專題13幾何基礎題1．（2022?杭州）如圖，在中，點，，分別在邊，，上，連接，．已知四邊形是平行四邊形，．（1）若，求線段的長．（2）若的面積為1，求平行四邊形的面積．【答案】見解析【詳解】（1）四邊形是平行四邊形，，，，，，；（2），，的面積為1，的面積是16，四邊形是平行四邊形，，，，的面積，平行四邊形的面積．2．（2021?杭州）在①，②，③這三個條件中選擇其中一個，補充在下面的問題中，并完成問題的解答．問題：如圖，在中，，點在邊上（不與點，點重合），點在邊上（不與點，點重合），連接，，與相交于點．若，求證：．【答案】見解析【詳解】證明：選擇條件①的證明為：，，在和中，，，；選擇條件②的證明為：，，在和中，，，；選擇條件③的證明為：，，，，，即，在和中，，，．故答案為①②或③3．（2020?杭州）如圖，在中，點，，分別在，，邊上，，．（1）求證：．（2）設，①若，求線段的長；②若的面積是20，求的面積．【答案】見解析【詳解】（1）證明：，，，，；（2）解：①，，，，解得：；②，，，，，．4．（2019?杭州）如圖，在中，．（1）已知線段的垂直平分線與邊交于點，連接，求證：．（2）以點為圓心，線段的長為半徑畫弧，與邊交于點，連接．若，求的度數．【答案】見解析【詳解】（1）證明：線段的垂直平分線與邊交于點，，，，；（2）根據題意可知，，，，，，，．5．（2018?杭州）如圖，在中，，為邊上的中線，于點．（1）求證：．（2）若，，求線段的長．【答案】見解析【詳解】（1），，，，，，．（2），，，在中，，，．6．（2022?上城區一模）如圖，平分，且，點為上一點．（1）求證：．（2）若，，，，求的長．【答案】見解析【詳解】（1）證明：平分，，又，．（2），，，．是等腰三角形，，，．故．．7．（2022?拱墅區一模）問題：如圖，在中，點，點在對角線上（不與點，點重合），連接，．若____，求證：．在①，②，③這三個條件中選擇其中一個，補充在上面問題中，并完成問題的解答．【答案】見解析【詳解】選①，如圖，連接，，，四邊形是平行四邊形，，，，，四邊形為平行四邊形，．8．（2022?西湖區一模）如圖，已知中，，點是上一點，．（1）求證：．（2）若點為中點，且，求的長．【答案】見解析【詳解】（1）證明：，，，，，，；（2）解：點為中點，且，，，，，，，，，或（不符合題意，舍去），的長為．9．（2022?西湖區一模）如圖，已知中，，．（1）請判斷的形狀，并說明理由．（2）點為邊上一點，且，①求的度數．②當時，求的長．【答案】見解析【詳解】（1）是等腰直角三角形，理由如下：過點作于點，，，，在中，，，，，，是等腰直角三角形；（2）由（1）知．①，；②，，，，，，，，在中，，，，，．10．（2022?錢塘區一模）問題：如圖，，若，，求證：．在①，②，③這三個條件中選擇其中兩個，補充在上面問題的條件中，剩余的一個條件補充在結論中，并完成問題的解答．（注只需選擇一種情況進行作答）．【答案】見解析【詳解】若，，求證：．證明：在和中，，，，．故答案為：，；．11．（2022?錢塘區一模）如圖，在平行四邊形中，點為邊上的點（不與點，點重合），連接并延長，交的延長線于點．（1）求證：．（2）若，且的面積為1，求平行四邊形的面積．【答案】見解析【詳解】（1）證明：四邊形是平行四邊形，，，，；（2）解：四邊形是平行四邊形，，，，，，，由（1）知，，，，平行四邊形的面積為．12．（2022?淳安縣一模）如圖，正方形中，是對角線上一點，連接，，延長交邊于點．（1）求證：．（2）設，，試求與之間的數量關系．【答案】見解析【詳解】（1）證明：四邊形是正方形，，，，在和中，，，；（2）解：，，又，，，．．13．（2022?淳安縣一模）如圖，在中，、分別是邊、的中點，是延長線上一點，．（1）若，求的長；（2）若，求證：．【答案】見解析【詳解】（1）、分別是、的中點，，，，，而，，；（2），，，，，，，，．14．（2022?富陽區一模）如圖，點，分別在，上，（1）已知：，，求證：（2）分別將“”記為①，””記為②，“”記為③，以①、③為條件，以②為結論構成命題1，以②、③為條件，以①為結論構成命題2，命題1是命題，命題2是命題（真、假）【答案】見解析【詳解】證明：（1）連接，在和中，，（2）以①、③為條件，以②為結論構成命題1，，，，在和中，，，，故命題是真命題；以②、③為條件，以①為結論構成命題2．