福州第三中學(xué)2024屆高考數(shù)學(xué)一模試卷

注意事項(xiàng)

1.考生要認(rèn)真填寫(xiě)考場(chǎng)號(hào)和座位序號(hào)。

2.試題所有答案必須填涂或書(shū)寫(xiě)在答題卡上，在試卷上作答無(wú)效。第一部分必須用2B鉛筆作答；第二部分必須用黑

色字跡的簽字筆作答。

3.考試結(jié)束后，考生須將試卷和答題卡放在桌面上，待監(jiān)考員收回。

一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。

1.已知

7

±_

55

，B={（x,y）\y=2x},則A8中元素的個(gè)數(shù)為（

3.某部隊(duì)在一次軍演中要先后執(zhí)行六項(xiàng)不同的任務(wù)，要求是：任務(wù)A必須排在前三項(xiàng)執(zhí)行，且執(zhí)行任務(wù)A之后需立

即執(zhí)行任務(wù)E,任務(wù)B、任務(wù)C不能相鄰，則不同的執(zhí)行方案共有（）

A.36種B.44種C.48種D.54種

4.為得到一一口一二一之的圖象，只需要將二二的圖象（）

A.向左平移二個(gè)單位B.向左平移個(gè)單位

J9

C.向右平移二個(gè)單位D.向右平移5個(gè)單位

9.

6.閱讀名著，品味人生，是中華民族的優(yōu)良傳統(tǒng).學(xué)生李華計(jì)劃在高一年級(jí)每周星期一至星期五的每天閱讀半個(gè)小時(shí)

中國(guó)四大名著：《紅樓夢(mèng)》、《三國(guó)演義》、《水滸傳》及《西游記》，其中每天閱讀一種，每種至少閱讀一次，則每周不

同的閱讀計(jì)劃共有（）

A.120種B.240種C.480種D.600種

7.設(shè)加，”均為非零的平面向量，貝!1“存在負(fù)數(shù)2,使得機(jī)=而”是“加力＜0”的

A.充要條件B.充分不必要條件

C.必要不充分條件D.既不充分也不必要條件

kliq-v*1

8.已知函數(shù)/。)=—/￡N+),g(x)=-----,若對(duì)任意的C>1,存在實(shí)數(shù)。/滿足OVQ<Z?VC,使得

xx-1

g(a)=f(b)=g(c),則k的最大值是()

A.3B.2C.4D.5

r,UUll,、

9.在ABC中，BD=-DC則AD=（）

29

13

A.-AB+-ACB.-AB+-AC

4433

C.-AB+-ACD.-AB--AC

3333

\x\,x>0

10.已知函數(shù)/(x)=<(國(guó)表示不超過(guò)x的最大整數(shù))，若/(x)-依=0有且僅有3個(gè)零點(diǎn)，則實(shí)數(shù)

—>x<0

lx

的取值范圍是（）

（121「12、「23、（23,

（23」[23）134J（34

QI"

11.若x+”（x,yeR）與一5■互為共輾復(fù)數(shù)，則*+>=（）

1-z

A.0B.3C.-1D.4

12.數(shù)列｛詼｝是等差數(shù)列，“1=1,公差dd[l,2],且。4+版10+質(zhì)6=15,則實(shí)數(shù)入的最大值為()

753231

A.-B.——C.------D.一一

219192

二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。

f71

13.已知函數(shù)/（x）=sin[0%+%■(?>0)在區(qū)間[凡2?)上的值小于0恒成立，則。的取值范圍是.

14.設(shè)/(x)=湃(f>0),過(guò)點(diǎn)尸(f,0)且平行于y軸的直線與曲線C：y=/(x)的交點(diǎn)為。，曲線C過(guò)點(diǎn)0的切

線交x軸于點(diǎn)R,若S(1,/(1)),則△ERS的面積的最小值是.

22

15.已知雙曲線二-與=l(a>0,方>0)與拋物線戶8丫有一個(gè)共同的焦點(diǎn)F,兩曲線的一個(gè)交點(diǎn)為P,若四|=5,則點(diǎn)

ab

F到雙曲線的漸近線的距離為.

16.在《九章算術(shù)》中，將底面為矩形且有一條側(cè)棱與底面垂直的四棱錐稱之為陽(yáng)馬.如圖，若四棱錐尸-ABCD為

陽(yáng)馬，側(cè)棱底面ABCD,且。4=3,3C=AB=4,設(shè)該陽(yáng)馬的外接球半徑為R,內(nèi)切球半徑為小則

R

r

p.

b

三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。

17.（12分）已知函數(shù)/a）="-elogM-e,其中。>1,e為自然對(duì)數(shù)的底數(shù).

