正交變換的應用及數學方法論意義1聊城大學本科畢業論文（設計）指導教師:趙峰2012年原創性聲明本人鄭重聲明:所提交的學位論文是本人在導師指導下,獨立進行研究取得的成果.除文中已經注明引用的內容外,論文中不含其他人已經發表或撰寫過的研究成果,也不包含為獲得聊城大學或其他教育機構的學位證明書而使用過的材料.對本文的研究做出重要貢獻的個人和集體,均已在文中以明確方式標明.本人承擔本聲明的相應責任.學位論文作者簽名:日期指導教師簽名:日期PAGEIIPAGE15引言隨著近代數學的發展,數學的各學科間的相互滲透顯得越來越重要,特別是代數的方法運用更為突出,在現行的數學分析教材中,某些內容也注意到代數的方法的運用,但還需進一步加強,將數學分析與代數方法結合,是解決問題的途徑之一,更是培養學生數學能力的重要內容，有利于培養學生綜合運用基礎知識的能力。我們在大學中學習了許多數學變換，接觸了數學中的正交變換、仿射變換、攝影變換等，它們在數學中的應用非常的廣泛，正交變換在數學分析、高等代數等學科中的解題有著很重要的應用。本文重點討論了正交變換化二次標準型的方法進行歸納整理，以及利用正交變換解決一類多元函數積分問題，給出了利用正交變換求積的一種簡單方法。把正交變換巧妙的應用到多元函數的積分中去,解決了多元函數積分中的一些應用難題,找到了線性代數與微積分的新切點.使得積分解題變得簡單和靈巧。正交變換的定義正交變換是歐式空間中一類重要的線性變換——保持向量的內積不變的變換。定義設AEndR(V)是歐幾里得空間的線性變換，A稱為正交變換,如果它保持向量的內積不變，也就是說對任意的，都有（因為正交矩陣是可逆的，所以正交變換是可逆的，由定義不難看出正交變換實際就是一個歐式空間到它自身的同構映射，因而正交變換的乘積與正交變換的逆變換還是正交變換，在標準正交基下，正交變換與正交矩陣對應，因此正交矩陣的乘積與正交矩陣的逆矩陣也是正交矩陣。如果A是正交矩陣，那么有AA-1=E,可知|A2|=1，或者|A|=1.因此，正交變換的行列式等于+1或者等于-1.行列式等于+1的正交變換通常稱為旋轉或者稱為第一類的；行列式等于-1的正交變換稱為第二類的。在三維空間中，detA=1的幺正矩陣把左手坐標系變換到右手坐標系；detA=-1的幺正矩陣則把右手坐標系變換到左手坐標系。2、正交變換的性質2.1歐氏空間V的一個線性變換是正交變換的充分且必要條件是：對于V中任意向量，，(),()=<,>.2.2設V是一個n維歐氏向量空間，σ是V的一個線性變換。如果σ是正交變換，那么σ把V的任意一個標準正交基仍舊變成V的一個標準正交基。反過來，如果σ把V的某一標準正交基仍舊變成V的一個標準正交基，那么σ是V的一個正交變換。2.3設是歐氏空間V的一個線性變換，于是下面四個命題是相互等價的：（1）是正交變換（2）保持向量長度不變，即;（3）保持向量間的距離不變，即,（4）若是標準正交基，那么也是標準正交基，在任意標準正交基下的矩陣是正交矩陣。2.4正交變換不改變向量的夾角，即方向不改變。2.5若為正交矩陣，則且仍為正交矩陣，正交變換的逆變換仍為正交變換。2.6正交變換的雅克比矩陣行列式值之絕對值等于1即若為正交變換，則.證據正交變換性質與Jacobi行列式之定義知定理2.6成立。3、正交變換法化二次標準型在許多理論和實際研究中常常會遇到二次型問題,二次型通常都是先化為標準型再進行求解的。常見的化二次型為標準型的方法有拉格朗日配方法、合同變換法和正交變換法等。正交變換法由于具有保持幾何形狀不變的優點而備受青睞。3.1正交變換法化二次標準型的一般步驟：寫出A的特征方程|E-A|=0，求出A的全部特征值。對于各個不同的特征值，求出齊次線性方程組（E-A）=0的基礎解系，即解空間的一個基底（但不一定是標準正交基），然后把它們施密特正交化。把上述求得的n個兩兩正交的單位特征向量作為矩陣T的列向量，X=TY就是二次型X-1AX化為標準型1y1+2y2+…+nyn的正交變換。正交的線性變換可以是一個實二次型變成平方和1y12+2y22+…+nyn2，其中平方項的系數1，2，…n就是矩陣A的特征多項式全部的根。