2024年長沙中考數學終極押題密卷1一．選擇題（共10小題，滿分30分，每小題3分）1．（3分）﹣2022的相反數是（）A． B． C．﹣2022 D．20222．（3分）如圖是由5個大小相同的正方體組成的立體圖形，其俯視圖是（）A． B． C． D．3．（3分）買一張電影票，座位號是偶數號．這個事件是（）A．必然事件 B．不可能事件 C．隨機事件 D．確定性事件4．（3分）下列計算正確的是（）A．2x+3y＝5xy B．（m+2）2＝m2+4 C．（xy2）3＝xy6 D．a10÷a5＝a5（a≠0）5．（3分）已知一個正多邊形的一個內角為150度，則它的邊數為（）A．12 B．8 C．9 D．76．（3分）某人用手機軟件記錄了某個月（30天）每天健步走的步數（單位：萬步），將記錄結果繪制成如圖所示的統計圖．在這組數據中，眾數和中位數分別是（）A．1.3，1.35 B．1.4，1.3 C．1.4，1.35 D．1.3，1.37．（3分）如圖，已知AB∥EG，BC∥DE，CD∥EF，則x、y、z三者之間的關系是（）A．x﹣z＝y B．x+y+z＝180° C．y﹣x＝z D．y﹣x＝x﹣z8．（3分）估計（）在哪兩個整數之間（）A．5和6 B．6和7 C．7和8 D．8和99．（3分）如圖，AB是⊙O的直徑，BC是弦，OD∥AC交于點D，交BC于點E，若BC＝8，ED＝2，則⊙O的半徑是（）A．3 B．4 C．5 D．210．（3分）下列說法正確的是（）A．0沒有相反數 B．用普查的方法調查全國2021級七年級學生的視力情況 C．0既不是正數也不是負數 D．有理數分為正有理數和負有理數二．填空題（共6小題，滿分18分，每小題3分）11．（3分）因式分解2x2﹣8y2＝．12．（3分）已知a2﹣a﹣1＝0，且，則x＝．13．（3分）點（2021，﹣2022）關于x軸對稱的點的坐標為．14．（3分）如圖，在?ABCD中，以點A為圓心，AB長為半徑畫弧交AD于點F，再分別以點B、F為圓心，大于BF的相同長為半徑畫弧，兩弧交于點P，連接AP并延長交BC于點E，連接EF．下列結論：①四邊形ABEF是菱形；②CE＝DF；③若AB＝2，AE＝2，則四邊形ABEF的面積為2．其中不正確的個數有個．15．（3分）某校為了解學生喜愛的體育活動項目，隨機抽查了100名學生，讓每人選一項自己喜歡的項目，并制成如圖所示的扇形統計圖．如果該校有1000名學生，則喜愛跳繩的學生約有人．16．（3分）如圖，點O是半圓圓心，BE是半圓的直徑，點A，D在半圓上，且AD∥BO，∠ABO＝60°，AB＝4，過點D作DC⊥BE于點C，則陰影部分的面積是．三．解答題（共9小題，滿分72分）17．（6分）計算：．18．（6分）先化簡，再求值：，其中x＝﹣3．19．（6分）如圖，海面上有A，B，C三個小島，A，B兩島相距20海里，B，C兩島相距20海里，A，C兩島相距40海里，若B島在A島的東北方向上，那么C島在A島的什么方向上？20．（8分）在4月23日世界讀書日來臨之際，為了解某校九年級（1）班同學們的閱讀愛好，要求所有同學從4類書籍中（A：文學類；B：科幻類；C：軍事類；D：其他類），選擇一類自己最喜歡的書籍進行統計．根據統計結果，繪制了如圖所示的兩幅不完整的統計圖．根據圖中信息回答問題：（1）九年級（1）班的學生總數為；（2）補全條形統計圖；（3）在扇形統計圖中，A的扇形圓心角度數為°，m的值為；（4）如果選擇C類書籍的同學中有2名女同學，其余為男同學，現要在選擇C類書籍的同學中選取兩名同學去參加讀書交流活動，恰好是一男一女同學去參加讀書交流活動的概率為．21．（8分）如圖，CA＝CB，E在BC上，且CE＝CD，∠ACB＝∠DCE＝90°，AE的延長線交BD于F，連接CF．（1）猜想AE與BD的關系，并給予證明．（2）求∠CFB的度數．22．（9分）每年五、六月份是我國冬小麥的收割時間．某農業合作社租用中型收割機和小型收割機進行冬小麥收割．已知1臺中型收割機和3臺小型收割機一天共能收割小麥430畝，1臺中型收割機比1臺小型收割機每天多收割70畝．（1）求每臺中型收割機和每臺小型收割機平均每天各收割小麥多少畝？（2）每臺中型收割機和每臺小型收割機每天的租金分別為1800元和1000元，該合作社種植了冬小麥5350畝，合作社計劃租用兩型收割機共8臺，在5天時間內將小麥全部收割，要使租用收割機的總金額不超過65000元，試求出所有滿足條件的租用方案．并指出最經濟的方案，計算出此種方案的總租金．23．（9分）如圖，在?ABCD中，對角線AC，BD交于點O，E是BD延長線上一點，且△ACE是等邊三角形．（1）求證：四邊形ABCD是菱形；（2）若∠AED＝2∠EAD，AB＝a，求四邊形ABCD的面積．24．（10分）如圖，在△ABC中，AB＝20，BC＝21，tanB，D是射線BC上一點，連接AD，將AD繞點D順時針旋轉90°，得到DE．（如需作圖或作輔助線，請先將原題草圖畫在對應題目的答題區域后再作答．）（1）當△ABD的外心O在其內部時，求BD的取值范圍；（2）連接CE，當BD＝11時，求△DCE的面積；（3）當點E恰好落在直線BC或直線AC上時，求DA旋轉到DE的過程中，點A所走的路徑長．25．（10分）定義：若一個函數的圖象上存在橫、縱坐標之和為零的點，則稱該點為這個函數圖象的“好點”．例如，點（﹣1，1）是函數y＝x+2的圖象的“好點”．（1）在函數①y＝﹣x+3，②y③y＝x2+2x+1的圖象上，存在“好點”的函數是；（填序號）（2）設函數y（x＜0）與y＝kx+3的圖象的“好點”分別為點A、B，過點A作AC⊥y軸，垂足為C．當△ABC為等腰三角形時，求k的值；（3）若將函數y＝x2+2x的圖象在直線y＝m下方的部分沿直線y＝m翻折，翻折后的部分與圖象的其余部分組成了一個新的圖象．當該圖象上恰有3個“好點”時，求m的值．

