．圖象關于直線對稱C．圖象可由函數(shù)的圖象向左平移個單位長度得到D．函數(shù)在區(qū)間上是增函數(shù)2．若且，則的最小值是（）A．6 B．12 C．24 D．163．如圖，正方形中，是的中點，若，則（）A． B． C． D．4．已知樣本的平均數(shù)是10，方差是2，則的值為（）A．88 B．96 C．108 D．1105．在下列結論中，正確的為（）A．兩個有共同起點的單位向量，其終點必相同B．向量與向量的長度相等C．向量就是有向線段D．零向量是沒有方向的6．已知為遞增等比數(shù)列，則（）A． B．5 C．6 D．7．平面向量與的夾角為，，，則A． B．12 C．4 D．8．在中，設角，，的對邊分別是，，，若，，，則其面積等于（）A． B． C． D．9．得到函數(shù)的圖象，只需將的圖象（）A．向左移動 B．向右移動 C．向左移動 D．向右移動10．執(zhí)行如圖所示的程序框圖，則輸出的的值為（）A．3 B．4 C．5 D．6二、填空題：本大題共6小題，每小題5分，共30分。11．若集合，，則集合________.12．計算：__________．13．函數(shù)，的圖象與直線y=k有且僅有兩個不同的交點，則k的取值范圍是_____.14．設函數(shù)的最小值為，則的取值范圍是___________.15．數(shù)列滿足，則的前60項和為_____．16．某縣現(xiàn)有高中數(shù)學教師500人，統(tǒng)計這500人的學歷情況，得到如下餅狀圖，該縣今年計劃招聘高中數(shù)學新教師，只招聘本科生和研究生，使得招聘后該縣高中數(shù)學專科學歷的教師比例下降到，且研究生的比例保持不變，則該縣今年計劃招聘的研究生人數(shù)為_______.三、解答題：本大題共5小題，共70分。解答時應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．已知等差數(shù)列滿足，的前項和為.（1）求及；（2）記，求18．已知關于的一元二次函數(shù)，從集合中隨機取一個數(shù)作為此函數(shù)的二次項系數(shù)，從集合中隨機取一個數(shù)作為此函數(shù)的一次項系數(shù).（1）若，，求函數(shù)有零點的概率；（2）若，求函數(shù)在區(qū)間上是增函數(shù)的概率.19．某校名學生的數(shù)學期中考試成績頻率分布直方圖如圖所示,其中成績分組區(qū)間是,,,，，.求圖中的值；根據(jù)頻率分布直方圖,估計這名學生的平均分；若這名學生的數(shù)學成績中,某些分數(shù)段的人數(shù)與英語成績相應分數(shù)段的人數(shù)之比如表所示,求英語成績在的人數(shù).分數(shù)段:51:21:120．已知等差數(shù)列的前n項和為，且，．（1）求的通項公式；（2）若，且，，成等比數(shù)列，求k的值．21．在中，內角，，的對邊分別為，，，已知.（Ⅰ）求角的值；（Ⅱ）若，且的面積為，求的值．

參考答案一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每個小題給出的四個選項中，恰有一項是符合題目要求的1、B【解析】

利用函數(shù)的周期判斷A的正誤；通過x=函數(shù)是否取得最值判斷B的正誤；利用函數(shù)的圖象的平移判斷C的正誤,利用函數(shù)的單調區(qū)間判斷D的正誤．【詳解】對于A，f（x）的最小正周期為π,判斷A錯誤；對于B，當x=，函數(shù)f（x）=sin（2×+）=1，∴選項B正確；對于C，把的圖象向左平移個單位，得到函數(shù)sin[2（x+）]=sin(2x+，∴選項C不正確．對于D，由，可得，k∈Z，所以在上不恒為增函數(shù)，∴選項D錯誤；故選B．【點睛】本題考查三角函數(shù)的基本性質的應用，函數(shù)的單調性、周期性及函數(shù)圖象變換，屬于基本知識的考查．2、D【解析】試題分析：，當且僅當時等號成立，所以最小值為16考點：均值不等式求最值3、B【解析】

