工程力學第6章基本變形桿件的應力和變形彈性變形—變形體在外力撤去后能完全消失的變形塑性變形—變形體在外力撤去后不能消失而殘留(殘余變形)下來的變形

在外力作用下，發生變形的固體稱為變形固體；6.1變形固體基本假設及基本概念一、變形固體的基本假設理想彈性體：外力撤除后能完全恢復原狀的物體工程力學研究對象：理想彈性體1.連續性假設：認為組成物體的物質毫無空隙地充滿了整個物體的幾何容積，其次物體受力產生的變形也是連續的，即不產生“空隙”，也不引起“擠入”。變形前：變形后：空隙擠入變形協調6.1變形固體基本假設及基本概念2.均勻性假設：認為在物體內各處的力學性質完全相同。3.各向同性假設：認為材料在一點的各個不同方向上具有相同的力學性質。各向異性：如竹子、層合板、片巖等6.1變形固體基本假設及基本概念

假設物體產生的變形與整個物體的原始尺寸相比是極其微小的。4.小變形假設：可用變形前的幾何形狀和尺寸進行計算6.1變形固體基本假設及基本概念

工程構件的尺寸遠大于材料微觀結構的尺寸！因此，微觀結構的不連續性、不均勻性及各向異性對構件宏觀力學性能的影響是微不足道的。從材料的微觀尺度而言，上述基本假設一般不成立！低碳鋼混凝土6.1變形固體基本假設及基本概念

在材料力學部分，把構件視為連續、均勻、各向同性的變形固體，研究的范圍限于材料的彈性階段，且構件的變形是微小的。6.1變形固體基本假設及基本概念它有兩個分量：正應力

：與截面垂直的分量切應力

：與截面相切的分量為抵抗變形材料內部將產生內力，內力在一點處的分布集度稱為應力；一點處的平均應力：Fm=F/A該點處的總應力：二、應力的概念6.1變形固體基本假設及基本概念

6.1變形固體基本假設及基本概念三、位移和應變的概念1、位移（變形位移）線位移：物體中一點相對于原來位置所移動的直線距離。角位移：物體中某一直線或平面相對于原來位置所轉過的角度。

梁右端面的角位移為θ6.1變形固體基本假設及基本概念三、位移和應變的概念2、應變線應變：角應變（切應變）：應變反應的是變形的梯度;線應變是量綱為1的量切應變通常用弧度(rad)表示，也是量綱為1的量。為什么要研究桿件內的應力？6.2軸向拉壓桿件的應力與變形

僅僅根據內力無法判斷桿件的強度，而須用應力來進行分析判斷！1）橫截面上各點處產生何種應力（正應力或切應力）；

2）應力在橫截面上的分布規律（如何分布）；

3）各點處應力的數值（如何計算）。在已知橫截面上的內力后，要求出其上的應力，需要解決3個方面的問題：6.2.1軸向拉壓桿件的應力一、實驗觀察：橫向線——仍為平行的直線，且間距增大。縱向線——仍為平行的直線，且間距減小。縱向線橫向線拉伸前拉伸后FF6.2.1軸向拉壓桿件的應力橫向線——仍為平行的直線，且間距減小。縱向線——仍為平行的直線，且間距增大。壓縮:6.2.1軸向拉壓桿件的應力平面假定：變形前的橫截面，變形后仍為平面且各橫截面沿桿軸線作相對平移。二、假設及判斷：縱向纖維變形相同在橫截面上只有線應變，沒有切應變直桿軸向拉壓時，橫截面上只產生正應力

縱向線應變均勻分布推斷：6.2.1軸向拉壓桿件的應力橫截面上正應力均勻分布正應力

在橫截面上均勻分布應力的分布規律:A──橫截面面積單位：6.2.1軸向拉壓桿件的應力正應力的符號規定——同軸力拉應力為正值，方向背離所在截面。壓應力為負值，方向指向所在截面。6.2.1軸向拉壓桿件的應力軸向拉壓桿件橫截面上的正應力：1）桿必須是等截面直桿；

