2022-2023學(xué)年遼寧省大連市高二（下）期末數(shù)學(xué)試卷

一、單選題（本大題共8小題，共40.0分。在每小題列出的選項中，選出符合題目的一項）

1.在等差數(shù)列｛a列中,a2=1,a5+a7=18,則｛aj的公差為（）

A.1B.2C.4D.8

2.根據(jù)如表樣本數(shù)據(jù)：

Xi357

y64.53.52.5

得到回歸直線方程為y=bx+a，則（）

A.a<0,b<0B,a>0,b>0C.a<0,b>0D,a>0,b<0

3.中國古代著作怫丘建算經(jīng)》有這樣一個問題：“今有馬行轉(zhuǎn)遲，次日減半疾，七日行

七百里”，意思是說有一匹馬行走的速度逐漸減慢，每天行走的里程是前一天的一半，七天

一共行走了700里路，則該馬第六天走的里程數(shù)約為（）

A.5.51B,11.02C.22.05D,44.09

4.第24屆冬奧會奧運(yùn)村有智能餐廳4、人工餐廳B,運(yùn)動員甲第一天隨機(jī)地選擇一餐廳用餐,

如果第一天去4餐廳，那么第二天去4餐廳的概率為0.7；如果第一天去B餐廳，那么第二天去

月餐廳的概率為0.8.運(yùn)動員甲第二天去A餐廳用餐的概率為（）

A.0.75B,0.7C.0.56D.0.38

5.在。一56的展開式中常數(shù)項是（）

A.-120B.120C.-20D.20

6.已知函數(shù)/（x）=靖-出nx（e為自然對數(shù)的底數(shù)）在區(qū)間（1,2）上單調(diào)遞減，則實(shí)數(shù)a的最小

值為（）

A.1B.yj-eC.eD.2e2

7.剛考入大學(xué)的小明準(zhǔn)備向銀行貸款a元購買一臺筆記本電腦，然后上學(xué)的時候通過勤工儉

學(xué)來分期還款.小明與銀行約定：每個月還一次款，分10次還清所有的欠款，且每個月還款的

錢數(shù)都相等，貸款的月利率為t.則小明每個月所要還款的錢數(shù)為元.（）

A.a(l+t)】。B.*

?10[(l+t)10-l]'(l+t)10-l

8.已知實(shí)數(shù)a,b,c6（l,4-oo）,且e。-3=2a,=3瓦e,q=4「其中e為自然對數(shù)的底

數(shù),則（）

A.a<b<cB.c<a<bC.b<c<aD.c<b<a

二、多選題（本大題共4小題，共20.0分。在每小題有多項符合題目要求）

9.下列說法中正確的是（）

A.在（1+乃6的展開式中，奇數(shù)項的二項式系數(shù)和為64

B.已知事件4,B滿足PG4|B）=0.6,且2小=0,4，則事件4與8相互獨(dú)立

C.已知隨機(jī)變量X服從正態(tài)分布N（3,l）,且「（2印XW4）=0.6826,則P（X>4）=0.3174

D.一個與自然數(shù)有關(guān)的命題，已知n=3時，命題成立，而且在假設(shè)n=k（其中kN3）時命

題成立的前提下，能夠推出n=k+1時命題也成立，那么n=90時命題一定成立，而n=2時

命題不一定成立

10.有甲、乙、丙等6個人站成一排，則（）

A.共有120種不同的站法

B.如果甲和乙必須相鄰，共有240種不同的站法

C.如果甲、乙、丙三人兩兩不相鄰，共有144種不同的站法

D.如果甲不能站在首位，乙不能站在末位，共有480種不同的站法

11.已知函數(shù)/'（X）=/一2%一2,則（）

A./（x）有三個零點(diǎn)

B./（x）有兩個極值點(diǎn)

C.點(diǎn)（0,—2）是曲線y=f（x）的對稱中心

D.曲線y=/（x）有兩條過點(diǎn)（一1,0）的切線

12.數(shù)列｛心｝滿足加=2—；（71€可且n22）,貝女）

A.若為=1,則數(shù)列｛cm｝是等比數(shù)列

B.若%#1,則數(shù)列｛4｝是等差數(shù)列

C.若5=2,則數(shù)列｛怎｝中存在最大項與最小項

D.若1<的<2,則1<czn+1<an<2

三、填空題（本大題共4小題，共20.0分）

13.若離散型隨機(jī)變量X~B（n,6，且。（X）=則n=.

