北京市西城區北京教育學院附中2023-2024學年高一數學第二學期期末學業水平測試試題注意事項：1．答卷前，考生務必將自己的姓名、準考證號、考場號和座位號填寫在試題卷和答題卡上。用2B鉛筆將試卷類型（B）填涂在答題卡相應位置上。將條形碼粘貼在答題卡右上角"條形碼粘貼處"。2．作答選擇題時，選出每小題答案后，用2B鉛筆把答題卡上對應題目選項的答案信息點涂黑；如需改動，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案。答案不能答在試題卷上。3．非選擇題必須用黑色字跡的鋼筆或簽字筆作答，答案必須寫在答題卡各題目指定區域內相應位置上；如需改動，先劃掉原來的答案，然后再寫上新答案；不準使用鉛筆和涂改液。不按以上要求作答無效。4．考生必須保證答題卡的整潔。考試結束后，請將本試卷和答題卡一并交回。一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每個小題給出的四個選項中，恰有一項是符合題目要求的1．如圖，在中，，用向量，表示，正確的是A． B．C． D．2．一個正方體被一個平面截去一部分后，剩余部分的三視圖如圖，則截去部分體積與原正方體體積的比值為()A． B． C． D．3．邊長為2的正方形內有一封閉曲線圍成的陰影區域.向正方形中隨機地撒200粒芝麻，大約有80粒落在陰影區域內，則此陰影區域的面積約為（）A． B． C． D．4．已知直線m，n，平面α，β，給出下列命題：①若m⊥α，n⊥β，且m⊥n，則α⊥β②若m∥α，n∥β，且m∥n，則α∥β③若m∥α，n∥β，且α∥β，且m∥n④若m⊥α，n⊥β，且α⊥β，則m⊥n其中正確的命題是（）A．②③ B．①③ C．①④ D．③④5．已知變量x，y的取值如下表：x12345y1015304550由散點圖分析可知y與x線性相關，且求得回歸直線的方程為，據此可預測：當時，y的值約為（）A．63 B．74 C．85 D．966．在中，角所對的邊分別為，若.且，則的值為（）A． B．C． D．或7．圓與直線的位置關系為()A．相離 B．相切C．相交 D．以上都有可能8．若函數的最小正周期為2，則（）A．1 B．2 C． D．9．函數的一個對稱中心是（）A． B． C． D．10．對數列,“對于任意成立”是“其前n項和數列為遞增數列”的（）A．充分非必要條件 B．必要非充分條件C．充分必要條件 D．非充分非必要條件二、填空題：本大題共6小題，每小題5分，共30分。11．在邊長為2的菱形中，，是對角線與的交點，若點是線段上的動點，且點關于點的對稱點為，則的最小值為______.12．如圖，正方體的棱長為2，點在正方形的邊界及其內部運動，平面區域由所有滿足的點組成，則的面積是__________．13．等比數列滿足其公比_________________14．抽樣調查某地區名教師的年齡和學歷狀況，情況如下餅圖：則估計該地區歲以下具有研究生學歷的教師百分比為_______．15．已知為銳角，，則________．16．等差數列，的前項和分別為，，且，則______.三、解答題：本大題共5小題，共70分。解答時應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．單調遞增的等差數列滿足，且成等比數列.（1）求數列的通項公式；（2）設，求數列的前項和.18．已知數列{an}中，a1＝1且an﹣an﹣1＝3×（）n﹣2（n≥2，n∈N*）.（1）求數列{an}的通項公式：（2）若對任意的n∈N*，不等式1≤man≤5恒成立，求實數m的取值范圍.19．正四面體是側棱與底面邊長都相等的正三棱錐，它的對棱互相垂直.有一個如圖所示的正四面體，E，F，G分別是棱AB，BC，CD的中點.（1）求證：面EFG；（2）求異面直線EG與AC所成角的大小.20．某學校為了了解高三文科學生第一學期數學的復習效果.從高三第一學期期末考試成績中隨機抽取50名文科考生的數學成績，分成6組制成如圖所示的頻率分布直方圖.（1）試利用此頻率分布直方圖求的值及這50名同學數學成績的平均數的估計值；（2）該學校為制定下階段的復習計劃，從被抽取的成績在的同學中選出3位作為代表進行座談，若已知被抽取的成績在的同學中男女比例為，求至少有一名女生參加座談的概率.21．已知.（1）求函數的最小正周期；（2）求函數在閉區間上的最小值并求當取最小值時，的取值.

