2024屆高考新題型2月指導(dǎo)卷

數(shù)學(xué)

注意事項(xiàng)：

1.答卷前，考生務(wù)必將自己的姓名、準(zhǔn)考證號填寫在答題卡上。

2.回答選擇題時(shí)，選出每小題答案后，用鉛筆把答題卡上對應(yīng)題目的答案標(biāo)號涂黑。如需

改動(dòng)，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案標(biāo)號?；卮鸱沁x擇題時(shí)，將答案寫在答題卡上。寫在

本試卷上無效。

3.考試結(jié)束后，將本試卷和答題卡一并交回。

一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是

符合題目要求的。

1.滿足｛a｝屋/屋｛a,6,c,d｝的集合力共有

A.7個(gè)B.8個(gè)C.15個(gè)D.16個(gè)

2.設(shè)0＜、＜兀,則函數(shù)/(x)=^+—的最小值為

2sinx

A.1B.-C.2D.-

22

3.已知某4個(gè)數(shù)據(jù)的平均數(shù)為6,方差為3,現(xiàn)再加入一個(gè)數(shù)據(jù)8,則這5個(gè)數(shù)據(jù)的方差為

4.設(shè)直線/的方向向量為以=(1,-2,2),則向量萬=(-1,1,2)在直線/上的投影向量為

122

D.分一"

5.若圓錐的內(nèi)切球半徑為1,圓錐的側(cè)面展開圖為一個(gè)半圓，則圓錐的體積為

Q

A.2兀B.—兀C.3兀D.4兀

3

6.十六進(jìn)制是一種逢16進(jìn)1的計(jì)數(shù)制.我國曾在重量單位上使用過十六進(jìn)制，比如成語“半

斤八兩”，即十六兩為一斤.在現(xiàn)代，計(jì)算機(jī)中也常用到十六進(jìn)制，其采用數(shù)字0?9和字

數(shù)學(xué)試題第1頁(共4頁)

2

7.已知雙曲線C：V-齊=1(6>0)的左右焦點(diǎn)分別為耳，F(xiàn)2,過用且與x軸垂直的直線與

C的一個(gè)交點(diǎn)為P,AP￡￡的內(nèi)心為效,若也里|=應(yīng)，則C的離心率為

A.V2B.-C.V3D.2

2

8.若3sin。+cos0=VlO,則tan(。+—)----?----=

8tan(6+6

12

A.-7B.-14C.-D.-

77

二、選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分。在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目

要求。全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯(cuò)的得0分。

9.已知數(shù)列｛%｝的前〃項(xiàng)和為S“，且2%+1=%+%+2,S.=S9,則

A.兒=0B.{2冊}是等比數(shù)列

c.{S，}的最大項(xiàng)為SgD.{y4是等差數(shù)列

n

10.設(shè)a>0,b>0,且a+b=l,則

B.2"+2022亞

A.log2?+log2/?^-2

C.a+lnb<0D.sinasinb<—

4

11.設(shè)4一2,0),3(2,0),N(0,-^2),動(dòng)點(diǎn)/滿足^=—g，記/的軌跡為曲線C，

過坐標(biāo)原點(diǎn)的直線交C于尸，0兩點(diǎn)，尸在第一象限，直線PE垂直于x軸且垂足為E,

直線QE交C于G,則

22

A.C的方程為"+'=1B."0G為直角三角形

C.AP4V面積的最大值為2D.AP0G面積的最大值為g

三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分。

12.寫出一個(gè)同時(shí)滿足①(l+i).z￡R；?\z\>4的復(fù)數(shù)z=.

13.若(1+2x)6展開式的二項(xiàng)式系數(shù)的最大值為0,系數(shù)的最大值為6,則2=.

a

14.過拋物線/=6》5>0)的焦點(diǎn)廠的直線交拋物線于4,3兩點(diǎn)，C在拋物線的準(zhǔn)線上,

則乙4cB的最大值為；若A4cB為等邊三角形，則其邊長為.

數(shù)學(xué)試題第2頁(共4頁)

四、解答題：本題共5小題，共77分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。

15.(13分)

甲、乙、丙三人同時(shí)對一飛行物進(jìn)行射擊，三人擊中的概率分別為0.5,0.6,0.7.若飛

行物被一人擊中，則被擊落的概率為0.2；若被兩人擊中，則被擊落的概率為0.4；若被三人擊

中，則被擊落的概率為0.9.