14.已知函數(shù)=ae\a*0,e為自然對數(shù)的底數(shù)）的圖象在點(diǎn)（0,/（0））處的切線與函數(shù)

g（x）=-x2-x的圖象也相切，則該切線的斜率為.

15.歐拉函數(shù).0(n)(neN*)的函數(shù)值等于所有不超過正整數(shù)n,且與n互質(zhì)的正整數(shù)的個數(shù),

例如9(1)=1,9(3)=2,數(shù)列｛人｝滿足人=8(2"),若存在neN*,使得不等式24?an<

2n-9成立，則實(shí)數(shù)4的取值范圍是.

16.已知函數(shù)/'(%)=Inx,若存在區(qū)間(尤1，*2)，當(dāng)時，f(x)的值域?yàn)?化匕上外)，

且[%1]+[x2]=4,其中口]表示不超過久的最大整數(shù)，則k的取值范圍為.

四、解答題(本大題共6小題，共70.0分。解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟)

17.(本小題10.0分)

設(shè)又是公差不為。的等差數(shù)列｛趣｝的前n項和，已知:53與的等比中項為且：S3與牛$4的

等差中項為V

(1)求數(shù)列｛aj的通項公式；

1

(2)設(shè)與=丁丁一，求數(shù)列｛b｝的前n項和q.

an，an+ln

18.(本小題12.0分)

2023年世界乒乓球錦標(biāo)賽決賽階段比賽于2023年5月20日至5月28日在南非德班國際會議中

心舉行，中國男女選手包攬了各項目的冠軍，國球運(yùn)動又一次掀起了熱潮.為了進(jìn)一步推動乒

乓球運(yùn)動的發(fā)展，增強(qiáng)學(xué)生的體質(zhì)，某學(xué)校在高二年級舉辦乒乓球比賽，比賽采用了5局3勝

制，每場11分，每贏一球得1分，比賽每方球員輪流發(fā)兩球，發(fā)完后交換發(fā)球，誰先達(dá)到11分

誰獲得該場勝利，進(jìn)行下一局比賽,但當(dāng)雙方球員比分達(dá)到10：10時，則需要進(jìn)行附加賽，即

雙方球員每人輪流發(fā)一球，直至一方超過另一方兩分則獲得勝利.現(xiàn)有甲、乙兩人進(jìn)行乒乓球

比賽.

(1)已知某局比賽中雙方比分為8：8,此時甲先連續(xù)發(fā)球2次，然后乙連續(xù)發(fā)球2次，甲發(fā)球時

甲得分的概率為本乙發(fā)球時乙得分的概率為|,各球的結(jié)果相互獨(dú)立，求該局比賽乙以11：9

獲勝的概率：

(2)已知在某場比賽中，第一局甲獲勝，在后續(xù)比賽中，每局比賽中獲勝的概率為|,乙獲勝

的概率為|，且每局比賽的結(jié)果相互獨(dú)立.兩人又進(jìn)行了X局比賽后比賽結(jié)束，求X的分布列與

數(shù)學(xué)期望.

19.(本小題12.0分)

己知函數(shù)f(%)=ex-ax(aGR,e為自然對數(shù)的底數(shù))，g(x)=2/n(x+/)-%.

(1)討論f(x)的單調(diào)性；

(2)若a<e,證明：當(dāng)久>0時，f(x)>g(x)+1—2m2.

20.(本小題12.0分)

某技術(shù)工廠有25周歲以上(含25周歲)工人300名，25周歲以下工人200名.為研究工人的日平

均生產(chǎn)量是否與年齡有關(guān)，現(xiàn)采用分層抽樣的方法，從中抽取了100名工人，先統(tǒng)計了他們

某月的日平均生產(chǎn)件數(shù)，然后按工人年齡在“25周歲以上(含25周歲)”和“25周歲以下”分

為兩組,再將兩組工人的日平均生產(chǎn)件數(shù)分成5組:[50,60),[60,70),[70,80),[80,90),[90,100]

分別加以統(tǒng)計，得到如圖所示的頻率分布直方圖:

(1)從樣本中日平均生產(chǎn)件數(shù)不足60件的工人中隨機(jī)抽取2人，求至少抽到一名“25周歲以下

組”工人的概率.