2）外力的作用線必須與桿的軸線重合；

3）除外力作用點附近以外的其它各點處

——圣維南原理公式的使用條件：6.2.1軸向拉壓桿件的應力軸向拉壓桿件橫截面上的正應力：圣維南原理上圖為軸向受拉構件的應力圖譜，顏色相同的各點應力相同，白色部分為應力較大區域，深灰色區域為應力極小區域。應力集中現象6.2.1軸向拉壓桿件的應力圣維南原理

外力作用于桿端形式的不同，只在距離桿端不大于桿橫向尺寸的范圍內產生影響。應力集中現象6.2.1軸向拉壓桿件的應力例題

圖示結構，試求桿件AB、CB的應力。已知F=20kN；斜桿AB為直徑20mm的圓截面桿，水平桿CB為15×15mm的方截面桿。FABC解：1、計算各桿件的軸力45°12BF45°xy2、計算各桿件的應力例題

圖示結構，試求桿件AB、CB的應力。已知F=20kN；斜桿AB為直徑20mm的圓截面桿，水平桿CB為15×15mm的方截面桿。解：1、計算各桿件的軸力1、軸向拉壓桿的變形縱向伸長量：6.2.2軸向拉壓桿件的變形桿變形后的長度減去變形前長度

縱向線應變：桿的伸長量除以桿件的初始長度正負號：伸長為正，縮短為負。

軸向拉壓時彈性應力應變關系:—胡克定律

6.2.2軸向拉壓桿件的變形E為材料彈性模量，量綱與應力相同EA為桿件抗拉剛度鋼材的E約為200GPa，

約為0.25—0.33泊松比●橫向變形系數在彈性范圍內有：（隨材料不同而異）

橫向線應變：用表示。6.2.2軸向拉壓桿件的變形●△l與EA成反比，即EA越大，伸長（壓縮）量越小，所以EA代表桿件抵抗拉伸（壓縮）的能力，稱為抗拉（壓）剛度；●軸向變形△l與桿的原長l有關，因此軸向變形不能確切地表明桿件的變形程度。只有線應變才能衡量和比較桿件的軸向變形程度；

●△l的正負號與軸力FN的符號相同（伸長為正、縮短為負）

●此式只適用于在l桿段內FN、A和E均為常數的情況。若不符合：或6.2.2軸向拉壓桿件的變形ABC例題

2.求橫截面B、C及端面D的縱向位移。例：等直桿受力如圖，已知桿的橫截面面積A和材料的彈性模量E。

1.求各段桿的縱向變形ΔlAB，ΔlBC，ΔlCD以及整個桿的縱向變形Δl。

例題FFFN

圖F+-+截面的位移：變形：例題例:如圖所示桿系，桿1、2長度及橫截面都相同，荷載P=100kN，試求結點A的位移ΔA。已知：a

=30°，l=2m，圓截面桿直徑d=25mm，桿的材料(鋼)的彈性模量為E=210GPa。例題由胡克定律:

其中

1.求桿的軸力及伸長解：結點A的位移ΔA系由兩桿的伸長變形引起，故需先求兩桿的伸長。

結點A:

例題2.由桿的變形求結點A的位移

由對稱性：

結點A只有豎向位移。例題

畫桿系的變形圖，確定結點A的位移：

例題這樣可使計算簡化，又能滿足精度要求。小變形情況下，計算結點位移時：1)忽略桿件位置的變化，在桿件原始位置分析結點位移；2)以結點處垂直于桿件的垂線代替圓弧線。例題由幾何關系:例題

此桿系結點A的位移是因桿件變形所引起，但兩者雖有聯系又有區別。變形是指桿件幾何尺寸的改變，是個標量；位移是指結點位置的移動，是個矢量，位移除了與桿件的變形有關以外，還與結構的形式以及各桿件所受約束有關。力學性質：材料受力時在強度和變形方面所表現出來的性能。力學性質取決于內部結構外部環境由試驗方式獲得

