廣東省廣州市重點(diǎn)中學(xué)2023-2024學(xué)年高二上學(xué)期數(shù)學(xué)10月月考試卷

閱卷入

一、單選題（本大題共8小題，共40.0分。在每小題列出的選項(xiàng)中，選出

得分符合題目的一項(xiàng)）

1.直線V3x+y-2=0的傾斜角為（）

A.30°B.150°C.120°D.60°

2.已知向量五二（一3,2,5）,石=（1,x,一1）,且213，貝卜的值為（)

A.3B.1C.4D.2

3.如果AC<0且BC<0,那么直線Ax+By+C=0不通過（）

A.第一象限B.第二象限C.第三象限D(zhuǎn).第四象限

4.已知向量為=(一1,2,1),3=(3,x,y),且五〃本那么實(shí)數(shù)％+y等于()

A.3B.-3C.9D.-9

5.點(diǎn)。為空間任意一點(diǎn)，若麗=尚65+看南+看沆，則4B,C,P四點(diǎn)（）

4oo

A.一定不共面B.一定共面C.不一定共面D.無法判斷

6.已知A/BC的三邊上高的長度比分別為1：V2：2,若△ABC的最短邊與最長邊的長度和為6,則4

4BC面積為（）

A.2V2B.V7C.V6D.2

7.已知三棱錐。—ABC中，OA1.OB,OB1OC,OC1OA,且。A=1,OB=2,OC=2,則點(diǎn)4到直

線BC的距離為（）

A.V2B.V3C.V5D.3

8.如圖，在棱長為1的正方體ABC。—中，點(diǎn)E在上，點(diǎn)F在CB］上，則EF的最小值為

)

A.1B.苧D.1

2

閱卷人二、多選題（本大題共4小題，共20.0分。在每小題有多項(xiàng)符合題目要

得分求）

9.已知他，b,宵是空間的一組基，下列向量中，可以與2日-3,匯+3構(gòu)成空間的一組基的向量是

（）

A.2dB.—bC.cD.a+c

10.在下列四個(gè)命題中，錯(cuò)誤的有（）

A.坐標(biāo)平面內(nèi)的任何一條直線均有傾斜角和斜率

B.直線的傾斜角的取值范圍是［0,7T）

C.若一條直線的斜率為tana,則此直線的傾斜角為a

D.若一條直線的傾斜角為a,則此直線的斜率為tana

11.下列命題中，正確的是（）

A.在△力BC中，A>B,貝UsinA>sinB

B.在銳角△ABC中，不等式sinA>cosB恒成立

C.在△ABC中，若acosA=bcosB,則△ABC必是等腰直角三角形

D.在AABC中，若5=60。，b2=ac,則AABC必是等邊三角形

12.如圖，在正方體ABCD—AiBiGDi中，441=應(yīng)，P為線段上的動(dòng)點(diǎn)，則下列說法正確的是

B.CP〃平面也

C.三棱錐P-AC%的體積為定值或D.&P+PC的最小值為b+1

閱卷人

—三、填空題（本大題共4小題，共20.0分）

得分

13.已知五=（1,2,1）,b=（1,0,0）,貝皈在B方向上的投影向量為

14.直線加久+y—m—1=0恒過定點(diǎn)

15.函數(shù)y=As譏（3%+力）（力>0,0<w（兀）在一個(gè)周期內(nèi)的圖象如圖，此函數(shù)的解析式

為

16?點(diǎn)M、N分別是正四面體4BCD棱BC、4。的中點(diǎn)，則cos〈前，而〉=.

閱卷人

四、解答題（本大題共6小題，共70.0分。解答應(yīng)寫出文字說明，證明過

得分程或演算步驟）

17.已知平面向量方,b滿足同=4,網(wǎng)=3,a-b=6-

（1）求百與萬的夾角；

（2）求閩-4畝.

18.已知｛工b,現(xiàn)是空間的一個(gè)基底，且旃=2五+另一30A=3a+3b，OB=2a+4b+2c，OC=

—a+2b+3c-

（1）求證：M,A,B,C四點(diǎn)共面；

（2）（OA,OB.OC｝能否作為空間的一個(gè)基底？若能，試用這一基底表示麗；若不能，請(qǐng)說明理

由.

19.在△ABC中，角4B,C的對(duì)邊分別是a,b,c,且2bcosC=2a+c.

