2020年春季高一數學必修二第一、二章單元試卷

班級姓名號數

一、選擇題（每小題5分，共60分）

1,下列命題正確的是......................................（）

A.三點確定一個平面B.經過一條直線和一個點確定一個平面

C.四邊形確定一個平面D.兩條相交直線確定一個平面

2.棱長都是1的三棱錐的表面積為

A.V3B.20C.3石D.4石

3.在正方體ABCD-ABCD中，E為棱CG的中點，則異面直線AE與CD所成角的

正切值為（）

斕立交/

A.TB.TC.2D.T

4.直線a〃平面a,a內有〃條直線交于一點，那么這〃條直線中與直線a平行

的（）

A.至少有一條B.至多有一條C.有且只有一條D.沒有

5.若平面a〃平面0,則（）

A.平面a內任一條直線與平面夕平行

B.平面a內任一條直線與平面夕內任一條直線平行

C.平面a內存在一條直線與平面/?不平行

D.平面a內一條直線與平面0內一條直線有可能相交

6.已知/,m是兩條不同的直線，a是一個平面，則下列命題中正確的是（）

A.若/〃a,mua,則/〃mB.若/〃a,m//a,則/〃m

i

C.若/J_m,mua,則/_LaD.若/_La,/〃m,則m_La

7.已知a,B是兩個不同的平面，m,n為兩條不重合的直線，則下列命題中

正確的為（）

A.若a_LB,-aA0=n,m±n,貝i]m_La

B.若m<=a,r）uB,m//n,則a〃B

C.若m-La,nJ-B,m±n,則aJ-B

D.若（11〃a,n//0,m〃n,則a〃B

8.在正方體ABCD-ABCD中，E為棱CD的中點，則（）

A.A1E±DCiB.AiE±BDC.A】E_LBGD.A,E±

AC

9.如圖所示的正方形O'A'B'C'的邊長為1cm,它是水平

放置的一個平面圖形的直觀圖，則原圖形的周長是（）

A.6cmB.8cmC.（2+3啦）cmD.（2+2鋪）

cm

10.如圖，正方體ABCD-ABCD的棱長為3,E,F分別是棱BC,D?上的點，且

DF二F?,如果RE_L平面ABF,則&E的長度為（）

11.在正方體A8CO-A4CQI中，過它的任意兩條棱作平面，則能作出與A1成30。

角的平.面的個數為（）

A.2個B.4個C.6個D.8個

12.如下圖，梯形4BCD中,AD//BCfAD=AB=1,AD1AB,乙BCD=45°,將A4BD沿對角線BD

折起.設折起后點4的位置為1,并且平

2

C

面力’BD，平面BCD.給出下面四個命題：

①4'DJ.BC;②三棱錐4,-BCD的體積為

③CD1平-面4'BD;④平面/I,BCJ.平面/DC.

其中正確命題的序號是（）

A.①②B.③④C.①③D.②④

二、填空題（每小題5分，共20分）

13.長方體的長、寬、高分別為2cm,2cm?3cm,若該長方體的各頂點都在球O的表面

上，則球。的表面積為

14.如圖60°的二面角的棱上有A,5兩點，直線AC,5。分別在二面角兩V7:--------\

個半平面內，且垂直于AB,AC=3Z）=6,AB=8,則8=.

15.在邊長為1的菱形ABCD中，NABC=60°,將菱形沿對角線

6----------------A

AC折起，使折起后BD=1,則二面角B—AC—D的余弦值為—\\

16.如圖，在透明塑料制成的長方體ABC。-4耳CQ容器內灌進/,

一些水，將容器底面一邊固定于地面上，再將容器傾斜，A\1^r

隨著傾斜角度的不同，有下列四個說法：①水的部分始終呈棱BC

柱狀;

②水面四邊形EEG”的面積不改變；

③棱AR始終與水面EFGH平行；

④當時，AE+M是定值.其中正確說法是

三、解答題（共6題，共70分）

17.（10分）在正方體ABCD-ABCD中挖去一個圓錐，得到一個幾何體M,已知

圓錐頂點為正方形ABCD的中心，底面圓是正方形ABCD的內切圓，若正方體的

3

棱長為acm.(圓錐的表面積公式S="2+用，其中「為圓錐的底面半徑，/為母線長，

圓錐的體積公式為/=!s/b其中S為底面面積，〃為高).

3

(1)求挖去的圓錐的側面積.

(2)求幾何體的體積.

18.(12分)如圖，四棱錐P的底面/BCD為

菱形，PB=PD,E,F分別為和PD的中點.

(1)求證：EF||平面PBC.

(2)求證：BD1平面P4C.

19.(12分)如圖，在多面體4BCDEF中，四邊形4BCD是菱形，EF〃/C,EF=1,

ZABC=60°,C￡_L平面ABC。，CE=V3,CD=

2,G是DE的中點.

