湖北省孝感市七校教學聯盟2024年高一下數學期末學業質量監測試題注意事項1．考試結束后，請將本試卷和答題卡一并交回．2．答題前，請務必將自己的姓名、準考證號用0．5毫米黑色墨水的簽字筆填寫在試卷及答題卡的規定位置．3．請認真核對監考員在答題卡上所粘貼的條形碼上的姓名、準考證號與本人是否相符．4．作答選擇題，必須用2B鉛筆將答題卡上對應選項的方框涂滿、涂黑；如需改動，請用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案．作答非選擇題，必須用05毫米黑色墨水的簽字筆在答題卡上的指定位置作答，在其他位置作答一律無效．5．如需作圖，須用2B鉛筆繪、寫清楚，線條、符號等須加黑、加粗．一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每個小題給出的四個選項中，恰有一項是符合題目要求的1．在數列{an}中，an＝31﹣3n，設bn＝anan+1an+2（n∈N*）．Tn是數列{bn}的前n項和，當Tn取得最大值時n的值為（）A．11 B．10 C．9 D．82．在等差數列中,已知=2,=16,則為()A．8 B．128 C．28 D．143．抽查10件產品，設“至少抽到2件次品”為事件，則的對立事件是（）A．至多抽到2件次品 B．至多抽到2件正品C．至少抽到2件正品 D．至多抽到一件次品4．已知直線是函數的一條對稱軸，則的一個單調遞減區間是（）A． B． C． D．5．若不等式對任意，恒成立，則實數的取值范圍是（）A． B． C． D．6．直線的傾斜角為A． B． C． D．7．已知等差數列的首項,公差,則()A．5 B．7 C．9 D．118．若是兩條不同的直線，是三個不同的平面，則下列結論中正確的是（）A．若，則 B．若，則C．若，則 D．若，則9．已知直線過點，且在縱坐標軸上的截距為橫坐標軸上的截距的兩倍，則直線的方程為（）A． B．C．或 D．或10．函數的圖像的一條對稱軸是（）A． B． C． D．二、填空題：本大題共6小題，每小題5分，共30分。11．102,238的最大公約數是________．12．已知，是第三象限角，則.13．在區間[-1,2]上隨機取一個數x,則x∈[0,1]的概率為.14．一個封閉的正三棱柱容器，該容器內裝水恰好為其容積的一半（如圖1，底面處于水平狀態），將容器放倒（如圖2，一個側面處于水平狀態），這時水面與各棱交點分別為E，F、，，則的值是__________.15．已知三點A(1,0)，B(0，)，C(2，)，則△ABC外接圓的圓心到原點的距離為________．16．函數的定義域是________三、解答題：本大題共5小題，共70分。解答時應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．在海上進行工程建設時，一般需要在工地某處設置警戒水域；現有一海上作業工地記為點，在一個特定時段內，以點為中心的1海里以內海域被設為警戒水域，點正北海里處有一個雷達觀測站，某時刻測得一艘勻速直線行駛的船只位于點北偏東且與點相距10海里的位置，經過12分鐘又測得該船已行駛到點北偏東且與點相距海里的位置.（1）求該船的行駛速度（單位：海里/小時）；（2）若該船不改變航行方向繼續行駛.試判斷它是否會進入警戒水域（點與船的距離小于1海里即為進入警戒水域），并說明理由.18．如圖，在四棱錐P?ABCD中，AB//CD，且.（1）證明：平面PAB⊥平面PAD；（2）若PA=PD=AB=DC，，求二面角A?PB?C的余弦值.19．將正弦曲線如何變換可以得到函數的圖像，請寫出變換過程，并畫出一個周期的閉區間的函數簡圖.20．已知函數，且．（1）求的值；（2）求的最小正周期及單調遞增區間．21．已知圓經過點，且圓心在直線：上.（1）求圓的方程；（2）過點的直線與圓交于兩點，問在直線上是否存在定點，使得恒成立？若存在，請求出點的坐標；若不存在，請說明理由.