本節討論的是常溫、靜載、軸向拉伸（或壓縮）變形條件下材料的力學性能。6.2.4材料在拉伸、壓縮時的力學性質目的——確定材料強度和變形方面的重要性能指標，以作為強度和剛度計算的依據。常溫、靜載標距長度一、拉伸試件和實驗設備（三）材料在拉伸、壓縮時的力學性質

設備：電子式萬能實驗機二、低碳鋼的拉伸（含碳量低于0.3﹪）（三）材料在拉伸、壓縮時的力學性質低碳鋼拉伸實驗動畫：（三）材料在拉伸、壓縮時的力學性質為了消除掉試件尺寸的影響，將試件拉伸圖轉變為材料的應力—應變曲線圖。圖中：A

—原始橫截面面積

—名義應力l—原始標距

—名義應變（三）材料在拉伸、壓縮時的力學性質拉伸過程四個階段的變形特征及應力特征：Ⅰ、彈性階段ob此階段試件變形完全是彈性的，且ob段

與

成線性關系E—線段oa的斜率比例極限

p

—對應點a彈性極限

e

—對應點b（1）強度性質（三）材料在拉伸、壓縮時的力學性質（失去抵抗變形的能力）Ⅱ、屈服階段bc此階段應變顯著增加，但應力基本不變—屈服現象。產生的變形主要是塑性的。拋光的試件表面上可見大約與軸線成45

的滑移線。屈服極限—屈服低限（三）材料在拉伸、壓縮時的力學性質Ⅲ、強化階段ce此階段材料抵抗變形的能力有所增強。強度極限

b

—對應點e

(拉伸強度)，最大名義應力此階段如要增加應變，必須增大應力材料的強化

-

關系非線性，滑移線消失，試件明顯變細。（三）材料在拉伸、壓縮時的力學性質Ⅳ、局部變形階段ef試件上出現局部橫截面急劇收縮——頸縮，直至試件斷裂。Q235鋼的主要強度指標：斷口：杯口狀（三）材料在拉伸、壓縮時的力學性質若在強化階段卸載，則卸載過程s-e關系為直線。立即再加載時，s-e曲線基本上沿卸載直線上升直至當初卸載的位置，然后沿曲線def直至斷裂ee—彈性應變ep

—殘余應變（塑性）卸載定律及冷作硬化：—冷作硬化冷作硬化對材料力學性能的影響:ee—彈性應變ep

—殘余應變（塑性）

s

b不變ep冷作硬化常用于工程中提高構件在彈性范圍內的承載能力。

s

bep材料的屈服極限提高，塑性降低。兩個塑性指標:延伸率斷面收縮率為塑性材料為脆性材料Q235鋼：為塑性材料（2）變形性質（三）材料在拉伸、壓縮時的力學性質三、其它材料拉伸時的力學性質（三）材料在拉伸、壓縮時的力學性質材料錳鋼硬鋁青銅退火球墨鑄鐵彈性階段√√√√屈服階段××××強化階段√√√√局部變形階段×√√√伸長率（三）材料在拉伸、壓縮時的力學性質對于沒有明顯屈服階段的塑性材料，用名義屈服極限

p0.2來表示。（三）材料在拉伸、壓縮時的力學性質

對于脆性材料（鑄鐵），拉伸時的應力應變曲線為微彎的曲線，沒有屈服和頸縮現象，試件突然拉斷。斷后伸長率約為0.5%。為典型的脆性材料。

bt—拉伸強度極限（約為200MPa）破壞斷口（三）材料在拉伸、壓縮時的力學性質常溫、靜載四、壓縮試件（三）材料在拉伸、壓縮時的力學性質屈服極限比例極限彈性極限E---彈性模量五、低碳鋼的壓縮（三）材料在拉伸、壓縮時的力學性質特點：1、低碳鋼拉、壓時的σs以及彈性模量E基本相同。2、材料延展性很好，不會被壓壞。（三）材料在拉伸、壓縮時的力學性質

脆性材料的抗拉與抗壓性質不完全相同六、脆性材料（鑄鐵）的壓縮（三）材料在拉伸、壓縮時的力學性質特點：

1、壓縮時的σb和??