(1)求證：平面/CG〃平面BEF;

(2)求直線B尸與平面48勿所成的角的正弦值.

4

20.(12分)如圖，在長方體力83—486。中，AB=2,

BB尸BC=',￡為〃G的中點，連結EC,EB^08.

⑴求證：平面EDB工平面EBC;

⑵求二面角E—DB—C的正切值.

(2)若PE_L平面ABC。，PE=AB=2,求四面體P-D所的體積.

5

22.（12分）四邊形ABCD中，AB±AD,AD/7BC,AD=6,BC=4,AB=2,E,F分別

在BC,AD上，EF〃AB.現將四邊形ABEF沿EF折起，使得平面ABEF_L平面EFDC.

⑴當BE=1,是否在折疊后的AD上存在一點P,使得CP〃平面ABEF?若存在,

求出P點位置，若不存在，說明理由;

⑵設BE二x,問當x為何值時,三棱

錐A-CDF的體積有最大值？并求

出這個最大值.

6

參考答案

一、選擇題

1-5DACBA6-10DCCBA11-12BB

13.17m加14.1015.116①③④

3

3選C.因為CD〃AB,所以NEAB即為異面直線AE與CD所成角，連接BE,在直

BE、后

角三角形ABE中，AB=1,BE=2,所以tanNEAB=族二萬.

4.B【解析】直線a和該交點確定一個平面，由線面平行的性質得，此平面與平

面a的交線與a平行，故至多有一條.

5.【答案】C

【解析】解：由平面a〃平面￡,知：

在4中，平面a內任一條直線與平面/?平行或異面，故/錯誤；

在8中，平面a內任一條直線與平面0內任一條直線平行或異面，故8錯誤；

在C中，平面a內任一條直線與平面/?平行或異面，

從而平面a內存在一條直線與平面/?不平行，故C正確；

在，中，平面a內任一條直線與平面￡平行或異面，故。錯誤.

7.選C.A中m,a可能平行，相交或直線在平面內；B中兩平面可能平行，可能相

交;C中由面面垂直的判定可知結論正確；D中兩平面可能平行，可能相交.

8.選CA,若AE_LDG,那么DiE_LDG,很顯然不成立.

B,若AE_LBD,那么BD_LAE,顯然不成立.

7

C,若A|E_LB&,那么BG_LB￡成立，反過來BG_LB￡,也能推出AiE_LBG.

D,若A】E_LAC,那么AE_LAC,顯然不成立.

9.試題分析：由斜二測畫法知，原圖為四邊形OABC為平行四邊形，0B垂直0A,

0A=1,OB=獸序，所以AB=3,因此其周長為3+1X2=8.

考點：斜二測畫法.具體考查直觀圖與原圖形中長度關系、平行關系與垂直關系

的變化情況.

10.選A.取CG的中點為G,連接BG,FG,易得&EJ_AF,所以&E_LBG,從而N

1

GBC二NBBE所以tanNGBC=tanNBBiE=2,所以E為BC的中點，從而有&E二

11B【解析】畫出圖像如下圖所示，由圖可知，正方體表面6個面與A/所成的角

不是30。.符合題意的面為平面A4CC、平面4片8、平面ABCQ和平面3￡>￡>蜴，

共四個.

12

歸【解析】①...^BAD=90UD=AB>

./.ADB=￡ABD=45'，

：AD//BC.LBCD=45。

?BDLDC)

???平面4M_L平面BCD,且平面4Mn平面BCD=BD,

8

.?.CDJ.平面/BO,

?J/CU平面力‘BD,

:.CDLAD,

故4DJ.BC不成立，故①錯誤；

②棱錐A'-BCD的體積為*M福叁堂，故②錯誤；

3zz6

③由①知CDJ.平面4的，故③正確；

④由①知C。平面4'BD,

又???4'Bu平面4'BD,

.-.CDLAB,

^ABLAD,且4力、CDu平面4萬c,ADaCD=D,

??.4為1.平面71'。（；，又4‘Bu平面4'BC,

二平面A'BC，平面才DC,故④正確.

故選：B.

13.

試題分析：長方體的對角線長d=VF7汨手=后,,利，由于長方體外接球的直徑

長等于長方體的對角線長，所以球。的表面積S=4萬R2=4萬（乎）2=17萬C/。

14.10

【解析】由題意得，過點6作BEDAC,且BE=AC=6,如圖所示，則NDBE=60。，

義BD=BE=6,所以QBDE為等邊三角形，且四邊形/WEC為矩形，即CE=AB且

CE1平面BDE,而DEu平面BDE,所以CEA.DE,由勾股定理得，

CD=ylCE2+DE2=V82+62=1（）.