參考答案一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每個小題給出的四個選項中，恰有一項是符合題目要求的1、B【解析】

由已知得到等差數列的公差，且數列的前11項大于1，自第11項起小于1，由，得出從到的值都大于零，時，時，，且，而當時，，由此可得答案．【詳解】由，得，等差數列的公差，由，得，則數列的前11項大于1，自第11項起小于1．由，可得從到的值都大于零，當時，時，，且，當時，，所以取得最大值時的值為11.故選：B．【點睛】本題主要考查了數列遞推式，以及數列的和的最值的判定，其中解答的關鍵是明確數列的項的特點，著重考查了分析問題和解答問題的能力，屬于中檔試題．2、D【解析】

將已知條件轉化為的形式列方程組，解方程組求得，進而求得的值.【詳解】依題意，解得，故.故選：D.【點睛】本小題主要考查等差數列通項的基本量計算，屬于基礎題.3、D【解析】

由對立事件的概念可知，直接寫出其對立事件即可.【詳解】“至少抽到2件次品”的對立事件為“至多抽到1件次品”，故選D【點睛】本題主要考查對立事件的概念，熟記對立事件的概念即可求解，屬于基礎題型.4、B【解析】

利用周期公式計算出周期，根據對稱軸對應的是最值，然后分析單調減區間.【詳解】因為，若取到最大值，則，即，此時處最接近的單調減區間是：即，故B符合；若取到最小值，則，即，此時處最接近的單調減區間是：即，此時無符合答案；故選：B.【點睛】對于正弦型函數，對稱軸對應的是函數的最值，這一點值得注意.5、B【解析】∵不等式對任意，恒成立，∴，∵，當且僅當，即時取等號，∴，∴，∴，∴實數的取值范圍是，故選B.6、D【解析】

把直線方程的一般式方程化為斜截式方程，求出斜率，根據斜率與傾斜角的關系，求出傾斜角.【詳解】，設直線的傾斜角為，，故本題選D.【點睛】本題考查了直線方程之間的轉化、利用斜率求直線的傾斜角問題.7、C【解析】

直接利用等差數列的通項公式，即可得到本題答案.【詳解】由為等差數列，且首項，公差，得.故選：C【點睛】本題主要考查利用等差數列的通項公式求值，屬基礎題.8、C【解析】

試題分析：兩個平面垂直，一個平面內的直線不一定垂直于另一個平面，所以A不正確；兩個相交平面內的直線也可以平行，所以B不正確；垂直于同一個平面的兩個平面不一定垂直，也可能平行或相交，所以D不正確；根據面面垂直的判定定理知C正確.考點：空間直線、平面間的位置關系.【詳解】請在此輸入詳解！9、D【解析】

根據題意，分直線是否經過原點2種情況討論，分別求出直線的方程，即可得答案．【詳解】根據題意，直線分2種情況討論：①當直線過原點時，又由直線經過點，所求直線方程為，整理為，②當直線不過原點時，設直線的方程為，代入點的坐標得，解得，此時直線的方程為，整理為．故直線的方程為或.故選：D．【點睛】本題考查直線的截距式方程，注意分析直線的截距是否為0，屬于基礎題．10、C【解析】對稱軸穿過曲線的最高點或最低點，把代入后得到,因而對稱軸為，選.二、填空題：本大題共6小題，每小題5分，共30分。11、34【解析】試題分析：根據輾轉相除法的含義，可得238=2×102+34，102=3×34，所以得兩個數102、238的最大公約數是34.故答案為34.考點：輾轉相除法.12、.【解析】試題分析：根據同角三角函數的基本關系知，，化簡整理得①，又因為②，聯立方程①②即可解得：，，又因為是第三象限角，所以，故.考點：同角三角函數的基本關系.13、【解析】

直接利用長度型幾何概型求解即可.【詳解】因為區間總長度為，符合條件的區間長度為，所以，由幾何概型概率公式可得，在區間[-1,2]上隨機取一個數x,則x∈[0,1]的概率為，故答案為：.【點睛】解決幾何概型問題常見類型有：長度型、角度型、面積型、體積型，求與長度有關的幾何概型問題關鍵是計算問題的總長度以及事件的長度.14、【解析】

設，則，由題意得：，由此能求出的值．【詳解】設，則，由題意得：，解得，．故答案為：．【點睛】本題考查兩線段比值的求法、三棱柱的體積等基礎知識，考查運算求解能力，是中檔題．15、【解析】