以為坐標原點建立平面直角坐標系，設正方形邊長為，利用平面向量的坐標運算建立有關、的方程組，求出這兩個量的值，可得出的值.【詳解】以為坐標原點建立平面直角坐標系，設正方形邊長為，由此，，故，解得.故選B.【點睛】本題考查平面向量的線性運算，考查平面向量的基底表示，解題時也可以利用坐標法來求解，考查運算求解能力，屬于中等題.4、B【解析】

根據(jù)平均數(shù)和方差公式列方程組，得出和的值，再由可求得的值．【詳解】由于樣本的平均數(shù)為，則有，得，由于樣本的方差為，有，得，即，，因此，，故選B．【點睛】本題考查利用平均數(shù)與方差公式求參數(shù)，解題的關鍵在于平均數(shù)與方差公式的應用，考查計算能力，屬于中等題．5、B【解析】

逐一分析選項，得到答案.【詳解】A.單位向量的方向任意，所以當起點相同時，終點在以起點為圓心的單位圓上，終點不一定相同，所以選項不正確；B.向量與向量是相反向量，方向相反，長度相等，所以選項正確；C.向量是既有大小，又有方向的向量，可以用有向線段表示，但不能說向量就是有向線段，所以選項不正確；D.規(guī)定零向量的方向任意，而不是沒有方向，所以選項不正確.故選B.【點睛】本題考查了向量的基本概念，屬于基礎題型.6、D【解析】

設數(shù)列的公比為，根據(jù)等比數(shù)列的性質，得，又由，求得，進而可求解的值，得到答案.【詳解】根據(jù)題意，等比數(shù)列中，設其公比為，因為，則有，又由，且，解得，所以，所以，故選D.【點睛】本題主要考查了等比數(shù)列的通項公式和等比數(shù)列的性質的應用，其中解答中熟練應用等比數(shù)列的性質，準確計算是解答的關鍵，著重考查了推理與運算能力，屬于基礎題.7、D【解析】

根據(jù)，利用向量數(shù)量積的定義和運算律即可求得結果.【詳解】由題意得：，本題正確選項：【點睛】本題考查向量模長的求解，關鍵是能夠通過平方運算將問題轉化為平面向量數(shù)量積的求解問題，屬于常考題型.8、C【解析】

直接利用三角形的面積的公式求出結果．【詳解】解：中，角，，的對邊邊長分別為，，，若，，，則，故選：．【點睛】本題考查的知識要點：三角形面積公式的應用及相關的運算問題，屬于基礎題．9、B【解析】

直接利用三角函數(shù)圖象的平移變換法則,對選項中的變換逐一判斷即可.【詳解】函數(shù)的圖象，向左平移個單位，得，錯；函數(shù)的圖象,向右平移個單位，得，對.函數(shù)的圖象,向左平移個單位，得，錯；函數(shù)的圖象,向右平移個單位，得，錯,故選B.【點睛】本題考查了三角函數(shù)的圖象，重點考查學生對三角函數(shù)圖象變換規(guī)律的理解與掌握，能否正確處理先周期變換后相位變換這種情況下圖象的平移問題，反映學生對所學知識理解的深度.10、C【解析】

根據(jù)框圖模擬程序運算即可.【詳解】第一次執(zhí)行程序，，，繼續(xù)循環(huán)，第二次執(zhí)行程序，，，，繼續(xù)循環(huán)，第三次執(zhí)行程序，，，，繼續(xù)循環(huán)，第四次執(zhí)行程序，，，，繼續(xù)循環(huán)，第五次執(zhí)行程序，，，，跳出循環(huán)，輸出，結束.故選C.【點睛】本題主要考查了程序框圖，涉及循環(huán)結構，解題關鍵注意何時跳出循環(huán)，屬于中檔題.二、填空題：本大題共6小題，每小題5分，共30分。11、【解析】由題意，得，，則.12、【解析】

分子分母同除以，即可求出結果.【詳解】因為.故答案為【點睛】本題主要考查“”型的極限計算，熟記常用做法即可，屬于基礎題型.13、【解析】

作出其圖像，可只有兩個交點時k的范圍為.故答案為14、.【解析】

確定函數(shù)的單調性，由單調性確定最小值．【詳解】由題意在上是增函數(shù)，在上是減函數(shù)，又，∴，，故答案為．【點睛】本題考查分段函數(shù)的單調性．由單調性確定最小值，15、1830【解析】