（1）當(dāng)。=e時(shí)，求函數(shù)/（尤）的極值;

（2）設(shè)函數(shù)Ax）的導(dǎo)函數(shù)為了'（X）,求證：函數(shù)/'（x）有且僅有一個(gè)零點(diǎn).

18.(12分)已知函數(shù)lux,g(x)=x2—ax.

（1）求函數(shù)式x）在區(qū)間［f,f+l］（f>0）上的最小值加（。;

h（^x）—h（x）

（2）令人（X）=g（X）—以）’4不，3D），5（X2,"（X2））（X#X2）是函數(shù)3）圖像上任意兩點(diǎn)'且滿足…2>1，求

實(shí)數(shù)”的取值范圍；

（3）若三%仁（0,1］,使/（x心幺必?成立，求實(shí)數(shù)”的最大值.

X

19.（12分）已知橢圓二+二=1（。〉人〉0）,點(diǎn)4（1,0）,3（0,1）,點(diǎn)P滿足。4+受08=02（其中。為坐標(biāo)原

ab~2

點(diǎn)），點(diǎn)用P在橢圓。上.

（1）求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程；

（2）設(shè)橢圓的右焦點(diǎn)為尸，若不經(jīng)過(guò)點(diǎn)尸的直線/：丁=丘+加（左<0,加>0）與橢圓C交于兩點(diǎn).且與圓

f+>2=1相切.此所的周長(zhǎng)是否為定值?若是，求出定值；若不是，請(qǐng)說(shuō)明理由.

22

20.（12分）已知橢圓E:三+左=1（。〉5〉0）的左、右焦點(diǎn)分別為耳（T,。）、6（1,0）,點(diǎn)P在橢圓E上，

P居，耳居且|尸耳|=3|尸閭.

（I）求橢圓E的標(biāo)準(zhǔn)方程；

（II）設(shè)直線/：%=沖+1（meH）與橢圓E相交于人、3兩點(diǎn)，與圓必+丁相交于。兩點(diǎn)，求

的取值范圍.

21.（12分）已知函數(shù)/（x）=l+2x-----6aInx存在一個(gè)極大值點(diǎn)和一個(gè)極小值點(diǎn).

x

（1）求實(shí)數(shù)。的取值范圍;

(2)若函數(shù)/(龍)的極大值點(diǎn)和極小值點(diǎn)分別為%和馬，且/(%1)+/(%2)<2-66,求實(shí)數(shù)a的取值范圍.(e是自

然對(duì)數(shù)的底數(shù))

22.(10分)已知函數(shù)=f+av-alnx,a&R

(1)若a=L求/(九)的單調(diào)區(qū)間和極值；

⑵設(shè)g(x)=/(x)+(a+2)lnx-(a+2T卜，且g(x)有兩個(gè)極值點(diǎn)看，“儂閆，若心+手，求

g(菁)-g(%2)的最小值.

參考答案

一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。

1、B

【解析】

3

由已知條件利用誘導(dǎo)公式得tana=--,再利用三角函數(shù)的平方關(guān)系和象限角的符號(hào)，即可得到答案.

4

【詳解】

3

由題意得tan(a-7i)=tancr=——,

7137134

又,所以ae■|,兀，cos(z(0,sintz)0,結(jié)合si/a+cos?,

25Ta=\解得since=j,costz=

341

所以sine+coscu=j-j

5

故選B.

【點(diǎn)睛】

本題考查三角函數(shù)的誘導(dǎo)公式、同角三角函數(shù)的平方關(guān)系以及三角函數(shù)的符號(hào)與位置關(guān)系，屬于基礎(chǔ)題.

2、C

【解析】

集合A表示半圓上的點(diǎn)，集合3表示直線上的點(diǎn)，聯(lián)立方程組求得方程組解的個(gè)數(shù)，即為交集中元素的個(gè)數(shù).

【詳解】

由題可知：集合4表示半圓上的點(diǎn)，集合3表示直線上的點(diǎn)，

聯(lián)立y=11-X2與丁=2x,

可得出=7=2X，整理得％2=y，

即》=土立，

5

當(dāng)》=—好時(shí)，y=2x<0,不滿足題意；

5

故方程組有唯一的解?，，一.