2024年菁優長沙中考數學終極押題密卷1參考答案與試題解析一．選擇題（共10小題，滿分30分，每小題3分）1．（3分）﹣2022的相反數是（）A． B． C．﹣2022 D．2022【考點】相反數．【專題】實數；運算能力．【答案】D【分析】根據相反數的定義直接求解．【解答】解：﹣2022的相反數是2022，故選：D．【點評】本題主要考查相反數的定義，熟練掌握相反數的定義是解答此題的關鍵．2．（3分）如圖是由5個大小相同的正方體組成的立體圖形，其俯視圖是（）A． B． C． D．【考點】簡單組合體的三視圖．【專題】投影與視圖；空間觀念．【答案】A【分析】根據簡單組合體三視圖的意義，得出從上面看所得到的圖形即可．【解答】解：從上面看，所得到的圖形有兩行，其中第一行有2個小正方形，第二行有2個小正方形，因此選項A中的圖形比較符合題意，故選：A．【點評】本題考查簡單組合體的三視圖，掌握視圖的意義，得到各種視圖的形狀是正確判斷的前提．3．（3分）買一張電影票，座位號是偶數號．這個事件是（）A．必然事件 B．不可能事件 C．隨機事件 D．確定性事件【考點】隨機事件．【專題】概率及其應用；數據分析觀念．【答案】C【分析】根據事件發生的可能性大小判斷即可．【解答】解：買一張電影票，座位號是偶數號．這個事件是隨機事件，故選：C．【點評】本題考查的是必然事件、不可能事件、隨機事件的概念．必然事件指在一定條件下，一定發生的事件．不可能事件是指在一定條件下，一定不發生的事件，不確定事件即隨機事件是指在一定條件下，可能發生也可能不發生的事件．4．（3分）下列計算正確的是（）A．2x+3y＝5xy B．（m+2）2＝m2+4 C．（xy2）3＝xy6 D．a10÷a5＝a5（a≠0）【考點】完全平方公式；合并同類項；冪的乘方與積的乘方；同底數冪的除法．【專題】整式；運算能力．【答案】D【分析】根據合并同類項法則，完全平方公式，冪的乘方與積的乘方，同底數冪的除法進行計算，再逐個判斷即可．【解答】解：A．2x與3y不能合并，故本選項不符合題意；B．（m+2）2＝m2+4m+4，故本選項不符合題意；C．（xy2）3＝x3y6，故本選項不符合題意；D．a10÷a5＝a5，故本選項符合題意；故選：D．【點評】本題考查了合并同類項法則，完全平方公式，冪的乘方與積的乘方，同底數冪的除法等知識點，注意：（ab）n＝anbn（注意：積的每個因式都乘方）．5．（3分）已知一個正多邊形的一個內角為150度，則它的邊數為（）A．12 B．8 C．9 D．7【考點】多邊形內角與外角．【專題】計算題；一次方程（組）及應用；正多邊形與圓；應用意識．【答案】A【分析】設出多邊形的邊數，利用內角和相等列出方程求解即可．【解答】解：設該正多邊形為正n邊形．則（n﹣2）×180°＝150°×n解得：n＝12．故選：A．【點評】本題考查了多邊形的內角和定理、多邊形的性質及一元一次方程的解法．解決本題亦可通過外角和恒為360°和正多邊形的外角相等直接求解．6．（3分）某人用手機軟件記錄了某個月（30天）每天健步走的步數（單位：萬步），將記錄結果繪制成如圖所示的統計圖．在這組數據中，眾數和中位數分別是（）A．1.3，1.35 B．1.4，1.3 C．1.4，1.35 D．1.3，1.3【考點】眾數；中位數．【專題】統計的應用；運算能力．【答案】B【分析】中位數是將一組數據從小到大（或從大到?。┲匦屡帕泻?，最中間的那個數（最中間兩個數的平均數），眾數是一組數據中出現次數最多的數據，據此判斷即可．【解答】解：∵這組數據中1.4出現的次數最多，∴在每天所走的步數這組數據中，眾數是1.4；每天所走的步數的中位數是：（1.3+1.3）÷2＝1.3，∴在每天所走的步數這組數據中，眾數和中位數分別是1.4、1.3．故選：B．【點評】本題主要考查了眾數、中位數的含義和求法，熟練掌握將一組數據從小到大（或從大到?。┲匦屡帕泻螅钪虚g的那個數（最中間兩個數的平均數），叫做這組數據的中位數，眾數是一組數據中出現次數最多的數據是解答此題的關鍵．7．（3分）如圖，已知AB∥EG，BC∥DE，CD∥EF，則x、y、z三者之間的關系是（）A．x﹣z＝y B．x+y+z＝180° C．y﹣x＝z D．y﹣x＝x﹣z【考點】平行線的性質．【專題】線段、角、相交線與平行線；運算能力．【答案】A【分析】延長AB交DE于H，依據平行線的性質，即可得到∠ABC＝∠DEG，即x＝z+y，進而得到x﹣z＝y．【解答】解：如圖所示，延長AB交DE于H，∵BC∥DE，∴∠ABC＝∠AHE＝x，∵CD∥EF，AB∥EG，∴∠D＝∠DEF＝z，∠AHE＝∠DEG＝z+y，∴∠ABC＝∠DEG，即x＝z+y，∴x﹣z＝y．故選：A．【點評】此題主要考查了平行線的性質，關鍵是掌握平行線性質定理：兩直線平行，內錯角相等．8．（3分）估計（）在哪兩個整數之間（）A．5和6 B．6和7 C．7和8 D．8和9【考點】估算無理數的大?。緦ｎ}】實數；應用意識．【答案】B【分析】根據二次根式的混合運算化簡式子，再估算出的大小即可解答．【解答】解（），∵，∴，∴（）在6和7兩個整數之間．故選：B．【點評】本題主要考查的是估算無理數的大小，掌握算術平方根的性質是解題的關鍵．9．（3分）如圖，AB是⊙O的直徑，BC是弦，OD∥AC交于點D，交BC于點E，若BC＝8，ED＝2，則⊙O的半徑是（）A．3 B．4 C．5 D．2【考點】垂徑定理；勾股定理．【專題】等腰三角形與直角三角形；圓的有關概念及性質；運算能力；推理能力．【答案】C【分析】由圓周角定理得∠ACB＝90°，再證OD⊥BC，由垂徑定理得BEBC＝4，設⊙O的半徑為r，則OE＝r﹣2，然后在Rt△OBE中，由勾股定理得出方程，解方程即可．【解答】解：∵AB是⊙O的直徑，∴∠ACB＝90°，∵OD∥AC，∴∠OEB＝∠ACB＝90°，∴OD⊥BC，∴BEBC＝4，設⊙O的半徑為r，則OE＝r﹣2，在Rt△OBE中，由勾股定理得：42+（r﹣2）2＝r2，解得：r＝5，即⊙O的半徑為5，故選：C．【點評】本題考查了垂徑定理、圓周角定理、勾股定理、平行線的性質等知識，熟練掌握垂徑定理，由勾股定理得出方程是解題的關鍵．10．（3分）下列說法正確的是（）A．0沒有相反數 B．用普查的方法調查全國2021級七年級學生的視力情況 C．0既不是正數也不是負數 D．有理數分為正有理數和負有理數【考點】有理數；相反數；正數和負數．【專題】實數；數據的收集與整理；數感；數據分析觀念．【答案】C【分析】依據有理數的分類、相反數和抽樣調查，即可得到正確結論．