廣東省東莞中學2025屆數學高一下期末聯考模擬試題注意事項：1．答題前，考生先將自己的姓名、準考證號填寫清楚，將條形碼準確粘貼在考生信息條形碼粘貼區。2．選擇題必須使用2B鉛筆填涂；非選擇題必須使用0．5毫米黑色字跡的簽字筆書寫，字體工整、筆跡清楚。3．請按照題號順序在各題目的答題區域內作答，超出答題區域書寫的答案無效；在草稿紙、試題卷上答題無效。4．保持卡面清潔，不要折疊，不要弄破、弄皺，不準使用涂改液、修正帶、刮紙刀。一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每個小題給出的四個選項中，恰有一項是符合題目要求的1．已知變量和滿足相關關系，變量和滿足相關關系.下列結論中正確的是（）A．與正相關，與正相關 B．與正相關，與負相關C．與負相關，與y正相關 D．與負相關，與負相關2．經過，兩點的直線方程為（）A． B． C． D．3．若正實數滿足，則的最小值為A． B． C． D．4．已知是等差數列，且，，則（）A．-5 B．-11 C．-12 D．35．若直線經過點，則此直線的傾斜角是（）A． B． C． D．6．函數的零點所在的區間為（）A． B． C． D．7．如右圖所示的直觀圖，其表示的平面圖形是（A）正三角形（B）銳角三角形（C）鈍角三角形（D）直角三角形8．已知則的最小值是()A． B．4 C． D．59．在天氣預報中，有“降水概率預報”，例如預報“明天降水的概率為”，這是指（）A．明天該地區有的地方降水，有的地方不降水B．明天該地區有的時間降水，其他時間不降水C．明天該地區降水的可能性為D．氣象臺的專家中有的人認為會降水，另外有的專家認為不降水10．若，,則（）A． B． C． D．二、填空題：本大題共6小題，每小題5分，共30分。11．下圖中的幾何體是由兩個有共同底面的圓錐組成．已知兩個圓錐的頂點分別為P、Q，高分別為2、1，底面半徑為1．A為底面圓周上的定點，B為底面圓周上的動點（不與A重合）．下列四個結論：①三棱錐體積的最大值為；②直線PB與平面PAQ所成角的最大值為；③當直線BQ與AP所成角最小時，其正弦值為；④直線BQ與AP所成角的最大值為；其中正確的結論有___________.（寫出所有正確結論的編號）12．若扇形的周長是，圓心角是度，則扇形的面積（單位）是__________.13．設不等式組所表示的平面區域為D.若直線與D有公共點，則實數a的取值范圍是_____________.14．經過點，且在兩坐標軸上的截距之和為2的直線的一般式方程為________.15．如圖，正方體的棱長為，動點在對角線上，過點作垂直于的平面，記這樣得到的截面多邊形（含三角形）的周長為，設，則當時，函數的值域__________．16．已知，則的值為_____________三、解答題：本大題共5小題，共70分。解答時應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．如圖，三棱柱的側面是邊長為的菱形，，且.(1)求證:；(2)若，當二面角為直二面角時，求三棱錐的體積.18．數列中，，.前項和滿足.（1）求（用表示）；（2）求證：數列是等比數列；（3）若，現按如下方法構造項數為的有窮數列，當時，；當時，.記數列的前項和，試問：是否能取整數？若能，請求出的取值集合：若不能，請說明理由.19．已知公差不為零的等差數列{an}和等比數列{bn}滿足：a1＝b1＝3，b2＝a4，且a1，a4，a13成等比數列．（1）求數列{an}和{bn}的通項公式；（2）令cn＝an?bn，求數列{cn}的前n項和Sn．20．已知數列前項和為，滿足，（1）證明：數列是等差數列，并求；（2）設，求證：.21．如圖所示，在梯形中，∥，⊥，，⊥平面，⊥．（1）證明：⊥平面；（2）若，求點到平面的距離．

參考答案一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每個小題給出的四個選項中，恰有一項是符合題目要求的1、B【解析】

根據相關關系式,由一次項系數的符號即可判斷是正相關還是負相關.【詳解】變量和滿足相關關系,由可知變量和為正相關變量和滿足相關關系,由,可知變量和為負相關所以B為正確選項故選:B【點睛】本題考查了通過相關關系式子判斷正負相關性,屬于基礎題.2、C【解析】

根據題目條件，選擇兩點式來求直線方程.【詳解】由兩點式直線方程可得：化簡得：故選：C【點睛】本題主要考查了直線方程的求法，還考查了運算求解的能力，屬于基礎題.3、D【解析】