9

c

15.1

3

16①③④【解析】隨著傾斜度的不同，水面四邊形歷函的面積改變,但水的部

分始終呈棱柱狀，

且棱|BG□懺■面:國4cl口4聞,???|4〃口|平面|七以汨|,二,體積是定值，高匠］

為定值，則底面積后B/d為定值,則底面積后川為定值,即|E4+一|為定值,

綜上①③④正確.

17

ai'n2

—1Q9

Q,I-------FCL4

（1）圓錐的底面半徑r=2,高為a,母線/內4=Ta,

所以挖去的圓錐的側面積為

a2^5V5

?22

nr/=n?22a=4an（cm）.

（2）因為M的體積為正方體體積減去圓錐的體積，

1《）2L與

所以M的體積為a'-3口121?a=\a3（cm3）.

18.【解析】分析：（1）證明線面平行，只需在面內找一條直線與已知線平行即

可，取PC中點為G,證明四邊形BEFG是平行四邊形即可；（2）證明線面垂直則

需在面內找兩條相交直線與已知線垂直即可，BDLAC,8。1P。即可得證.

詳解：

10

(1)證明：取PC中點為G,

?.?在△PCD中，F是PD中點，G是PC中點，

：.FG||CD,且FG=\CD,

又?.?底面4BUD是菱形，

：.AB||CD,

「E是中點，

：.BE||CD,且BE=池，

：.BE||FG,且BE=FG,

...四邊形BEFG是平行四邊形，

：.EF||BG,

又EFU平面PBC,BGC平面PBC,

，EF||平面PBC.

(2)證明：i^AC^BD=0,則。是BD中點,

；底面ABCD是菱形,

ABD1AC,

義VPB=PD,。是BD中點，

：.BD1PO,

11

又/cnP。=。,

：.BD1平面P/C.

點睛：本題考查了空間直線平面的平行，垂直，關鍵是熟練掌握定理，定義，把

空間問題轉化為平面問題求解，屬于中檔題.

19.

(I)連接劭交47于0,易知0是劭的中點，故067/8￡BEu面BEF,QG在

面BEF外,所以0G//面BEF;

又EF//AC,4c在面BEF外,AC//^BEF,又4;與0G相交于點0,面ACG有兩條

相交直線與面弼平行，故面祀G〃面BEF；

(II)2分之根號2

20

證明：3在長方缽ABCD—ABCD、中，AB=2,BR=BC=\,E為的中點.，

△為等腰直角三角形，N7=45°.同理NG&?=45°.ZDEC=90°,即

DELEC.

在長方體A8C。一A4GR中，8c上平面DQcq,又DEu平面D、DCC、,

：.BC.LDE.又Ecn3C=c,:.DEI平面EBC.?:平面DEB過DE,:.平面DEB

_L平面EBC.

(2)解：如圖，過￡■在平面"DCC中?,作EOA.DC

于0.在長方體ABCD-A8CA中，?.?面ABCD±面

12

AB

DtDCC},：.EO-L面ABCD.過0在平面DBC中作0F1DB于F,連結EF,：.EFLBD.Z

為二面角￡一，8—C的平面角.利用平面幾何知識可得勿心」，（第

V5

18題）

又0￡=1,所以，tan/EFO=亞.

21?【解析】試題分析：（1）由線面平行的判定定理證明得到；（2）以后函為底

面，點F到|△/>￡）*的距離為高,由于F為PB的中點，所以點回到平面應互］的距

離等于點網到平面叵目的距離的一半，算出體積。

試題解析：（1）證明：連接{園、畫，面交回］于點回

?.,因為線段［國的中點，|AD//BC|,BC=；AD=ED,BCHED

，四邊形|8CDE|為平行四邊形，

，叵］為質的中點，又國是［畫的中點，

：.\OF//PD\,

又|?U|平面|C￡F|,平面號函,

平面|C￡F|.

（2）解法一：由（1）知，四邊形|8C國為平行四邊形,：.\BCUED\,

,四邊形回畫為等腰梯形，|AD//BC|,IA5=BC=1/1D,

：.\AB^AE^BE\,；.三角形是等邊三角形，:.乙DAB=%,

做|8〃LAD|于同,則怛”|=有，

?/IPEJ平面踵函，|PEU|平面IPAD|,，平面IPADJ■呼面|ABCD|,

又平面IPADcl平面|ABCD=A5］,AP|,|B"u|平面|A8Cr）|,

，IBHJJ平面I，點因到平面IPAO的距離為怛M=6,

又,因為線段畫的中點，...點回到平面|如。|的距離等于點因到平面近回的距離的

13

一半，即卜=斗又",用郎=2,

,,VpDEF=§SPDE-h

解法二：\CDHBE\,|cr)z怦■面后明,|BEU|平面區