I55)

故Ac5=<恪平、

AA

故選：C.

【點(diǎn)睛】

本題考查集合交集的求解，涉及圓和直線的位置關(guān)系的判斷，屬基礎(chǔ)題.

3、B

【解析】

分三種情況，任務(wù)A排在第一位時(shí)，E排在第二位；任務(wù)A排在第二位時(shí)，E排在第三位；任務(wù)A排在第三位時(shí)，E

排在第四位，結(jié)合任務(wù)5和C不能相鄰，分別求出三種情況的排列方法，即可得到答案.

【詳解】

六項(xiàng)不同的任務(wù)分別為A、B、C、D,E、F,

如果任務(wù)A排在第一位時(shí)，E排在第二位，剩下四個(gè)位置，先排好。、F,再在。、尸之間的3個(gè)空位中插入5、C,

此時(shí)共有排列方法：尺6=12；

如果任務(wù)A排在第二位時(shí)，E排在第三位，則8,。可能分別在A、E的兩側(cè)，排列方法有C；尺方=12,可能都在A、

E的右側(cè)，排列方法有用曷=4；

如果任務(wù)A排在第三位時(shí)，E排在第四位，則3,C分別在A、E的兩側(cè)用用=16；

所以不同的執(zhí)行方案共有12+12+4+16=44種.

【點(diǎn)睛】

本題考查了排列組合問(wèn)題，考查了學(xué)生的邏輯推理能力，屬于中檔題.

4、D

【解析】

v=sm(2x——)=sin(2(x—二)].

試題分析：因?yàn)?,所以為得到二二曲(]二-二；的圖象，只需要將一=HC的圖象向

9

右平移二個(gè)單位；故選D.

考點(diǎn)：三角函數(shù)的圖像變換.

5、A

【解析】

利用誘導(dǎo)公式、特殊角的三角函數(shù)值，結(jié)合對(duì)數(shù)運(yùn)算，求得所求表達(dá)式的值.

【詳解】

_3

-3

原式=log2=log222

2

故選：A

【點(diǎn)睛】

本小題主要考查誘導(dǎo)公式，考查對(duì)數(shù)運(yùn)算，屬于基礎(chǔ)題.

6、B

【解析】

首先將五天進(jìn)行分組，再對(duì)名著進(jìn)行分配，根據(jù)分步乘法計(jì)數(shù)原理求得結(jié)果.

【詳解】

將周一至周五分為4組，每組至少1天，共有:=種分組方法;

將四大名著安排到4組中，每組1種名著，共有：禺=24種分配方法；

由分步乘法計(jì)數(shù)原理可得不同的閱讀計(jì)劃共有：10x24=240種

本題正確選項(xiàng)：B

【點(diǎn)睛】

本題考查排列組合中的分組分配問(wèn)題，涉及到分步乘法計(jì)數(shù)原理的應(yīng)用，易錯(cuò)點(diǎn)是忽略分組中涉及到的平均分組問(wèn)題.

7、B

【解析】

根據(jù)充分條件、必要條件的定義進(jìn)行分析、判斷后可得結(jié)論.

【詳解】

因?yàn)榧樱ň鶠榉橇愕钠矫嫦蛄浚嬖谪?fù)數(shù)X,使得用=幾〃，

所以向量相，”共線且方向相反，

所以即充分性成立；

反之，當(dāng)向量加，”的夾角為鈍角時(shí)，滿足加力<0,但此時(shí)加，“不共線且反向，所以必要性不成立.

所以“存在負(fù)數(shù)%,使得機(jī)=力I”是“m-n<Q”的充分不必要條件.

故選B.

【點(diǎn)睛】

判斷P是q的什么條件，需要從兩方面分析：一是由條件P能否推得條件q；二是由條件q能否推得條件P，定義法

是判斷充分條件、必要條件的基本的方法，解題時(shí)注意選擇恰當(dāng)?shù)姆椒ㄅ袛嗝}是否正確.

8、A

【解析】

根據(jù)條件將問(wèn)題轉(zhuǎn)化為電叫>月，對(duì)于尤>1恒成立，然后構(gòu)造函數(shù)/z(x)=x?生三口，然后求出入(x)的范圍，進(jìn)

x-lXX-L

一步得到上的最大值.

