長春市第十一中學(xué)2023-2024學(xué)年高一下數(shù)學(xué)期末學(xué)業(yè)質(zhì)量監(jiān)測試題注意事項:1．答題前，考生先將自己的姓名、準(zhǔn)考證號碼填寫清楚，將條形碼準(zhǔn)確粘貼在條形碼區(qū)域內(nèi)。2．答題時請按要求用筆。3．請按照題號順序在答題卡各題目的答題區(qū)域內(nèi)作答，超出答題區(qū)域書寫的答案無效；在草稿紙、試卷上答題無效。4．作圖可先使用鉛筆畫出，確定后必須用黑色字跡的簽字筆描黑。5．保持卡面清潔，不要折暴、不要弄破、弄皺，不準(zhǔn)使用涂改液、修正帶、刮紙刀。一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每個小題給出的四個選項中，恰有一項是符合題目要求的1．在等比數(shù)列中，，，，則等于()A． B． C． D．2．如果圓上總存在點到原點的距離為，則實數(shù)的取值范圍為()A． B． C． D．3．若等差數(shù)列的前5項之和，且，則（）A．12 B．13 C．14 D．154．設(shè)是等差數(shù)列的前項和,若,則A． B． C． D．5．在等差數(shù)列中，若，則（）A．10 B．15 C．20 D．256．如圖，點為正方形的中心，為正三角形，平面平面是線段的中點，則（）A．，且直線是相交直線B．，且直線是相交直線C．，且直線是異面直線D．，且直線是異面直線7．已知向量，的夾角為，且，，則與的夾角等于A． B． C． D．8．某班設(shè)計了一個八邊形的班徽（如圖），它由腰長為1，頂角為的四個等腰三角形，及其底邊構(gòu)成的正方形所組成，該八邊形的面積為A．； B．C． D．9．等差數(shù)列的前項和為，若，則（）A．27 B．36 C．45 D．5410．已知等差數(shù)列中，則（）A．10 B．16 C．20 D．24二、填空題：本大題共6小題，每小題5分，共30分。11．已知銳角的外接圓的半徑為1，，則的面積的取值范圍為_____．12．在半徑為的球中有一內(nèi)接正四棱柱（底面是正方形，側(cè)棱垂直底面），當(dāng)該正四棱柱的側(cè)面積最大時，球的表面積與該正四棱柱的側(cè)面積之差是__________．13．己知函數(shù)，有以下結(jié)論：①的圖象關(guān)于直線軸對稱②在區(qū)間上單調(diào)遞減③的一個對稱中心是④的最大值為則上述說法正確的序號為__________（請?zhí)钌纤姓_序號）.14．若采用系統(tǒng)抽樣的方法從420人中抽取21人做問卷調(diào)查，為此將他們隨機(jī)編號為1,2，…，420，則抽取的21人中，編號在區(qū)間[241,360]內(nèi)的人數(shù)是______15．某幾何體的三視圖如圖所示，則該幾何體的體積為__________．16．假設(shè)我國國民生產(chǎn)總值經(jīng)過10年增長了1倍，且在這10年期間我國國民生產(chǎn)總值每年的年增長率均為常數(shù)，則______.（精確到）（參考數(shù)據(jù)）三、解答題：本大題共5小題，共70分。解答時應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．已知數(shù)列滿足：（1）設(shè)數(shù)列滿足，求的前項和：（2）證明數(shù)列是等差數(shù)列，并求其通項公式；18．已知函數(shù).（Ⅰ）求函數(shù)的最小正周期；（Ⅱ）求方程的解構(gòu)成的集合.19．已知：，，，，求的值.20．已知函數(shù).（1）求的最小正周期及單調(diào)遞增區(qū)間；（2）求在區(qū)間上的最大值和最小值．21．在平面直角坐標(biāo)系中，直線截以坐標(biāo)原點為圓心的圓所得的弦長為.（1）求圓的方程；（2）若直線與圓切于第一象限，且與坐標(biāo)軸交于點，，當(dāng)時，求直線的方程；（3）設(shè)，是圓上任意兩點，點關(guān)于軸的對稱點為，若直線，分別交軸于點和，問是否為定值？若是，請求出該定值；若不是，請說明理由.