（1）求角B的大小；

（2）若b=2有,。為AC的中點(diǎn)，且BD=1,求AABC的面積.

20.已知在多面體4BCDE中，DE"AB,AC1BC,BC=2AC=4,AB=2DE,DA=DC且平面1

平面ABC.

（1）設(shè)點(diǎn)F為線段BC的中點(diǎn)，試證明平面ABC；

（2）若直線BE與平面4BC所成的角為60。，求二面角B-4。-C的余弦值.

21.已知直線I過定點(diǎn)4（2,1）.

（1）若直線I與直線x+2y—5=0垂直，求直線I的方程；

（2）若直線I在兩坐標(biāo)軸上的截距相等，求直線I的方程.

22.如圖，P為圓錐的頂點(diǎn)，。是圓錐底面的圓心，AC為底面直徑，△ABD為底面圓。的內(nèi)接正三角形,

且邊長為百，點(diǎn)E在母線PC上，且AE=8，CE=1.

（1）求證：直線P。〃平面BDE；

（2）求證：平面BED1平面4BD；

（3）若點(diǎn)M為線段P。上的動(dòng)點(diǎn)，當(dāng)直線DM與平面ZBE所成角的正弦值最大時(shí)，求此時(shí)點(diǎn)M到平面

4BE的距離.

答案解析部分

L【答案】C

【知識(shí)點(diǎn)】直線的圖象特征與傾斜角、斜率的關(guān)系

【解析】【解答】設(shè)直線V3x+y-2=0的傾斜角是3,0°<6<180°.

直線V3x+y-2=0化為y=-V3%+2,：-tand=-V3,0=120°.

故答案為：C.

【分析】由直線方程求出直線的斜率，再利用傾斜角的正切值等于斜率即可求得.

2.【答案】C

【知識(shí)點(diǎn)】向量的數(shù)量積判斷向量的共線與垂直

【解析】【解答】解：因?yàn)檎?m所以一3x1+2久+5x(―1)=0,%=4

故答案為：C.

【分析】由空間向量垂直的坐標(biāo)運(yùn)算得之1力今的久2+為當(dāng)+2逐2=0，即可求解。

3.【答案】C

【知識(shí)點(diǎn)】直線的一般式方程

【解析】【分析】因?yàn)锳CC0且BC<0,所以直線Ax+By+C=0的斜率-=<0,縱截距三>0,所以

直線Ax+By+C=0不通過第三象限，故選C。

【點(diǎn)評(píng)】利用已知條件確定斜率-d<0,縱截距-L>0。

BB

4.【答案】D

【知識(shí)點(diǎn)】向量的數(shù)量積判斷向量的共線與垂直

【解析】【解答】解：因?yàn)樽浴ú唬哉?]=％=—6,y--3,x+y=—9.

故答案為：D.

,->

【分析】由空間向量共線的坐標(biāo)運(yùn)算知力分=久1=4久2,%=均2,Z1=他2,將向量坐標(biāo)代入公式即

可求解。

5.【答案】B

【知識(shí)點(diǎn)】空間向量基本定理；共面向量定理

【解析】【解答】解：因?yàn)辄c(diǎn)。為空間任意一點(diǎn)，OP=l~OA+^OB+^OC,^+^+1=1,所以由共面

4oo4100

向量基本定理得A,B,C,P四點(diǎn)一定共面。

故答案為：B.

【分析】P與A，B,c一定共面的充要條件是=+y而+z6E久+y+z=L

6.【答案】B

【知識(shí)點(diǎn)】同角三角函數(shù)間的基本關(guān)系；余弦定理的應(yīng)用；三角形中的幾何計(jì)算

【解析】【解答】解：由題意，設(shè)AABC的三邊a,b,c上的高的長度分別為t,V2t,23由三角形的面

積公式可得：i(zt=-V2t=1-c-2t,所以a=或人=2c,所以c為最小邊，a為最大邊，所以

&2+廬-216+8-45直

a+c=6,解得a=4,b=2A/2,c=2,所以cosC=

-—-2x4x272一丁

所以48c=；absinC=V7

故答案為：B.