(2)規(guī)定日平均生產(chǎn)件數(shù)不少于80件者為“生產(chǎn)技術(shù)能手”，請你根據(jù)已知條件完成如表2X

2列聯(lián)表，并判斷是否有90%的把握認(rèn)為“生產(chǎn)技術(shù)能手與工人所在的年齡組有關(guān)”.

25周歲以上25周歲以下

生產(chǎn)技術(shù)能手——

非生產(chǎn)技術(shù)能手——

(3)以樣本中的頻率作為概率，為了更好地了解該工廠工人日均生產(chǎn)量情況，從該廠隨機(jī)抽取

20名工人進(jìn)行一次日均生產(chǎn)量分析，若這20名工人中有k名工人本次日均生產(chǎn)量在[80,90)之

間的概率為外(0<k<20,/cGZ),求P團(tuán)取得最大值時k的值.

2

2_n(ad-bc)

一(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)

P(%2>k)0.10.050.010.0050.001

k2.7063.8416.6357.87910.828

21.(本小題12.0分)

記數(shù)列｛廝｝的前n項和為已知%=2,｛3an-2Sn｝是公差為2的等差數(shù)列.

(1)求｛即｝的通項公式；

(2)若勾=華，數(shù)列｛%｝的前n項和為7；,求證：Tn<2.

an

22.(本小題12.0分)

已知函數(shù)/'(%)=2cosx+ln(l+x)—1.

(1)判斷函數(shù)f(%)在區(qū)間(0,令上零點(diǎn)和極值點(diǎn)的個數(shù)，并給出證明；

(2)若無20時，不等式/'(X)Sax+1恒成立，求實(shí)數(shù)a的取值范圍.

答案和解析

1.【答案】B

【解析】解：等差數(shù)列｛%｝中，設(shè)公差為d,,?,口2=1，◎5+。7=2。6=18,Aa6=9,

4d=—。2=8,d=2.

故選：B.

由題意，利用等差數(shù)列的定義和性質(zhì)，計算求得結(jié)果.

本題主要考查等差數(shù)列的定義和性質(zhì)，屬于基礎(chǔ)題.

2.【答案】D

【解析】解：由表中數(shù)據(jù)可得，隨著X的增大，y越來越小，所以b<0,

又x=1時，y=6,所以當(dāng)x=0時，必有y=a>6>0.

故選：D.

根據(jù)線性回歸直線的函數(shù)特征，結(jié)合題中數(shù)據(jù)，即可判斷出結(jié)果.

本題考查回歸方程的應(yīng)用，屬于中檔題.

3.【答案】B

【解析】解：設(shè)該馬第n(n€N*)天行走的里程數(shù)為an,

由題意可知，數(shù)列｛an｝是公比為q=T的等比數(shù)列，

所以，該馬七天所走的里程為竺字=粵=700，

1-164

2

解得由=轡，

故該馬第五天行走的里程數(shù)為=%G)5=Z鏢X條=翳，11.02.

故選：B.

設(shè)該馬第n(neN*)天行走的里程數(shù)為a”，分析可知，數(shù)列｛的｝是公比為q=g的等比數(shù)列，利用等

比數(shù)列的求和公式求出的的值，即可求得。6的值.

本題主要考查了等比數(shù)列的通項公式及求和公式的應(yīng)用，屬于中檔題.

4.【答案】A

【解析】解：設(shè)4表示第i天甲去4餐廳用餐，(i=1,2),

設(shè)&表示該生第一天去B餐廳用餐，則。=4iUBi，且4，Bi互斥，

由題意得P(4)==0.5,=0.7,PC&IBD=0.8,

二運(yùn)動員甲第二天去4餐廳用餐的概率為：

P(A2)=P(A1)P(A2IA1)+P(B1)P(4|B1)=0.5x0.7+0.5x0.8=0.75.

故選:A.

