2024屆遼寧省鞍山市市級名校中考數學對點突破模擬試卷

注意事項：

1.答卷前，考生務必將自己的姓名、準考證號、考場號和座位號填寫在試題卷和答題卡上。用2B鉛筆將試卷類型（B）

填涂在答題卡相應位置上。將條形碼粘貼在答題卡右上角"條形碼粘貼處”o

2.作答選擇題時，選出每小題答案后，用2B鉛筆把答題卡上對應題目選項的答案信息點涂黑；如需改動，用橡皮擦

干凈后，再選涂其他答案。答案不能答在試題卷上。

3.非選擇題必須用黑色字跡的鋼筆或簽字筆作答，答案必須寫在答題卡各題目指定區域內相應位置上；如需改動，先

劃掉原來的答案，然后再寫上新答案；不準使用鉛筆和涂改液。不按以上要求作答無效。

4.考生必須保證答題卡的整潔。考試結束后，請將本試卷和答題卡一并交回。

一、選擇題（每小題只有一個正確答案，每小題3分，滿分30分）

1.如圖，正方形ABCD的對角線AC與BD相交于點O,NACB的角平分線分別交AB,BD于M,N兩點.若AM

=2,則線段ON的長為（）

A④R8C1D6

?tj?-------?J.\j?---------

222

2.提出“金山銀山，不如綠水青山”，國家環保部大力治理環境污染，空氣質量明顯好轉，將惠及13.75億中國人，這

個數字用科學記數法表示為（）

A.13.75x10sB.13.75X105C.1.375xl08D.1.375xl09

3.如圖,在矩形ABCD中,AB=4,BC=6,點E為BC的中點，將ABE沿AE折疊，使點B落在矩形內點F處，連接CF,則CF

的長為（）

4.點A（4,3）經過某種圖形變化后得到點B（-3,4）,這種圖形變化可以是（）

A.關于x軸對稱B.關于y軸對稱

C.繞原點逆時針旋轉90D.繞原點順時針旋轉90

5.某校九年級“詩歌大會”比賽中，各班代表隊得分如下（單位：分）：9,7,8,7,9,7,6,則各代表隊得分的中位

數是（）

A.9分B.8分C.7分D.6分

7.如圖，兩張完全相同的正六邊形紙片（邊長為2a）重合在一起，下面一張保持不動，將上面一張紙片沿水平方向向

左平移a個單位長度，則空白部分與陰影部分面積之比是（）

8.關于x的不等式'二八的解集為x>3,那么a的取值范圍為（）

a-x<x）

A.a>3B.a<3C.a>3D.a<3

9.下列命題是假命題的是（）

A.有一個外角是120。的等腰三角形是等邊三角形

B.等邊三角形有3條對稱軸

C.有兩邊和一角對應相等的兩個三角形全等

D.有一邊對應相等的兩個等邊三角形全等

10.在數軸上表示不等式2（1-x）V4的解集，正確的是（）

二、填空題（共7小題，每小題3分，滿分21分）

11.在平面直角坐標系中，拋物線y=x?+x+2上有一動點P,直線y=-x-2上有一動線段AB,當P點坐標為時,

△PAB的面積最小.

J1,

22一

12.如圖，RtAABC的直角邊BC在x軸上，直線y=§x-§經過直角頂點B,且平分△ABC的面積，BC=3,點A

在反比例函數y=人圖象上，則1<=.

X

13.閱讀理解：引入新數i,新數i滿足分配律，結合律，交換律.已知『=-1,那么，）=.

14.若向北走5km記作-5km,則+10km的含義是.

15.將函數y=3x+l的圖象沿y軸向下平移2個單位長度，所得直線的函數表達式為.

16.如圖，在平面直角坐標系中，一動點從原點O出發，按向上，向右，向下，向右的方向不斷地移動，每移動一個

單位，得到點Ai（0,1）,Ai（1,1）,A3（1,0）,A4（2,0）,...那么點A4n+i（n為自然數）的坐標為（用n

表示）

17.唐老師為了了解學生的期末數學成績，在班級隨機抽查了10名學生的成績，其統計數據如下表:

分數（單位：分）10090807060

人數14212

則這10名學生的數學成績的中位數是分.