【分析】先由三角形三邊上高的比推出三邊的關(guān)系，并根據(jù)最短邊與最長邊的和求出三邊的長，再根據(jù)

余弦定理和平方關(guān)系求出sinC,最后代入三角形面積公式S“BC=；absinC即可求解。

7.【答案】B

【知識(shí)點(diǎn)】棱錐的結(jié)構(gòu)特征；棱柱、棱錐、棱臺(tái)的體積

【解析】【解答】解：由已知得，AC=AB=V5,BC=2V2,所以點(diǎn)4到直線BC的距離為

J(V5)2-(V2)2=V3

故答案為：B.

【分析】由已知得三角形ABC是腰長為遮，底邊長為2金的等腰三角形，結(jié)合勾股定理即可求解。

8.【答案】C

【知識(shí)點(diǎn)】棱柱、棱錐、棱臺(tái)的體積；直線與平面平行的性質(zhì)；直線與平面垂直的判定

【解析】【解答】解：當(dāng)EFIBiC,且EF1BD時(shí)，EF最短。連接當(dāng)小，CD〉貝伯山"＞。，EF1

BD,：■EF1BrDx,又BQClBiC=B,所以EF1平面殳。傳。

由于BD〃平面Bi/C,EeBD,所以EF等于點(diǎn)B到平面名。道的距離，設(shè)B到平面/小。的距離為八,

則VB-B]DIC=，即斗XJX1X1X1=2X卓X(魚)2X八，h=故EF的最小值為坐.

3Z34v733

故答案為：C.

【分析】先確定EF取得最小值時(shí)的位置，連接CD1，由可BD〃平面/%(7,再根據(jù)

EF1平面殳。修，將EF的值轉(zhuǎn)化為點(diǎn)B到平面a0停的距離，最后根據(jù)等體積法，即可求解。

9.【答案】C,D

【知識(shí)點(diǎn)】空間向量基本定理；共面向量定理

【解析】【解答】解：對(duì)于A：因?yàn)?2a—b)+(a+b)=3a,所以*與必-b,3+b是共面向量，不能

構(gòu)成空間的一組基底；

對(duì)于B：(2a-b)-2(a+b)=-3b,所以一b與2日一b,日+b是共面向量，不能構(gòu)成空間的一組基

底；

對(duì)于C、D：因?yàn)楣づc暖和力不共面，所以"與*一b,a+b^展+"與*-b,孟+b可構(gòu)成空間的一個(gè)基

底。

故答案為：C,D.

【分析】由空間向量共面定理即可求解。

10.【答案】A,C,D

【知識(shí)點(diǎn)】直線的斜率；直線的圖象特征與傾斜角、斜率的關(guān)系

【解析】【解答】對(duì)于A,當(dāng)直線與%軸垂直時(shí)，直線的傾斜角為90°，斜率不存在，A不符合題意

對(duì)于B,直線傾斜角的取值范圍是［0,兀)，B符合題意

對(duì)于C,一條直線的斜率為tana,此直線的傾斜角不一定為a,

如、=久的斜率為tan苧，它的傾斜角為J,C不符合題意

對(duì)于D,一條直線的傾斜角為a時(shí)，它的斜率為tana或不存在，D不符合題意

故答案為：ACD

【分析】A中，直線與%軸垂直時(shí)，直線的傾斜角為90°,斜率不存在

B中，直線傾斜角的取值范圍是［0,兀)

C中，直線的斜率為tana時(shí)，它的傾斜角不一定為a

D中，直線的傾斜角為a時(shí)，它的斜率為tana或不存在

11.【答案】A,B,D

【知識(shí)點(diǎn)】正弦定理的應(yīng)用；余弦定理的應(yīng)用；三角形中的幾何計(jì)算；三角形的形狀判斷

【解析】【解答】解：對(duì)于A,在△ABC中，由正弦定理可得二=&,所以A>Boa>bosinA>

smAsinB

sinB/故A正確；

對(duì)于B,在銳角△ABC中，A,BE(0,梟，且4+B>3，則0<￡—8<4<￡所以sinA>

TT

sin(改一B)=cosB,故B正確；

對(duì)于C,在△力3C中，由acosA=bcosB,利用正弦定理可得sin24=sin23,得到2A=2B或24=n—

2B,故A=B或/=B,即△ABC是等腰三角形或直角三角形；

對(duì)于D,由余弦定理得必=a?+c?—2accosB,所以ac=a?+c?-ac,HP(a—c)2=0,a=c,又3=

60°,所以AZBC必是等邊三角形。

故答案為：A,B,D.