均比拉伸時大得多，宜做受壓構件；2、即使在較低應力下其σ—ε

也只近似符合胡克定律;3、試件最終沿著與橫截面大致成45

55

的斜截面發生錯動而破壞。（三）材料在拉伸、壓縮時的力學性質

塑性材料和脆性材料力學性能上的主要差異：

塑性材料的塑性指標較高，常用強度指標是屈服極限，且拉伸和壓縮時的值相同；

脆性材料的塑性指標很低，其強度指標只有強度極限，而且壓縮強度極限很高而拉伸強度極限很低。（三）材料在拉伸、壓縮時的力學性質根據圖示三種材料拉伸時的應力－應變曲線，得出如下四種結論，請判斷哪一個是正確的：（A）強度極限σｂ（1）＝σｂ（2）＞σｂ（3）；彈性模量E（1）＞E（2）＞E（3）；延伸率δ（1）＞δ（2）＞δ（3）；（B）強度極限σｂ（2）＞σｂ（1）＞σｂ（3）；彈性模量E（2）＞E（1）＞E（3）；延伸率δ（1）＞δ（2）＞δ（3）；（C）強度極限σｂ（3）＝σｂ（1）＞σｂ（2）；彈性模量E（3）＞E（1）＞E（2）；延伸率δ（3）＞δ（2）＞δ（1）；（D）強度極限σｂ（1）＝σｂ（2）＞σｂ（3）；彈性模量E（2）＞E（1）＞E（3）；延伸率δ（2）＞δ（1）＞δ（3）；正確答案是（）B塑性材料冷作硬化后，材料的力學性能發生了變化。試判斷以下結論哪一個是正確的：（A）屈服應力提高，彈性模量降低；（B）屈服應力提高，塑性降低；（C）屈服應力不變，彈性模量不變；（D）屈服應力不變，塑性不變。

正確答案是（）B低碳鋼材料在拉伸實驗過程中，不發生明顯的塑性變形時，承受的最大應力應當小于的數值，有以下4種答案，請判斷哪一個是正確的：（A）比例極限；（B）屈服極限；（C）強度極限；（D）許用應力。

正確答案是（）B關于有如下四種論述，請判斷哪一個是正確的：（A）彈性應變為0.2%時的應力值；（B）總應變為0.2%時的應力值；（C）塑性應變為0.2%時的應力值；（D）塑性應變為0.2時的應力值。

正確答案是（）C關于材料的力學一般性能，有如下結論，請判斷哪一個是正確的：（A）脆性材料的抗拉能力低于其抗壓能力；（B）脆性材料的抗拉能力高于其抗壓能力；（C）塑性材料的抗拉能力高于其抗壓能力；（D）脆性材料的抗拉能力等于其抗壓能力。正確答案是（）A§6-3扭轉桿件的應力與變形主要承受扭轉變形的桿件稱為軸，大多數為圓軸。1、圓截面桿件扭轉時的變形現象:6.3.1圓桿扭轉時的應力⑴所有縱向線都傾斜了一個相同的角度

，變為平行的螺旋線；⑵所有圓周線都繞桿軸線轉動，仍保持為圓形，圓周長不變，兩個圓周線之間的距離也沒變。圓周線縱向線MeMe圓桿扭轉時的應力變形前后橫截面保持為形狀、大小未改變的平面，即橫截面如同剛性平面一樣旋轉了某一角度；MeMe圓周線——形狀、大小、間距不變縱向線——間距不變，傾斜了同一個角度內部——推測（平截面假設）圓桿扭轉時的應力MeMe推論——橫截面大小、形狀不變→半徑方向無正應力；結論——橫截面上只有切應力，且與所在半徑垂直(?)相鄰橫截面間距不變→軸線方向無正應力；橫截面旋轉了角度γ