三、解答題（共7小題，滿分69分）

18.（10分）某電器超市銷售每臺進價分別為200元，170元的A,B兩種型號的電風扇，表中是近兩周的銷售情況:

銷售數量

銷售時段銷售收入

A種型號B種型號

第一周3臺5臺1800元

第二周4臺10臺3100元

(進價、售價均保持不變，利潤=銷售收入一進貨成本)求A,B兩種型號的電風扇的銷售單價.若超市準備用不多于

5400元的金額再采購這兩種型號的電風扇共30臺，則A種型號的電風扇最多能采購多少臺？在⑵的條件下，超市銷

售完這30臺電風扇能否實現利潤為1400元的目標？若能，請給出相應的采購方案；若不能，請說明理由.

19.(5分)先化簡：區二￡++再從-3、2、3中選擇一個合適的數作為a的值代入求值.

”3(a-3)

20.(8分)某經銷商經銷的冰箱二月份的售價比一月份每臺降價500元，已知賣出相同數量的冰箱一月份的銷售額為

9萬元，二月份的銷售額只有8萬元.

(1)二月份冰箱每臺售價為多少元？

(2)為了提高利潤，該經銷商計劃三月份再購進洗衣機進行銷售，已知洗衣機每臺進價為4000元，冰箱每臺進價為

3500元，預計用不多于7.6萬元的資金購進這兩種家電共20臺，設冰箱為y臺(y<12),請問有幾種進貨方案？

(3)三月份為了促銷，該經銷商決定在二月份售價的基礎上，每售出一臺冰箱再返還顧客現金a元，而洗衣機按每臺

4400元銷售，這種情況下，若(2)中各方案獲得的利潤相同，則a應取何值？

21.(10分)如圖，在平行四邊形ABCD中，E、F為AD上兩點，AE=EF=FD,連接BE、CF并延長，交于點G,GB=GC.

(1)求證：四邊形ABCD是矩形；

(1)若AGEF的面積為1.

①求四邊形BCFE的面積；

②四邊形ABCD的面積為.

22.(10分)如圖，在矩形ABCD中，AB=3,AD=4,P沿射線BD運動，連接AP,將線段AP繞點P順時針旋轉

90。得線段PQ.

⑴當點Q落到AD上時，ZPAB=°,PA=,AQ長為；

(2)當APLBD時，記此時點P為Po,點Q為Qo,移動點P的位置，求NQQoD的大小；

2

⑶在點P運動中，當以點Q為圓心，,BP為半徑的圓與直線BD相切時，求BP的長度；

(4)點P在線段BD上，由B向D運動過程(包含B、D兩點)中，求CQ的取值范圍，直接寫出結果.

23.（12分）在平面直角坐標系xOy中有不重合的兩個點Q（石,%）與尸（%2，%）?若。、尸為某個直角三角形的兩個銳

角頂點，當該直角三角形的兩條直角邊分別與x軸或y軸平行（或重合），則我們將該直角三角形的兩條直角邊的邊長

之和稱為點。與點尸之間的“直距”記做。戶0,特別地，當與某條坐標軸平行（或重合）時，線段尸。的長即為點

。與點尸之間的“直距例如下圖中，點尸（1,1）,點。（3,2）,此時點0與點P之間的“直距"Dp°=3.

⑴①已知。為坐標原點，點4（2,—1）,3（—2,0）,則。,DB°=：

②點C在直線y=-x+3上，求出的最小值;

（2）點E是以原點。為圓心，1為半徑的圓上的一個動點，點尸是直線y=2x+4上一動點.直接寫出點E與點尸之

間“直距”心尸的最小值.

I?III-

①2345T

備用圖-

24.（14分）2018年4月份，鄭州市教育局針對鄭州市中小學參與課外輔導進行調查，根據學生參與課外輔導科

目的數量，分成了：1科、2科、3科和4科，以下簡記為：1、2、3、4,并根據調查結果繪制成如圖所示的條形統計

圖和扇形統計圖（未完成），請結合圖中所給信息解答下列問題：

（1）本次被調查的學員共有人；在被調查者中參加“3科”課外輔導的有人.