【分析】本題考查正余弦定理與誘導(dǎo)公式。選項(xiàng)A,應(yīng)用正弦定理由角的大小得到對(duì)應(yīng)邊的大小；選項(xiàng)

B,由已知得到角的范圍，再結(jié)合誘導(dǎo)公式即可求解；選項(xiàng)C,應(yīng)用正弦定理和正弦的二倍角公式即可求

解；選項(xiàng)D,已知結(jié)合余弦定理即可求解。

12.【答案】A,B,D

【知識(shí)點(diǎn)】棱柱、棱錐、棱臺(tái)的體積；直線與平面平行的判定；直線與平面平行的性質(zhì)；直線與平面垂直的判

定

【解析】【解答】解：對(duì)于A,在正方體ABCD—4/165中，8山1平面因?yàn)?Pu平面

&BG，所以BW1A1P,故A正確；

對(duì)于B,易知平面BCi。〃平面人名。1，DPu平面BQ。，所以DP〃平面4B14，故B正確；

對(duì)于C,因?yàn)锽CJ/ADi，A%u平面力CD〉所以〃平面2CD0所以點(diǎn)P到平面AC%的距離等于點(diǎn)B

到平面ACDi的距圖，VB-AD[C=VD「ABC=%乂三乂&X五X正=辱，故C錯(cuò)誤；

對(duì)于D,將ABCCi沿BG翻折，使C到C’的位置，且A1，B,C,的四點(diǎn)共面，連接&C,交BQ于點(diǎn)D,

此時(shí)ArD,C,三點(diǎn)共線，則&P+CP的最小距離即為&C,的長度，因?yàn)閆C1BL=ZC1BC=

45°,乙4鳳1=60°,^ArBC=105°,且=2,BC=V2,在中,由余弦定理得：(ArC^=

(4B)2+(BC,?-24B?BC-cosN&BC,=4+2b=(8+1『，所以4,=g+1,故D正確。

故答案為：A,B,D.

【分析】本題綜合考查幾何體中線與線，線與面的平行、垂直問題，以及錐體的體積、線段的最值問

題。

對(duì)于選項(xiàng)A,由正方體可知Bi。1平面&BC1，從而得證；

對(duì)于選項(xiàng)B,根據(jù)面面平行的性質(zhì)定理即平面BCi。〃平面OPu平面BGD,即可得證；

對(duì)于C,由于BQ〃平面所以點(diǎn)P到平面ACa的距離等于點(diǎn)B到平面AC。1的距離，再利用等體

積法即可求解；

對(duì)于D,通過將ABCQ沿BQ翻折，使C到c'的位置，得到D,C’三點(diǎn)共線，貝必止+”的最小距離

即為&C'的長度，再利用余弦定理即可求解。

13.【答案】b=（1,0,0）

【知識(shí)點(diǎn)】空間向量的投影向量

【解析】【解答】由于|山=1，故五在石方向上的投影向量為@cos@b）b==b=（1,0,0）,

網(wǎng)

故答案為:1=（1,0,0）

【分析】利用已知條件結(jié)合數(shù)量積求出五在石方向上的投影向量。

14.【答案】（1,1）

【知識(shí)點(diǎn)】恒過定點(diǎn)的直線

【解析】【解答】解：直線+y-TH-1=0,即（X-l）m+y-1=0,因?yàn)楹氵^定點(diǎn)，所以％-1=

0,即x=1,y=1.

故答案為：（1,1）.

【分析】直線恒過定點(diǎn)，則所含參數(shù)的系數(shù)為零，進(jìn)而解出久，y的值。

15.【答案】y=2sin（2x+

【知識(shí)點(diǎn)】由y=Asin（CDX+巾）的部分圖象確定其解析式

【解析】【解答】解：由圖像知A=2,T=2X[居—（—=n,3=罕=2,由五點(diǎn)作圖法得，2X

T）+T，P年所以此函數(shù)的解析式為y=2sin（2x+咨）.

故答案為：y=2sin（2久+等）.