→存在角應變→切應力不為0；在上述假定、推論的基礎上，綜合考慮幾何、物理、靜力學三方面的關系，可推導出圓桿扭轉時的應力和變形。6.3.1圓桿扭轉時的應力變形規律幾何關系切應力計算公式靜力學關系2、切應力計算公式物理關系切應變分布規律切應力分布規律dx1）幾何關系在圓桿中截取長度為dx的微段：圓軸橫截面切應力公式dxdxR圓軸外表面處切應變：MeMed/dx為單位長度上兩端截面的相對扭轉角圓軸內任一點處切應變：T2）物理關系（胡克定律）根據剪切胡克定律： 切應力的大小與點到圓心的距離

成正比；切應力的方向垂直于該點與圓心的連線，指向與扭矩轉向一致。R同一橫截面為常量圓軸橫截面切應力公式TO切應力對截面形心的合力矩即截面上的扭矩:3)靜力學關系dA

圓軸橫截面切應力公式Ip是一個只取決于橫截面的形狀和大小的幾何量，稱為橫截面對形心的極慣性矩。量綱：[長度]4TOdA

圓軸橫截面切應力公式對于指定截面，T、Ip為定值。切應力的大小與點到形心的距離成正比。——受扭圓軸橫截面上的切應力計算式TO圓軸橫截面切應力公式最大切應力：抗扭截面系數，量綱：[長度]3橫截面上切應力分布：圓軸橫截面切應力公式應力分布：tmaxTtmaxtmax（實心截面）tmaxtmaxTtmax（空心截面）圓軸橫截面切應力公式d實心圓截面：Odrr4）Ip

與Wp

的計算圓軸橫截面切應力公式空心圓截面：DrOd圓軸橫截面切應力公式注意：對于空心圓截面Dd圓軸橫截面切應力公式實心軸與空心軸Ip

與Wp

對比：dDd圓軸橫截面切應力公式一圓軸AC受力如圖所示。AB段為實心，直徑D=50mm；BC段為空心，外徑D=50mm，內徑d=40mm。試求該軸內最大切應力。例題解：（1）作扭矩圖（2）分段計算軸內最大切應力AB段：BC段：例題AB段為實心，直徑D=50mm；BC段為空心，外徑D=50mm，內徑d=40mm。試求該軸內最大切應力。

MeMe圓軸外表任一微小單元體：

acddxb

′

′

6.3.2切應力互等定理單元體截面上只有切應力而無正應力作用，這種應力狀態叫純剪切應力狀態。在相互垂直的兩個平面上，切應力一定成對出現，其數值相等，方向同時指向或背離兩平面的交線，并與交線垂直。切應力互等定理xyzacOdbdxdydzt'ttt'根據切應力互等定理，在畫單元體的應力狀態圖時，只要知道一個截面上的切應力大小和方向，另外三個面上的切應力也知道了。該定理具有普遍適用性，不僅對只有切應力作用的單元體成立，對正應力和切應力共同作用的單元體也成立。切應力互等定理

（1）在圓桿扭轉時，外表面為自由表面，由切應力互等定理可知：橫截面上切應力垂直于半徑方向。（2）當已知橫截面上的切應力及其分布規律后，由切應力互等定理便可知道縱截面上的切應力及其分布規律切應力互等定理MeTGIp—抗扭剛度圓桿扭轉時，其變形可用橫截面之間的相對角位移，即相對扭轉角φ表示。6.3.3圓桿扭轉時的變形dxR單位長度扭轉角：對一段等截面直桿，其上T為常量時圓桿扭轉時的變形當軸內扭矩或截面分為若干不同數值段時：