（2）將條形統計圖補充完整；

（3）已知鄭州市中小學約有24萬人，那么請你估計一下參與輔導科目不多于2科的學生大約有多少人.

參考答案

一、選擇題（每小題只有一個正確答案，每小題3分，滿分30分）

1、C

【解析】

作MHLAC于H,如圖，根據正方形的性質得NMAH=45。，則AAMH為等腰直角三角形，所以

）再根據角平分線性質得血，則于是利用正方形的性質得到

AH=MH=^AM=A/2BM=MH=AB=2+&,

AC=&AB=2&+2,OC=1AC=V2+b所以CH=AC-AH=2+&,然后證明△CONs^CHM,再利用相彳以比可

計算出ON的長.

【詳解】

試題分析：作MHLAC于H,如圖,

???四邊形ABCD為正方形，

.\ZMAH=45O,

二AAMH為等腰直角三角形,

AH=MH=—AM=—x2=J2>

22

VCM平分NACB,

/.BM=MH=72，

.?.AB=2+逝，

.*.AC=&AB=&(2+0)=20+2,

OC=；AC=&+1,CH=AC-AH=20+2-逝=2+血，

VBD±AC,

/.ON/7MH,

/.△CON^ACHM,

.ON_OCON_V2+1

.,而一而'g

/.ON=1.

故選C.

【點睛】

本題考查了相似三角形的判定與性質：在判定兩個三角形相似時，應注意利用圖形中已有的公共角、公共邊等隱含條

件，以充分發揮基本圖形的作用，尋找相似三角形的一般方法是通過作平行線構造相似三角形.也考查了角平分線的

性質和正方形的性質.

2、D

【解析】

用科學記數法表示較大的數時，一般形式為axlOl其中lW|a|<10,n為整數，據此判斷即可.

【詳解】

13.75億=1.375x109.

故答案選D.

【點睛】

本題考查的知識點是科學記數法，解題的關鍵是熟練的掌握科學記數法.

3、B

【解析】

12

連接BF,由折疊可知AE垂直平分BF,根據勾股定理求得AE=5,利用直角三角形面積的兩種表示法求得BH=(，

2418

即可得BF=《，再證明NBFC=90。，最后利用勾股定理求得CF=^.

【詳解】

連接BF,由折疊可知AE垂直平分BF,

VBC=6,點E為BC的中點，

?\BE=3,

又；AB=4,

?*,AE=yj+BE~--\/42+32=5,

'：-ABBE=-AEBH,

22

—x3x4=—x5xBH,

22

12m24

ABH=y,貝!lBF=y,

VFE=BE=EC,

.\ZBFC=90o,

CF=7BC2-BF2=^62-(y)2=y.

故選B.

【點睛】

本題考查的是翻折變換的性質、矩形的性質及勾股定理的應用，掌握折疊是一種對稱變換，它屬于軸對稱，折疊前后

圖形的形狀和大小不變，位置變化，對應邊和對應角相等是解題的關鍵.

4、C

【解析】

分析：根據旋轉的定義得到即可.

詳解：因為點A(4,3)經過某種圖形變化后得到點B(-3,4),

所以點A繞原點逆時針旋轉90。得到點B,

故選C.

點睛：本題考查了旋轉的性質：旋轉前后兩個圖形全等，對應點到旋轉中心的距離相等，對應點與旋轉中心的連線段

的夾角等于旋轉角.

5、C

【解析】分析：根據中位數的定義，首先將這組數據按從小到大的順序排列起來，由于這組數據共有7個，故處于最

中間位置的數就是第四個，從而得出答案.

詳解：將這組數據按從小到大排列為：6<7<7<7<8<9<9,故中位數為：7分，

故答案為：C.

點睛：本題主要考查中位數，解題的關鍵是掌握中位數的定義：將一組數據按照從小到大(或從大到小)的順序排列，

如果數據的個數是奇數，則處于中間位置的數就是這組數據的中位數.如果這組數據的個數是偶數，則中間兩個數據

的平均數就是這組數據的中位數.