參考答案一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每個小題給出的四個選項中，恰有一項是符合題目要求的1、C【解析】

由得，再由向量的加法得，最后把代入，求得答案.【詳解】因為，故選C.【點睛】本題考查向量的加法和數乘運算的幾何意義，考查平面向量基本定理在圖形中的應用.2、C【解析】

根據三視圖還原出幾何體，得到是在正方體中，截去四面體，利用體積公式，求出其體積，然后得到答案.【詳解】根據三視圖還原出幾何體，如圖所述，得到是在正方體中，截去四面體設正方體的棱長為，則，故剩余幾何體的體積為，所以截去部分的體積與剩余部分的體積的比值為.故選：C.【點睛】本題考查了幾何體的三視圖求幾何體的體積；關鍵是正確還有幾何體，利用體積公式解答，屬于簡單題.3、B【解析】

依題意得，豆子落在陰影區域內的概率等于陰影部分面積與正方形面積之比，即可求出結果.【詳解】設陰影區域的面積為，由題意可得，則.故選：B.【點睛】本題考查隨機模擬實驗，根據幾何概型的意義進行模擬實驗計算陰影部分面積，關鍵在于掌握幾何概型的計算公式.4、C【解析】

根據線線、線面和面面有關定理，對選項逐一分析，由此得出正確選項.【詳解】對于①，兩個平面的垂線垂直，那么這兩個平面垂直.所以①正確.對于②，與可能相交，此時并且與兩個平面的交線平行.所以②錯誤.對于③，直線可能為異面直線，所以③錯誤.對于④，兩個平面垂直，那么這兩個平面的垂線垂直.所以④正確.綜上所述，正確命題的序號為①④.故選：C【點睛】本小題主要考查空間線線、線面和面面有關命題真假性的判斷，屬于基礎題.5、C【解析】

由已知求得樣本點的中心的坐標，代入線性回歸方程求得，取求得值即可．【詳解】由題得，．故樣本點的中心的坐標為，代入，得．，取，得．故選：．【點睛】本題考查線性回歸方程的求法，明確線性回歸方程恒過樣本點的中心是關鍵，是基礎題．6、D【解析】

首先根據余弦定理，得到或.再分別計算即可.【詳解】因為，所以，即：，解得：或.當時，.當時，.所以或.故選：D【點睛】本題主要考查余弦定理解三角形，熟記公式為解題的關鍵，屬于中檔題.7、C【解析】

由直線方程可確定其恒過的定點，由點與圓的位置關系的判定方法知該定點在圓內，則可知直線與圓相交.【詳解】由得：直線恒過點在圓內部直線與圓相交故選：【點睛】本題考查直線與圓位置關系的判定，涉及到直線恒過定點的求解、點與圓的位置關系的判定，屬于常考題型.8、C【解析】

根據可求得結果.【詳解】由題意知：，解得：本題正確選項：【點睛】本題考查余弦型函數最小正周期的求解問題，屬于基礎題.9、A【解析】

令，得：，即函數的對稱中心為，再求解即可.【詳解】解：令，解得：，即函數的對稱中心為，令，即函數的一個對稱中心是，故選：A.【點睛】本題考查了正切函數的對稱中心，屬基礎題.10、A【解析】

根據遞增數列的性質和充分必要條件判斷即可【詳解】對于任意成立可以推出其前n項和數列為遞增數列，但反過來不成立如當時其，此時為遞增數列但所以“對于任意成立”是“其前n項和數列為遞增數列”的充分非必要條件故選：A【點睛】要說明一個命題不成立，只需舉出一個反例即可.二、填空題：本大題共6小題，每小題5分，共30分。11、-6【解析】

由題意，然后結合向量共線及數量積運算可得，再將已知條件代入求解即可.【詳解】解：菱形的對稱性知，在線段上，且，設，則，所以，又因為，當時，取得最小值-6.故答案為：-6.【點睛】本題考查了平面向量的線性運算，重點考查了向量共線及數量積運算，屬中檔題.12、【解析】,所以點平面區域是底面內以為圓心，以1為半徑的外面區域,則的面積是13、【解析】