【解答】解：A、0有相反數，是0，原來的說法錯誤，不符合題意；B、用抽樣調查的方法調查全國2021級七年級學生的視力情況，原來的說法錯誤，不符合題意；C、0既不是正數也不是負數是正確的，符合題意；D、有理數分為正有理數，0和負有理數，原來的說法錯誤，不符合題意．故選：C．【點評】本題主要考查了有理數的分類、相反數和抽樣調查，關鍵是根據有理數的分類、相反數和抽樣調查的有關概念解答．二．填空題（共6小題，滿分18分，每小題3分）11．（3分）因式分解2x2﹣8y2＝2（x+2y）（x﹣2y）．【考點】提公因式法與公式法的綜合運用．【專題】計算題；因式分解；運算能力．【答案】2（x+2y）（x﹣2y）．【分析】此多項式有公因式，應先提取公因式，再對余下的多項式進行觀察，有2項，可采用平方差公式繼續分解．【解答】解：2x2﹣8y2＝2（x2﹣4y2）＝2（x+2y）（x﹣2y）．故答案為：2（x+2y）（x﹣2y）．【點評】本題考查了提公因式法與公式法分解因式，要求靈活使用各種方法對多項式進行因式分解，一般來說，如果可以先提取公因式的要先提取公因式，再考慮運用公式法分解．12．（3分）已知a2﹣a﹣1＝0，且，則x＝4．【考點】解分式方程．【專題】分式方程及應用；運算能力．【答案】4．【分析】已知等式整理后，表示出x，把已知等式移項變形后代入降次，計算即可求出值．【解答】解：∵，∴6a4﹣9xa2+6＝﹣2a3﹣4xa2+2a，整理得：x，∵a2﹣a﹣1＝0，∴a2＝a+1，則x＝4．故答案為：4．【點評】此題考查了解分式方程，利用了整體代換的思想，熟練掌握運算法則是解本題的關鍵．13．（3分）點（2021，﹣2022）關于x軸對稱的點的坐標為（2021，2022）．【考點】關于x軸、y軸對稱的點的坐標．【專題】平面直角坐標系；符號意識．【答案】（2021，2022）．【分析】關于x軸的對稱點的坐標特點：橫坐標不變，縱坐標互為相反數．【解答】解：點（2021，﹣2022）關于x軸對稱的點的坐標為（2021，2022）．故答案為：（2021，2022）．【點評】此題主要考查了關于x軸對稱點的性質，掌握橫縱坐標關系是解題關鍵．14．（3分）如圖，在?ABCD中，以點A為圓心，AB長為半徑畫弧交AD于點F，再分別以點B、F為圓心，大于BF的相同長為半徑畫弧，兩弧交于點P，連接AP并延長交BC于點E，連接EF．下列結論：①四邊形ABEF是菱形；②CE＝DF；③若AB＝2，AE＝2，則四邊形ABEF的面積為2．其中不正確的個數有0個．【考點】作圖—基本作圖；平行四邊形的性質；菱形的判定與性質．【專題】矩形菱形正方形；尺規作圖；幾何直觀．【答案】0．【分析】由題意可知，AB＝AF，AE為∠BAD的平分線，根據平行四邊形的性質以及菱形的判定與性質進行判斷①②③即可．【解答】解：由題意可知，AB＝AF，AE為∠BAD的平分線，∴∠BAE＝∠FAE，∵四邊形ABCD為平行四邊形，∴BC∥AD，∴∠BEA＝∠FAE，∴∠BAE＝∠BEA，∴AB＝BE，∴BE＝AF，∴四邊形ABEF為平行四邊形，∵AB＝AF，∴四邊形ABEF是菱形．故①正確，不符合題意；∵四邊形ABCD為平行四邊形，∴BC＝AD，∵四邊形ABEF是菱形，∴BE＝AF，∴CE＝DF．故②正確，不符合題意；連接BF，交AE于點O，∵四邊形ABEF是菱形，∴BF⊥AE，AO，∴BO1，∴BF＝2，∴四邊形ABEF的面積為2．故③正確，不符合題意．故答案為：0．【點評】本題考查作圖﹣基本作圖、平行四邊形的性質、菱形的判定與性質，熟練掌握角平分線的作圖方法、平行四邊形的性質、菱形的判定與性質是解答本題的關鍵．15．（3分）某校為了解學生喜愛的體育活動項目，隨機抽查了100名學生，讓每人選一項自己喜歡的項目，并制成如圖所示的扇形統計圖．如果該校有1000名學生，則喜愛跳繩的學生約有300人．【考點】扇形統計圖；用樣本估計總體．【專題】數據的收集與整理；統計的應用；數據分析觀念；應用意識．【答案】見試題解答內容【分析】樣本中“跳繩人數”占整體的1﹣15%﹣45%﹣10%＝30%，因此估計總體100人的30%是“跳繩”的人數．【解答】解：1000×（1﹣15%﹣45%﹣10%）＝1000×30%＝300（人），故答案為：300．【點評】本題考查扇形統計圖的意義，明確各個量之間的關系，是正確解答的關鍵．16．（3分）如圖，點O是半圓圓心，BE是半圓的直徑，點A，D在半圓上，且AD∥BO，∠ABO＝60°，AB＝4，過點D作DC⊥BE于點C，則陰影部分的面積是2．【考點】扇形面積的計算；勾股定理；垂徑定理；圓周角定理．【專題】等腰三角形與直角三角形；與圓有關的計算；運算能力；推理能力．【答案】2．【分析】連接OA，易求得圓O的半徑為4，扇形的圓心角的度數，然后根據S陰影＝S△AOB+S扇形OAE﹣S△BCD即可得到結論．【解答】解：連接OA，∵∠ABO＝60°，OA＝OB，∴△AOB是等邊三角形，∵AB＝4，∴⊙O的半徑為4，∵AD∥OB，∴∠DAO＝∠AOB＝60°，∵OA＝OD，∴∠AOD＝60°，∵∠AOB＝∠AOD＝60°，∴∠DOE＝60°，∠AOE＝120°，∵DC⊥BE于點C，∴CD＝sin60°?OD4＝2，OCOD＝2，∴BC＝4+2＝6，S陰影＝S△AOB+S扇形OAE﹣S△BCD4×26×2＝462，故答案為：2．【點評】本題考查了扇形的面積，等邊三角形的判定和性質，解直角三角形，熟練掌握扇形的面積公式是解題的關鍵．三．解答題（共9小題，滿分72分）17．（6分）計算：．【考點】實數的運算；負整數指數冪；特殊角的三角函數值．【專題】實數；運算能力．【答案】0．【分析】原式利用算術平方根定義，特殊角的三角函數值，負整數指數冪法則，以及絕對值的代數意義計算即可求出值．【解答】解：原式＝2﹣1+2﹣3＝0．【點評】此題考查了實數的運算，負整數指數冪，以及特殊角的三角函數值，熟練掌握運算法則是解本題的關鍵．18．（6分）先化簡，再求值：，其中x＝﹣3．【考點】分式的化簡求值．【專題】計算題；分式；運算能力．【答案】3x+2，﹣7．【分析】先根據分式混合運算的法則把原式進行化簡，再把x的值代入進行計算即可．【解答】解：＝[]??＝3x+2，當x＝﹣3時，原式＝﹣9+2＝﹣7．