6^B

【解析】

A選項中，由圖可知：在丁=。%2,。>0；在y=+-a>0,a<0,所以A錯誤；

B選項中，由圖可知：在丁=。%2,<7>0；在〉=一。工+6,-a<0,a>0,所以B正確；

C選項中，由圖可知：在丁=。x2,a<0；在>=一。％+6,-a<0,a>0,所以C錯誤；

D選項中，由圖可知：在丁=。/,?<0；在〉=一。％+6,-a<0,：.a>0,所以D錯誤.

故選B.

點睛：在函數y=a/與y=-6+b中，相同的系數是“”，因此只需根據“拋物線”的開口方向和“直線”的變化趨勢

確定出兩個解析式中的符號，看兩者的符號是否一致即可判斷它們在同一坐標系中的圖象情況，而這與“b”的取值

無關.

7、C

【解析】

求出正六邊形和陰影部分的面積即可解決問題；

【詳解】

解：正六邊形的面積=6x1x(2a)2=6^a2,

4

陰影部分的面積=a-2瓜=26a2，

二空白部分與陰影部分面積之比是=66a2：2j^a2=3：1，

故選C.

【點睛】

本題考查正多邊形的性質、平移變換等知識，解題的關鍵是理解題意，靈活運用所學知識解決問題，屬于中考常考題

型.

8、D

【解析】

分析：先解第一個不等式得到x>3,由于不等式組的解集為x>3,則利用同大取大可得到a的范圍.

詳解：解不等式2(x-1)>4,得：x>3,

解不等式a-xVO,得：x>a,

?.?不等式組的解集為x>3,

/.a<3,

故選D.

點睛：本題考查了解一元一次不等式組：解一元一次不等式組時，一般先求出其中各不等式的解集，再求出這些解集

的公共部分，利用數軸可以直觀地表示不等式組的解集.解集的規律：同大取大；同小取小；大小小大中間找；大大

小小找不到.

9、C

【解析】

解：A.外角為120。，則相鄰的內角為60。，根據有一個角為60。的等腰三角形是等邊三角形可以判斷，故A選項正

確；

B.等邊三角形有3條對稱軸，故B選項正確；

C.當兩個三角形中兩邊及一角對應相等時，其中如果角是這兩邊的夾角時，可用SAS來判定兩個三角形全等，如果

角是其中一邊的對角時，則可不能判定這兩個三角形全等，故此選項錯誤；

D.利用SSS.可以判定三角形全等.故D選項正確；

故選C.

10、A

【解析】

根據解一元一次不等式基本步驟：去分母、去括號、移項、合并同類項、系數化為1可得不等式解集，然后得出在數

軸上表示不等式的解集.2(l-x)<4

去括號得：2-2x<4

移項得:2x>-2,

系數化為1得：x>-l,

故選A.

“點睛”本題主要考查解一元一次不等式的基本能力，嚴格遵循解不等式的基本步驟是關鍵，尤其需要注意不等式兩邊

都乘以或除以同一個負數不等號方向要改變.

二、填空題(共7小題，每小題3分，滿分21分)

11>(-1,2)

【解析】

因為線段AB是定值，故拋物線上的點到直線的距離最短，則面積最小，平移直線與拋物線的切點即為P點，然后求

得平移后的直線，聯立方程，解方程即可.

【詳解】

因為線段AB是定值，故拋物線上的點到直線的距離最短，則面積最小，

若直線向上平移與拋物線相切，切點即為P點，

設平移后的直線為y=-x-2+b,

?.?直線y=-x-2+b與拋物線y=x2+x+2相切，

/.x2+x+2=-x-2+b,即x2+2x+4-b=0,

則A=4-4(4-b)=0,

二平移后的直線為y=-x+L

y=-x+l

解[y"+x+2得

；.P點坐標為(-1,2),

故答案為(-1,2).