參考答案一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每個小題給出的四個選項中，恰有一項是符合題目要求的1、C【解析】

直接利用等比數(shù)列公式計算得到答案.【詳解】故選：C【點睛】本題考查了等比數(shù)列的計算，屬于簡單題.2、B【解析】

將圓上的點到原點的距離轉(zhuǎn)化為圓心到原點的距離加減半徑得到答案.【詳解】，圓心為半徑為1圓心到原點的距離為：如果圓上總存在點到原點的距離為即圓心到原點的距離即故答案選B【點睛】本題考查了圓上的點到原點的距離，轉(zhuǎn)化為圓心到原點的距離加減半徑是解題的關(guān)鍵.3、B【解析】試題分析：由題意得，，又，則，又，所以等差數(shù)列的公差為，所以．考點：等差數(shù)列的通項公式．4、A【解析】，，選A.5、C【解析】

設(shè)等差數(shù)列的公差為，得到，又由，代入即可求解，得到答案.【詳解】由題意，設(shè)等差數(shù)列的公差為，則，又由，故選C.【點睛】本題主要考查了等差數(shù)列的通項公式的應(yīng)用，其中解答中熟記等差數(shù)列的通項公式，準(zhǔn)確計算是解答的關(guān)鍵，著重考查了計算與求解能力，屬于基礎(chǔ)題，.6、B【解析】

利用垂直關(guān)系，再結(jié)合勾股定理進(jìn)而解決問題．【詳解】如圖所示，作于，連接，過作于．連，平面平面．平面，平面，平面，與均為直角三角形．設(shè)正方形邊長為2，易知，．，故選B．【點睛】本題考查空間想象能力和計算能力，解答本題的關(guān)鍵是構(gòu)造直角三角性．7、C【解析】

根據(jù)條件即可求出，從而可求出，，，然后可設(shè)與的夾角為，從而可求出，根據(jù)向量夾角的范圍即可求出夾角．【詳解】，；，，；設(shè)與的夾角為，則；又，，故選．【點睛】本題主要考查向量數(shù)量積的定義運(yùn)用，向量的模的求法，以及利用數(shù)量積求向量夾角．8、A【解析】

試題分析：利用余弦定理求出正方形面積；利用三角形知識得出四個等腰三角形面積；故八邊形面積.故本題正確答案為A.考點：余弦定理和三角形面積的求解.【方法點晴】本題是一道關(guān)于三角函數(shù)在幾何中的應(yīng)用的題目，掌握正余弦定理是解題的關(guān)鍵；首先根據(jù)三角形面積公式求出個三角形的面積；接下來利用余弦定理可求出正方形的邊長的平方，進(jìn)而得到正方形的面積，最后得到答案.9、B【解析】

利用等差數(shù)列的性質(zhì)進(jìn)行化簡，由此求得的值.【詳解】依題意，所以，故選B.【點睛】本小題主要考查等差數(shù)列的性質(zhì)，考查等差數(shù)列前項和公式，屬于基礎(chǔ)題.10、C【解析】

根據(jù)等差數(shù)列性質(zhì)得到，再計算得到答案.【詳解】已知等差數(shù)列中，故答案選C【點睛】本題考查了等差數(shù)列的性質(zhì)，是數(shù)列的常考題型.二、填空題：本大題共6小題，每小題5分，共30分。11、【解析】

由已知利用正弦定理可以得到b＝2sinB，c＝2sin（﹣B），利用三角形面積公式，三角函數(shù)恒等變換的應(yīng)用可求S△ABC═sin（2B﹣）+，由銳角三角形求B的范圍，進(jìn)而利用正弦函數(shù)的圖象和性質(zhì)即可得解．【詳解】解：∵銳角△ABC的外接圓的半徑為1，A＝，∴由正弦定理可得：，可得：b＝2sinB，c＝2sin（﹣B），∴S△ABC＝bcsinA＝×2sinB×2sin（﹣B）×＝sinB（cosB+sinB）＝sin（2B﹣）+，∵B，C為銳角，可得：＜B＜，＜2B﹣＜，可得：sin（2B﹣）∈（，1]，∴S△ABC＝sin（2B﹣）+∈（1，]．故答案為：（1，]．【點睛】本題主要考查了正弦定理，三角形面積公式，三角函數(shù)恒等變換的應(yīng)用，正弦函數(shù)的圖象和性質(zhì)在解三角形中的應(yīng)用，考查了計算能力和轉(zhuǎn)化思想，屬于中檔題．12、【解析】

根據(jù)正四棱柱外接球半徑的求解方法可得到正四棱柱底面邊長和高的關(guān)系，利用基本不等式得到，得到側(cè)面積最大值為；根據(jù)球的表面積公式求得球的表面積，作差得到結(jié)果.【詳解】設(shè)球內(nèi)接正四棱柱的底面邊長為，高為則球的半徑:正四棱柱的側(cè)面積：球的表面積：當(dāng)正四棱柱的側(cè)面積最大時，球的表面積與該正四棱柱的側(cè)面積之差為：本題正確結(jié)果：【點睛】本題考查多面體的外接球的相關(guān)問題的求解，關(guān)鍵是能夠根據(jù)外接球半徑構(gòu)造出關(guān)于正棱柱底面邊長和高的關(guān)系式，利用基本不等式求得最值；其中還涉及到球的表面積公式的應(yīng)用.13、②④【解析】