【詳解】

k]nv-l-1

/(x)=-(Z:eN),g(x)=-對(duì)任意的。>1,存在實(shí)數(shù)滿足0<QV6<C,使得g(〃)=/S)=g(。)，

x+x-l

二易得g(c)=/(b)>/(c)，即電山>2恒成立，

c-1C

lnx+1k-..

------>-,對(duì)于x>l恒成立，

x-lX

…、lnx+1、x-2-lnx

設(shè)h(x)=x-------,貝！Ih(x)=-,

x-l(X-1)

令q(x)=x—2—lnx,q'(x)=1-工>0在％>1恒成立，

x

q⑶=3—2—ln3<0,q(4)=4—2—ln4>0,

故存在％e(3,4),使得q(尤())=0,即/一2=111%,

當(dāng)xeQ,/)時(shí)，q(x)<0,當(dāng)x)單調(diào)遞減;

當(dāng)尤e(%,+oo)時(shí),q(x)>0,/z(x)單調(diào)遞增.

，/、，/、xInx+x

???〃(X)min=丸(/)=-n一nn，將X。_2=Inx代入得:

XoT0

%(工0-2)+/

，/Z(X)min="(%)==xo，

%0T

左eN+,且左<h(x)^n=x0,

:.k<3

故選：A

【點(diǎn)睛】

本題考查了利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，零點(diǎn)存在定理和不等式恒成立問(wèn)題，考查了轉(zhuǎn)化思想，屬于難題.

9,B

【解析】

在AB,AC上分別取點(diǎn)E、F，使得AE=2EB,AF=^FC,

21

可知AEZ加為平行四邊形，從而可得到AD=AE+Ab=—A3+—AC,即可得到答案.

33

【詳解】

11

如下圖，BD=-DC,在上分別取點(diǎn)￡、/，使得AE=2E3,AE=—EC,

22

21

則AEDF為平行四邊形，故4。=4石+4p=］45+§4。,故答案為B.

【點(diǎn)睛】

本題考查了平面向量的線性運(yùn)算，考查了學(xué)生邏輯推理能力，屬于基礎(chǔ)題.

10、A

【解析】

根據(jù)［X］的定義先作出函數(shù)f(X)的圖象，利用函數(shù)與方程的關(guān)系轉(zhuǎn)化為f(X)與g(x)=ax有三個(gè)不同的交點(diǎn)，利用

數(shù)形結(jié)合進(jìn)行求解即可.

【詳解】

當(dāng)OWx<l時(shí)，［%］=0,

當(dāng)1Wx<2時(shí)，［尤］=1,

當(dāng)2Wx<3時(shí)，國(guó)=2,

當(dāng)3Wx<4時(shí)，印=3,

若/(%)—依=0有且僅有3個(gè)零點(diǎn)，

則等價(jià)為/(X)=依有且僅有3個(gè)根，

即/(%)與g(%)=砒有三個(gè)不同的交點(diǎn)，

作出函數(shù)/(尤)和g(x)的圖象如圖，

當(dāng)a=l時(shí)，屋"=%與/(九)有無(wú)數(shù)多個(gè)交點(diǎn)，

當(dāng)直線g(x)經(jīng)過(guò)點(diǎn)4(2,1)時(shí)，即g(2)=2a=l,a=g時(shí)，/(九)與g(x)有兩個(gè)交點(diǎn)，

9

當(dāng)直線g(x)經(jīng)過(guò)點(diǎn)8(3,2)時(shí)，即g(3)=3a=2,a=g時(shí)，/(九)與g(x)有三個(gè)交點(diǎn),

19

要使/(%)與g(X)=砒有三個(gè)不同的交點(diǎn)，則直線g(x)處在過(guò)y=QX和y=§X之間，

即

23

故選：A.

【點(diǎn)睛】

利用函數(shù)零點(diǎn)的情況求參數(shù)值或取值范圍的方法

⑴直接法：直接根據(jù)題設(shè)條件構(gòu)建關(guān)于參數(shù)的不等式，再通過(guò)解不等式確定參數(shù)的范圍；(2)分離參數(shù)法：先將參數(shù)

分離，轉(zhuǎn)化成求函數(shù)的值域(最值)問(wèn)題加以解決；

(3)數(shù)形結(jié)合法：先對(duì)解析式變形，在同一平面直角坐標(biāo)系中，畫(huà)出函數(shù)的圖象，然后數(shù)形結(jié)合求解.