【點睛】

本題主要考查了二次函數圖象上點的坐標特征，三角形的面積以及解方程等，理解直線向上平移與拋物線相切，切點

即為P點是解題的關鍵.

12、1

【解析】

分析：根據題意得出點B的坐標，根據面積平分得出點D的坐標，利用三角形相似可得點A的坐標，從而求出k的

值.

詳解：根據一次函數可得：點B的坐標為(1,0),；BD平分△ABC的面積，BC=3

，點D的橫坐標1.5,.,.點D的坐標為gl,VDE：AB=1：1,

.?.點A的坐標為(1,1),.,.k=lxl=l.

點睛：本題主要考查的是反比例函數的性質以及三角形相似的應用，屬于中等難度的題型.得出點D的坐標是解決這

個問題的關鍵.

13、2

【解析】

根據定義即可求出答案.

【詳解】

由題意可知:原式=1早=1-(-1)=2

故答案為2

【點睛】

本題考查新定義型運算，解題的關鍵是正確理解新定義.

14、向南走南km

【解析】

分析：與北相反的方向是南，由題意，負數表示向北走，則正數就表示向南走，據此得出結論.

詳解：向北走5km記作-5km,

二+10km表示向南走10km.

故答案是：向南走10km.

點睛：本題考查對相反意義量的認識：在一對具有相反意義的量中，先規定一個為正數，則另一個就要用負數表示.

15、y=3x-l

【解析】

???y=3x+l的圖象沿y軸向下平移2個單位長度，

，平移后所得圖象對應的函數關系式為：y=3x+l-2,即y=3x-L

故答案為y=3x-1.

16、(2n,1)

【解析】

試題分析：根據圖形分別求出n=l、2、3時對應的點A,n+i的坐標，然后根據變化規律寫出即可：

由圖可知，n=l時,4xl+l=5,點As(2,1),

n=2時,4x2+1=%點A9(4,1),

n=3時,4x3+1=13,點Ai3(6,1),

??點A4n+i(2n,1).

17、1

【解析】

根據中位數的概念求解即可.

【詳解】

這組數據按照從小到大的順序排列為:60,60,70,80,80,90,90,90,90,100,

..90+80

則中位數為：-------=1.

2

故答案為：1.

【點睛】

本題考查了中位數的概念：將一組數據按照從小到大(或從大到小)的順序排列，如果數據的個數是奇數，則處于中

間位置的數就是這組數據的中位數；如果這組數據的個數是偶數，則中間兩個數據的平均數就是這組數據的中位數.

三、解答題(共7小題，滿分69分)

18、(1)A,B兩種型號電風扇的銷售單價分別為250元/臺、210元/臺；(2)A種型號的電風扇最多能采購10臺；(3)在

⑵的條件下超市不能實現利潤為1400元的目標.

【解析】

(1)設A、B兩種型號電風扇的銷售單價分別為x元、y元，根據3臺A型號5臺B型號的電扇收入1800元，4臺A

型號10臺B型號的電扇收入3100元，列方程組求解；

(2)設采購A種型號電風扇a臺，則采購B種型號電風扇(30-a)臺，根據金額不多余5400元，列不等式求解；

(3)設利潤為1400元，列方程求出a的值為20,不符合(2)的條件，可知不能實現目標.

【詳解】

⑴設A,B兩種型號電風扇的銷售單價分別為x元/臺、y元/臺.

3x+5y=1800x=250

依題意，得〈解得4

[4x+10y=3100。=210

答：A,B兩種型號電風扇的銷售單價分別為250元/臺、210元/臺.

⑵設采購A種型號的電風扇a臺，則采購B種型號的電風扇(30—a)臺.

依題意，得200a+170(30-a)W5400,

解得a<10.

答：A種型號的電風扇最多能采購10臺.

(3)依題意，有(250—200)。+(210-170)(30—。)=1400,

解得a=20.

Va<10,

在⑵的條件下超市不能實現利潤為1400元的目標.

【點睛】

本題考查了二元一次方程組和一元一次不等式的應用，解答本題的關鍵是讀懂題意，設出未知數，找出合適的等量關

系和不等關系，列方程組和不等式求解.