第2天去哪家餐廳用餐的概率受第1天在哪家餐廳用餐的影響，利用全概率計算公式能求出運(yùn)動員

甲第二天去4餐廳用餐的概率.

本題考查概率的求法，考查全概率公式等基礎(chǔ)知識，考查運(yùn)算求解能力，是基礎(chǔ)題.

5.【答案】C

【解析】解：(久一:1展開式的通項為晨+]=C，-k(一5k=f""6_2k,

令6-2k=0得k=3,

展開式中的常數(shù)項為-瑤=-20.

故選：C.

用展開式的通項求常數(shù)項.

本題主要考查二項式定理，屬于基礎(chǔ)題.

6.【答案】D

【解析】解：已知/(x)=靖一a/nx,函數(shù)定義域?yàn)?0,+8),

可得(。)=/一7，

若函數(shù)f(x)在區(qū)間(1,2)上單調(diào)遞減，

則1(x)<0在(1,2)上恒成立，

即a>尤e*在(1,2)上恒成立，

不妨設(shè)9。)=》短，函數(shù)定義域?yàn)?1,2),

可得g'(x)=(x+l)ex>0,

所以函數(shù)g(x)在(1,2)上單調(diào)遞增，

此時gQ)<g(2)=2e2,

則a>2e2.

故選：D.

由題意，對函數(shù)/(x)進(jìn)行求導(dǎo)，將函數(shù)f(x)在區(qū)間(1,2)上單調(diào)遞減轉(zhuǎn)化成a>xe》在(1,2)上恒成

立，構(gòu)造函數(shù)g(x)=xe，，對函數(shù)g(x)進(jìn)行求導(dǎo)，利用導(dǎo)數(shù)得到函數(shù)g(x)的單調(diào)性和最值，進(jìn)而

即可求解.

本題考查利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性和最值，考查了邏輯推理、轉(zhuǎn)化思想和運(yùn)算能力.

7.【答案】D

【解析】解：根據(jù)等額本息還款法可得，第一個月末所欠銀行貸款為：%=a(l+t)-%,

第二個月末所欠銀行貸款為：=a1(l+t)—x=a(l+t)2—x(l+t)—x,

第10個月末所欠銀行貸款為:

aI。=a(l+-x(l+t"—x(l+t)'—........—x(l+t)-x

=a(l+t)10-x[(l+t)9+(1+t)8+.........+(1+t)+1]

-a(l+,-t)io

=a(l+t)10+二二竽

由于分10次還清所有的欠款，故a(i+t)i。+中一(；+。叫=0,

at(l+t嚴(yán)

解得x=

a+t嚴(yán)-I，

故選：D.

表達(dá)出第10個月末所欠銀行貸款數(shù)，因?yàn)榉?0次還清所有的欠款，故得到方程，求出答案.

本題主要考查根據(jù)實(shí)際問題選擇合適的函數(shù)模型，屬于中檔題.

8.【答案】A

【解析】解：已知e。〃=2a,eb~3=3b,ec-4=4c

對等式兩邊同時取對數(shù)，Wa—1=ln2a,b—\=ln3b,c—\=ln4c,

234

整理得a—Ina=ln2+，b—Inb=ln3+，c-Inc=ln4+

234

不妨設(shè)/(%)=x-Inx,函數(shù)定義域?yàn)?1,+8),

可得八x)=l-”號>0,

所以函數(shù)/Xx)在定義域上單調(diào)遞增，

不妨設(shè)g(x)=/nx+：,函數(shù)定義域?yàn)?1,+8),

可得g'(X)=H=綾>0,

所以函數(shù)g(x)在定義域上單調(diào)遞增，

此時g(4)>g(3)>g(2),

可得/4+?仇3+>仇2+9,

即c—Inc>b—Inb>a—Ina,

則f(c)>f(b)>f(a),

此時c>b>a.

故選：A.

由題意，根據(jù)對數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)進(jìn)行整理，構(gòu)造函數(shù)八乃=x-mx,對函數(shù)f(x)進(jìn)行求導(dǎo)，利用導(dǎo)

數(shù)得到函數(shù)/(%)的單調(diào)性，構(gòu)造函數(shù)g(x)="X+5對函數(shù)g(x)進(jìn)行求導(dǎo),利用導(dǎo)數(shù)得到函數(shù)g(x)

的單調(diào)性，結(jié)合兩函數(shù)單調(diào)性進(jìn)行求解即可.