已知②、③，不一定成立，故是假命題．故答案是：真，假．15．（2022?富陽區一模）如圖，已知正方形，，點為邊上的動點，射線交于交射線于，過點作，交于點．（1）當點是中點時，求長；（2）求證：；（3）若，求證：是等邊三角形．【答案】見解析【詳解】（1）解：正方形，，，，，，又點是中點，，；（2）證明：正方形，，，，，，又，，，又，，；（3）證明：由（2）可知，，又，，，由可知，，，，在中，，，，，即是斜邊上的中線，，即是等邊三角形．16．（2022?臨安區一模）在①，②這兩個條件中選擇其中一個，補充在下面的問題中，請完成問題的解答．問題：如圖，中，，點，在邊上（不與點，重合）連結，．若，求證：．【答案】見解析【詳解】，證明：，，，，在和中，，，．17．（2022?臨安區一模）如圖，正方形的邊長為1，點是邊上一點，過點作．（1）設以線段，為鄰邊的矩形的面積為，以為邊的正方形的面積為，且，求的長；（2）連結，，若是的中點，交于點，連結，求證：．【答案】見解析【詳解】（1）解：設，則，，，，解得，（舍去），；（2）證明：如圖，連接，，四邊形是正方形，垂直平分線，，是的中點，，，．18．（2022?錢塘區二模）已知：如圖，為的角平分線，且，為延長線上的一點，，過作，為垂足．求證：①；②；③．【答案】見解析【詳解】證明：①為的角平分線，，在與中，，；②，，，，，，，和為等腰三角形，，，，；③如圖，過點作交的延長線于點，平分，，，，在與中，，，，在與中，，，，．19．（2022?西湖區校級一模）如圖，在中，是角平分線，點是邊上一點，且滿足．（1）證明：．（2）若，，求的長．【答案】見解析【詳解】（1）證明：是的角平分線，．，．（2）解：，，，，，．20．（2022?西湖區校級一模）在中，，，為銳角且．（1）求的面積；（2）求的值；（3）求的值．【答案】見解析【詳解】（1）過點作，垂足為．．為銳角且，．．，，．．（2），，．在中，．（3）在中，．21．（2022?蕭山區校級一模）如圖，為銳角，射線射線，作和的平分線分別交和于點和，連接，求證：四邊形為菱形．【答案】見解析【詳解】證明：平分，平分，，，，，，，，，，，，，，，四邊形是菱形．22．（2022?蕭山區校級一模）如圖，中，，點是邊的中點，以為底邊在其右側作等腰三角形，使，連結，則：（1）求證：；（2）若，求證：．【答案】見解析【詳解】證明：（1），點是邊的中點，，，，，；（2）過點作，垂足為，設與交于點，，點是邊的中點，，，，，是的垂直平分線，，，，，，，，，，在中，，，．23．（2022?蕭山區一模）如圖，中，點，分別是，上的點，，交于點，，．（1）求證：；（2）若，試求的度數．【答案】見解析【詳解】（1）證明：，，，，，，；（2）解：設，，，又，，，解得，．24．（2022?蕭山區一模）如圖，正方形中，點是邊上的動點（不與點，重合），連結，．（1）試問是否存在某個點使平分？若存在，請證明；若不存在，請說明理由；（2）若周長的最小值為4，求此時的長．【答案】見解析【詳解】（1）不存在，理由如下：過點作于點，如圖．假設平分，則，四邊形為正方形，，，，．依據在正方形中，，，在中，，與矛盾，不存在點使平分．（2）作點關于的對稱點，連接，，與交于點．，，周長為，要使的周長最小，即求最小，為正方形的邊長，為定值，所求的的周長最小，即求最小，當點，，三點共線時，最小，．設，則，，，解得．，，，，，．25．（2022?濱江區一模）在①，②，③這三個條件中選擇其中一個，補充在下面的問題中，使命題正確，并證明．問題：如圖，四邊形的兩條對角線交于點，若（填序號），求證：．【答案】見解析【詳解】選擇條件②，證明過程如下：四邊形的兩條對角線交于點，，，．26．（2022?濱江區一模）如圖，點是正方形對角線上的一點，連接．過點作，，分別交邊，于點，，連接．（1）求證：．（2）若，，求線段的長．【答案】見解析【詳解】（1）證明：連接，四邊形是正方形，，，，，，，四邊形是矩形，，在與中，，，，；（2）解：四邊形是正方形，，，，，，是等腰直角三角形，，，．