19、-1.

【解析】

根據分式的加法和除法可以化簡題目中的式子，然后在-3、2、3中選擇一個使得原分式有意義的值代入化簡后的式

子即可解答本題.

【詳解】

土

tz—31—3J

(Q+2)(Q-2)〃-3+1

a—3a—3

(a+2)(a-2)a—3

ci—3a—2

=a+2,

當a=—3時，原式=—3+2=—1.

故答案為：-L

【點睛】

本題考查分式的化簡求值，解答本題的關鍵是明確分式化簡求值的方法.

20、(1)二月份冰箱每臺售價為4000元；(2)有五種購貨方案；(3)a的值為1.

【解析】

(1)設二月份冰箱每臺售價為x元，則一月份冰箱每臺售價為(x+500)元，根據數量=總價+單價結合賣出相同數量

的冰箱一月份的銷售額為9萬元而二月份的銷售額只有3萬元，即可得出關于x的分式方程，解之經檢驗后即可得出

結論；

(2)根據總價=單價x數量結合預計用不多于7.6萬元的資金購進這兩種家電共20臺，即可得出關于y的一元一次不

等式，解之即可得出y的取值范圍，結合yW2及y為正整數，即可得出各進貨方案；

(3)設總獲利為w,購進冰箱為m臺，洗衣機為(20-m)臺，根據總利潤=單臺利潤x購進數量，即可得出w關于

m的函數關系式，由w為定值即可求出a的值.

【詳解】

(1)設二月份冰箱每臺售價為X元，則一月份冰箱每臺售價為(X+500)元,

9000080000

根據題意，得:

x+500x

解得：x=4000,

經檢驗，x=4000是原方程的根.

答：二月份冰箱每臺售價為4000元.

(2)根據題意,得：3500y+4000(20-y)<76000,

解得：y>3,

?；yW2且y為整數，

；.y=3,9,10,11,2.

洗衣機的臺數為:2,11,10,9,3.

有五種購貨方案.

(3)設總獲利為w,購進冰箱為m臺，洗衣機為(20-m)臺，

根據題意，得：w=(4000-3500-a)m+(4400-4000)(20-m)=(1-a)m+3000,

V(2)中的各方案利潤相同，

?*.1-a=0,

a=l.

答：a的值為1.

【點睛】

本題考查了分式方程的應用以及一元一次不等式的應用，解題的關鍵是：(D找準等量關系，正確列出分式方程；(2)

根據各數量間的關系，正確列出一元一次不等式；(3)利用總利潤=單臺利潤x購進數量，找出w關于m的函數關系

式.

21、(1)證明見解析；(1)①16；②14；

【解析】

(1)根據平行四邊形的性質得到AD〃BC,AB=DC,AB〃CD于是得到BE=CF,根據全等三角形的性質得到NA=ND,

根據平行線的性質得到NA+ND=180。，由矩形的判定定理即可得到結論；

SEF]

(1)①根據相似三角形的性質得到三皿=(U>=X，求得△GBC的面積為18,于是得到四邊形BCFE的面積

為16;

②根據四邊形BCFE的面積為16,列方程得到BC?AB=14,即可得到結論.

【詳解】

(1)證明：；GB=GC,

/.ZGBC=ZGCB,

在平行四邊形ABCD中，

VAD//BC,AB=DC,AB〃CD,

/.GB-GE=GC-GF,

/.BE=CF,

在AABE^ADCF中，

AE=DF

<ZAEB=ZDFC,

BE=CF

/.△ABE^ADCF,

,*.ZA=ZD,

VAB/7CD,

.,.ZA+ZD=180°,

/.ZA=ZD=90°,

?*.四邊形ABCD是矩形；

(1)①；EF〃BC,

/.△GFE^AGBC,

1

VEF=-AD,

3

1

；.EF=—BC,

3

.S,GEF_(EFy=

，,二一~BC~9)

VAGEF的面積為1,

/.△GBC的面積為18,

二四邊形BCFE的面積為16,；

②,:四邊形BCFE的面積為16,

1、14

A-(zEF+BC)?AB=-x-BC?AB=16,

223

.,.BC?AB=14,

二四邊形ABCD的面積為14,

故答案為：14.