【分析】本題考查函數(shù)y=AsinQ）久+R）圖像與解析式。由圖像最高點(diǎn)的縱坐標(biāo)可知A的值，相鄰最高

點(diǎn)與最低點(diǎn)之間的距離是半個(gè)周期可求出3,最后利用五點(diǎn)作圖法求出0。

16.【答案】—|

【知識(shí)點(diǎn)】平面向量的數(shù)量積運(yùn)算；數(shù)量積表示兩個(gè)向量的夾角

【解析】【解答】解：設(shè)正四面體的邊長為a,貝IJ京=CN=孚，AM=+CN=AN-

AC=^AD-AC,所以AM-CN=^（AB+ACJ-^AD-AC）=^AB?AD-^AB-AC+^AC-AD-

[T2[

2AC=-2a2,

/二、AM-CN一個(gè)

所以cos<4M，CN>=?tl?=

AMCN4a

故答案為：-

【分析】以｛ZB,AC,AD｝為基底表示薪，質(zhì),再根據(jù)四面體ABCD是正四面體即可求解。

".【答案】（1）解：設(shè)五與石的夾角為6,

因?yàn)閨叫=4,|山=3，五?另=6，

所以as"就T接另'

又0<6<兀，

所以"界

即方與石的夾角為j；

(2)解：由題意得，|3a—4b|=J(3a—4b)2=V9a2—24a-b+16b2=

V9X16-24X6+16X9=12

【知識(shí)點(diǎn)】向量的模；平面向量的數(shù)量積運(yùn)算；數(shù)量積表示兩個(gè)向量的夾角

【解析】【分析】本題考查向量的夾角與模的運(yùn)算。

TT

-1、a?b

（1）將已知代入向量夾角的余弦公式cos<a，b>=不可，即可求解；

I叩|

⑵向量同=才，所以內(nèi)—同=,儂—4可，結(jié)合已知與⑴即可求解。'

18.【答案】（1）解：由荏=礪一反=一五+石+23，AC=~0C-~0A=-4a-b+3c，

而前=麗一示=一五一2加一N，則AM=-14B+|ZC,

所以M,A,B,C四點(diǎn)共面；

（2）解：若瓦麗，坑共面，則設(shè)0A=mOB+nOC,

即3/+=m(2d+4b+2c)+n(—a+2b+3c)，

所以34+3另=(2m—n)a+(4m+2n)b+(2m+3n)c，

2m—n=3

則4m+2n=3，

2m+3n=0

可得83，

ln=-4

即市=loB-^OC，

o4

即~0A,赤，OC共面，

故｛U2,OB,OC｝不能作為基底.

【知識(shí)點(diǎn)】空間向量基本定理；共面向量定理

【解析】【分析】⑴由已知得到向量族，AC,AM,再根據(jù)AM^-IAB+IAC,即可證明四點(diǎn)共面；

⑵假設(shè)OA,OB,0C共面，設(shè)0A=mOB+nOC解得0A=foB-^OC，則說明茄，后共

面，故｛萬?，OB,~0C｝不能作為基底.

19.【答案】（1）解：由余弦定理及2bcosC=2a+c得，2b?公屋二及=2a+c，

2ab

整理得，a2+c2—b2=—ac，

a2+c2—b2—ac

由余弦定理知，cosB=1

2ac2ac~2

_2TT

因?yàn)锽e（0,兀），所以B

二T

(2)解：因?yàn)椤閦c的中點(diǎn),

所以麗=3(瓦？+前)，

所以BO2=1(BA+2BA-~BC+B?2)=|[c2+2ac-(-+a2]=1

所以a2+c2—ac=4①，

由(1)知，a2+c2—b2=—ac，

因?yàn)閎=2V3，

所以a2+c2+ac=b2=12②，

②—①得，2ac—8,BPac=4,

所以△ABC的面積s=^acsinZ-ABC=x4x字=V3?

【知識(shí)點(diǎn)】向量在幾何中的應(yīng)用；解三角形；余弦定理的應(yīng)用

【解析】【分析】（1）由已知結(jié)合余弦定理可得cos3=-再根據(jù)角B的范圍，即可求得角B的值;