11、C

【解析】

計(jì)算一-=l+2z,由共朝復(fù)數(shù)的概念解得尤。即可.

1-1

【詳解】

--=l+2z,又由共軌復(fù)數(shù)概念得：x=l,y=-2,

1-i

x+y=-1.

故選：C

【點(diǎn)睛】

本題主要考查了復(fù)數(shù)的運(yùn)算，共朝復(fù)數(shù)的概念.

12、D

【解析】

利用等差數(shù)列通項(xiàng)公式推導(dǎo)出入=上二也，由“6口，2],能求出實(shí)數(shù)入取最大值.

l+9d

【詳解】

:數(shù)列｛詼｝是等差數(shù)列,“1=1,公差dG[l,2],且“4+Xaio+ai6=15,

,、3用13-18d

l+3d+Z(l+9d)+l+15d=15,解得入=-------,

l+9d

13-18d是減函數(shù),

Vd￡[l,2],k==-2+"

l+9dl+9d

1Q_1Q1

??.d=l時(shí)，實(shí)數(shù)入取最大值為入=------=—.

1+92

故選D.

【點(diǎn)睛】

本題考查實(shí)數(shù)值的最大值的求法，考查等差數(shù)列的性質(zhì)等基礎(chǔ)知識(shí)，考查運(yùn)算求解能力，是基礎(chǔ)題.

二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。

以匕(5自1T

【解析】

首先根據(jù)X的取值范圍，求得0X+工的取值范圍，由此求得函數(shù)/(九)的值域，結(jié)合/(%)區(qū)間[凡2?)上的值小于0

恒成立列不等式組，解不等式組求得。的取值范圍.

【詳解】

兀兀兀

由于萬(wàn)<XV27r,69>0,所以(D71~\--VCDX~\---V2(0兀H—9

666

由于/(%)區(qū)間區(qū)2?)上的值小于。恒成立，

兀兀兀

所以2人■—<cox+—<Icon+—<lk7i+2TT(^eZ).

666

C75

71…co〉2kH—

0)71+—>2k7l+716

6

所以

712k+—

Icon+—<2k兀+2n

6CD<----------—

212

2k-\—<k?

由于0>O,所以<612=>0<^<—,

屋012

由于keZ,所以令人=0得2<o〈U.

612

所以。的取值范圍是號(hào)二.

1612」

故答案為：f—

1612」

【點(diǎn)睛】

本小題主要考查三角函數(shù)值域的求法，考查三角函數(shù)值恒小于零的問(wèn)題的求解，考查化歸與轉(zhuǎn)化的數(shù)學(xué)思想方法，屬

于中檔題.

14、-

2

【解析】

111de'(t-\\

計(jì)算—-，0),PR=t-(^―)=-,APRS的面積為S=導(dǎo)數(shù)S，=<。1,由S，=0得f=l,根據(jù)函數(shù)

ttt2t2t~

的單調(diào)性得到最值.

【詳解】

軸，P(f,0),：.Q(t,f(t))即Q(t,J),

又/(x)=*(f>0)的導(dǎo)數(shù)/(x)...過(guò)。的切線斜率

*21

，一021

設(shè)A(r,0),則|=------=td，:?r=t一一,

t-rt

即ACt—y0),PR=t-(t—)——,

ttt

又S(L/(1))即S(LeO,???△2/?的面積為S=3,

2t

導(dǎo)數(shù),由s，=0得f=l,

2產(chǎn)

當(dāng)f＞l時(shí)，S，＞0,當(dāng)OVfVl時(shí)，S，＜0,.?./=：1為極小值點(diǎn)，也為最小值點(diǎn),

:.APRS的面積的最小值為二.

2

故答案為：—.

2

本題考查了利用導(dǎo)數(shù)求面積的最值問(wèn)題，意在考查學(xué)生的計(jì)算能力和應(yīng)用能力.

15、73

【解析】

設(shè)點(diǎn)P為（小，%），由拋物線定義知，|冏=/+2=5,求出點(diǎn)尸坐標(biāo)代入雙曲線方程得到。涉的關(guān)系式，求出雙曲

線的漸近線方程，利用點(diǎn)到直線的距離公式求解即可.