(1)求飛行物被兩人擊中的概率；

(2)求飛行物被擊落的概率.

16.(15分)

在四棱錐P-/3co中，底面N3CD為正方形，尸/，平面/BCD,PA=AB=2,E為線

段總的中點(diǎn)，尸為線段3C上的動(dòng)點(diǎn).

(1)證明：平面4EF_L平面尸5C；

(2)若直線Z廠與平面尸48所成的角的余弦值為撞，求點(diǎn)尸到平面/斯的距離.

5

17.(15分)

已知在AABC與A42C中，AB=AC,/與在直線3c的同側(cè)，AB+AC=A'B+A'C,

直線/C與直線交于。.

(1)若48=2,4C=1,求sin/的取值范圍；

(2)證明：OA>OA'.

數(shù)學(xué)試題第3頁(共4頁)

18.(17分)

已知函數(shù)/(x)=(l+x)“-1-ax,其中x>-l,0<a<1.

(1)討論/(x)的單調(diào)性；

(2)若0<6<。<1,證明：aa+bb^ab+ba.

19.(17分)

國際象棋是國際通行的智力競技運(yùn)動(dòng).國際象棋使用8x8格黑白方格相間棋盤，骨牌為每

格與棋盤的方格大小相同的1x2格灰色方格.

若某種黑白相間棋盤與骨牌滿足以下三點(diǎn)：①每塊骨牌覆蓋棋盤的相鄰兩格；②棋盤上每

一格都被骨牌覆蓋；③沒有兩塊骨牌覆蓋同一格，則稱骨牌構(gòu)成了棋盤的一種完全覆蓋.顯然,

我們能夠舉例說明8x8格黑白方格相間棋盤能被骨牌完全覆蓋.

(1)證明：切掉8義8格黑白方格相間棋盤的對角兩格，余下棋盤不能被骨牌完全覆蓋；

(2)請你切掉8x8格的黑白方格相間棋盤的任意兩個(gè)異色方格，然后畫出余下棋盤的一種

骨牌完全覆蓋方式，并證明：無論切掉的是哪兩個(gè)異色方格，余下棋盤都能被骨牌完全覆蓋；

(3)記憶x〃格黑白方格相間棋盤的骨牌完全覆蓋方式數(shù)為F(m,n)，數(shù)列｛F(2,〃)｝的前"項(xiàng)

和為S/證明：Sn=F(2,n+2)-2.

數(shù)學(xué)試題第4頁(共4頁)

蘇州大學(xué)2024屆新高考新題型2月指導(dǎo)卷

數(shù)學(xué)試題參考答案

一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分。

1.B2.D3.C4.D

5.C6.A7.A8.B

二、選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分。

9.ABD10.BCD11.BD

三、填空題：本題共3小題，每小題5分，多空題第一空2分，第二空3分，共15分

12.3-3i（答案不唯一）13.1214.90°；18

四、解答題：本題共5小題，共77分。

15.（13分）

解：⑴記事件4(，=1,2,3)表示“飛行物被i個(gè)人擊中”,事件4G=1,2,3)分別表示“飛

行物被甲、乙、丙擊中”，由題意知尸(耳)=0.5,尸(層)=0.6,尸(名)=0.7，貝U

P(A2)=P(B1B?瓦u4瓦4u瓦斗員)=P(B[B區(qū))+P(Bl瓦員)+P(BtB2B3)

=0.5x0.6x(l—0.7)+0.5x(l—0.6)x0.7+(l—0.5)x0.6x0.7=0.09+0.14+0.21=0.44

故飛行物被兩人擊中的概率為0.44；

(2)記事件C表示“飛行物被擊落”，由題意知尸(C|4)=0,尸(C14)=0.2,尸?4)=04,

尸(C|4)=0.9,而尸(4)=尸(斤瓦瓦)=(1一0.5)X(1—0.6)X(1—0.7)=0.06,

5

尸(4)=尸(及瓦瓦u斤瓦灰uA2瓦)=P(B[瓦瓦)+尸(瓦瓦片)+尸(瓦當(dāng)氏)

=0.5x(1—0.6)x(l-0.7)+(l-0.5)x(l-0.6)x0.7+(l-0.5)x0.6x(l-0.7)

=0.06+0.14+0.09=0.29

尸(4)=尸(片層生)=0.5義0.6義0.7=0.21,從而由全概率公式得

尸?=尸(4)?尸(。4)+尸(4)?尸。4)+尸(4)?尸(。4)+尸(4)?尸?4)

=0.06X0+0.29X0.2+0.44x0.4+0.21x0.9=0.423

故飛行物被擊落的概率為0.423.