（2）根據(jù)向量的加法法則可得麗=3（瓦5+前）,平方得a2+c2-ac=4（1）,再結(jié)合（1）求得b=

2V3,所以a2+c2+ac=b2=12（2），②一①得，2ac=8,即ac=4,最后代入三角形面積公

式S=^acsin^ABC^^^o

20.【答案】(1)證明：取AC的中點(diǎn)。，連接EF,OF,

由在△D4C中=,所以DOLAC,

由平面DAC1平面ABC,且交線為AC,得DO，平面ABC,

因?yàn)镺F"AB，且AB=2OF,

又DE//AB,AB=2DE,所以O(shè)F“DE,且OF=DE,

四邊形DEFO為平行四邊形，EF//DO,

EF1平面ABC；

(2)解：由0。1平面ABC,ACVBC,

以。為原點(diǎn)，。4所在直線為%軸，過點(diǎn)。與BC平行的直線為y軸，0D所在直線為z軸,

建立空間直角坐標(biāo)系，如圖，

貝I」4(1,0,0),C(-l,0,0),8(—1,4,0),

由EF1平面ABC,所以直線BE與平面ABC所成的角為乙EBF=60°,

所以DO=EF=BFtan60°=2V3，D(0,0,2百)，

取平面ADC的法向量布=(0,1,0),

設(shè)平面ADB的法向量元=(久，y,z),荏=(一2,4,0),AD=(-1,0,2百)，

由產(chǎn)學(xué)=。，得｛-2：：普=；,故元=Q遮,V3,1),

(71-AD-0(—%+2v3z=0

'/1-V12+3+14

故二面角B-AD-C的余弦值為3.

【知識(shí)點(diǎn)】直線與平面垂直的判定；用空間向量研究二面角

【解析】【分析】(1)利用已知條件結(jié)合等腰三角形三線合一，進(jìn)而證出線線垂直，再結(jié)合面面垂直的性

質(zhì)定理和線面垂直的定義證出線線垂直，再利用線線垂直和線面垂直的判定定理，進(jìn)而證出EF1平面

ABC.

(2)由線面垂直的定義證出線線垂直，從而建立空間直角坐標(biāo)系，進(jìn)而得出點(diǎn)的坐標(biāo)和向量坐標(biāo)，再利

用數(shù)量積為。兩向量垂直的等價(jià)關(guān)系，從而得出平面的法向量，再由數(shù)量積求向量夾角公式得出二面角

B—AD—。的余弦值。

21.【答案】(1)解：因?yàn)橹本€%+2y-5=0的斜率為—上,直線I與直線x+2y-5=0垂直,

，直線I的斜率為2,

又直線I經(jīng)過點(diǎn)4(2,1),

二?直線I的方程為y—1=2(%—2),即2x—y—3=0；

(2)解：當(dāng)直線I過原點(diǎn)時(shí)，設(shè)直線I的方程為y=kx,

??,直線I過定點(diǎn)4(2,1),Al=2k,BP1;

，直線I方程為y=，即％—2y=0；

當(dāng)直線不過原點(diǎn)時(shí)，設(shè)直線I的方程為W+W=l，即x+y=a,

?直線I過定點(diǎn)4(2,1),；.a=1+2=3,

直線I方程為x+y=3,即%+y—3=0,

綜上，直線I方程為x—2y-0或x+y—3=0.

【知識(shí)點(diǎn)】直線的截距式方程；直線的一般式方程與直線的垂直關(guān)系

【解析】【分析】(1)根據(jù)垂直關(guān)系，先確定直線1的斜率，再由直線的點(diǎn)斜式方程，即可求出結(jié)果;

(2)討論直線/過原點(diǎn)和不過原點(diǎn)兩種情況，根據(jù)題中條件，設(shè)出對(duì)應(yīng)的方程，即可求出結(jié)果。

22.【答案】(1)證明：如圖所示，設(shè)AC與BD交于點(diǎn)F,連接EF,貝！IP01BD,

EC,POc平面AEC,

由線面垂直的判斷定理可得BD1平面AEC,

又EFu平面AEC,EF1BD,

△ABD是底面圓的內(nèi)接正三角形，貝！|AD=小)，AF=AC=2,

又4E=遮，CE=1,貝ljAC?=AE2+CE2,由勾股定理可得^AEC=90°,

縹=算=字,.-.AACEshACE,

^1C<ILCJ/

^AFE=^AEC=90°,BPEF1AC,

又EF,PO,ACc平面PAC,EFIIPO,

EFu平面BDE,POC平面BDE,

???直線PO//平面BDE；

(2)證明：vPO1平面ABD,EFI/PO,

???EF1平面ABD,

又EFu平面BED,平面BED1平面ABD.