【詳解】

由題意得F（2,0）,因?yàn)辄c(diǎn)P在拋物線V=8x上，|尸P|=5,設(shè)點(diǎn)P為伍,為），

%=3

由拋物線定義知,|閉=%+2=5,解得＜

%=±2的

LY2V2924

不妨取P(3,26),代入雙曲線去-g=l,得/-3

b

又因?yàn)閷?加=4,解得a=Lb=6因?yàn)殡p曲線的漸近線方程為丁=土一x，

a

所以雙曲線的漸近線為尸土Gx,由點(diǎn)到直線的距離公式可得，

點(diǎn)F到雙曲線的漸近線的距離

故答案為：6

【點(diǎn)睛】

本題考查雙曲線和拋物線方程及其幾何性質(zhì)；考查運(yùn)算求解能力和知識(shí)遷移能力；靈活運(yùn)用雙曲線和拋物線的性質(zhì)是

求解本題的關(guān)鍵；屬于中檔題、常考題型.

16、叵

2

【解析】

該陽(yáng)馬補(bǔ)形所得到的長(zhǎng)方體的對(duì)角線為外接球的直徑，由此能求出氏=巫，內(nèi)切球。?在側(cè)面R4D內(nèi)的正視圖是

AR4D的內(nèi)切圓，從而內(nèi)切球半徑為「由此能求出0.

【詳解】

四棱錐P-A5CD為陽(yáng)馬，側(cè)棱尸4,底面ABC。，

且24=3,BC=AB=4,設(shè)該陽(yáng)馬的外接球半徑為R,

該陽(yáng)馬補(bǔ)形所得到的長(zhǎng)方體的對(duì)角線為外接球的直徑，

（27?）2=AB2+AD-+AP2=16+16+9=41,

:.R=叵,

2

側(cè)棱？A，底面ABC。，且底面為正方形，

二內(nèi)切球&在側(cè)面QAD內(nèi)的正視圖是的內(nèi)切圓,

內(nèi)切球半徑為r二-^=1,

R_屈

r~2

故答案為苧.

【點(diǎn)睛】

本題考查了幾何體外接球和內(nèi)切球的相關(guān)問(wèn)題，補(bǔ)形法的運(yùn)用，以及數(shù)學(xué)文化，考查了空間想象能力，是中檔題.解

決球與其他幾何體的切、接問(wèn)題，關(guān)鍵是能夠確定球心位置，以及選擇恰當(dāng)?shù)慕嵌茸龀鼋孛?球心位置的確定的方法有

很多，主要有兩種：（1）補(bǔ)形法（構(gòu)造法），通過(guò)補(bǔ)形為長(zhǎng)方體（正方體），球心位置即為體對(duì)角線的中點(diǎn)；（2）外心

垂線法，先找出幾何體中不共線三點(diǎn)構(gòu)成的三角形的外心，再找出過(guò)外心且與不共線三點(diǎn)確定的平面垂直的垂線，則

球心一定在垂線上.

三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。

17、見(jiàn)解析

【解析】

(1)當(dāng)a=e時(shí)，函數(shù)F(x)="—elnx—e,其定義域?yàn)?0,+一),

則尸(x)=e"—￡=^^,設(shè)/?(無(wú))=xe'—e,x>Q,

XX

易知函數(shù)/Z(x)在(0,+8)上單調(diào)遞增，且以1)=0,

所以當(dāng)0<x<l時(shí),/心)<0,即/8)<0；當(dāng)X>1時(shí)，h(x)>Q,即八x)>0,

所以函數(shù)/(%)在(0,1)上單調(diào)遞減，在(1,y)上單調(diào)遞增,

所以函數(shù)/Xx)在％=1處取得極小值，為/⑴=0,無(wú)極大值.

(2)由題可得函數(shù)Ax)的定義域?yàn)?0,+8),八尤)=a」na-一匚=至里/

xlnax]na

設(shè)g(x)=M1n2a-e,a>l,顯然函數(shù)g(x)在(0,+co)上單調(diào)遞增，

當(dāng)a>e時(shí)，g(0)=-e<0,g(l)=a]n2a-e>0,

所以函數(shù)g(x)在(0,1)內(nèi)有一個(gè)零點(diǎn)，所以函數(shù)/(X)有且僅有一個(gè)零點(diǎn);

當(dāng)q=e時(shí)，g(x)=xe'-e,g(l)=0,

所以函數(shù)g(E)有且僅有一個(gè)零點(diǎn)，所以函數(shù)/,(%)有且僅有一個(gè)零點(diǎn)；

ar

當(dāng)1<。<6時(shí)，——>1,g(—\—)=a^-e,因?yàn)镮na"=烏巴=」一>1,所以〃10o>e，g(n—)>0,

ha6In2aIn2aInaa>elira

Xg(l)=aln2a-e<0,所以函數(shù)g(x)在(1,記5’)內(nèi)有一個(gè)零點(diǎn)，

所以函數(shù)/(X)有且僅有一個(gè)零點(diǎn).