本題考查利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，考查了邏輯推理和運(yùn)算能力.

9.【答案】BD

【解析】解：對于4(1+%)6=%+%%++…+

6

令％=1,得劭+%+曲■*---Fa6=2,

令》=-1,得％)—---F。6=0，

二式相加化簡得劭+%+4+。6=當(dāng)=32,A錯誤；

對于B,由題意P(4)=1-0.4=0.6,所以有P(4|B)=需^=0.6=P(A),

即P(4B)=P(4)P(B),B正確;

對于C,根據(jù)正態(tài)分布的對稱性可知所求概率為上等生=0.1587,C錯誤；

對于D,根據(jù)數(shù)學(xué)歸納法原理，。正確.

故選：BD.

結(jié)論概率與統(tǒng)計相關(guān)知識進(jìn)行分析即可.

本題主要考查概率與統(tǒng)計相關(guān)知識，屬中檔題.

10.【答案】BC

【解析】解：根據(jù)題意，依次分析選項：

對于4,甲、乙、丙等6個人站成一排，有虢=720種不同的站法，A錯誤；

對于B,將甲乙看成一個整體，與其余4人全排列即可，有掰用=240種不同的站法，8正確；

對于C,將其余3人排好，再將甲乙丙三人安排在3人的空位中，有房房=144種不同的站法，C

正確；

對于D,分2種情況討論：甲站在末位，剩下5人全排列即可，有度=120種結(jié)果，

甲不在末位，甲有4種情況，乙也有4種結(jié)果，余下的4個人在四個位置全排列，共有4x4x*=

384種結(jié)果，

共有120+384=504種不同的站法，。錯誤.

故選：BC.

根據(jù)題意，由排列組合公式依次分析選項，綜合可得答案.

本題考查排列組合的應(yīng)用，涉及分布、分類計數(shù)原理的應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)題.

11.【答案】BCD

【解析】解：對B,由題，f(x)=3x2-2,令r(x)>0,得x>?或x<—

令((%)<0,得一苧<》<?,

所以f(x)在(-8,一殍)，(浮,+8)上單調(diào)遞增，

在(_?,苧)上單調(diào)遞減，所以x=±?是極值點(diǎn)，故8正確；

對A,由f(x)的單調(diào)性，且因極大值/(—?)=警一2<0,/⑵=2>0,

所以函數(shù)/'(x)在定義域上有且僅有一個零點(diǎn)，故A錯誤；

對C,令/i(x)=/一2%,該函數(shù)的定義域?yàn)镽,

h(-x)=(-x)3-2(-x)=-x3+2x=-h(x),則h(x)是奇函數(shù)，

(0,0)是似x)的對稱中心,

將無(%)的圖象向下移動2個單位得到/(x)的圖象，

所以點(diǎn)(0,-2)是曲線y=/(x)的對稱中心，故C正確；

。項，設(shè)切點(diǎn)為(%040)，，(乃=/一2x—2的導(dǎo)數(shù)為f'(x)=3/-2,

則切線的斜率為3以-2,

切線的方程為y—以+2%Q+2=(3%Q—2)(%—%Q),

代入(一1,0)，可得-端+2XQ+2=(3%Q—2)(—1—%Q)f

整理并解得：&=0或沏=|,則過點(diǎn)(-1,0)的切線方程有兩條，￡>正確.

故選：BCD.

結(jié)合的單調(diào)性、極值可判斷4項；利用極值點(diǎn)的定義可判斷8項，利用平移可判斷C項；利用

導(dǎo)數(shù)幾何意義判斷。項.

本題考查導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用，考查函數(shù)的單調(diào)性，對稱性，切線問題，屬于中檔題.