—是整個構件兩端截面的相對扭轉角圓桿扭轉時的變形注意：計算時扭矩的正負號要代入算式，正負號體現了不同的相對扭轉方向：解：1.作扭矩圖（求各段軸的扭矩）圖示鋼制實心圓截面軸，已知：M1=1592N·m，M2=955N·m，M3=637N·m，lAB=300mm，lAC=500mm，橫截面直徑d=70mm，G=80GPa。試求橫截面C相對于B的扭轉角。BAClABlAC例題2.求各段軸兩個端面間的相對扭轉角：BAC

例題3.求橫截面C相對于B的扭轉角：BAC

例題Me

tl——通常指的圓管薄壁圓管

T

Me

nntR內力偶矩——扭矩TT=Me6.3.4扭轉試驗nn橫截面上切應力分布：由于管壁很薄，切應力在橫截面上均勻分布（即所有各點處切應力大小均相等），方向垂直于半徑。Me

nnRx

T

Me

nn薄壁圓筒的扭轉切應力計算公式：

daR

T

橫截面的切應力對于圓心的合力矩即為截面上的扭矩：薄壁圓筒的扭轉當t≤R/10時，上式的誤差不超過4.52%，是足夠精確的。切應變薄壁圓筒的扭轉薄壁圓筒實驗證明：切應力與切應變之間存在著與拉壓胡克定律類似的關系。Me

比例常數G稱為剪切彈性模量，常用單位GPa。鋼材：剪切胡克定律剪切胡克定律當切應力不超過材料的剪切比例極限

p時,切應力與切應變成正比。對各向同性材料可以證明，彈性常數E、G、

存在關系：表明3個常數只有2個是獨立的材料常數：

剪切彈性模量G拉壓彈性模量E（也稱為楊氏模量）

泊松比

剪切胡克定律工程力學6.4平面彎曲桿件的應力與變形§6-4平面彎曲桿件的應力回顧與比較：內力應力FAyFSMTFAyFSM在橫截面上，只有法向內力元素

dA才能合成M,只有切向內力元素

dA才能合成剪力FS。§6-4平面彎曲桿件的應力火車輪軸簡化：梁段CD上，只有彎矩，沒有剪力——純彎曲梁段AC和BD上，既有彎矩，又有剪力——橫力彎曲Fs圖M圖§6-4平面彎曲桿件的應力思路：實驗觀察得應變

的變化規律(變形幾何關系)應力

的變化規律橫截面上任一點的正應力公式§6-4.2純彎曲梁橫截面上的正應力靜力學關系物理關系一、變形幾何關系用較易變形的材料制成的矩形截面等直梁作純彎曲試驗:MeMe純彎曲梁橫截面上的正應力(1)變形前互相平行的縱向直線，變形后均變為圓弧，且凸邊伸長，凹邊縮短；(2)變形前垂直于縱向線的橫向線，變形后仍為直線，且仍與縱向曲線正交。實驗觀察：MeMe純彎曲梁橫截面上的正應力實驗分析:(1)平面假設梁在純彎曲時的平面假設：

梁的各個橫截面在變形后仍保持為平面，并仍垂直于變形后的軸線，只是橫截面繞某一軸旋轉了一個角度。MeMe純彎曲梁橫截面上的正應力梁的各縱向層互不擠壓或牽拉（各縱向層之間無正應力），各縱向“纖維”均只受到拉伸或壓縮的作用。(2)單向受力假設純彎曲梁橫截面上的正應力

(3)梁變形后，同一縱向層縱向纖維的長度相同，即同層各條纖維的伸長（或縮短）相同。純彎曲梁橫截面上的正應力中性層中性軸凹入一側纖維縮短凸出一側纖維伸長中間一層纖維長度不變——中性層中間層與橫截面的交線——中性軸純彎曲梁橫截面上的正應力OO