綜上，函數(shù)/'(X)有且僅有一個(gè)零點(diǎn).

f-lnt,t>l

18、(1)機(jī)(f)="(2)a<242~2.(3)應(yīng)及一2.

【解析】

(1)是研究在動(dòng)區(qū)間上的最值問(wèn)題，這類問(wèn)題的研究方法就是通過(guò)討論函數(shù)的極值點(diǎn)與所研究的區(qū)間的大小關(guān)系來(lái)進(jìn)

行求解.

(2)注意到函數(shù)/l(x)的圖像上任意不同兩點(diǎn)A,5連線的斜率總大于1,等價(jià)于—Zl(X2)<Xl—X2(X1<X2)恒成立，

從而構(gòu)造函數(shù)F(x)=/z(x)—x在(0,十◎上單調(diào)遞增，進(jìn)而等價(jià)于P(x)沙在(0,十◎上恒成立來(lái)加以研究.

(3)用處理恒成立問(wèn)題來(lái)處理有解問(wèn)題，先分離變量轉(zhuǎn)化為求對(duì)應(yīng)函數(shù)的最值，得至!]好2廠一」叫再利用導(dǎo)數(shù)求

X+1

函數(shù)M(x)=2『一"Inx的最大值,這要用到二次求導(dǎo)，才可確定函數(shù)單調(diào)性，進(jìn)而確定函數(shù)最值.

x+1

【詳解】

(1)/(x)=l--,x>0,

x

令尸(x)=0,則x=l.

當(dāng)t>l時(shí)，/U)在口，f+1]上單調(diào)遞增，/U)的最小值為｛f)=f一加/；

當(dāng)0VEV1時(shí)，1A幻在區(qū)間&1)上為減函數(shù)，在區(qū)間(1,￡+1)上為增函數(shù)，1AX)的最小值為式1)=1.

>1

綜上，

l,0<r<l

2

(2)h(x)=x—(a+l)x+lnx9

不妨取OVXIVM,則XI—MVO,

則由('>1,可得h(xi)—h(X2)<xi—X2，

%一/

變形得人(X1)—X1V/|(X2)—X2恒成立.

令W(x)=/i(x)—x=”2—(〃+2)x+比x,x>0,

則F(x)=x2—(a+2)x+Inx在(0,+◎上單調(diào)遞增，

故尸(幻=2%一(〃+2)+'20在(o,+8)上恒成立，

x

所以2x+—>a+2在(0,+oo)上恒成立.

x

16

因?yàn)?x+—笠公，當(dāng)且僅當(dāng)％=先時(shí)取“=”，

元2

所以把2夜一2.

(3)因?yàn)閒(x)>——*"),所以a(x+1)及工2—xlnx.

x

因?yàn)閄G(O,1],貝"+1G(1,2],所以九6(0國(guó)，使得/2xxlnx成立.

x+1

.2x2-xlnxe2x2+3x-lnx-l

令Mx尸----------,則,(*)=——-~—

x+l(x+1)-

c,?,,(x+1)(4%—1)_.1人

A2

y=2x+3x—lnx—lf則由V=-------------=0可得x=—或x=—1(舍).

x4

當(dāng)X￡(0,L)時(shí)，VV0,則函數(shù)y=2x2+3x—加X(jué)—1在L上單調(diào)遞減；

44

當(dāng)x￡(L+oo)時(shí)，V>0,則函數(shù)y=2x2+3x一歷x—1在(L+oo)上單調(diào)遞增.

44

所以這歷4—,>0,

8

所以Mr(x)>0在x￡(0,l］時(shí)恒成立，

所以M(x)在(0,1］上單調(diào)遞增.

所以只需aWM(l),即a<l.

所以實(shí)數(shù)?的最大值為L(zhǎng)

【點(diǎn)睛】

本題考查了函數(shù)與導(dǎo)數(shù)綜合問(wèn)題，考查了學(xué)生綜合分析，轉(zhuǎn)化與劃歸，數(shù)學(xué)運(yùn)算能力，屬于難題.