【點睛】

本題考查了相似三角形的判定和性質，矩形的判定和性質，圖形面積的計算，全等三角形的判定和性質，證得

AGFE^AGBC是解題的關鍵.

22、（1）45,應1,修卓兀；（2）滿足條件的NQQoD為45。或135。；（3）BP的長為名或至；（4）述WCQW7.

7752510

【解析】

⑴由已知，可知△APQ為等腰直角三角形，可得NPAB,再利用三角形相似可得PA,及弧AQ的長度；

⑵分點Q在BD上方和下方的情況討論求解即可.

⑶分別討論點Q在BD上方和下方的情況，利用切線性質，在由（2）用BP。表示BP,由射影定理計算即可；

（4）由⑵可知，點Q在過點Q。，且與BD夾角為45。的線段EF上運動，有圖形可知，當點Q運動到點E時，CQ最長

為7,再由垂線段最短，應用面積法求CQ最小值.

【詳解】

解：（1）如圖，過點P做PELAD于點E

由已知，AP=PQ,ZAPQ=90°

.?.△APQ為等腰直角三角形

.\ZPAQ=ZPAB=45°

設PE=x,貝！］AE=x,DE=4-x

VPE/7AB

/.△DEP^ADAB

.DE_PE

"AB

.4-x_x

??—■

43

解得x=T

?\PA=72PE=^^

7

二弧AQ的長為-.2n.吆旦=修且心

477

故答案為45,應1,也3r.

77

(2)如圖，過點Q做QFLBD于點F

B-----------------C

由NAPQ=90。，

:.ZAPPo+ZQPD=9O°

VZPoAP+ZAPPo=9O°

AZQPD=ZPoAP

VAP=PQ

AAAPPo^APQF

/.APo=PF,PoP=QF

VAPo=PoQo

???QoD=PoP

???QF=FQo

/.ZQQoD=45°.

當點Q在BD的右下方時，同理可得NPQoQ=45。,

此時NQQoD=135。，

a

k---------m

綜上所述，滿足條件的NQQoD為45。或135。.

2

(3)如圖當點Q直線BD上方，當以點Q為圓心，§BP為半徑的圓與直線BD相切時

2

過點Q做QFLBD于點F,貝lQF=wBP

1

.,.BPo=-BP

3

；AB=3,AD=4

/.BD=5

VAABPo^ADBA

2

.,.AB=BP0?BD

1

/.9=-BPx5

3

同理，當點Q位于BD下方時，可求得BP=去

2727

故BP的長為”或丁

525

則如圖，點Q在過點Qo,且與BD夾角為45。的線段EF上運動,

當點P與點B重合時，點Q與點F重合，此時，CF=4-3=1

當點P與點D重合時，點Q與點E重合，此時，CE=4+3=7

?*-EF=VCF2+CE2=Vl2+72=5V2

過點C做CHLEF于點H

由面積法可知

FC*ECI?7A/2

CH=--------

EF

.?.CQ的取值范圍為：2^1<CQ<7

10

【點睛】

本題是幾何綜合題，考查了三角形全等、勾股定理、切線性質以及三角形相似的相關知識，應用了分類討論和數形結

合的數學思想.

23、（1）①3,1；②最小值為3；（1）2--

2

【解析】

（1）①根據點Q與點P之間的“直距”的定義計算即可；

②如圖3中，由題意，當Deo為定值時，點C的軌跡是以點O為中心的正方形（如左邊圖），當Dco=3時，該正方

形的一邊與直線y=-x+3重合（如右邊圖），此時Deo定值最小，最小值為3；

（1）如圖4中，平移直線y=lx+4,當平移后的直線與。O在左邊相切時，設切點為E,作EF〃x軸交直線y=lx

+4于F,此時DEF定值最小；

觀察圖象可知DAO=1+1=3,DBO=1,

故答案為3,1.

②（i）當點C在第一象限時（0<x<3）,根據題意可知，