精品文檔-下載后可編輯以知識整合促思維躍遷摘要：相對于知識的線性展開，知識間的整合對學生的思維發展具有更大的價值.因此，教師要開發整合課程，以幫助學生整合不同知識，促進思維方式的轉變和躍遷，發現知識之間的內在統一，使貌似互不相容

課程內容的編排和教學過程的推進，一般都按照由簡到繁、由低級到高級、由直觀到抽象的循“序”原則進行.這對于線性知識的學習非常有利，但當遇到知識間跨度較大的情況，師生則會遇到極大挑戰.

就拿“方程”與“函數”來說，單純從某一個方面出發，而不考慮二者的內在統一性，就有可能走到“山重水復”的境地.在現實的課堂中，雖然有些教師在講授函數的時候，會涉及方程的知識，但大多采用拿來主義的方式為我所用，學生難以從更高的層面把握二者的本質聯系，無法整合思維慣性，難以形成上位思考.為此，我們開發實施了專門的整合課程，以幫助學生整合不同知識，促進思維方式的轉變和躍遷，發現知識之間的內在統一，體驗“峰回路轉”，享受“柳暗花明”.

一、順勢而為突遇障礙智慧顯現盡在后續

教師：請同學們一起回答下面算式的結果.（板書：2-1=？）

學生驚訝.

教師：那如果我將上式改成下面一個等式，你會想到什么呢？（板書：x-1=1）

學生1：這是一個一元一次方程.

學生2：這個方程的解為x=2.

教師：很好，那如果我再將上式改成下面一個方程，你又會想到什么呢？（板書：x-y=1）

學生1：這是一個二元一次方程.

學生2：這個方程的解為x=y+1.

學生3：不對，x=y+1不是該方程的解，x的值應該是一個具體的值.所以這個方程沒有解.

學生4：不對，我看x=2，y=1就應該是這個方程的解.

教師：噢，還有其他表達形式的解嗎？

學生1：有，x=3，y=2；x=4，y=3；x=5，y=4等等都是該方程的解.

學生2：這些解的形式是成組出現的，并且有無數組.

教師：既然二元一次方程x-y=1有無數組解，那么我們究竟用怎樣的方式來表示這無數組解呢？用怎樣的呈現形式來更為直觀地描述這無數組解呢？

課堂現場：學生討論，無果，留下疑惑：方程的解都是具體的數值，而能滿足方程成立的數值有無數組，無數組解的表達是永遠不可能實現的.

教師：請同學們思考一下，在過去的學習中，哪些知識是用有限形式代表了無限形式的表達呢？

學生1：循環小數的表達是用有限形式代表無限形式的.比如：0.33……，因小數點后面有無限多個3而無法全部寫出，故用0.■表示即可.

學生2：無理數的表達也是用有限形式代表無限形式的.比如：x2=3，其中x的值就是一個無限不循環小數，如果把所有的小數點后面的部分用數字表達是無法全部寫出的，故用■或-■來表示即可.

學生3：在幾何作圖的時候也存在用有限形式替代o限形式的表達方式，比如直線AB的作圖，我們即可用下圖的作圖方式表達，端點A、B之外表示向兩方無限延伸.（學生作圖如下）

學生4：哦，看來不能用常規形式表達的時候，可以轉化其表達形式.所以我想二元一次方程x-y=1的無數組解也應該有辦法表達，只不過要選擇一種新的表達形式，那又該選擇怎樣的表達形式呢？

【設計意圖】通過教師將三個等式逐一列舉的過程，讓學生感受從算式到方程的微妙變化；讓學生意識到一元一次方程有唯一一組解，而二元一次方程則有無數組解.于是一個問題將呈現在學生面前：二元一次方程的無數組解該如何表達？窮極學生思維，把學生帶到“行到水窮處”的境地，讓他們體驗到“山重水復疑無路”的窘迫，引發學生欲罷不能、躍躍欲試的情感沖動.

二、歷史融入智慧復演原理探究策略達成

教師：這個問題，在數學發展史上有很多人研究過，法國數學家費馬就是其中一位.1630年在其論文《平面與立體軌跡引論》中提到：“兩個未知量決定的方程式，對應著一條軌跡，可以描繪出一條直線或曲線.”大家從這句話中，能否發現什么呢？

學生1：我認為這位數學家是從軌跡的角度研究方程的，即從直線或曲線的角度研究方程式.這樣一來，直線或曲線的形式將更為直觀地描述無數組解，跳出方程的解的常規思路.

學生2：可是如何從軌跡的角度研究方程呢？就比如我們剛才探討的二元一次方程x-y=1，它怎么能與軌跡聯系到一起呢？

學生3：我們原來學習一次函數的時候，往往要研究函數的圖象，一次函數的圖象是一條直線，可是這里沒有一次函數的解析式啊.怎樣才能把二元一次方程與一次函數建立聯系呢？這種聯系又要通過怎樣的方式方法來實現呢？

教師：很好，大家的思考非常有價值.我們研究方程重在研究其解，研究二元一次方程自然要研究其無數組解.對于二元一次方程x-y=1，x=1，y=0，x=2，y=1，是該方程的解，像這樣形式的解有無數組.我們如果將其轉化成有序實數對（1，0），（2，1）形式，那么也就構成了點的坐標形式……

學生1：老師，您的意思是否是這樣的：把x=1，y=0，x=2，y=1，通過有序實數對的形式轉化成點坐標（1，0），（2，1），并在直角坐標系中表示出來.這樣方程的兩組解就轉化成兩個點，這兩個點不正是方程的兩組解所對應的軌跡嗎.

學生2：如果能將更多組解轉化成其對應點的軌跡，那么方程對應的軌跡不就表示出來了嗎.可是無數組解一個一個地轉化不也是很麻煩的嗎？

教師：這個問題問得非常好，哪位同學能夠幫助他解決這個問題？

學生3：其實，將