【點評】本題考查的是分式的化簡求值，熟知分式混合運算的法則是解答此題的關鍵．19．（6分）如圖，海面上有A，B，C三個小島，A，B兩島相距20海里，B，C兩島相距20海里，A，C兩島相距40海里，若B島在A島的東北方向上，那么C島在A島的什么方向上？【考點】勾股定理的應用．【專題】等腰三角形與直角三角形；解直角三角形及其應用；應用意識．【答案】C島在A島的北偏東75°方向上．【分析】根據勾股定理的逆定理得到∠B＝90°，根據三角函數的定義得到∠BAC＝30°，于是得到結論．【解答】解：∵AB2+BC2＝（20）2+202＝1200+400＝1600＝402＝AC2，∴∠B＝90°，∵sin∠BAC，∴∠BAC＝30°，∵∠NAB＝45°，∴∠NAC＝75°，∴C島在A島的北偏東75°方向上．【點評】本題考查了勾股定理的應用，三角函數的定義，方向角，熟練掌握勾股定理的逆定理是解題的關鍵．20．（8分）在4月23日世界讀書日來臨之際，為了解某校九年級（1）班同學們的閱讀愛好，要求所有同學從4類書籍中（A：文學類；B：科幻類；C：軍事類；D：其他類），選擇一類自己最喜歡的書籍進行統計．根據統計結果，繪制了如圖所示的兩幅不完整的統計圖．根據圖中信息回答問題：（1）九年級（1）班的學生總數為40；（2）補全條形統計圖；（3）在扇形統計圖中，A的扇形圓心角度數為108°，m的值為40；（4）如果選擇C類書籍的同學中有2名女同學，其余為男同學，現要在選擇C類書籍的同學中選取兩名同學去參加讀書交流活動，恰好是一男一女同學去參加讀書交流活動的概率為．【考點】列表法與樹狀圖法；扇形統計圖；條形統計圖．【專題】數據的收集與整理；統計的應用；概率及其應用；數據分析觀念；運算能力．【答案】（1）40；（2）詳見解答；（3）108，40；（4）．【分析】（1）從兩個統計圖可知，樣本中喜歡A類圖書的有12人，占調查人數的30%，根據頻率進行計算即可；（2）求出喜歡C類圖書的人數即可補全條形統計圖；（3）A的扇形圓心角度數占360°的30%即可，求出B所占的百分比，即可得出m的值；（4）用列表法表示從2男2女中隨機選擇2人，所有可能出現的結果，再根據概率的定義進行計算即可．【解答】解：（1）12÷30%＝40（人），故答案為：40；（2）40﹣12﹣16﹣8＝4（人），補全條形統計圖如下：（3）360°×30%＝108°，16÷40×100%＝40%，即m＝40，故答案為：108，40；（4）用列表法表示從2男2女中隨機選擇2人，所有可能出現的結果如下：共有12種能可能出現的結果，其中1男1女的有8種，所以恰好是一男一女同學去參加讀書交流活動的概率為，故答案為：．【點評】本題考查條形統計圖、扇形統計圖以及列表法或樹狀圖法，掌握頻率以及列表法表示所有可能出現的結果是正確解答的前提．21．（8分）如圖，CA＝CB，E在BC上，且CE＝CD，∠ACB＝∠DCE＝90°，AE的延長線交BD于F，連接CF．（1）猜想AE與BD的關系，并給予證明．（2）求∠CFB的度數．【考點】全等三角形的判定與性質；等腰直角三角形．【專題】圖形的全等；等腰三角形與直角三角形；圖形的相似；幾何直觀；運算能力；推理能力．【答案】（1）AE與BD的關系是：①AE＝BD，②AE⊥BD；證明見解答過程；（2）135°．【分析】（1）證△ACE和△BCD全等可得AE與BD的數量關系；由∠DCE＝90°得∠DCB+∠D＝90°，然后由∠AEC＝∠D＝∠BEF可得∠DBC+∠BEF＝90°，據此可得出AE與BD的位置關系；（2）先求出∠ABC＝45°，證△BFE和△ACE相似得BE：AE＝EF：CE，進而得BE：EF＝AE：CE，據此可根據兩邊對應成比例夾角相等的兩個三角形相似得△BEA和△FEC相似，進而根據相似三角形的對應角相等得∠ABE＝∠CFE＝45°，進而可求出∠CFB的度數．【解答】解：（1）AE與BD的關系是：①AE＝BD，②AE⊥BD．證明如下：①∵∠ACB＝∠DCE＝90°，∴∠ACE＝∠BCD＝90°，在△ACE和△BCD中，，∴△AC≌△BCD（SAS），∴AE＝BD；②∵∠DCE＝90°，∴∠DCB+∠D＝90°，由①可知：△AC≌△BCD，∴∠AEC＝∠D，又∵∠AEC＝∠BEF，∴∠D＝∠BEF，∴∠DBC+∠BEF＝90°，∴∠BFE＝180°﹣（∠DBC+∠BEF）＝180°﹣90°＝90°，∴AF⊥BD；（3）∵CA＝CB，∠ACB＝90°，∴△ACB為等腰直角三角形，∴∠ABC＝45°．由（1）②可知：∠BFE＝90°，∴∠BFE＝∠ACE＝90°，又∠BEF＝∠AEC，∴△BFE∽△ACE，∴BE：AE＝EF：CE，∴BE：EF＝AE：CE，又∵∠BEA＝∠FEC，∴△BEA∽△FEC，∴∠ABE＝∠CFE＝45°，∴∠CFB＝∠CFE+∠BFE＝45°+90°＝135°．【點評】本題考查了等腰直角三角形的性質，全等三角形的判定及性質，相似三角形的判定和性質，熟練掌握三角形全等和三角形相似的證明方法，理解全等三角形的對應邊相等、對應角相等；相似三角形的對應角相等是解答此題的關鍵．22．（9分）每年五、六月份是我國冬小麥的收割時間．某農業合作社租用中型收割機和小型收割機進行冬小麥收割．已知1臺中型收割機和3臺小型收割機一天共能收割小麥430畝，1臺中型收割機比1臺小型收割機每天多收割70畝．（1）求每臺中型收割機和每臺小型收割機平均每天各收割小麥多少畝？（2）每臺中型收割機和每臺小型收割機每天的租金分別為1800元和1000元，該合作社種植了冬小麥5350畝，合作社計劃租用兩型收割機共8臺，在5天時間內將小麥全部收割，要使租用收割機的總金額不超過65000元，試求出所有滿足條件的租用方案．并指出最經濟的方案，計算出此種方案的總租金．【考點】二元一次方程組的應用；一元一次不等式組的應用；一元一次方程的應用．【專題】一次方程（組）及應用；一元一次不等式（組）及應用；運算能力；應用意識．【答案】（1）每臺中型收割機平均每天收割小麥160畝，每臺小型收割機平均每天收割小麥90畝；（2）共有2種租用方案，方案1：租用5臺中型收割機，3臺小型收割機；方案2：租用6臺中型收割機，2臺小型收割機；最經濟的方案為：方案1、租用5臺中型收割機，3臺小型收割機，此種方案的總租金為60000元．