根據(jù)三角函數(shù)性質(zhì)，逐一判斷選項得到答案.【詳解】，根據(jù)圖像知：①的圖象關(guān)于直線軸對稱，錯誤②在區(qū)間上單調(diào)遞減，正確③的一個對稱中心是，錯誤④的最大值為，正確故答案為②④【點睛】本題考查了三角函數(shù)的化簡，三角函數(shù)的圖像，三角函數(shù)性質(zhì)，意在考查學(xué)生對于三角函數(shù)的綜合理解和應(yīng)用.14、6【解析】試題分析：由題意得，編號為，由得共6個.考點：系統(tǒng)抽樣15、【解析】由三視圖知該幾何體是一個半圓錐挖掉一個三棱錐后剩余的部分，如圖所示，所以其體積為.點睛：求多面體的外接球的面積和體積問題常用方法有（1）三條棱兩兩互相垂直時，可恢復(fù)為長方體，利用長方體的體對角線為外接球的直徑，求出球的半徑；（2）直棱柱的外接球可利用棱柱的上下底面平行，借助球的對稱性，球心為上下底面外接圓的圓心連線的中點，再根據(jù)勾股定理求球的半徑；（3）如果設(shè)計幾何體有兩個面相交，可過兩個面的外心分別作兩個面的垂線，垂線的交點為幾何體的球心，本題就是第三種方法.16、【解析】

根據(jù)題意，設(shè)10年前的國民生產(chǎn)總值為，則10年后的國民生產(chǎn)總值為，結(jié)合題意可得，解可得的值，即可得答案．【詳解】解：根據(jù)題意，設(shè)10年前的國民生產(chǎn)總值為，則10年后的國民生產(chǎn)總值為，則有，即，解可得：，故答案為：．【點睛】本題考查函數(shù)的應(yīng)用，涉及指數(shù)、對數(shù)的運(yùn)算，關(guān)鍵是得到關(guān)于的方程，屬于基礎(chǔ)題．三、解答題：本大題共5小題，共70分。解答時應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、（1）（2）證明見解析,【解析】

（1）令n=1，即可求出，計算出，利用錯位相減求出。（2）利用公式化簡即可得證。再利用，求出公差，即可寫出通項公式。【詳解】解：在中，令，得，所以，①，②①②得化簡得由得：，兩式相減整理得：從而有，相減得：即故數(shù)列為等差數(shù)列，又，故公差【點睛】本題主要考查利用錯位相減法求等差乘等比數(shù)列的前n項的和，屬于基礎(chǔ)題。18、（Ⅰ）（Ⅱ）【解析】

（Ⅰ）利用二倍角公式化簡函數(shù)，再逆用兩角和的正弦公式進(jìn)一步化簡函數(shù)，代入最小正周期公式即可得解；（Ⅱ）由得，則，求解x并寫成集合形式.【詳解】（Ⅰ），所以函數(shù)的最小正周期.（Ⅱ）由得，，解得因此方程的解構(gòu)成的集合是：.【點睛】本題考查簡單的三角恒等變換，已知三角函數(shù)值求角的集合，屬于基礎(chǔ)題.19、【解析】

先由同角三角函數(shù)的平方關(guān)系求出，，然后結(jié)合兩角和的余弦公式求解即可.【詳解】解：由，，，，所以，，則.【點睛】本題考查了同角三角函數(shù)的平方關(guān)系，重點考查了兩角和的余弦公式，屬基礎(chǔ)題.20、（1）；單調(diào)遞增區(qū)間為：；（2）最大值；最小值.【解析】

（1）先將函數(shù)化簡整理，得到，由得到最小正周期；根據(jù)正弦函數(shù)的對稱軸，即可列式，求出對稱軸；（2）先由，得到，根據(jù)正弦函數(shù)的性質(zhì)，即可得出結(jié)果.【詳解】（1）因為，所以最小正周期為：；由得，即單調(diào)遞增區(qū)間是：；（2）因為，所以，因此，當(dāng)即時，取最小值；當(dāng)即時，取最大值；【點睛】本題主要考查正弦型三角函數(shù)的周期、對稱軸，以及給定區(qū)間的最值問題，熟記正弦函數(shù)的性質(zhì)，以及輔助角公式即可，屬于常考題型.21、（1）；（2）；（3）見解析【解析】

（1）利用點到直線距離公式，可以求出弦心距，根據(jù)垂徑定理結(jié)合勾股定理，可以求出圓的半徑，進(jìn)而可以求出圓的方程；（2）設(shè)出直線的截距式方程，利用圓的切線性質(zhì)，得到一個方程，結(jié)合已知，