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文檔簡介
精品文檔-下載后可編輯以知識整合促思維躍遷摘要:相對于知識的線性展開,知識間的整合對學(xué)生的思維發(fā)展具有更大的價(jià)值.因此,教師要開發(fā)整合課程,以幫助學(xué)生整合不同知識,促進(jìn)思維方式的轉(zhuǎn)變和躍遷,發(fā)現(xiàn)知識之間的內(nèi)在統(tǒng)一,使貌似互不相容
課程內(nèi)容的編排和教學(xué)過程的推進(jìn),一般都按照由簡到繁、由低級到高級、由直觀到抽象的循“序”原則進(jìn)行.這對于線性知識的學(xué)習(xí)非常有利,但當(dāng)遇到知識間跨度較大的情況,師生則會遇到極大挑戰(zhàn).
就拿“方程”與“函數(shù)”來說,單純從某一個(gè)方面出發(fā),而不考慮二者的內(nèi)在統(tǒng)一性,就有可能走到“山重水復(fù)”的境地.在現(xiàn)實(shí)的課堂中,雖然有些教師在講授函數(shù)的時(shí)候,會涉及方程的知識,但大多采用拿來主義的方式為我所用,學(xué)生難以從更高的層面把握二者的本質(zhì)聯(lián)系,無法整合思維慣性,難以形成上位思考.為此,我們開發(fā)實(shí)施了專門的整合課程,以幫助學(xué)生整合不同知識,促進(jìn)思維方式的轉(zhuǎn)變和躍遷,發(fā)現(xiàn)知識之間的內(nèi)在統(tǒng)一,體驗(yàn)“峰回路轉(zhuǎn)”,享受“柳暗花明”.
一、順勢而為突遇障礙智慧顯現(xiàn)盡在后續(xù)
教師:請同學(xué)們一起回答下面算式的結(jié)果.(板書:2-1=?)
學(xué)生驚訝.
教師:那如果我將上式改成下面一個(gè)等式,你會想到什么呢?(板書:x-1=1)
學(xué)生1:這是一個(gè)一元一次方程.
學(xué)生2:這個(gè)方程的解為x=2.
教師:很好,那如果我再將上式改成下面一個(gè)方程,你又會想到什么呢?(板書:x-y=1)
學(xué)生1:這是一個(gè)二元一次方程.
學(xué)生2:這個(gè)方程的解為x=y+1.
學(xué)生3:不對,x=y+1不是該方程的解,x的值應(yīng)該是一個(gè)具體的值.所以這個(gè)方程沒有解.
學(xué)生4:不對,我看x=2,y=1就應(yīng)該是這個(gè)方程的解.
教師:噢,還有其他表達(dá)形式的解嗎?
學(xué)生1:有,x=3,y=2;x=4,y=3;x=5,y=4等等都是該方程的解.
學(xué)生2:這些解的形式是成組出現(xiàn)的,并且有無數(shù)組.
教師:既然二元一次方程x-y=1有無數(shù)組解,那么我們究竟用怎樣的方式來表示這無數(shù)組解呢?用怎樣的呈現(xiàn)形式來更為直觀地描述這無數(shù)組解呢?
課堂現(xiàn)場:學(xué)生討論,無果,留下疑惑:方程的解都是具體的數(shù)值,而能滿足方程成立的數(shù)值有無數(shù)組,無數(shù)組解的表達(dá)是永遠(yuǎn)不可能實(shí)現(xiàn)的.
教師:請同學(xué)們思考一下,在過去的學(xué)習(xí)中,哪些知識是用有限形式代表了無限形式的表達(dá)呢?
學(xué)生1:循環(huán)小數(shù)的表達(dá)是用有限形式代表無限形式的.比如:0.33……,因小數(shù)點(diǎn)后面有無限多個(gè)3而無法全部寫出,故用0.■表示即可.
學(xué)生2:無理數(shù)的表達(dá)也是用有限形式代表無限形式的.比如:x2=3,其中x的值就是一個(gè)無限不循環(huán)小數(shù),如果把所有的小數(shù)點(diǎn)后面的部分用數(shù)字表達(dá)是無法全部寫出的,故用■或-■來表示即可.