【分析】（1）設每臺中型收割機平均每天收割小麥x畝，每臺小型收割機平均每天收割小麥y畝，根據“1臺中型收割機和3臺小型收割機一天共能收割小麥430畝，1臺中型收割機比1臺小型收割機每天多收割70畝”，可列出關于x、y的二元一次方程組，解方程組即可；（2）設租用m臺中型收割機，則租用（8﹣m）臺小型收割機，根據“恰好用5天時間將小麥全部收割，且租用收割機的總費用不超過65000元”，可列出關于m的一元一次不等式組，解不等式組得出m的取值范圍，再結合m為正整數，即可得出各租用方案，分別計算各租用方案的租金進行比較即可．【解答】解：（1）設每臺中型收割機平均每天收割小麥x畝，每臺小型收割機平均每天收割小麥y畝，由題意得：，解得：，∴每臺中型收割機平均每天收割小麥160畝，每臺小型收割機平均每天收割小麥90畝，答：每臺中型收割機平均每天收割小麥160畝，每臺小型收割機平均每天收割小麥90畝；（2）設租用m臺中型收割機，則租用（8﹣m）臺小型收割機，由題意得：，解得：5≤m，又∵m為正整數，∴m可以為5或6，∴共有2種租用方案，方案1、租用5臺中型收割機，3臺小型收割機；方案2、租用6臺中型收割機，2臺小型收割機；方案1租金為：1800×5×5+1000×5×3＝60000（元），方案2租金為：1800×5×6+1000×5×2＝64000（元），∵60000＜64000，∴最經濟的方案為：方案1：租用5臺中型收割機，3臺小型收割機，此種方案的總租金為60000元．【點評】本題考查了二元一次方程組的應用、一元一次不等式組的應用，解題的關鍵是：（1）找準等量關系，正確列出二元一次方程組；（2）根據各數量之間的關系，正確列出一元一次不等式組．23．（9分）如圖，在?ABCD中，對角線AC，BD交于點O，E是BD延長線上一點，且△ACE是等邊三角形．（1）求證：四邊形ABCD是菱形；（2）若∠AED＝2∠EAD，AB＝a，求四邊形ABCD的面積．【考點】菱形的判定與性質；等邊三角形的性質；平行四邊形的性質．【專題】等腰三角形與直角三角形；多邊形與平行四邊形；矩形菱形正方形；推理能力．【答案】（1）證明見解析；（2）a2．【分析】（1）由等邊三角形的性質得EO⊥AC，即BD⊥AC，再根據對角線互相垂直的平行四邊形是菱形，即可得出結論；（2）證明菱形ABCD是正方形，即可得出答案．【解答】（1）證明：∵四邊形ABCD是平行四邊形，∴AO＝OC，∵△ACE是等邊三角形，∴EO⊥AC（三線合一），即BD⊥AC，∴?ABCD是菱形；（2）解：∵△ACE是等邊三角形，∴∠EAC＝60°由（1）知，EO⊥AC，AO＝OC∴∠AEO＝∠OEC＝30°，△AOE是直角三角形，∵∠AED＝2∠EAD，∴∠EAD＝15°，∴∠DAO＝∠EAO﹣∠EAD＝45°，∵?ABCD是菱形，∴∠BAD＝2∠DAO＝90°，∴菱形ABCD是正方形，∴正方形ABCD的面積＝AB2＝a2．【點評】本題考查了菱形的判定與性質、正方形的判定與性質、平行四邊形的性質、等邊三角形的性質等知識，證明四邊形ABCD為菱形是解題的關鍵．24．（10分）如圖，在△ABC中，AB＝20，BC＝21，tanB，D是射線BC上一點，連接AD，將AD繞點D順時針旋轉90°，得到DE．（如需作圖或作輔助線，請先將原題草圖畫在對應題目的答題區域后再作答．）（1）當△ABD的外心O在其內部時，求BD的取值范圍；（2）連接CE，當BD＝11時，求△DCE的面積；（3）當點E恰好落在直線BC或直線AC上時，求DA旋轉到DE的過程中，點A所走的路徑長．【考點】圓的綜合題．【專題】圖形的全等；平移、旋轉與對稱；與圓有關的計算；圖形的相似；解直角三角形及其應用；幾何直觀；應用意識．【答案】（1）16＜BD＜25；（2）25；（3）6π或π．【分析】（1）過A作AF⊥BC于F，過A作AG⊥AB，交BC延長線于G，在Rt△ABF中，AB＝20，tanB，可求得BF＝16，在Rt△ABG中，AB＝20，tanB，AG＝15，即得BG25，當△ABD的外心O在其內部時，△ABD是銳角三角形，D在線段FG上（不包括F、G），故16＜BD＜25；（2）過A作AF⊥BC于F，過E作EH⊥BC，交BC延長線于H，由將AD繞點D順時針旋轉90°，得到DE，可證△DEH≌△ADF，即得HE＝DF，而BF＝16，BD＝11，有DF＝5＝HE，即可得S△DCECD?HE＝25；（3）①當E落在直線BC上時，由∠ADE＝90°，可得AD＝12，故點A所走的路徑長為6π；②當E落在直線AC上時，過A作AM⊥BC于M，過E作EN⊥BC，交BC延長線于N，由已知可得AM＝12，BM＝16，即得CM＝5，而△ADM≌△DEN（AAS），得DN＝AM＝12，DM＝NE，即得CN+DM＝DN﹣CM＝7，設DM＝NE＝x，則CN＝7﹣x，由△AMC∽△ENC，得，解得x，可得AD，故點A所走的路徑長為π．【解答】解：（1）過A作AF⊥BC于F，過A作AG⊥AB，交BC延長線于G，如圖：在Rt△ABF中，AB＝20，tanB，∴，設AF＝3m，則BF＝4m，∴（3m）2+（4m）2＝202，∴m＝4，∴BF＝16，在Rt△ABG中，AB＝20，tanB，∴，設AG＝3n，則AB＝5n，∴5n＝20，∴n＝5，∴AG＝15，∴BG25，當△ABD的外心O在其內部時，△ABD是銳角三角形，D在線段FG上（不包括F、G），∴16＜BD＜25；（2）過A作AF⊥BC于F，過E作EH⊥BC，交BC延長線于H，如圖：∵將AD繞點D順時針旋轉90°，得到DE，∴∠HDE＝90°﹣∠ADF＝∠DAF，AD＝DE，在△ADF和△DEH中，，∴△DEH≌△ADF（AAS），∴HE＝DF，由（1）知：BF＝16，∵BD＝11，∴DF＝5＝HE，∵BC＝21，BD＝11，∴CD＝BC﹣BD＝10，∴S△DCECD?HE10×5＝25；（3）①當E落在直線BC上時，如圖：∵∠ADE＝90°，∴∠ADB＝90°，在Rt△ABD中，AB＝20，tanB，∴，設AD＝3t，則BF＝4t，∴（3t）2+（4t）2＝202，∴t＝4，∴AD＝12，∴點A所走的路徑長為6π；②當E落在直線AC上時，過A作AM⊥BC于M，過E作EN⊥BC，交BC延長線于N，如圖：在Rt△ABM中，AB＝20，tanB，∴，設AM＝3s，則BM＝4s，∴（3s）2+（4s）2＝202，∴s＝4，∴AM＝12，BM＝16，∵BC＝21，∴CM＝5，∵將AD繞點D順時針旋轉90°，得到DE，∴∠NDE＝90°﹣∠ADM＝∠DAM，AD＝DE，在△ADM和△DEN中，，∴△ADM≌△DEN（AAS），∴DN＝AM＝12，DM＝NE，∴CN+DM＝DN﹣CM＝7，設DM＝NE＝x，則CN＝7﹣x，∵∠ACM＝∠ECN，∠AMC＝∠ENC＝90°，∴△AMC∽△ENC，∴，即，解得x，∴DM，∴AD，∴點A所走的路徑長為π，綜上所述，點A所走的路徑長為6π或π．