19、(1)y+y2=l(2)是，2應(yīng)

【解析】

(1)設(shè)P(羽y),根據(jù)條件可求出尸的坐標(biāo)，再利用8P在橢圓上，代入橢圓方程求出a,b即可;

(2)設(shè)加(%,％),?/(%2，%)&>0,%>°)運(yùn)用勾股定理和點(diǎn)滿足橢圓方程，求出|M2|，|N9,再利用焦半徑公式

表示出|力回，|附1,進(jìn)而求出周長(zhǎng)為定值.

即(1,0)+.(0,1)=(x,y),則％=1,y=*

0+士二

b21

，解得6=212=1,所以橢圓C的方程為1+尸=1;

因?yàn)槊袷赾上,代入得1

[a2b2=1

⑵由⑴得R(l,0),e=受,a=J5,作出示意圖,

2

設(shè)切點(diǎn)為(石>°，彳2>°)，

貝(IIMQ|2=IOM/一|。。『=4+才一l=gk，

91

同理|NQ『=考+￡—1=5尤

即所以|MN|=+x2),

Xp|NF^=ci—=y/2——^―%2

又\MF\=a-exi=

-Jl-sfl-x=2-J1,

則.肱VF的周長(zhǎng)|MN|+|MF|+|NE|=+x2)+%1+2

所以周長(zhǎng)為定值2應(yīng).

【點(diǎn)睛】

標(biāo)準(zhǔn)方程的求解，橢圓中的定值問(wèn)題，考查焦半徑公式的運(yùn)用,考查邏輯推理能力和運(yùn)算求解能力，難度較難.

20、(I)y+y2=l；(II)14后,16夜).

【解析】

(I)利用勾股定理結(jié)合條件|P制=3歸段求得歸制和歸閶，利用橢圓的定義求得。的值，進(jìn)而可得出沙，則橢圓

E的標(biāo)準(zhǔn)方程可求;

(II)設(shè)點(diǎn)A(%,%)、3(%,%)，將直線/的方程與橢圓E的方程聯(lián)立，利用韋達(dá)定理與弦長(zhǎng)公式求出恒口，利用

幾何法求得直線/截圓V+y2=2所得弦長(zhǎng)|CD|,可得出|人回.18「關(guān)于根的函數(shù)表達(dá)式，利用不等式的性質(zhì)可求

得|4用?|8『的取值范圍.

【詳解】

(I)P在橢圓上，，歸國(guó)+|P閭=2a,|P^|=3|P^|,-.\PF2\=^,\PFt\=^,

W4月，.?』即「+|百名「=忸耳「，

又I片閶=2，.?.儲(chǔ)=2，.c=l,：.b=yla2-C1=1>

二橢圓E的標(biāo)準(zhǔn)方程為—+

2

(II)設(shè)點(diǎn)4(%,%)、B(x2,y2),

x=my+1/

聯(lián)立、2；2c消去X,得(nr+2^y2+2my-l=0,A=8/w2+8>0，

[x2+2y2=21

2m12后(蘇+1

則X+%=—71+2'%%_一后+2,:.\AB\=yll+r^\yl-y2\

m2+2

設(shè)圓爐+9=2的圓心。到直線/的距離為d,則

:.\CD\=2gd2=2

222

2V2m+l42m+18A/2(2/K+13

:.\AB\-\CDi=——-------

1111nr+2m2+1m2+2m2+2

3313

0<------<—,—<2---------<2,4A/2<IABl■Icol<16A/2.

m2+222根2+21111

:.\AB\-\CDf的取值范圍為［472,1672).

【點(diǎn)睛】

本題考查橢圓方程的求解，同時(shí)也考查了橢圓中弦長(zhǎng)之積的取值范圍的求解，涉及韋達(dá)定理與弦長(zhǎng)公式的應(yīng)用，考查

計(jì)算能力，屬于中等題.

4

21、(1)—,+oo；(2)

9

【解析】

(1)首先對(duì)函數(shù)/(%)求導(dǎo)，根據(jù)函數(shù)存在一個(gè)極大值點(diǎn)和一個(gè)極小值點(diǎn)求出a的取值范圍;

(2)首先求出/(%)+/(%)的值，再根據(jù)/(玉)+/(9)<2—6e求出實(shí)數(shù)a的取值范圍.

【詳解】

(1)函數(shù)/(九)的定義域?yàn)槭?0,+e),

2a6a2x2-6ax+2a

f'(x)=2

2