安徽省安慶市市示范中學2025屆高一下數學期末聯考試題注意事項1．考生要認真填寫考場號和座位序號。2．試題所有答案必須填涂或書寫在答題卡上，在試卷上作答無效。第一部分必須用2B鉛筆作答；第二部分必須用黑色字跡的簽字筆作答。3．考試結束后，考生須將試卷和答題卡放在桌面上，待監考員收回。一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每個小題給出的四個選項中，恰有一項是符合題目要求的1．利用斜二測畫法得到的:①三角形的直觀圖是三角形;②平行四邊形的直觀圖是平行四邊形;③相等的角在直觀圖中仍然相等;④正方形的直觀圖是正方形.以上結論正確的是()A．①② B．① C．③④ D．①②③④2．若cosθ＞0，且sin2θ＜0，則角θ的終邊在（）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限3．（2017新課標全國卷Ⅲ文科）已知橢圓C：的左、右頂點分別為A1，A2，且以線段A1A2為直徑的圓與直線相切，則C的離心率為A． B．C． D．4．對一切，恒成立，則實數的取值范圍是（）A． B．C． D．5．設函數，若關于的方程恰有個不同的實數解，則實數的取值范圍為（）A． B． C． D．6．數列1，，，，…的一個通項公式為（）A． B． C． D．7．三棱錐中，互相垂直，，是線段上一動點，若直線與平面所成角的正切的最大值是，則三棱錐的外接球的表面積是（）A． B． C． D．8．甲、乙兩名同學八次數學測試成績的莖葉圖如圖所示，則甲同學成績的眾數與乙同學成績的中位數依次為（）A．85，85 B．85，86 C．85，87 D．86，869．在投資生產產品時，每生產需要資金200萬，需場地，可獲得300萬；投資生產產品時，每生產需要資金300萬，需場地，可獲得200萬，現某單位可使用資金1400萬，場地，則投資這兩種產品，最大可獲利()A．1350萬 B．1475萬 C．1800萬 D．2100萬10．若函數f（x）=loga（x2–ax+2）在區間（0，1]上單調遞減，則實數a的取值范圍是（）A．[2，3） B．（2，3） C．[2，+∞） D．（2，+∞）二、填空題：本大題共6小題，每小題5分，共30分。11．已知平行四邊形的周長為，，則平行四邊形的面積是_______12．的值域是______.13．一船自西向東勻速航行,上午10時到達一座燈塔的南偏西距塔64海里的處,下午2時到達這座燈塔的東南方向的處,則這只船的航行速度為__________海里/小時．14．如圖，已知扇形和，為的中點.若扇形的面積為1，則扇形的面積為______.15．已知函數，的最大值為_____.16．經過兩圓和的交點的直線方程為______．三、解答題：本大題共5小題，共70分。解答時應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．如圖，四邊形ABCD是平行四邊形，點E，F，G分別為線段BC，PB，AD的中點．（1）證明：EF∥平面PAC；（2）證明：平面PCG∥平面AEF；（3）在線段BD上找一點H，使得FH∥平面PCG，并說明理由．18．在海上進行工程建設時，一般需要在工地某處設置警戒水域；現有一海上作業工地記為點，在一個特定時段內，以點為中心的1海里以內海域被設為警戒水域，點正北海里處有一個雷達觀測站，某時刻測得一艘勻速直線行駛的船只位于點北偏東且與點相距10海里的位置，經過12分鐘又測得該船已行駛到點北偏東且與點相距海里的位置.（1）求該船的行駛速度（單位：海里/小時）；（2）若該船不改變航行方向繼續行駛.試判斷它是否會進入警戒水域（點與船的距離小于1海里即為進入警戒水域），并說明理由.19．在等差數列中，已知．（1）求通項；（2）求的前項和．20．在中，角的對邊分別為，且.（1）求角的大小；（2）若，求的最大值.21．在中，三個內角所對的邊分別為，滿足.（1）求角的大小；（2）若，求，的值.（其中）

參考答案一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每個小題給出的四個選項中，恰有一項是符合題目要求的1、A【解析】

由直觀圖的畫法和相關性質，逐一進行判斷即可.【詳解】斜二側畫法會使直觀圖中的角度不同，也會使得沿垂直于水平線方向的長度與原圖不同，而多邊形的邊數不會改變，同時平行直線之間的位置關系依舊保持平行，故：①②正確，③和④不對，因為角度會發生改變.故選：A.【點睛】本題考查斜二側畫法的相關性質，注意角度是發生改變的，這是易錯點.2、D【解析】試題分析：且，，為第四象限角．故D正確．考點：象限角．3、A【解析】以線段為直徑的圓的圓心為坐標原點，半徑為，圓的方程為，直線與圓相切，所以圓心到直線的距離等于半徑，即，整理可得，即即，從而，則橢圓的離心率，故選A.【名師點睛】解決橢圓和雙曲線的離心率的求值及取值范圍問題，其關鍵就是確立一個關于的方程或不等式，再根據的關系消掉得到的關系式，而建立關于的方程或不等式，要充分利用橢圓和雙曲線的幾何性質、點的坐標的范圍等.4、B【解析】