—中性層的曲率半徑純彎曲梁橫截面上的正應力二、物理關系胡克定理

與y成正比,即正應力沿截面高度呈線性變化,中性軸上各點的正應力為零。各橫截面圍繞中性軸轉動純彎曲梁橫截面上的正應力

與y成正比,即正應力沿截面高度呈線性變化,中性軸上各點的正應力為零。中性軸之下,y>0,

>0，拉應力；中性軸之上,y<0,

<0，壓應力。當M>0時：純彎曲梁橫截面上的正應力三、靜力學條件1）正應力的合力即截面上的軸力2）正應力對y軸的合力矩即截面上的彎矩My3）正應力對z軸（中性軸）的合力矩即截面上的彎矩Mz純彎曲梁橫截面上的正應力重要結論：中性軸z必定通過截面的形心純彎曲梁橫截面上的正應力重要結論：中性軸z必為截面的形心主慣性軸純彎曲梁橫截面上的正應力純彎曲梁橫截面上的正應力——中性層或軸線的曲率公式梁在外力作用下，橫截面上的彎矩愈大，梁的彎曲程度就愈大；EIz愈大，梁的彎曲程度就愈小。

EIz：梁的抗彎剛度，其意義是梁抵抗彎曲變形的能力。

純彎曲梁橫截面上的正應力計算梁的彎曲正應力的一般公式：當M>0且y>0時，中性軸z軸以下為拉應力，而z軸以上為壓應力。純彎曲梁橫截面上的正應力正應力分布：正應力沿截面寬度方向均勻分布！純彎曲梁橫截面上的正應力最大正應力：令Wz——抗彎截面系數，是一個僅與截面的形狀和尺寸有關的幾何量。當中性軸是橫截面的對稱軸時：拉、壓最大應力相等純彎曲梁橫截面上的正應力當中性軸不是橫截面的對稱軸時：(拉)(壓)C不能用！純彎曲梁橫截面上的正應力常見截面的IZ和WZ：矩形截面：箱形截面：純彎曲梁橫截面上的正應力常見截面的IZ和WZ：圓截面：空心圓截面：純彎曲梁橫截面上的正應力基本公式：注意:(1)計算正應力時,M、y等代數量均以絕對值代入。M>0時,中性軸以下為拉應力,中性軸以上為壓應力;M<0時則相反。(M>0)純彎曲梁橫截面上的正應力(3)上述基本公式由矩形截面梁導出,但它們也適用于其它截面梁的平面彎曲。(2)正應力公式中不含彈性模量E，說明正應力的大小與材料無關。但在推導公式的過程中應用了胡克定律，因此，公式只適用于材料處于線彈性階段。基本公式：注意:純彎曲梁橫截面上的正應力(4)上述基本公式是在純彎曲(剪力=0)情況下導出的,但在一定條件下同樣適用于非純彎曲(剪力≠0)的情況。基本公式：注意:純彎曲梁橫截面上的正應力橫力彎曲:FS圖M圖梁橫截面上的正應力公式推廣上式是在平面假設和單向受力假設的基礎上推導的，實驗證明在純彎曲情況下這是正確的。對于橫力彎曲，由于剪力的存在，橫截面產生剪切變形，使橫截面發生翹曲，不再保持為平面。梁的正應力橫截面發生翹曲：橫力彎曲正應力公式:彎曲正應力分布彈性力學精確分析表明，當跨度l

與橫截面高度h

之比l/h>5

（細長梁）時，純彎曲正應力公式對于橫力彎曲近似成立。橫力彎曲最大正應力:梁的正應力FS圖M圖彎曲正應力公式適用范圍：彎曲正應力細長梁的純彎曲或橫力彎曲橫截面慣性積Iyz=0，中性軸過截面形心彈性變形階段梁的正應力BAl=3mq=60kN/mxC1m30zy180120K1.C截面上K點正應力2.C截面上最大正應力3.全梁上最大正應力FSx90kN90kN1.求C截面上K點正應力解：例題FAyFBy（壓應力）30zy180120KFSx90kN90kN2.C截面最大正應力C