由題意可得，，，，，，…，，變形可得，，，，，，，，…，利用數(shù)列的結構特征，求出的前60項和．【詳解】解：，∴，，，，，，…，，∴，，，，，，，，…，從第一項開始，依次取2個相鄰奇數(shù)項的和都等于2，從第二項開始，依次取2個相鄰偶數(shù)項的和構成以8為首項，以16為公差的等差數(shù)列，的前60項和為，故答案為：．【點睛】本題主要考查遞推公式的應用，考查利用構造等差數(shù)列求數(shù)列的前項和，屬于中檔題．16、50【解析】

先計算出招聘后高中數(shù)學教師總人數(shù)，然后利用比例保持不變，得到該縣今年計劃招聘的研究生人數(shù).【詳解】招聘后該縣高中數(shù)學專科學歷的教師比例下降到，則招聘后，該縣高中數(shù)學教師總人數(shù)為，招聘后研究生的比例保持不變，該縣今年計劃招聘的研究生人數(shù)為.【點睛】本題主要考查學生的閱讀理解能力和分析能力，從題目中提煉關鍵字眼“比例保持不變”是解題的關鍵.三、解答題：本大題共5小題，共70分。解答時應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、（1），（2）【解析】

（1）利用等差數(shù)列的通項公式，結合，可以得到兩個關于首項和公差的二元一次方程，解這個方程組即可求出首項和公差，最后利用等差數(shù)列的通項公式和前項和公式求出及；（2）利用裂項相消法可以求出.【詳解】解：（1）設等差數(shù)列的公差為d,（2）由（1）知：【點睛】本題考查了等差數(shù)列的通項公式和前項和公式，考查了裂項相消法求數(shù)列前項和，考查了數(shù)學運算能力.18、（1）；（2）【解析】

（1）依次列出所有可能的情況，求出滿足的情況總數(shù)，即可得到概率；（2）列出不等關系，表示出平面區(qū)域，求出滿足表示的區(qū)域的面積，即可得到概率.【詳解】（1）由題可得，，從集合中隨機取一個數(shù)作為此函數(shù)的二次項系數(shù)，從集合中隨機取一個數(shù)作為此函數(shù)的一次項系數(shù)，記為，這樣的有序數(shù)對共有，9種情況；函數(shù)有零點，即滿足，滿足條件的有：，6種情況，所以其概率為；（2），滿足條件的有序數(shù)對，，即平面直角坐標系內區(qū)域：矩形及內部區(qū)域，面積為4，函數(shù)在區(qū)間上是增函數(shù)，即滿足，，，即，平面直角坐標系內區(qū)域：直角梯形及內部區(qū)域，面積為3，所以其概率為.【點睛】此題考查古典概型與幾何概型，關鍵在于準確得出二次函數(shù)有零點和在區(qū)間上是增函數(shù)，分別所對應的基本事件個數(shù)以及對應區(qū)域的面積.19、（1）（2）平均數(shù)為（3）人【解析】

(1)根據(jù)面積之和為1列等式解得.(2)頻率分布直方圖中每一個小矩形的面積乘以底邊中點的橫坐標之和即為平均數(shù),(3)先計算出各分數(shù)段上的成績,再根據(jù)比值計算出相應分數(shù)段上的英語成績人數(shù)相加即可.【詳解】解：由,解得.頻率分布直方圖中每一個小矩形的面積乘以底邊中點的橫坐標之和即為平均數(shù),即估計平均數(shù)為.由頻率分布直方圖可求出這名學生的數(shù)學成績在,,的分別有人,人,人,按照表中給的比例,則英語成績在,,的分別有人,人,人,所以英語成績在的有人.【點睛】本題考查了頻率分布直方圖,屬中檔題.20、（1）；（2）4.【解析】

（1）設等差數(shù)列的公差為d，根據(jù)等差數(shù)列的通項公式，列出方程組，即可求解．（2）由（1），求得，再根據(jù)，，成等比數(shù)列，得到關于的方程，即可求解．【詳解】（1）設等差數(shù)列的公差為d，由題意可得：，解得．所以數(shù)列的通項公式為．（2）由知，因為，，成等比數(shù)列，所以，即，解得．【點睛】本題