先求得的取值范圍，根據恒成立問題的求解策略，將原不等式轉化為，再解一元二次不等式求得的取值范圍.【詳解】解：對一切，恒成立，轉化為：的最大值，又知，的最大值為；所以，解得或.故選B.【點睛】本小題主要考查恒成立問題的求解策略，考查三角函數求最值的方法，考查一元二次不等式的解法，考查化歸與轉化的數學思想方法，屬于中檔題.5、B【解析】

由已知中函數，若關于的方程恰有個不同的實數解，可以根據函數的圖象分析出實數的取值范圍．【詳解】函數的圖象如下圖所示：關于的方程恰有個不同的實數解，令t＝f（x），可得t2﹣at+2＝0，（*）則方程（*）的兩個解在（1，2]，可得，解得，故選：B.【點睛】本題考查的知識點是根的存在性及根的個數判斷，其中根據已知中函數的解析式，畫出函數的圖象，再利用數形結合是解答本題的關鍵．6、A【解析】

把數列化為，根據各項特點寫出它的一個通項公式.【詳解】數列…可以化為，所以該數列的一個通項公式為.故選：A【點睛】本題考查了根據數列各項特點寫出它的一個通項公式的應用問題，是基礎題目.7、B【解析】是線段上一動點，連接，∵互相垂直，∴就是直線與平面所成角，當最短時，即時直線與平面所成角的正切的最大．此時，，在直角△中，．三棱錐擴充為長方體，則長方體的對角線長為，∴三棱錐的外接球的半徑為，∴三棱錐的外接球的表面積為．選B.點睛:空間幾何體與球接、切問題的求解方法(1)求解球與棱柱、棱錐的接、切問題時，一般過球心及接、切點作截面，把空間問題轉化為平面圖形與圓的接、切問題，再利用平面幾何知識尋找幾何中元素間的關系求解．(2)若球面上四點構成的三條線段兩兩互相垂直，且，一般把有關元素“補形”成為一個球內接長方體，利用求解．8、B【解析】

根據莖葉圖的數據，選擇對應的眾數和中位數即可.【詳解】由圖可知，甲同學成績的眾數是85；乙同學的中位數是.故選：B.【點睛】本題考查由莖葉圖計算數據的眾數和中位數，屬基礎計算題.9、B【解析】

設生產產品x百噸，生產產品百噸，利潤為百萬元，先分析題意，找出相關量之間的不等關系，即滿足的約束條件，由約束條件畫出可行域；要求應作怎樣的組合投資，可使獲利最大，即求可行域中的最優解，在線性規劃的解答題中建議使用直線平移法求出最優解，即將目標函數看成是一條直線，分析目標函數與直線截距的關系，進而求出最優解．【詳解】設生產產品百噸，生產產品百噸，利潤為百萬元則約束條件為：，作出不等式組所表示的平面區域：目標函數為.由解得.使目標函數為化為要使得最大，即需要直線在軸的截距最大即可.由圖可知當直線過點時截距最大.此時應作生產產品3.25百噸，生產產品2.5百噸的組合投資，可使獲利最大．

故選：B．【點睛】在解決線性規劃的應用題時，其步驟為：①分析題目中相關量的關系，列出不等式組，即約束條件?②由約束條件畫出可行域?③分析目標函數Z與直線截距之間的關系?④使用平移直線法求出最優解?⑤還原到現實問題中．屬于中檔題.10、A【解析】

函數為函數與的復合函數，復合函數的單調性是同則增，異則減，討論，，結合二次函數的單調性，同時還要保證真數恒大于零，由二次函數的圖象和性質列不等式即可求得的范圍.【詳解】∵函數在區間上為單調遞減函數，∴時，在上為單調遞減函數，且在上恒成立，∴需在上的最小值，且對稱軸，∴，當時，在上為單調遞增函數，不成立，綜上可得的范圍是，故選：A．【點睛】本題考查了對數函數的圖象和性質，二次函數圖象和性質，復合函數的定義域與單調性，不等式恒成立問題的解法，轉化化歸的思想方法，屬于中檔題.二、填空題：本大題共6小題，每小題5分，共30分。11、【解析】