12.【答案】ABD

【解析】解：對于4若%=1,則。2=1,以此類推廝=1,可見數(shù)列｛即｝是以1為公比的等比

數(shù)列，A正確；

對于B,即一1=1一戶=竽匚，若內(nèi)41,則有六=盧%，即六一一1=1，所以

an-lan-lan-lan_l^n-1-1

數(shù)列｛占｝是以1為公差的等差數(shù)列，B正確；

an~L

對于C,由于%=2=|,假設(shè)當(dāng)n=k,k>l,k&Z,an=號成立，即縱=牛，則以+i=2-^=

雷，顯然該式滿足即=手，可見數(shù)列似"是遞減數(shù)列，沒有最小項，C錯誤；

11

貝H<<1

4H2--

對于0,由于假設(shè)幾=匕fc>1,fceZ,1<ak<2f縱川「以1<@k+i=

又以Hl,所以以2-2耿+1>0,所以依>2-h=Qk+i，B|J1<a<a<2。正確.

akn+1nf

故選：ABD.

利用遞推法和歸納法結(jié)合選項進(jìn)行分析即可.

本題主要考查數(shù)列的遞推法和歸納法，屬中檔題.

13.【答案】4

【解析】解：離散型隨機(jī)變量X?8(71，。且D(X)=%

33

貝HnXX1=

u4--4-

故答案為：4.

根據(jù)已知條件，結(jié)合二項分布的方差公式，即可求解.

本題主要考查二項分布的方差公式，屬于基礎(chǔ)題.

14.【答案】1

【解析】解：函數(shù)/(x)=aex(a力0,e為自然對數(shù)的底數(shù))的圖象在點(diǎn)(0,f(0))處的切線的斜率為:

a,

切線方程為：y-a=ax,即丫=￡1%+<2,

函數(shù)/'(x)=aex{a*0,e為自然對數(shù)的底數(shù))的圖象在點(diǎn)(04(0))處的切線與函數(shù)g(x)=-x2-%

的圖象也相切，

可得M+(a+l)x+a=0,所以zl=(a+l)2—4a=0,解得a=1.

則該切線的斜率為1.

故答案為：1.

求解切線方程，聯(lián)立切線方程與g(x)=-/-x,利用判別式為0轉(zhuǎn)化求解即可.

本題考查函數(shù)的導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用，切線方程的求法，是中檔題.

15.【答案】(一8,與)

【解析】解：因?yàn)?n的約數(shù)除了1之外的一定是偶數(shù)，奇數(shù)的約數(shù)不可能為偶數(shù)，

所以2n與奇數(shù)不可能有除了1以外的公約數(shù)，所以2n與奇數(shù)是互素的，

并且2n與偶數(shù)的公約數(shù)除了1以外一定有公約數(shù)2,所以2n與偶數(shù)是不互素的，

所以9(2")為不超過2n的正整數(shù)中的奇數(shù)的個數(shù)，

nr

所以<p(2)=曰=2"T，???a7l=2*T,

若存在九EN*,使得不等式2a-an<2n-9成立，

即存在716N*,使得不等式;I<竽成立，

故2<(7^n-)max^令f(九)=￥-，

2n-72n—911—2n

則f(n+1)-f(n)

當(dāng)neN*且口<5時，f(n+1)-/(n)>0,即/⑴<f(2)<</(6),

當(dāng)Ti6N*且《>6時，f(n+1)-/(n)<0,即f(6)>f(7)>/(8)>…

所以f5)=竽的最大值為f(6)=卷,

由題意，2即為所求.

故答案為：(-8,號).

首先根據(jù)歐拉函數(shù)的定義，推出8(2")的值，得到廝表達(dá)式，再通過分離參數(shù)，將不等式能成立

的問題化為關(guān)于n的函數(shù)的最大值求解即可.

本題在新定義的背景下考查了數(shù)列與不等式的綜合問題，屬難題.

16.【答案】嫄9

【解析】解：f(%)=p①

將①與方程y=kjX聯(lián)立解得同=

將(3,m3)代入y=kox,解得々0=苧，

由于苧x2="3久》2，

所以當(dāng)錚<k<±

3e

滿足當(dāng)％W01/2)時，/(%)的值域?yàn)?(h1，/2)，且［與］+=4.

故答案為：(錚3).

求出與=相切的直線y=kiX,其斜率即為符合條件的k的上限，過點(diǎn)(3,)3)的直線y=

的斜率即為符合條件的k的下限.

本題主要考查對數(shù)函數(shù)的值域，屬中檔題.