將變成，可得，展開后利用基本不等式求解即可．【詳解】，，，，當且僅當，取等號，故選D．【點睛】本題主要考查利用基本不等式求最值，屬于中檔題.利用基本不等式求最值時，一定要正確理解和掌握“一正，二定，三相等”的內涵：一正是，首先要判斷參數是否為正；二定是，其次要看和或積是否為定值（和定積最大，積定和最小）；三相等是，最后一定要驗證等號能否成立（主要注意兩點，一是相等時參數是否在定義域內，二是多次用或時等號能否同時成立）.4、B【解析】

由是等差數列，求得，則可求【詳解】∵是等差數列，設,∴故故選：B【點睛】本題考查等差數列的通項公式，考查計算能力，是基礎題5、D【解析】

先通過求出兩點的斜率，再通過求出傾斜角的值。【詳解】，選D.【點睛】先通過求出兩點的斜率，再通過求出傾斜角的值。需要注意的是斜率不存在的情況。6、C【解析】

分別將選項中的區間端點值代回,利用零點存在性定理判斷即可【詳解】由題函數單調遞增,,,則,故選:C【點睛】本題考查利用零點存在性定理判斷零點所在區間,屬于基礎題7、D【解析】略8、C【解析】

由題意結合均值不等式的結論即可求得的最小值，注意等號成立的條件.【詳解】由題意可得：，當且僅當時等號成立.即的最小值是.故選：C.【點睛】在應用基本不等式求最值時，要把握不等式成立的三個條件，就是“一正——各項均為正；二定——積或和為定值；三相等——等號能否取得”，若忽略了某個條件，就會出現錯誤．9、C【解析】

預報“明天降水的概率為”，屬于隨機事件，可能下雨，也可能不下雨，即可得到答案.【詳解】由題意，天氣預報中，有“降水概率預報”，例如預報“明天降水的概率為”，這是指明天下雨的可能性是，故選C.【點睛】本題主要考查了隨機事件的概念及其概率，其中正確理解隨機事件的概率的概念是解答此類問題的關鍵，著重考查了分析問題和解答問題的能力，屬于基礎題.10、D【解析】

由于，，，，利用“平方關系”可得，，變形即可得出．【詳解】∵，，∴，∴．∵，∴，∵，∴．∴．故選D.【點睛】本題考查了兩角和的余弦公式、三角函數同角基本關系式、拆分角等基礎知識與基本技能方法，屬于中檔題．二、填空題：本大題共6小題，每小題5分，共30分。11、①③【解析】

由①可知只需求點A到面的最大值對于②，求直線PB與平面PAQ所成角的最大值，可轉化為到軸截面距離的最大值問題進行求解對于③④，可采用建系法進行分析【詳解】選項①如圖所示，當時，四棱錐體積最大，選項②中，線PB與平面PAQ所成角最大值的正弦值為，所以選項③和④，如圖所示：以垂直于方向為x軸，方向為y軸，方向為z軸，其中設,.,設直線BQ與AP所成角為，，當時，取到最大值，，此時，由于，，，所以取不到答案選①、③【點睛】幾何體的旋轉問題需要結合動態圖形和立體幾何基本知識進行求解，需找臨界點是正確解題的關鍵，遇到難以把握的最值問題，可采用建系法進行求解.12、16【解析】

根據已知條件可計算出扇形的半徑，然后根據面積公式即可計算出扇形的面積.【詳解】設扇形的半徑為，圓心角弧度數為，所以即，所以，所以.故答案為：.【點睛】本題考查角度與弧度的轉化以及扇形的弧長和面積公式，難度較易.扇形的弧長公式：，扇形的面積公式：.13、【解析】

畫出不等式組所表示的平面區域，直線過定點，根據圖像確定直線斜率的取值范圍.【詳解】畫出不等式組所表示的平面區域如下圖所示，直線過定點，由圖可知，而，所以.故填：.【點睛】本小題主要考查不等式表示區域的畫法，考查直線過定點問題，考查直線斜率的取值范圍的求法，屬于基礎題.14、【解析】

由題可知，直線在x上軸截距為-3，再利用截距式可直接求得直線方程【詳解】∵直線過（0，5），∴直線在y軸上的截距為5，又直線在兩坐標軸上的截距之和為2，∴直線在x軸上的截距為2-5=-3∴直線方程為,即5x-3y+15=0【點睛】直線方程有五種基本形式，在只知道橫縱截距的情況下，截距式是最快捷的一種方式15、【解析】

