福州七中2023-2024學年數學高一下期末調研試題請考生注意：1．請用2B鉛筆將選擇題答案涂填在答題紙相應位置上，請用0．5毫米及以上黑色字跡的鋼筆或簽字筆將主觀題的答案寫在答題紙相應的答題區內。寫在試題卷、草稿紙上均無效。2．答題前，認真閱讀答題紙上的《注意事項》，按規定答題。一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每個小題給出的四個選項中，恰有一項是符合題目要求的1．已知實數滿足,那么的最小值為(

)A． B． C． D．2．已知函數，（，，）的部分圖像如圖所示，則、、的一個數值可以是（）A． B．C． D．3．已知組數據，，…，的平均數為2,方差為5,則數據2+1，2+1，…，2+1的平均數與方差分別為()A．=4,=10 B．=5,=11C．=5,=20 D．=5,=214．若某扇形的弧長為，圓心角為，則該扇形的半徑是（）A． B． C． D．5．若圓心坐標為的圓,被直線截得的弦長為，則這個圓的方程是（）A． B．C． D．6．已知是兩條不同的直線，是三個不同的平面，則下列命題正確的是（）A．若，，則 B．若，，則C．若，，則 D．若，，則7．在空間直角坐標系中，軸上的點到點的距離是，則點的坐標是()A． B． C． D．8．若直線kx+(1-k)y-3=0和直線(k-1)x+(2k+3)y-2=0互相垂直，則k=()A．-3或-1 B．3或1 C．-3或1 D．-1或39．設集合，，，則（）A． B． C． D．10．甲、乙兩名運動員分別進行了5次射擊訓練，成績如下：甲：7，7，8，8，1；乙：8，9，9，9，1．若甲、乙兩名運動員的平均成績分別用表示，方差分別用表示，則A． B．C． D．二、填空題：本大題共6小題，每小題5分，共30分。11．若（），則_______（結果用反三角函數值表示）．12．若數列滿足（，為常數），則稱數列為“調和數列”，已知正項數列為“調和數列”，且，則的最大值是__________．13．某小區擬對如圖一直角△ABC區域進行改造，在三角形各邊上選一點連成等邊三角形,在其內建造文化景觀．已知,則面積最小值為____14．已知，且這三個數可適當排序后成等差數列，也可適當排序后成等比數列，則_______________.15．設三棱錐滿足，，則該三棱錐的體積的最大值為____________.16．某校女子籃球隊7名運動員身高(單位：cm)分布的莖葉圖如圖，已知記錄的平均身高為175cm，但記錄中有一名運動員身高的末位數字不清晰，如果把其末位數字記為x，那么x的值為________.三、解答題：本大題共5小題，共70分。解答時應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．已知．（1）求的值：（2）求的值．18．如圖，在四邊形ABCD中，，，已知，.（1）求的值；（2）若，且，求BC的長.19．如圖，三條直線型公路，，在點處交匯，其中與、與的夾角都為，在公路上取一點，且km，過鋪設一直線型的管道，其中點在上，點在上（，足夠長），設km，km．（1）求出，的關系式；（2）試確定，的位置，使得公路段與段的長度之和最小．20．若不等式恒成立，求實數a的取值范圍。21．（1）解方程：；（2）有四個數，其中前三個數成等差數列，后三個數成等比數列，且第一個數與第四個數的和是16，第二個數與第三個數的和是12，求這四個數；

參考答案一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每個小題給出的四個選項中，恰有一項是符合題目要求的1、A【解析】

表示直線上的點到原點的距離，利用點到直線的距離公式求得最小值.【詳解】依題意可知表示直線上的點到原點的距離，故原點到直線的距離為最小值，即最小值為，故選A.【點睛】本小題主要考查點到直線的距離公式，考查化歸與轉化的數學思想方法，屬于基礎題.2、A【解析】

從圖像易判斷，再由圖像判斷出函數周期，根據，將代入即可求得【詳解】根據正弦函數圖像的性質可得，由，，又因為圖像過，代入函數表達式可得，即，，解得故選：A【點睛】本題考查三角函數圖像與性質的應用，函數圖像的識別，屬于中檔題3、C【解析】

根據題意，利用數據的平均數和方差的性質分析可得答案．【詳解】根據題意，數據，，，的平均數為2，方差為5，則數據，，，的平均數，其方差；故選．【點睛】本題考查數據的平均數、方差的計算，關鍵是掌握數據的平均數、方差的計算公式，屬于基礎題．4、D【解析】

由扇形的弧長公式列方程得解.【詳解】設扇形的半徑是，由扇形的弧長公式得：，解得：故選D【點睛】本題主要考查了扇形的弧長公式，考查了方程思想，屬于基礎題．5、B【解析】

設出圓的方程，求出圓心到直線的距離，利用圓心到直線的距離、半徑和半弦長滿足勾股定理，求得圓的半徑，即可求得圓的方程，得到答案．【詳解】由題意，設圓的方程為，則圓心到直線的距離為，又由被直線截得的弦長為，則，所以所求圓的方程為，故選B．【點睛】本題主要考查了圓的方程的求解，以及直線與圓的弦長的應用，其中解答中熟記直線與圓的位置關系，合理利用圓心到直線的距離、半徑和半弦長滿足勾股定理是解答的關鍵，著重考查了推理與運算能力，屬于基礎題．6、D【解析】

根據空間線、面的位置關系有關定理，對四個選項逐一分析排除，由此得出正確選項.【詳解】對于A選項，直線有可能在平面內，故A選項錯誤.對于B選項，兩個平面有可能相交，平行于它們的交線，故B選項錯誤.對于C選項，可能平行，故C選項錯誤.根據線面垂直的性質定理可知D選項正確.故選D.【點睛】本小題主要考查空間線、面位置關系的判斷，屬于基礎題.7、A【解析】