17.【答案】解：(1)設(shè)等差數(shù)列｛即｝的公差為d(d#O),由：S3與的等比中項為2S5,

可得“3al+3d)(4%+6d)=表(5%+10d)2,

化為3%+5d=0,①

由與;的等差中項為—J,可得(%+d)+(Qi+,d)=—?,即2ai+Jd=—.②

OI*T4乙乙乙

由①②可得的=—5,d=3,

則a九=-5+3(n—1)—3n—8；

⑵%=a?-a,1+]=(3n-8)(3n-5)=3(3n-8-3n-5))

則數(shù)列｛%｝的前n項和7=-4+三一1+1-;+…+不/~不占)

3、53?i-5725-15n

【解析】(1)由等差數(shù)列的求和公式以及等差數(shù)列、等比數(shù)列的中項性質(zhì)，解方程可得首項和公差，

即可得到所求；

(2)求得b==一=!(磊一/不)，由數(shù)列的裂項相消求和，可得所求和.

本題考查等差數(shù)列的通項公式和求和公式，以及等差數(shù)列、等比數(shù)列的中項性質(zhì)，以及數(shù)列的裂

項相消求和，考查方程思想和運(yùn)算能力，屬于中檔題.

18.【答案】解:(1)設(shè)事件4為“該局比賽乙以11：9獲勝”

則p(a=0q.(1一年?鼾+(1一令2.(1一手〈=擠

(2)易知隨機(jī)變量X的所有取值為2,3,4,

此時P(X=2)=|x|=qP(X=3)=C2X|X《X|+(|)3=^,

P(X=4)=^x|x(|)2x|+Cfx(|)2x|x|=^,

則x的分布列為：

X234

94436

P

25125125

^*fliU、i￡L(/XV)A=2nx-9+30x—44+4.x—36=—366.

【解析】(1)由題意，根據(jù)相互獨(dú)立事件的概率公式進(jìn)行求解即可；

(2)得到X的所有取值，求出相對應(yīng)的概率，列出分布列，代入期望公式中即可求解.

本題考查離散型隨機(jī)變量的分布列和期望，考查了數(shù)據(jù)分析和運(yùn)算能力.

19.【答案】解：(1)函數(shù)/。)=蛾一QX的定義域?yàn)镽,則/。)=靖一。，

當(dāng)Q40時f'(%)>0,故f(%)在R上單調(diào)遞增；

當(dāng)a>0時，令f(x)<0,%<Ina,令f'(x)>0,得不>Ina,

故/1(x)的減區(qū)間為(一8,Ina),增區(qū)間為(Ina,+8).

(2)當(dāng)a<e時,則/(x)>ex—ex,

設(shè)九(%)=ex-ex-g(x)-14-2/n2,

則九(x)=ex-ex—2Zn(x+1)+x—1+2仇2,

7

x，

h'(、x)J=e—e---x-+-l-+1

又當(dāng)x>0時，九'(乃單調(diào)遞增且h(l)=0,

則當(dāng)0<x<l時,h'(x)<0,當(dāng)x>l時，/i'(x)>0,

故的減區(qū)間為(0,1),增區(qū)間為(1,+8).

故九(x)>/i(l)=0,即ex—ex>2bl(x+1)+x+l—2ln2,

所以/(x)>g(x)+1-2ln2.

【解析】(1)求導(dǎo)數(shù)，分類討論，即可討論/(%)的單調(diào)性；

(2)當(dāng)a<e時,則/(%)>ex—ex,設(shè)h(x)=ex—ex—g(x)—1+2ln2,利用導(dǎo)數(shù)即可證明.

本題考查了導(dǎo)數(shù)與函數(shù)單調(diào)性，考查了運(yùn)算能力，屬于中檔題.