【點評】本題考查旋轉變換，涉及解直角三角形、全等三角形性質與判定、相似三角形性質與判定、扇形得弧長等知識，解題的關鍵是作輔助線，構造直角三角形、全等三角形．25．（10分）定義：若一個函數的圖象上存在橫、縱坐標之和為零的點，則稱該點為這個函數圖象的“好點”．例如，點（﹣1，1）是函數y＝x+2的圖象的“好點”．（1）在函數①y＝﹣x+3，②y③y＝x2+2x+1的圖象上，存在“好點”的函數是③；（填序號）（2）設函數y（x＜0）與y＝kx+3的圖象的“好點”分別為點A、B，過點A作AC⊥y軸，垂足為C．當△ABC為等腰三角形時，求k的值；（3）若將函數y＝x2+2x的圖象在直線y＝m下方的部分沿直線y＝m翻折，翻折后的部分與圖象的其余部分組成了一個新的圖象．當該圖象上恰有3個“好點”時，求m的值．【考點】二次函數綜合題．【專題】閱讀型；一元二次方程及應用；一次函數及其應用；反比例函數及其應用；二次函數圖象及其性質；等腰三角形與直角三角形；運算能力；推理能力．【答案】（1）③；（2）k或k＝2；（3），0．【分析】（1）判斷y＝﹣x與各個函數圖象是否有公共點即可；（2）先得出y的“好點”，從而得出AC的長，在y＝﹣x上的點B，使得AB＝AC，從而求得點B坐標，將B點坐標代入y＝kx+3求得k的值；（3）折疊前的拋物線上有兩個“好點”，所以折疊后的拋物線上有一個“好點”即可，即y＝﹣x與折疊后拋物線只有一個公共點，從而求得折疊后的拋物線解析式，進一步求得結果．【解答】解：（1）∵y＝﹣x+3，∴y+x＝3，∴①不是“好點”的函數，∵y，x＞0，∴xy＝3＞0∴x+y≠0，∴②不是“好點”的函數，∵，∴x2+3x+1＝0，∴Δ＝32﹣4×1×1＞0，∴方程組有解，∴③是“好點”的函數，故答案為：③；（2）∵，x＜0，∴，∴A（﹣2，2），如圖，當△ABC為等腰三角形時，AB＝AC＝2或BA＝BC，當AB＝AC時，∵y＝﹣x，∴B（x，﹣x），∴（x+2）2+（﹣x﹣2）2＝22，∴x12，x22，當x2時，y2，∴（2）k+32，∴k，當x2時，y2，∴（2）k+32，∴k，當AB＝BC時，點B（﹣1，1），∴﹣k+3＝1，∴k＝2，綜上所述：k或k＝2；（3）設翻折后的拋物線解析式為y＝﹣x2﹣2x+k，∵y＝x2+2x的圖象上有兩個“好點”：（0，0）和（﹣3，0），當y＝﹣x2﹣2x+k上有一個“好點”時，把y＝﹣x代入得，﹣x＝﹣x2﹣2x+k，化簡整理得，x2+x﹣k＝0，∵Δ＝1+4k＝0，∴k，∴y＝﹣x2﹣2x，由得，2y，∴y，∴m．當（0，0）在y＝﹣x2﹣2x+k上時，此時﹣x2﹣2x＝﹣x，x＝0或x＝﹣1，這時也有三個“好點”：（﹣3，﹣3），（0，0），（﹣1﹣1），∴m或0．【點評】本題考查了結合一次函數，反比例函數及二次函數知識，考查了對“好點”的理解，等腰三角形知識，坐標系中線段的長，兩個圖象的交點與方程組之間的關系等知識，解決問題的關鍵是根據題意，轉化為學過的知識．

考點卡片1．正數和負數1、在以前學過的0以外的數叫做正數，在正數前面加負號“﹣”，叫做負數，一個數前面的“+”“﹣”號叫做它的符號．2、0既不是正數也不是負數．0是正負數的分界點，正數是大于0的數，負數是小于0的數．3、用正負數表示兩種具有相反意義的量．具有相反意義的量都是互相依存的兩個量，它包含兩個要素，一是它們的意義相反，二是它們都是數量．2．有理數1、有理數的概念：整數和分數統稱為有理數．2、有理數的分類：①按整數、分數的關系分類：有理數；②按正數、負數與0的關系分類：有理數．注意：如果一個數是小數，它是否屬于有理數，就看它是否能化成分數的形式，所有的有限小數和無限循環小數都可以化成分數的形式，因而屬于有理數，而無限不循環小數，不能化成分數形式，因而不屬于有理數．3．相反數（1）相反數的概念：只有符號不同的兩個數叫做互為相反數．（2）相反數的意義：掌握相反數是成對出現的，不能單獨存在，從數軸上看，除0外，互為相反數的兩個數，它們分別在原點兩旁且到原點距離相等．（3）多重符號的化簡：與“+”個數無關，有奇數個“﹣”號結果為負，有偶數個“﹣”號，結果為正．（4）規律方法總結：求一個數的相反數的方法就是在這個數的前邊添加“﹣”，如a的相反數是﹣a，m+n的相反數是﹣（m+n），這時m+n是一個整體，在整體前面添負號時，要用小括號．4．估算無理數的大小估算無理數大小要用逼近法．思維方法：用有理數逼近無理數，求無理數的近似值．5．實數的運算（1）實數的運算和在有理數范圍內一樣，值得一提的是，實數既可以進行加、減、乘、除、乘方運算，又可以進行開方運算，其中正實數可以開平方．（2）在進行實數運算時，和有理數運算一樣，要從高級到低級，即先算乘方、開方，再算乘除，最后算加減，有括號的要先算括號里面的，同級運算要按照從左到右的順序進行．另外，有理數的運算律在實數范圍內仍然適用．【規律方法】實數運算的“三個關鍵”1．運算法則：乘方和開方運算、冪的運算、指數（特別是負整數指數，0指數）運算、根式運算、特殊三角函數值的計算以及絕對值的化簡等．2．運算順序：先乘方，再乘除，后加減，有括號的先算括號里面的，在同一級運算中要從左到右依次運算，無論何種運算，都要注意先定符號后運算．3．運算律的使用：使用運算律可以簡化運算，提高運算速度和準確度．6．合并同類項（1）定義：把多項式中同類項合成一項，叫做合并同類項．（2）合并同類項的法則：把同類項的系數相加，所得結果作為系數，字母和字母的指數不變．