設，根據條件可以求出，兩邊平方可以得到關系式，由余弦定理可以表示出，把代入得到的關系式，聯立求出的值，過作垂直于，設，則可以表示，利用勾股定理，求出的值，確定長，即求出平行四邊形的面積【詳解】設又，由余弦定理將代入，得到將（2）代入（1）得到可以解得：(另一種情況不影響結果)，過作垂直于，設,則，所以填寫【點睛】幾何題如果關系量理清不了，可以嘗試作圖，引入相鄰邊的參數，通過方程把參數求出，平行四邊形問題可以通過轉化變為三角形問題，進而把問題簡單化.12、【解析】

對進行整理，得到正弦型函數，然后得到其值域，得到答案.【詳解】，因為所以的值域為.故答案為：【點睛】本題考查輔助角公式，正弦型函數的值域，屬于簡單題.13、【解析】由，行駛了4小時，這只船的航行速度為海里/小時．【點睛】本題為解直角三角形應用題，利用直角三角形邊角關系表示出兩點間的距離，在用輔助角公式變形求值，最后利用速度公式求出結果.14、1【解析】

設，在扇形中，利用扇形的面積公式可求，根據已知，在扇形中，利用扇形的面積公式即可計算得解．【詳解】解：設，扇形的面積為1，即：，解得：，為的中點，，在扇形中，．故答案為：1．【點睛】本題主要考查了扇形的面積公式的應用，考查了數形結合思想和轉化思想，屬于基礎題．15、【解析】

化簡，再利用基本不等式以及輔助角公式求出的最大值，即可得到的最大值【詳解】由題可得：由于，，所以，由基本不等式可得：由于，所以所以，即的最大值為故答案為【點睛】本題考查三角函數的最值問題，涉及二倍角公式、基本不等式、輔助角公式等知識點，屬于中檔題。16、【解析】

利用圓系方程，求解即可．【詳解】設兩圓和的交點分別為，則線段是兩個圓的公共弦．令，，兩式相減，得，即，故線段所在直線的方程為．【點睛】本題考查圓系方程的應用，考查計算能力．三、解答題：本大題共5小題，共70分。解答時應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、（1）見解析（2）見解析（3）見解析【解析】

（1）證明，EF∥平面PAC即得證；（2）證明AE∥平面PCG，EF∥平面PCG，平面PCG∥平面AEF即得證；（3）設AE，GC與BD分別交于M，N兩點，證明N點為所找的H點．【詳解】（1）證明：∵E、F分別是BC，BP中點，∴，∵PC?平面PAC，EF?平面PAC，∴EF∥平面PAC．（2）證明：∵E、G分別是BC、AD中點，∴AE∥CG，∵AE?平面PCG，CG?平面PCG，∴AE∥平面PCG，又∵EF∥PC，PC?平面PCG，EF?平面PCG，∴EF∥平面PCG，AE∩EF＝E點，AE，EF?平面AEF，∴平面AEF∥平面PCG．（3）設AE，GC與BD分別交于M，N兩點，易知F，N分別是BP，BM中點，∴，∵PM?平面PGC，FN?平面PGC，∴FN∥平面PGC，即N點為所找的H點．【點睛】本題主要考查空間平行位置關系的證明，考查立體幾何的探究性問題的解決，意在考查學生對這些知識的理解掌握水平.18、（1）海里/小時；（2）該船不改變航行方向則會進入警戒水域，理由見解析.【解析】

（1）建立直角坐標系，首先求出位置與位置的距離，然后除以經過的時間即可求出船的航行速度；（2）求出位置與位置所在直線方程，求出位置與直線的距離與1海里對比即可.【詳解】（1）如圖建立平面直角坐標系：設一個單位長度為1海里，則坐標中，，，，再由方位角可求得：，，所以，又因為12分鐘=0.2小時，則（海里/小時），所以該船行駛的速度為海里/小時；（2）直線的斜率為，所以直線的方程為：，即，所以點到直線的距離為，即該船不改變航行方向行駛時離點的距離小于1海里，所以若該船不改變航行方向則會進入警戒水域.【點睛】本題主要考查了直角坐標系中兩點間距離的計算，直線與圓的位置關系，屬于一般題.19、（1），（2）【解析】

（1）設出等差數列的基本量，首項和公差，根據條件列出方程組，解出和，寫出的通項.（2）由（1）中求出的基本量，根據等差數列的求和公式，寫出【詳解】設等差數列的首項為，公差為，，解得（2）由（1）可知，【點睛】本題考查等差數列基本量計算，等差數列通項和求和的求法，屬于簡單題.20、(1)．(2)【解析】

（1）先利用正弦定理角化邊，然后根據余弦定理求角；（2）利用余弦定理以及基本不等式求解最值，注意取等號的條件.【詳解】解：（1）