20.【答案】解：(1)已知25周歲以上(含25周歲)工人300名，25周歲以下工人200名，

若從中抽取了100名工人，

則從25周歲以上的工人抽取100x丁磊=60人,

其中日平均生產(chǎn)件數(shù)不足60件的工人有60x0.0050x10=3人，分別記為力，B,C；

從25周歲以下的工人抽取100x.瑞o,。=40人，

其中日平均生產(chǎn)件數(shù)不足60件的工人有40x0.0050x10=2人，分別記為x,y,

若從樣本中日平均生產(chǎn)件數(shù)不足60件的工人中隨機(jī)抽取2人，

共有(4B),(A,Q,(Ax),(Ay),(B,C),(B,y),(C,x),(C,y),(x,y)這10種情況，

其中,至少抽到一名“25周歲以下組”工人的情況有(4%)，(Ay).(B,y),(C,x),(C,y),

(x,y)這7種情況，

則至少抽到一名“25周歲以下組”工人的概率「=看；

(2)易知25周歲以上的工人抽中日平均生產(chǎn)件數(shù)不少于80件的工人有60x(0.0050+0.02)x10=

15人，少于80件的工人有45人，

25周歲以下的工人抽中日平均生產(chǎn)件數(shù)不少于80件的工人有40x(0.0325+0.0050)x10=15

人，少于80件的工人有25人，

則2x2列聯(lián)表如下:

25周歲以上25周歲以下

生產(chǎn)技術(shù)能手1515

非生產(chǎn)技術(shù)能手4525

此時2_100(15X25-15X45)2

X-60x40x30x70?1.786<2.706-

所以，沒有90%的把握認(rèn)為“生產(chǎn)技術(shù)能手與工人所在的年齡組有關(guān)”；

(3)易知樣本中日均生產(chǎn)量在［80,90)的頻率為0.2x0.6+0.325x0.4=

不妨設(shè)在抽取的20名工人中，日均生產(chǎn)量在［80,90)的人數(shù)為X,

此時X?8(20,》，

所以P(X=k)=C%G)k(a20-k,

人,_P(X=k)_啖G)kq)20-〃_21-k

之=P(X=k-l)=C%l@)kT信)21-k=

當(dāng)t>1時，k<5.25,

此時P(X=k-1)<P(X=K),

當(dāng)￡<1時，k>5.25,

此時P(X=k-1)>P(X=k),

所以當(dāng)k=5時，Pk取得最大值.

【解析】(1)由題意，根據(jù)分層抽樣原理以及頻率分布直方圖求出每組應(yīng)抽取的人數(shù)，進(jìn)而即可求

解；

(2)結(jié)合所給信息列出2x2列聯(lián)表，代入公式中求出X2,將其與臨界值對比，即可得到答案；

(3)設(shè)在抽取的20名工人中，日均生產(chǎn)量在［80,90)的人數(shù)為X,得到X?B(20=),此時P(X=k)=

以06)氣》2。-尢令t=「客)i),對t<1和t>1進(jìn)行討論,進(jìn)而即可求解.

本題考查獨(dú)立性檢驗(yàn)，考查了數(shù)據(jù)分析和運(yùn)算能力.

21.【答案】解：(1)由的=2,｛3a.-2S"｝是公差為2的等差數(shù)列，

可得3即—2Sn=2+2(n-1)=2n,

當(dāng)n=1時，a1=2,

當(dāng)ri22時，由3a”-2Sn=2n,可得3。._1-2S"_i=2n-2,

上面兩式相減可得3a；,—2Sn—3ci"_i+2s71T=2>

即為即=3an_i+2,即有an+1=3(an_i+1),

則也久+1｝是首項和公比均為3的等比數(shù)列，

所以an+luB71,即有an=3n-l；

(2)證明:%=髀含，

當(dāng)n=1時，瓦=1,7\<2；

當(dāng)nN2時，3M-l>2n+1.

可由數(shù)學(xué)歸納法證明.

當(dāng)71=2時，3?-1=23=8,成立；

設(shè)n=k(k>2,keN)時，3卜一122k+1.

則n=k+1時，3卜+1-1>3x2fc+1+2>2k+2,

所以n>2時，3n—122n+1.

所以以W會，

則;隔=*+1+…+/■,

上面兩式相減可得;%=3+*+^+…+玄一

__n+2

=_q--科=di-尹

所以必=2--pr<2,

則7；<Wn<2.

綜上，Tn<2.

【解析】(1)由等差數(shù)列的通項公式和數(shù)列的通項與前n項和的關(guān)系，結(jié)合等比數(shù)列的通項公