學(xué)生3:在幾何作圖的時(shí)候也存在用有限形式替代o限形式的表達(dá)方式,比如直線AB的作圖,我們即可用下圖的作圖方式表達(dá),端點(diǎn)A、B之外表示向兩方無限延伸.(學(xué)生作圖如下)
學(xué)生4:哦,看來不能用常規(guī)形式表達(dá)的時(shí)候,可以轉(zhuǎn)化其表達(dá)形式.所以我想二元一次方程x-y=1的無數(shù)組解也應(yīng)該有辦法表達(dá),只不過要選擇一種新的表達(dá)形式,那又該選擇怎樣的表達(dá)形式呢?
【設(shè)計(jì)意圖】通過教師將三個(gè)等式逐一列舉的過程,讓學(xué)生感受從算式到方程的微妙變化;讓學(xué)生意識到一元一次方程有唯一一組解,而二元一次方程則有無數(shù)組解.于是一個(gè)問題將呈現(xiàn)在學(xué)生面前:二元一次方程的無數(shù)組解該如何表達(dá)?窮極學(xué)生思維,把學(xué)生帶到“行到水窮處”的境地,讓他們體驗(yàn)到“山重水復(fù)疑無路”的窘迫,引發(fā)學(xué)生欲罷不能、躍躍欲試的情感沖動.
二、歷史融入智慧復(fù)演原理探究策略達(dá)成
教師:這個(gè)問題,在數(shù)學(xué)發(fā)展史上有很多人研究過,法國數(shù)學(xué)家費(fèi)馬就是其中一位.1630年在其論文《平面與立體軌跡引論》中提到:“兩個(gè)未知量決定的方程式,對應(yīng)著一條軌跡,可以描繪出一條直線或曲線.”大家從這句話中,能否發(fā)現(xiàn)什么呢?
學(xué)生1:我認(rèn)為這位數(shù)學(xué)家是從軌跡的角度研究方程的,即從直線或曲線的角度研究方程式.這樣一來,直線或曲線的形式將更為直觀地描述無數(shù)組解,跳出方程的解的常規(guī)思路.
學(xué)生2:可是如何從軌跡的角度研究方程呢?就比如我們剛才探討的二元一次方程x-y=1,它怎么能與軌跡聯(lián)系到一起呢?
學(xué)生3:我們原來學(xué)習(xí)一次函數(shù)的時(shí)候,往往要研究函數(shù)的圖象,一次函數(shù)的圖象是一條直線,可是這里沒有一次函數(shù)的解析式啊.怎樣才能把二元一次方程與一次函數(shù)建立聯(lián)系呢?這種聯(lián)系又要通過怎樣的方式方法來實(shí)現(xiàn)呢?
教師:很好,大家的思考非常有價(jià)值.我們研究方程重在研究其解,研究二元一次方程自然要研究其無數(shù)組解.對于二元一次方程x-y=1,x=1,y=0,x=2,y=1,是該方程的解,像這樣形式的解有無數(shù)組.我們?nèi)绻麑⑵滢D(zhuǎn)化成有序?qū)崝?shù)對(1,0),(2,1)形式,那么也就構(gòu)成了點(diǎn)的坐標(biāo)形式……
學(xué)生1:老師,您的意思是否是這樣的:把x=1,y=0,x=2,y=1,通過有序?qū)崝?shù)對的形式轉(zhuǎn)化成點(diǎn)坐標(biāo)(1,0),(2,1),并在直角坐標(biāo)系中表示出來.這樣方程的兩組解就轉(zhuǎn)化成兩個(gè)點(diǎn),這兩個(gè)點(diǎn)不正是方程的兩組解所對應(yīng)的軌跡嗎.
學(xué)生2:如果能將更多組解轉(zhuǎn)化成其對應(yīng)點(diǎn)的軌跡,那么方程對應(yīng)的軌跡不就表示出來了嗎.可是無數(shù)組解一個(gè)一個(gè)地轉(zhuǎn)化不也是很麻煩的嗎?
教師:這個(gè)問題問得非常好,哪位同學(xué)能夠幫助他解決這個(gè)問題?
學(xué)生3:其實(shí),將
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