(3)解：易知PO=2EF=V3,

以點(diǎn)F為坐標(biāo)原點(diǎn)，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系F-xyz,

則播，0,0),5(0,晅，0)，0(0,—卓，0)，E(0,0,

乙NN

P8,0,V3),O8,0,0),

AB—(―&,0),AE-(―9，0,>

麗=&,苧，0)，而=(0,o,V3),

設(shè)平面ABE的法向量為n=(%,y,z)，

則,?竺=—^+y=°,據(jù)此可得元=(L遮，,

l.n-AE=-V3x+z=0

設(shè)而=ZOP(0<A<1)，

則麗=前+麗=&,字，V3/L)，

設(shè)直線DM與平面ABE所成的角為6,

則sin9=紅幽|34+2|

則\n\-\DM\V7xj3A2+l

12x+l

令y=xC[0,1]

3X2+1

12%+144

=4

則、=歷=49--49

,1.144_1（計(jì)協(xié)（畀）T

%十12十—I62

x+直JX+T2

當(dāng)且僅當(dāng)％吉時(shí)，等號(hào)成立，

即當(dāng)％時(shí)，丫=黑!有最大值4,

2

于是當(dāng)4=看時(shí)，s譏2。=94+產(chǎn)+4有最大值為1,

27（3乃+1）

??.sinO的最大值為1,

故直線DM與平面ABE所成角的正弦值的最大值為1.

此時(shí)點(diǎn)0,易，.?.加=（1,0,-好），

所以點(diǎn)M到平面ABE的距離d=^2*=g，

\n\14

故當(dāng)直線DM與平面ABE所成角的正弦值最大時(shí)，點(diǎn)M到平面ABE的距離為春.

【知識(shí)點(diǎn)】基本不等式在最值問題中的應(yīng)用；直線與平面平行的判定；直線與平面垂直的判定；平面與平面垂

直的判定；用空間向量研究直線與平面所成的角

【解析】【分析】（1）設(shè)AC與BD交于點(diǎn)F,連接EF,根據(jù)線面垂直的判定定理得BD1平面

AECEF1BD,再根據(jù)△48。是底面圓的內(nèi)接正三角形，推出&ACEsaACE,得出EFVAC,所

以EF〃P。，直線PO//平面BDE；

⑵由（1）易證EF1平面ABD,又EFu平面BED,從而得證；

（3）以點(diǎn)F為坐標(biāo)原點(diǎn)，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系F-xyz,并求出平面ABE的法向量，設(shè)

OM=AOP（0<2<1）,貝I」麗=前+麗=8，苧，例），從而得到直線DM與平面ABE所成角

.?\n-DM\|3A+2|1

的正弦值sind=氤扁=,平方運(yùn)用基本不等式，求得當(dāng)"上時(shí)，sin2d=

V7X-J3A+1

2->T

“+產(chǎn)+4有最大值為1,即可得出點(diǎn)M的坐標(biāo)與向量忌的坐標(biāo)，代入公式&=嗎四即可得

7（3鏟+1）\n\

解。

試題分析部分

1、試卷總體分布分析

總分:150分

客觀題（占比）60.0(40.0%)

分值分布

主觀題（占比）90.0(60.0%)

客觀題（占比）12(54.5%)

題量分布

主觀題（占比）10(45.5%)

2、試卷題量分布分析

大題題型題目量（占比）分值（占比）

解答題（本大題共6

小題，共70.0分。

解答應(yīng)寫出文字說6(27.3%)70.0(46.7%)

明，證明過程或演算

步驟）

填空題（本大題共4

4(18.2%)20.0(13.3%)

小題，共20.0分）

單選題（本大題共8

小題，共40.0分。

在每小題列出的選項(xiàng)8(36.4%)40.0(26.7%)

中，選出符合題目的

一項(xiàng)）

多選題（本大題共4

小題，共20.0分。

4(18.2%)20.0(13.3%)

在每小題有多項(xiàng)符合

題目要求）

3、試卷難度結(jié)構(gòu)分析

序號(hào)難易度占比

1普通(50.0%)

2容易(31.8%)

3困難(18.2%)

4、試卷知識(shí)點(diǎn)分析

序號(hào)知識(shí)點(diǎn)（認(rèn)知水平）分值（占比）對(duì)應(yīng)題號(hào)

1直線的一般式方程5.0(3.3%)3

2空間向量基本定理22.0(14.7%)5,9,18

3用空間向量研究二面角12.0(8.0%)20

4空間向量的投影向量5.0(3.3%)13

5平面與平面垂直的判定12.0(8.