（3）合并同類項時要注意以下三點：①要掌握同類項的概念，會辨別同類項，并準確地掌握判斷同類項的兩條標準：帶有相同系數的代數項；字母和字母指數；②明確合并同類項的含義是把多項式中的同類項合并成一項，經過合并同類項，式的項數會減少，達到化簡多項式的目的；③“合并”是指同類項的系數的相加，并把得到的結果作為新的系數，要保持同類項的字母和字母的指數不變．7．冪的乘方與積的乘方（1）冪的乘方法則：底數不變，指數相乘．（am）n＝amn（m，n是正整數）注意：①冪的乘方的底數指的是冪的底數；②性質中“指數相乘”指的是冪的指數與乘方的指數相乘，這里注意與同底數冪的乘法中“指數相加”的區別．（2）積的乘方法則：把每一個因式分別乘方，再把所得的冪相乘．（ab）n＝anbn（n是正整數）注意：①因式是三個或三個以上積的乘方，法則仍適用；②運用時數字因數的乘方應根據乘方的意義，計算出最后的結果．8．同底數冪的除法同底數冪的除法法則：底數不變，指數相減．am÷an＝am﹣n（a≠0，m，n是正整數，m＞n）①底數a≠0，因為0不能做除數；②單獨的一個字母，其指數是1，而不是0；③應用同底數冪除法的法則時，底數a可是單項式，也可以是多項式，但必須明確底數是什么，指數是什么．9．完全平方公式（1）完全平方公式：（a±b）2＝a2±2ab+b2．可巧記為：“首平方，末平方，首末兩倍中間放”．（2）完全平方公式有以下幾個特征：①左邊是兩個數的和的平方；②右邊是一個三項式，其中首末兩項分別是兩項的平方，都為正，中間一項是兩項積的2倍；其符號與左邊的運算符號相同．（3）應用完全平方公式時，要注意：①公式中的a，b可是單項式，也可以是多項式；②對形如兩數和（或差）的平方的計算，都可以用這個公式；③對于三項的可以把其中的兩項看做一項后，也可以用完全平方公式．10．提公因式法與公式法的綜合運用先提取公因式，再對余下的多項式利用完全平方公式繼續分解即可．11．分式的化簡求值先把分式化簡后，再把分式中未知數對應的值代入求出分式的值．在化簡的過程中要注意運算順序和分式的化簡．化簡的最后結果分子、分母要進行約分，注意運算的結果要化成最簡分式或整式．【規律方法】分式化簡求值時需注意的問題1．化簡求值，一般是先化簡為最簡分式或整式，再代入求值．化簡時不能跨度太大，而缺少必要的步驟，代入求值的模式一般為“當…時，原式＝…”．2．代入求值時，有直接代入法，整體代入法等常用方法．解題時可根據題目的具體條件選擇合適的方法．當未知數的值沒有明確給出時，所選取的未知數的值必須使原式中的各分式都有意義，且除數不能為0．12．負整數指數冪負整數指數冪：a﹣p（a≠0，p為正整數）注意：①a≠0；②計算負整數指數冪時，一定要根據負整數指數冪的意義計算，避免出現（﹣3）﹣2＝（﹣3）×（﹣2）的錯誤．③當底數是分數時，只要把分子、分母顛倒，負指數就可變為正指數．④在混合運算中，始終要注意運算的順序．13．一元一次方程的應用（一）一元一次方程解應用題的類型有：（1）探索規律型問題；（2）數字問題；（3）銷售問題（利潤＝售價﹣進價，利潤率100%）；（4）工程問題（①工作量＝人均效率×人數×時間；②如果一件工作分幾個階段完成，那么各階段的工作量的和＝工作總量）；（5）行程問題（路程＝速度×時間）；（6）等值變換問題；（7）和，差，倍，分問題；（8）分配問題；（9）比賽積分問題；（10）水流航行問題（順水速度＝靜水速度+水流速度；逆水速度＝靜水速度﹣水流速度）．（二）利用方程解決實際問題的基本思路如下：首先審題找出題中的未知量和所有的已知量，直接設要求的未知量或間接設一關鍵的未知量為x，然后用含x的式子表示相關的量，找出之間的相等關系列方程、求解、作答，即設、列、解、答．列一元一次方程解應用題的五個步驟1．審：仔細審題，確定已知量和未知量，找出它們之間的等量關系．2．設：設未知數（x），根據實際情況，可設直接未知數（問什么設什么），也可設間接未知數．3．列：根據等量關系列出方程．4．解：解方程，求得未知數的值．5．答：檢驗未知數的值是否正確，是否符合題意，完整地寫出答句．14．二元一次方程組的應用（一）列二元一次方程組解決實際問題的一般步驟：（1）審題：找出問題中的已知條件和未知量及它們之間的關系．（2）設元：找出題中的兩個關鍵的未知量，并用字母表示出來．（3）列方程組：挖掘題目中的關系，找出兩個等量關系，列出方程組．（4）求解．（5）檢驗作答：檢驗所求解是否符合實際意義，并作答．（二）設元的方法：直接設元與間接設元．當問題較復雜時，有時設與要求的未知量相關的另一些量為未知數，即為間接設元．無論怎樣設元，設幾個未知數，就要列幾個方程．15．解分式方程（1）解分式方程的步驟：①去分母；②求出整式方程的解；③檢驗；④得出結論．（2）解分式方程時，去分母后所得整式方程的解有可能使原方程中的分母為0，所以應如下檢驗：①將整式方程的解代入最簡公分母，如果最簡公分母的值不為0，則整式方程的解是原分式方程的解．②將整式方程的解代入最簡公分母，如果最簡公分母的值為0，則整式方程的解不是原分式方程的解．所以解分式方程時，一定要檢驗．16．一元一次不等式組的應用對具有多種不等關系的問題，考慮列一元一次不等式組，并求解．一元一次不等式組的應用主要是列一元一次不等式組解應用題，其一般步驟：（1）分析題意，找出不等關系；（2）設未知數，列出不等式組；（3）解不等式組；（4）從不等式組解集中找出符合題意的答案；（5）作答．17．二次函數綜合題（1）二次函數圖象與其他函數圖象相結合問題解決此類問題時，先根據給定的函數或函數圖象判斷出系數的符號，然后判斷新的函數關系式中系數的符號，再根據系數與圖象的位置關系判斷出圖象特征，則符合所有特征的圖象即為正確選項．（2）二次函數與方程、幾何知識的綜合應用將函數知識與方程、幾何知識有機地結合在一起．這類試題一般難度較大．解這類問題關鍵是善于將函數問題轉化為方程問題，善于利用幾何圖形的有關性質、定理和二次函數的知識，并注意挖掘題目中的一些隱含條件．（3）二次函數在實際生活中的應用題從實際問題中分析變量之間的關系，建立二次函數模型．關鍵在于觀察、分析、創建，建立直角坐標系下的二次函數圖象，然后數形結合解決問題，需要我們注意的是自變量及函數的取值范圍要使實際問題有意義．