由空間兩點的距離公式，代入求解即可.【詳解】解：由已知可設，由空間兩點的距離公式可得，解得，即，故選：A.【點睛】本題考查了空間兩點的距離公式，屬基礎題.8、C【解析】

直接利用兩直線垂直的充要條件列方程求解即可.【詳解】因為直線kx+(1-k)y-3=0和直線(k-1)x+(2k+3)y-2=0互相垂直，所以k(k-1)+(1-k)(2k+3)=0，解方程可得k=1或k=-3，故選C.【點睛】本題主要考查直線與直線垂直的充要條件，屬于基礎題.對直線位置關系的考查是熱點命題方向之一，這類問題以簡單題為主，主要考查兩直線垂直與兩直線平行兩種特殊關系：在斜率存在的前提下，（1）l1||l2?k19、A【解析】因為，所以，又因為，，故選A.10、D【解析】

分別計算平均值和方差，比較得到答案.【詳解】由題意可得，，.故.故答案選D【點睛】本題考查了數據的平均值和方差的計算，意在考查學生的計算能力.二、填空題：本大題共6小題，每小題5分，共30分。11、【解析】

根據反三角函數以及的取值范圍，求得的值.【詳解】由于，所以，所以.故答案為：【點睛】本小題主要考查已知三角函數值求角，考查反三角函數，屬于基礎題.12、1【解析】因為數列是“調和數列”，所以，即數列是等差數列，所以，，所以，，當且僅當時等號成立，因此的最大值為1．點睛：本題考查創新意識，關鍵是對新定義的理解與轉化，由“調和數列”的定義及已知是“調和數列”，得數列是等差數列，從而利用等差數列的性質可化簡已知數列的和，結合基本不等式求得最值．本題難度不大，但考查的知識較多，要熟練掌握各方面的知識與方法，才能正確求解．13、【解析】

設，然后分別表示，利用正弦定理建立等式用表示，從而利用三角函數的性質得到的最小值，從而得到面積的最小值.【詳解】因為，所以，顯然，，設，則，且，則，所以，在中，由正弦定理可得：，求得，其中，則，因為，所以當時，取得最大值1，則的最小值為，所以面積最小值為，【點睛】本題主要考查了利用三角函數求解實際問題的最值，涉及到正弦定理的應用，屬于難題.對于這類型題，關鍵是能夠選取恰當的參數表示需求的量，從而建立相關的函數，利用函數的性質求解最值.14、5【解析】

試題分析：由題意得，為等差數列時，一定為等差中項，即，為等比數列時，-2為等比中項，即，所以.考點：等差，等比數列的性質15、【解析】

取中點，連，可證平面，，要使最大，只需求最大值，即可求解.【詳解】取中點，連，所以，，，平面，平面，設中邊上的高為，，當且僅當時，取等號.故答案為:.【點睛】本題考查錐體的體積計算，考查線面垂直的判定，屬于中檔題.16、2【解析】

根據莖葉圖的數據和平均數的計算公式，列出方程，即可求解，得到答案.【詳解】由題意，可得，即，解得.【點睛】本題主要考查了莖葉圖的認識和平均數的公式的應用，其中解答中根據莖葉圖，準確的讀取數據，再根據數據的平均數的計算公式，列出方程求解是解答的關鍵，著重考查了推理與運算能力，屬于基礎題.三、解答題：本大題共5小題，共70分。解答時應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、（1）；（2）【解析】

(1)利用平方關系、誘導公式以及誘導公式即可求解;(2)利用輔助角公式以及二倍角的正弦公式化簡即可求值.【詳解】（1）因為且所以；（2）．【點睛】本題主要考查了三角函數的化簡與求值，關鍵是利用誘導公式、同角三角函數的基本關系以及輔助角公式來求解，屬于中檔題.18、（1）（2）【解析】

（1）由正弦定理可得；（2）由（1）求得，然后利用余弦定理求解．【詳解】（1）在中，由正弦定理，得，因為，，，所以；（2）由（1）可知，，因為，所以，在中，由余弦定理，得，因為，，所以，即，解得或，又，則.【點睛】本題考查正弦定理和余弦定理解三角形，掌握正弦定理和余弦定理是解題關鍵．19、（1）（2）當時，公路段與段的總長度最小【解析】

（1）（法一）觀察圖形可得，由此根據三角形的面積公式，建立方程，化簡即可得到的關系式；（法二）以點為坐標原點，所在的直線為軸建立平面直角坐標系，找到各點坐標，根據三點共線，即可得到結論；（2）運用“乘1法”，利用基本不等式，即可求得最值，得到答案．【詳解】（1）（法一）由圖形可知．，，所以，即．（法二）以為坐標原點，所在的直線為軸建立平面直角坐標系，則，，，，由，，三點共線得．（2）由（1）可知，則（），當且僅當（km）時取等號．答：當時，公路段與段的總長度最小為8．.【點睛】本題主要考查了三角形的面積公式應用，以及利用基本不等式求最值，著重考查了推理運算能力，屬于基礎題．20、【解析】

恒成立的條件下由于給定了的范圍，故可考慮對進行分類，同時利用參變分離法求解的范圍.【詳解】由題意得(1),時，恒成立(2),等價于又∴∴實數a的取值范圍是【點睛】含有分式的不等式恒成立問題，要注意到分母的正負對于不等號的影響；若是變量的范圍給出了，可針對于變量的范圍做具體分析，然后去求解參數范圍.21、（1）或。（2）、、、，或、、