求出的垂直平分線方程，兩垂直平分線交點為外接圓圓心．再由兩點間距離公式計算．【詳解】由點B(0，)，C(2，)，得線段BC的垂直平分線方程為x＝1，①由點A(1,0)，B(0，)，得線段AB的垂直平分線方程為②聯立①②，解得△ABC外接圓的圓心坐標為，其到原點的距離為.故答案為：【點睛】本題考查三角形外接圓圓心坐標，外心是三角形三條邊的中垂線的交點，到三頂點距離相等．16、【解析】

根據的值域為求解即可.【詳解】由題.故定義域為.故答案為：【點睛】本題主要考查了反三角函數的定義域,屬于基礎題型.三、解答題：本大題共5小題，共70分。解答時應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、（1）海里/小時；（2）該船不改變航行方向則會進入警戒水域，理由見解析.【解析】

（1）建立直角坐標系，首先求出位置與位置的距離，然后除以經過的時間即可求出船的航行速度；（2）求出位置與位置所在直線方程，求出位置與直線的距離與1海里對比即可.【詳解】（1）如圖建立平面直角坐標系：設一個單位長度為1海里，則坐標中，，，，再由方位角可求得：，，所以，又因為12分鐘=0.2小時，則（海里/小時），所以該船行駛的速度為海里/小時；（2）直線的斜率為，所以直線的方程為：，即，所以點到直線的距離為，即該船不改變航行方向行駛時離點的距離小于1海里，所以若該船不改變航行方向則會進入警戒水域.【點睛】本題主要考查了直角坐標系中兩點間距離的計算，直線與圓的位置關系，屬于一般題.18、（1）見解析；（2）.【解析】

（1）由已知，得AB⊥AP，CD⊥PD．由于AB//CD，故AB⊥PD，從而AB⊥平面PAD．又AB平面PAB，所以平面PAB⊥平面PAD．（2）在平面內作，垂足為，由（1）可知，平面，故，可得平面.以為坐標原點，的方向為軸正方向，為單位長，建立如圖所示的空間直角坐標系.由（1）及已知可得，，，.所以，，，.設是平面的法向量，則即可取.設是平面的法向量，則即可取.則，所以二面角的余弦值為.【名師點睛】高考對空間向量與立體幾何的考查主要體現在以下幾個方面：①求異面直線所成的角，關鍵是轉化為兩直線的方向向量的夾角；②求直線與平面所成的角，關鍵是轉化為直線的方向向量和平面的法向量的夾角；③求二面角，關鍵是轉化為兩平面的法向量的夾角.建立空間直角坐標系和表示出所需點的坐標是解題的關鍵.19、答案見解析【解析】

利用函數函數的圖像變換規律和五點作圖法可解.【詳解】由函數的圖像上的每一點保持縱坐標不變，橫坐標擴大為原來的2倍，得到函數的圖像,

再將函數的圖像向左平移個單位，得到函數的圖像.

然后再把函數的圖像上每一個點的橫坐標保持不變，縱坐標擴大為原來的2倍，得到函數的圖像.作函數的圖像列表得0100函數圖像為【點睛】本題考查函數的圖像變換的過程敘述和作出函數的一個周期的簡圖，屬于基礎題.20、（1）；（2）最小正周期為,單調遞增區間為，.【解析】

（1）因為，所以，化簡解方程即得．（2）由（1）可得求出函數的最小正周期，再利用復合函數和三角函數的圖像和性質求函數的單調遞增區間得解.【詳解】解：（1）因為，所以，所以，即，解得．（2）由（1）可得，則的最小正周期為．令，，解得，，故的單調遞增區間為，．【點睛】本題主要考查三角恒等變換和三角求值，考查三角函數的圖像和性質，意在考查學生對這些知識的理解掌握水平和分析推理能力，屬于基礎題.21、（1）（2）在直線上存在定點，使得恒成立，詳見解析【解析】

（1）求出弦中垂線方程，由中垂線和直線相交得圓心坐標，再求出圓半徑，從而得圓標準方程；（2）直線斜率存在時，設方程為，代入圓的方程，得的一元二次方程，同時設交點為由韋達定理得，假設定點存在，設其為，由求得，再驗證所作直線斜率不存在時，點也滿足題意．【詳解】（1）的中點為，∴的垂直平分線的斜率為，∴的垂直平分線的方程為，∴的垂直平分線與直線交點為圓心，則，解得，又．∴圓的方程