觀察式子，將兩式相除即可得到答案.【詳解】根據題意，可知，于是.【點睛】本題主要考查等比數列公比的相關計算，難度很小.14、【解析】

根據餅狀圖中的歲以下本科學歷人數和占比可求得歲以下教師總人數，從而可得其中的具有研究生學歷的教師人數，進而得到所求的百分比.【詳解】由歲以下本科學歷人數和占比可知，歲以下教師總人數為：人歲以下有研究生學歷的教師人數為：人歲以下有研究生學歷的教師的百分比為：本題正確結果：【點睛】本題考查利用餅狀圖計算總體中的數據分布和頻率分布的問題，屬于基礎題.15、【解析】

利用同角三角函數的基本關系求出，并利用二倍角正切公式計算出的值，再利用兩角和的正切公式求出的值.【詳解】為銳角，則，，由二倍角正切公式得，因此，，故答案為.【點睛】本題考查同角三角函數的基本關系求值、二倍角正切公式和兩角和的正切公式求值，解題的關鍵就是靈活利用這些公式進行計算，考查運算求解能力，屬于中等題.16、【解析】

取，代入計算得到答案.【詳解】，當時故答案為【點睛】本題考查了前項和和通項的關系，取是解題的關鍵.三、解答題：本大題共5小題，共70分。解答時應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、（1）；（2）.【解析】

（1）設等差數列的公差為，，運用等差數列的通項公式和等比數列中項性質，解方程可得公差，進而得到所求通項公式；（2）求得，再用裂項相消法即可得出結論．【詳解】解：（1）設等差數列的公差為，，可得，，由，，成等比數列，，解得或舍去），則；（2），∴．【點睛】本題主要考查等差數列的通項公式和等比數列中項性質，考查數列的裂項相消法求和，考查運算能力，屬于中檔題．18、（1）an＝3﹣2×（）n﹣1（2）{m|1≤m}【解析】

（1）由已知，根據遞推公式可得，，……，，所有式子累加可得；（2）在（1）得出的基礎之上解不等式可得實數的取值范圍.【詳解】（1）由已知，根據遞推公式可得an﹣an﹣1＝3×（）n﹣2，an﹣1﹣an﹣2＝3×（）n﹣3，…，a2﹣a1＝3×（）0，由累加法得，當n≥2時，an﹣a1＝3×（）0+3×（）1+…+3×（）n﹣2，代入a1＝1得，n≥2時，an＝11+2×（1﹣（）n﹣1），又a1＝1也滿足上式，故an＝3﹣2×（）n﹣1.（2）由1≤man≤5，得1≤man＝m（3﹣2（）n﹣1）≤5.因為3﹣2（）n﹣1＞0，所以，當n為奇數時，3﹣2（）n﹣1∈[1，3）；當n為偶數時，3﹣2（）n﹣1∈（3，4]，所以3﹣2（）n﹣1最大值為4，最小值為1.對于任意的正整數n都有成立，所以1≤m.即所求實數m的取值范圍是{m|1≤m}.【點睛】本題主要考查數列的遞推公式知識和不等式的相關知識，式子繁瑣，易錯，屬于中檔題.19、（1）證明見解析；（2）【解析】

（1）連接EF，FG，GE，通過三角形的中位線可得，進而可得面EFG；（2）由題可得為異面直線EG與AC所成角，根據正四棱錐的特點得到為等腰直角三角形，進而可得結果.【詳解】解：（1）連接EF，FG，GE，如圖，E，F分別是棱AB，BC的中點，，又面EFG，面EFG，面EFG；（2）由（1），則為異面直線EG與AC所成角，AC與BD是正四面體的對棱，，又，，又，為等腰直角三角形，，即異面直線EG與AC所成角的大小為.【點睛】本題考查線面平行的證明，以及異面直線所成的角，通過直線平行找到異面直線所成角的平面角是關鍵，本題難度不大.20、（1）；平均數的估計值（2）【解析】

（1）根據各小矩形面積和為1可求得的值；由頻率分布直方圖，結合平均數的求法即可求解.（2）根據頻率分布直方圖先求得成績在的同學人數，結合分層抽樣可得男生4人，女生2人，設男生分別為；女生分別為，利用列舉法可得抽取3人的所有情況，進而得至少有一名女生的情況，即可由古典概型概率公式求解.【詳解】（1）由題，解得，由頻率分布直方圖，得這50名同學數學成績的平均數的估計值為：（2）由頻率分布直方圖知，成績在的同學有人，由比例可知男生4人，女生2人，記男生分別為；女生分別為，則