截面彎矩C

截面慣性矩例題BAl=3mq=60kN/mxC1mFAyFBy30zy180120KFSx90kN90kN3.全梁最大正應力最大彎矩截面慣性矩例題BAl=3mq=60kN/mxC1mFAyFBy梁的撓度和轉角

在工程實踐中，對受彎構件，除要求具有足夠的強度外，還要求變形不能過大，即要求構件有足夠的剛度，以保證結構或機器正常工作。一、梁變形計算的目的1、是梁的剛度計算的基礎2、是求解超靜定梁的基礎7-1

橋式起重機的橫梁變形過大,則會使小車行走困難，出現爬坡現象。梁的撓度和轉角

搖臂鉆床的搖臂或機床的主軸變形過大，就會影響零件的加工精度，甚至會出現廢品。梁的撓度和轉角7-2二、基本概念梁的軸線變成光滑連續曲線1、梁的變形梁的撓度和轉角y

向下為正轉角

：截面繞中性軸轉過的角度

順時針方向為正由于小變形，截面形心在x方向的位移忽略不計撓度轉角關系為：撓曲線方程：撓度y：截面形心在y方向的位移FABxyxy(x)

撓度轉角撓曲線2、梁的位移梁的撓度和轉角7-2鉸支座——限制截面A、B沿約束反力方向的移動3、約束對位移的影響梁的撓度和轉角固定支座——限制截面B沿任意方向的移動和轉動梁的撓度和轉角撓曲線的近似微分方程：推導彎曲正應力時，得到：忽略剪力對變形的影響：梁的撓曲線的近似微分方程MM由數學知識可知：略去高階微量，得小撓度情形下：——彈性曲線的小撓度微分方程梁的撓曲線的近似微分方程梁的撓曲線的近似微分方程yyMM

由上式進行積分，就可以求出梁橫截面的轉角和撓度。梁撓曲線的近似微分方程：1）略去了剪力的影響2）略去了高階微量梁的撓曲線的近似微分方程撓曲線的近似微分方程：積分一次得轉角方程為：再積分一次得撓度方程為：7-3積分法計算梁的位移

積分常數C、D

由梁的位移邊界條件和變形連續條件確定。

積分常數C、D

由梁的位移邊界條件和變形連續條件確定。位移邊界條件變形連續條件積分法計算梁的位移AAAAAAA鉸支座處：固定支座處：連續桿件某點處：鉸結點處：例求梁的轉角方程和撓度方程，并求最大轉角和最大撓度，梁的EI已知。解：1）寫出x截面的彎矩方程2）列撓曲線近似微分方程并積分積分一次：再積分一次：積分法計算梁的位移ABF3）由位移邊界條件確定積分常數代入求解：4）確定轉角方程和撓度方程ABF積分法計算梁的位移例求梁的轉角方程和撓度方程，并求最大轉角和最大撓度，梁的EI已知。5）確定最大轉角和最大撓度積分法計算梁的位移例求梁的轉角方程和撓度方程，并求最大轉角和最大撓度，梁的EI已知。ABF()()例求梁的轉角方程和撓度方程，并求A截面轉角和C截面撓度，梁的EI已知，l=a+b，a>b。解：1）由梁整體平衡分析得：2）彎矩方程AC

段：CB

段：積分法計算梁的位移3）列撓曲線近似微分方程并積分AC段：CB

段：4）由邊界條件確定積分常數位移邊界條件：變形連續條件：4）由邊界條件確定積分常數位移邊界條件：變形連續條件：5）確定轉角方程和撓度方程AC段：CB段：5）確定轉角方程和撓度方程轉角方程：撓度方程：6）確定A截面轉角和C截面撓度()()例:

用積分法求圖示外伸梁自由端C的截面轉角和撓度，其中