18．平行線的性質1、平行線性質定理定理1：兩條平行線被第三條直線所截，同位角相等．簡單說成：兩直線平行，同位角相等．定理2：兩條平行線被第三條直線所截，同旁內角互補．簡單說成：兩直線平行，同旁內角互補．定理3：兩條平行線被第三條直線所截，內錯角相等．簡單說成：兩直線平行，內錯角相等．2、兩條平行線之間的距離處處相等．19．全等三角形的判定與性質（1）全等三角形的判定是結合全等三角形的性質證明線段和角相等的重要工具．在判定三角形全等時，關鍵是選擇恰當的判定條件．（2）在應用全等三角形的判定時，要注意三角形間的公共邊和公共角，必要時添加適當輔助線構造三角形．20．等邊三角形的性質（1）等邊三角形的定義：三條邊都相等的三角形叫做等邊三角形，等邊三角形是特殊的等腰三角形．①它可以作為判定一個三角形是否為等邊三角形的方法；②可以得到它與等腰三角形的關系：等邊三角形是等腰三角形的特殊情況．在等邊三角形中，腰和底、頂角和底角是相對而言的．（2）等邊三角形的性質：等邊三角形的三個內角都相等，且都等于60°．等邊三角形是軸對稱圖形，它有三條對稱軸；它的任意一角的平分線都垂直平分對邊，三邊的垂直平分線是對稱軸．21．勾股定理（1）勾股定理：在任何一個直角三角形中，兩條直角邊長的平方之和一定等于斜邊長的平方．如果直角三角形的兩條直角邊長分別是a，b，斜邊長為c，那么a2+b2＝c2．（2）勾股定理應用的前提條件是在直角三角形中．（3）勾股定理公式a2+b2＝c2的變形有：a，b及c．（4）由于a2+b2＝c2＞a2，所以c＞a，同理c＞b，即直角三角形的斜邊大于該直角三角形中的每一條直角邊．22．勾股定理的應用（1）在不規則的幾何圖形中，通常添加輔助線得到直角三角形．（2）在應用勾股定理解決實際問題時勾股定理與方程的結合是解決實際問題常用的方法，關鍵是從題中抽象出勾股定理這一數學模型，畫出準確的示意圖．領會數形結合的思想的應用．（3）常見的類型：①勾股定理在幾何中的應用：利用勾股定理求幾何圖形的面積和有關線段的長度．②由勾股定理演變的結論：分別以一個直角三角形的三邊為邊長向外作正多邊形，以斜邊為邊長的多邊形的面積等于以直角邊為邊長的多邊形的面積和．③勾股定理在實際問題中的應用：運用勾股定理的數學模型解決現實世界的實際問題．④勾股定理在數軸上表示無理數的應用：利用勾股定理把一個無理數表示成直角邊是兩個正整數的直角三角形的斜邊．23．等腰直角三角形（1）兩條直角邊相等的直角三角形叫做等腰直角三角形．（2）等腰直角三角形是一種特殊的三角形，具有所有三角形的性質，還具備等腰三角形和直角三角形的所有性質．即：兩個銳角都是45°，斜邊上中線、角平分線、斜邊上的高，三線合一，等腰直角三角形斜邊上的高為外接圓的半徑R，而高又為內切圓的直徑（因為等腰直角三角形的兩個小角均為45°，高又垂直于斜邊，所以兩個小三角形均為等腰直角三角形，則兩腰相等）；（3）若設等腰直角三角形內切圓的半徑r＝1，則外接圓的半徑R1，所以r：R＝1：1．24．多邊形內角與外角（1）多邊形內角和定理：（n﹣2）?180°（n≥3且n為整數）此公式推導的基本方法是從n邊形的一個頂點出發引出（n﹣3）條對角線，將n邊形分割為（n﹣2）個三角形，這（n﹣2）個三角形的所有內角之和正好是n邊形的內角和．除此方法之和還有其他幾種方法，但這些方法的基本思想是一樣的．即將多邊形轉化為三角形，這也是研究多邊形問題常用的方法．（2）多邊形的外角和等于360°．①多邊形的外角和指每個頂點處取一個外角，則n邊形取n個外角，無論邊數是幾，其外角和永遠為360°．②借助內角和和鄰補角概念共同推出以下結論：外角和＝180°n﹣（n﹣2）?180°＝360°．25．平行四邊形的性質（1）平行四邊形的概念：有兩組對邊分別平行的四邊形叫做平行四邊形．（2）平行四邊形的性質：①邊：平行四邊形的對邊相等．②角：平行四邊形的對角相等．③對角線：平行四邊形的對角線互相平分．（3）平行線間的距離處處相等．（4）平行四邊形的面積：①平行四邊形的面積等于它的底和這個底上的高的積．②同底（等底）同高（等高）的平行四邊形面積相等．26．菱形的判定與性質（1）依次連接四邊形各邊中點所得的四邊形稱為中點四邊形．不管原四邊形的形狀怎樣改變，中點四邊形的形狀始終是平行四邊形．（2）菱形的中點四邊形是矩形（對角線互相垂直的四邊形的中點四邊形定為矩形，對角線相等的四邊形的中點四邊形定為菱形．）（3）菱形是在平行四邊形的前提下定義的，首先它是平行四邊形，但它是特殊的平行四邊形，特殊之處就是“有一組鄰邊相等”，因而就增加了一些特殊的性質和不同于平行四邊形的判定方法．（4）正方形是特殊的菱形，菱形不一定是正方形，所以，在同一平面上四邊相等的圖形不只是正方形．27．垂徑定理（1）垂徑定理垂直于弦的直徑平分這條弦，并且平分弦所對的兩條弧．（2）垂徑定理的推論推論1：平分弦（不是直徑）的直徑垂直于弦，并且平分弦所對的兩條弧．推論2：弦的垂直平分線經過圓心，并且平分弦所對的兩條?。普?：平分弦所對一條弧的直徑，垂直平分弦，并且平分弦所對的另一條?。?8．圓周角定理（1）圓周角的定義：頂點在圓上，并且兩邊都與圓相交的角叫做圓周角．注意：圓周角必須滿足兩個條件：①頂點在圓上．②角的兩條邊都與圓相交，二者缺一不可．（2）圓周角定理：在同圓或等圓中，同弧或等弧所對的圓周角相等，都等于這條弧所對的圓心角的一半．推論：半圓（或直徑）所對的圓周角是直角，90°的圓周角所對的弦是直徑．（3）在解圓的有關問題時，常常需要添加輔助線，構成直徑所對的圓周角，這種基本技能技巧一定要掌握．（4）注意：①圓周角和圓心角的轉化可通過作圓的半徑構造等腰三角形．利用等腰三角形的頂點和底角的關系進行轉化．②圓周角和圓周角的轉化可利用其“橋梁”﹣﹣﹣圓心角轉化．③定理成立的條件是“同一條弧所對的”兩種角，在運用定理時不要忽略了這個條件，把不同弧所對的圓周角與圓心角錯當成同一條弧所對的圓周角和圓心角．29．扇形面積的計算（1）圓面積公式：S＝πr2（2）扇形：由組成圓心角的兩條半徑和圓心角所對的弧所圍成的圖形叫做扇形．（3）扇形面積計算公式：設圓心角是n°，圓的半徑為R的扇形面積為S，則S扇形πR2或S扇形lR（其中l為