數(shù)學(xué)參考答案第1頁（共3頁）

16.(15分)(本題亦可使用幾何法求距離)

解：(1)在四棱錐尸-4BC。中，因?yàn)榈酌?8cz1為正方形，所以又因?yàn)槭?/p>

平面48cD,5Cu平面/BCD,所以尸/_L5C,而尸/p|4B=Z,PA,48u平面P48,

所以BCL平面P48,又/Eu平面尸45,所以而尸/=45,E為線段尸8的中點(diǎn),

所以4￡_1尸8,而尸3nge=3，PB,BCu平面PBC,所以“￡_L平面P3C,又因?yàn)?Eu

平面4EF,所以平面/￡b"L平面尸BC；

(2)在四棱錐尸-N3CD中，因?yàn)榈酌?BCD為正方形，所以48，/。，又因?yàn)槭琋J_平

面48cD,AB,4Du平面/BCD,所以48,AD,4P三條直線兩兩垂直，從而以力為坐

標(biāo)原點(diǎn)，AB,AD,4P分別為x軸，》軸，z軸，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系/-乎，

設(shè)AF=f(0WtW2),則尸(2/0),^(0,0,0),5(2,0,0),z

尸(0,0,2),￡(1,0,1),而力=(0,1,0)是平面尸48的一個(gè)法向量，p1

后=(1,0,1),方=(2,f,0),由直線/尸與平面尸48所成的角的

余弦值為與知’…刀…黑/3-(呼*即

,1,解得/=1,所以廠(2,1,0),AF=(2,1,0).ABx

#745

方k=0TY+Z=0

設(shè)平面的一個(gè)法向量萬=(x,y,z),貝1J歲，即，不妨取x=-l,

n-AF^O[2x+y=0

則萬=(-1,2,1),而萬=(0,0,2),所以1J"尸.■=，!,故點(diǎn)尸到平面％斯的距離為立.

\n\33

17.(15分)

解：(1)在AABC中，因?yàn)?3=/C=2,A'C=l,所以/'3=2/8-HC=3,設(shè)3C=a,

\AB—AC\<tz<AB+AC

由于,所以2<a<4,由余弦定理得cos/=

\A'B-A'C\<a<A'B+A'C-2AC-AB-

1.jr

所以—I<cos4<一,從而一<兀，故0<sinZWl；

23

(2)連結(jié)44',記=/OA'A=w,在ACUH中由正弦

定理知，要證明。4>CM',只需證明〃設(shè)48=4C=b,A'B=m,

A'C=n,A'A=d,由題意知b—〃=加—b,從而在AC4H與AS44'中

由余弦定理得

b2+d2-n2m2+d2-b2/(加―6)+6(/—加2)+加(/一〃2)

cos”-cos。=

2bd2md2mbd

_(m-b\d2-bm-b2+mb+mn)_(m-b)(d+m—b)(d+b-m)

——〉u

2mbd2mbd

所以“〉e，故。4>OH.

數(shù)學(xué)參考答案第2頁(共3頁)

18.(17分)

解：(1)f'(x)=a(l+x)al-a,令g(x)=/'a)，g,(x)=a(cz-l)(l+x)^?,當(dāng)0<a<l時(shí),

g'(x)<0,_f(x)=g(x)在(-L+oo)上單調(diào)遞減,又0(0)=0,所以當(dāng)-l<x<0時(shí)，f\x)>0,

/(x)單調(diào)遞增；當(dāng)x>0時(shí)，f'(x)<0,/(x)單調(diào)遞減；

(2)已知0<6Wa<l,要證明相+Z/NC?+6"，也即證明肥―/，只要證明

力00=--/在6?％<1時(shí)單調(diào)遞減.h\x)=bxb-x-axa-'=axa-1(--xa-b)-當(dāng)x>(2)口時(shí)，

aa

似x)W0,心)單調(diào)遞減，從而只需證明62(2啟，變換得bWa二"，由第⑴問知，當(dāng)