27．（2022?余杭區一模）在①，②，③這三個條件選擇其中一個，補充在下面的問題中，并完成問題的解答．如圖，在四邊形中，對角線與相交于點，，若．（選擇①，②，③中的一項）求證：四邊形是平行四邊形．【答案】見解析【詳解】①添加，，，在與中，，，，四邊形是平行四邊形．②添加，同理可證明四邊形是平行四邊形；③添加，，，，，四邊形是平行四邊形．故答案為：①或②或③．28．（2022?富陽區二模）在①，②，③，這三個條件中選擇其中一個，補充在下面的問題中，并完成問題的解答．如圖，在中，，若（選擇①，②，③中的一項）求證：．（注：如果選擇多個條件分別作答，按第一個解答給分）【答案】見解析【詳解】選擇①，理由如下：，，在和中，，，．故答案為：①．29．（2022?西湖區校級模擬）（1）如圖1，在中，，，求的度數；（2）如圖2，在中，，且，求的度數．【答案】見解析【詳解】，，，由三角形外角與外角性質可得，又，，．故的度數是；（2）設，，，，，，在中，，解得：，．故的度數是．30．（2022?西湖區校級模擬）已知：如圖，正方形中，是邊上一點，，，垂足分別是點、．（1）求證：；（2）連接，若，，求的長．【答案】見解析【詳解】（1）證明：四邊形為正方形，，，，，，，，，在和中，，，；（2）解：，，，，，，，．31．（2022?西湖區校級二模）已知：如圖，矩形的對角線，相交于點，，．（1）求矩形對角線的長；（2）過作于點，連結．記，求的值．【答案】見解析【詳解】（1），，四邊形是矩形，，，，，，是等邊三角形，，，，，矩形對角線的長為4；（2）由勾股定理得：，，于點，，．32．（2022?西湖區校級二模）在圖1，圖2，圖3中，，是的中線，，垂足為．設，，．（1）①如圖1．當，時，，．②如圖2．當，時，，．（2）觀察（1）中的計算結果，猜想，，三者之間的關系，用等式表示出來，并利用圖3證明．【答案】見解析【詳解】（1）①如圖1，連接，則是的中位線，，，，是等腰直角三角形，，也是等腰直角三角形，，，，，；故答案為：，；②如圖2，連接，則是的中位線．，，，，，，，，，，，，；故答案為：，．（2），理由如下：如圖3，連接，設，，則，，，，，，，，，．33．（2022?西湖區校級模擬）如圖，在①，②，③這三個條件中選擇其中一個，補充在下面的問題中，并完成問題的解答．問題：如圖，在中，是邊上一點，，分別是和高，交于，若．（1）求證：；（2）若，，求的面積．【答案】見解析【詳解】若①，（1）證明：，分別是和高，，在和中，，；（2）解：，，，，，，，故答案為：①（答案不唯一）．34．（2022?下城區校級二模）如圖，中，、分別是、上的點，且，．（1）求證：；（2）若，求的長度【答案】見解析【詳解】（1）證明：，．，，；（2）解：，，，，，，，，，，．35．（2022?下城區校級二模）如圖，在正方形中，對角線，相交于點，點，分別在，上（不與，，重合），連接，，與交于點，與交于點．已知，平分．（1）求證：．（2）若的面積為，的面積為，求的值．【答案】見解析【詳解】（1）證明：四邊形是正方形，，，在和中，，，，，，；（2）解：四邊形是正方形，，平分，，，，，，，，過作于，是等腰直角三角形，，設，，，，，，，，，，，．36．（2022?杭州模擬）如圖，是正方形的邊上的一點，過作，交延長線于點．的延長線交的延長線于點．（1）求證：；（2）若，，求的長．【答案】見解析【詳解】（1）證明：正方形中，，，，，，在與中．，，；（2）解：在中，，，，，，，，，，，．37．（2022?杭州模擬）如圖，中，，，是邊上的一點（不與、點重合），是的中點，過點作的平行線交的延長線于點，與交于點．（1）若，求的值；（2）若，，，求；（3）若，，求（用含的代數式表示）．【答案】見解析【詳解】（1）是的中點，，，，，，，，，，，；（2），，，，，，，由（1）得，，，，，在中，由勾股定理得，；（3）作于，，，設，則，，，，，，，，，，．38．（2022?江干區校級模擬）如圖，四邊形是菱形，是的中點，的垂線交于點，交的延長線于點．（1）求證：；（2）連接，．①求菱形的周長；②若，求的長．【答案】見解析【詳解】（1）證明：如圖，連接，四邊形是菱形，，，，，點是的中點，點是的中點，，，．（2）解：①