根據已知條件，所得截面可能是三角形，也可能是六邊形，分別求出三角形與六邊形周長的取值情況，即可得到函數的值域.【詳解】如圖：∵正方體的棱長為，∴正方體的對角線長為6，∵（i）當或時，三角形的周長最小.設截面正三角形的邊長為，由等體積法得：∴∴，（ii）或時，三角形的周長最大，截面正三角形的邊長為，∴（iii）當時，截面六邊形的周長都為∴∴當時，函數的值域為.【點睛】本題考查多面體表面的截面問題和線面垂直，關鍵在于結合圖形分析截面的三種情況，進而得出與截面邊長的關系.16、【解析】

利用和差化積公式將兩式化簡，然后兩式相除得到的值，再利用二倍角公式即可求出．【詳解】由得，，，兩式相除得，，則．【點睛】本題主要考查和差化積公式以及二倍角公式的應用．三、解答題：本大題共5小題，共70分。解答時應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、（1）見解析（2）【解析】

（1）利用直線與平面垂直的判定，結合三角形全等判定，得到，再次結合三角形全等，即可．（2）法一：建立坐標系，分別計算的法向量，結合兩向量夾角為直角，計算出的值，然后結合，即可．法二：設出OA=x,用x分別表示AB,BD,AD，結合，建立方程，計算x，結合，即可．【詳解】（1）連結，交于點，連結，因為側面是菱形，所以，又因為，，所以平面，而平面，所以，因為，所以，而，所以，.（2）因為，，所以，（法一）以為坐標原點，所以直線為軸，所以直線為軸，所以直線為軸建立如圖所示空間直角坐標系，設，則，，，，，所以，，，設平面的法向量，所以令，則，，取，設平面的法向量，所以令，則，，取，依題意得，解得.所以.（法二）過作，連結，由（1）知，所以且，所以是二面角的平面角，依題意得，，所以，設，則，，又由，，所以由，解得，所以.【點睛】本道題考查了直線與平面垂直判定，考查了利用空間向量解決二面角問題，難度較難．18、（1）（2）證明見詳解.（3）能取整數,此時的取值集合為.【解析】

（1）利用遞推關系式,令,通過,求出即可.（2）遞推關系式轉化為：,化簡推出數列是等比數列.（3）由,求出,求出,得到通項公式,然后求解的分母與分子,討論要使取整數,需為整數,推出的取值集合為時,取整數【詳解】解：（1）令,則,將,代入,有.解得：.（2）由得,化簡得,又,是等比數列.（3）由,,又是等比數列,,,①當時,依次為,.②當時,,,,要使取整數,需為整數,令,,,要么都為整數,要么都不是整數,又所以當且僅當為奇數時,為整數,即的取值集合為時,取整數.【點睛】本題主要考查利用遞推公式結合,為判斷等比數列,考查數列前項和的比的問題的轉化與化歸思想的綜合性解題能力.19、(1)an＝2n+1；bn＝3n；(2)Sn＝n?3n+1．【解析】

（1）利用基本元的思想，結合等差數列、等比數列的通項公式、等比中項的性質列方程，解方程求得的值，從而求得數列的通項公式.（2）利用錯位相減求和法求得數列的前項和.【詳解】（1）公差d不為零的等差數列{an}和公比為q的等比數列{bn}，a1＝b1＝3，b2＝a4，且a1，a4，a13成等比數列，可得3q＝3+3d，a1a13＝a42，即（3+3d）2＝3（3+12d），解得d＝2，q＝3，可得an＝3+2（n﹣1）＝2n+1；bn＝3n；（2）cn＝an?bn＝（2n+1）?3n，前n項和Sn＝3?3+5?32+7?33+…+（2n+1）?3n，3Sn＝3?32+5?33+7?34+…+（2n+1）?3n+1，兩式相減可得﹣2Sn＝9+2（32+33+…+3n）﹣（2n+1）?3n+1＝9+2?（2n+1）?3n+1，化簡可得Sn＝n?3n+1．【點睛】本小題主要考查等差數列，等比數列通項公式，考查錯位相減求和法，考查運算求解能力，屬于中檔題.20、（1）．（2）見解析．【解析】（1）由可得，當時，，兩式相減可是等差數列，結合等差數列的通項公式可求進而可求（2）由（1）可得，利用裂項相消法可求和，即可證明．試題分析：（1）（2）試題解