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文檔簡介
精品文檔-下載后可編輯以知識整合促思維躍遷摘要:相對于知識的線性展開,知識間的整合對學生的思維發展具有更大的價值.因此,教師要開發整合課程,以幫助學生整合不同知識,促進思維方式的轉變和躍遷,發現知識之間的內在統一,使貌似互不相容
課程內容的編排和教學過程的推進,一般都按照由簡到繁、由低級到高級、由直觀到抽象的循“序”原則進行.這對于線性知識的學習非常有利,但當遇到知識間跨度較大的情況,師生則會遇到極大挑戰.
就拿“方程”與“函數”來說,單純從某一個方面出發,而不考慮二者的內在統一性,就有可能走到“山重水復”的境地.在現實的課堂中,雖然有些教師在講授函數的時候,會涉及方程的知識,但大多采用拿來主義的方式為我所用,學生難以從更高的層面把握二者的本質聯系,無法整合思維慣性,難以形成上位思考.為此,我們開發實施了專門的整合課程,以幫助學生整合不同知識,促進思維方式的轉變和躍遷,發現知識之間的內在統一,體驗“峰回路轉”,享受“柳暗花明”.
一、順勢而為突遇障礙智慧顯現盡在后續
教師:請同學們一起回答下面算式的結果.(板書:2-1=?)
學生驚訝.
教師:那如果我將上式改成下面一個等式,你會想到什么呢?(板書:x-1=1)
學生1:這是一個一元一次方程.
學生2:這個方程的解為x=2.
教師:很好,那如果我再將上式改成下面一個方程,你又會想到什么呢?(板書:x-y=1)
學生1:這是一個二元一次方程.
學生2:這個方程的解為x=y+1.
學生3:不對,x=y+1不是該方程的解,x的值應該是一個具體的值.所以這個方程沒有解.
學生4:不對,我看x=2,y=1就應該是這個方程的解.
教師:噢,還有其他表達形式的解嗎?
學生1:有,x=3,y=2;x=4,y=3;x=5,y=4等等都是該方程的解.
學生2:這些解的形式是成組出現的,并且有無數組.
教師:既然二元一次方程x-y=1有無數組解,那么我們究竟用怎樣的方式來表示這無數組解呢?用怎樣的呈現形式來更為直觀地描述這無數組解呢?
課堂現場:學生討論,無果,留下疑惑:方程的解都是具體的數值,而能滿足方程成立的數值有無數組,無數組解的表達是永遠不可能實現的.
教師:請同學們思考一下,在過去的學習中,哪些知識是用有限形式代表了無限形式的表達呢?
學生1:循環小數的表達是用有限形式代表無限形式的.比如:0.33……,因小數點后面有無限多個3而無法全部寫出,故用0.■表示即可.
學生2:無理數的表達也是用有限形式代表無限形式的.比如:x2=3,其中x的值就是一個無限不循環小數,如果把所有的小數點后面的部分用數字表達是無法全部寫出的,故用■或-■來表示即可.
學生3:在幾何作圖的時候也存在用有限形式替代o限形式的表達方式,比如直線AB的作圖,我們即可用下圖的作圖方式表達,端點A、B之外表示向兩方無限延伸.(學生作圖如下)
學生4:哦,看來不能用常規形式表達的時候,可以轉化其表達形式.所以我想二元一次方程x-y=1的無數組解也應該有辦法表達,只不過要選擇一種新的表達形式,那又該選擇怎樣的表達形式呢?
【設計意圖】通過教師將三個等式逐一列舉的過程,讓學生感受從算式到方程的微妙變化;讓學生意識到一元一次方程有唯一一組解,而二元一次方程則有無數組解.于是一個問題將呈現在學生面前:二元一次方程的無數組解該如何表達?窮極學生思維,把學生帶到“行到水窮處”的境地,讓他們體驗到“山重水復疑無路”的窘迫,引發學生欲罷不能、躍躍欲試的情感沖動.
二、歷史融入智慧復演原理探究策略達成
教師:這個問題,在數學發展史上有很多人研究過,法國數學家費馬就是其中一位.1630年在其論文《平面與立體軌跡引論》中提到:“兩個未知量決定的方程式,對應著一條軌跡,可以描繪出一條直線或曲線.”大家從這句話中,能否發現什么呢?
學生1:我認為這位數學家是從軌跡的角度研究方程的,即從直線或曲線的角度研究方程式.這樣一來,直線或曲線的形式將更為直觀地描述無數組解,跳出方程的解的常規思路.
學生2:可是如何從軌跡的角度研究方程呢?就比如我們剛才探討的二元一次方程x-y=1,它怎么能與軌跡聯系到一起呢?
學生3:我們原來學習一次函數的時候,往往要研究函數的圖象,一次函數的圖象是一條直線,可是這里沒有一次函數的解析式啊.怎樣才能把二元一次方程與一次函數建立聯系呢?這種聯系又要通過怎樣的方式方法來實現呢?
教師:很好,大家的思考非常有價值.我們研究方程重在研究其解,研究二元一次方程自然要研究其無數組解.對于二元一次方程x-y=1,x=1,y=0,x=2,y=1,是該方程的解,像這樣形式的解有無數組.我們如果將其轉化成有序實數對(1,0),(2,1)形式,那么也就構成了點的坐標形式……
學生1:老師,您的意思是否是這樣的:把x=1,y=0,x=2,y=1,通過有序實數對的形式轉化成點坐標(1,0),(2,1),并在直角坐標系中表示出來.這樣方程的兩組解就轉化成兩個點,這兩個點不正是方程的兩組解所對應的軌跡嗎.
學生2:如果能將更多組解轉化成其對應點的軌跡,那么方程對應的軌跡不就表示出來了嗎.可是無數組解一個一個地轉化不也是很麻煩的嗎?
教師:這個問題問得非常好,哪位同學能夠幫助他解決這個問題?
學生3:其實,將
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