（ijij,ij=ji,A=(ij)n*n)用正交變換化二次型為標準形的問題，一般總是由特征方程求特征值要解帶參數的行列式，而且只有先求出特征值方可由方程組求特征向量，進而再用復雜的施密特正交化法求出正交變換陣，非常繁瑣．所以，用正交變換化二次型為標準形的新方法研究引起了廣泛的興趣。3.2正交變換在二次標準型中的應用下面的幾個例題通過討論構造正交對稱矩陣P,由X=PY化二次型為標準形,主要結果有:(1)如何從中線性無關向量組出發巧秒構造正交單位向量組(2)如何構造正交對稱矩陣,滿足由X=PY化二次型為標準形。來介紹正交變換在高等代數中的廣泛應用。例1用正交變換法將二次型=12+322+622+812-413+423化為標準型，并寫出所作的正交變換。解：先寫出二次型的矩陣：A=解特征方程|A-|==-（-7）2（+2）=0求得A的全部特征值為：1=2=7；3=-2.當1=2=7時，解齊次線性方程組（A-7E）X=0，可得其基礎解析為：1=，2=將1，2正交化1=1=，2=2-=再單位化，得:,當=-2時，解齊次方程組（A+2E）=0，可得其基礎解系為：=單位化得：由于與，一定正交，因此以作為列向量得正交矩陣：T=令X=TY，X-1AX=7y12+7y22-2y32于是二次型通過正交變換化為標準型為：12+7y22-2y32例2、用正交變換化二次型=++++為標準形，并求所作的正交變換.解:二次型的矩陣,求出的特征值為:由==可得特征值，其次，求屬于-1的特征向量把代入得（1）求得基礎解系為把它正交化，得再單位化，得再求屬于8的特征向量，把代入（1）式，可得基礎解系再單位化得因此正交矩陣為，作非退化線性替換,得出二次型的標準形為=正交變換具有保持線段的長度不變的特點，它是對坐標軸的旋轉、平移，既不改變坐標軸的其他形狀，所以用正交變換法化二次型為標準型，具有保持幾何形狀不變的優點，最大限度的保證了函數圖形的幾何特征。例3、已知f(x1,x2,x3)=2x12+5x22+5x32+4x1x2-4x1x3-8x2x3求一個正交變換X=PY，將該二次型化為標準型。解：（1）二次型所對應的矩陣為A=由可得A的特征值為當時求解方程組得基礎解系，對其進行標準正交化得，當時求解方程組得基礎解系單位化得于是可得正交矩陣P=（，，）=作非退化線性替換,得出二次型的標準形為以上例題采用綜合多種知識，使化標準型的運算大為化簡，用該方法解決了二次型的標準形及正交變換矩陣同步求解問題，尤其是對實對稱矩陣的相同特征值對應的不正交特征向量的初等變換正交化法，簡潔實用。用正交變換化二次型為標準型，具有保持幾何特性不變的優點，這種方法無論在理論上還是實際應用中都是化二次型為標準型的重要方法。4、正交變換在積分中的應用將數學分析與代數方法結合，是解決問題的途徑之一，更是培養學生數學能力的重要內容．在多元函數積分中，選擇恰當的變量替換十分關鍵．由于正交變換保持變換前后的向量內積不變從而保向量的長度與夾角不變，所以，正交變換這種剛體變換有著廣泛的應用．4、1在多元積分學中的應用選擇適當的變量替換，不但可以簡化計算，收到事半功倍之效；而且可以解決不用變量替換方法無法解決的問題。如計算若要用直角坐標系計算，則會遇到積分但無法用初等函數來表示，計算便無法進行下去。此題若用極坐標來計算，易于得出結果。由此可見，變量替換在多元函數積分學中的重要作用。在積分的計算中，變量替換是經常采用的方法。采用正交變換，可以兼顧積分區域和被積函數兩方面的特點。例1進行適當變量替換，化二重積分為一重的。分析因為其中;若令有，（考慮用正交變換）解：設（)為二維空間的一個向量，把單位向量擴充成一個二階正交變換A，作正交變換由于（矩陣的轉置）仍是正交矩陣，且行列式.于是變換的雅克比行列式為由（1）知再注意到正交變換不改變向量的長度，于是==即。此題的解法利用了正交變換（距離、角度、面積等是正交變換的不變量）的性質,在不改變積分區域的情況下,簡化被積函數。這類問題在積分計算中經常遇到，如果能適當地采用正交變換的性質,將給這些積分的計算帶來方便，選用了正交變換兼顧被積函數、積分區域的特點，較用其它變換來解要簡便很多。在函數求極值問題上，用正交變換可使條件極值問題變得清晰，而且經變換后又可能給出其幾何說明。例2、求函數在條件上的最大值和最小值是多少。解：已知條件=1可以表示為，表示為的特征值為1和5，取令則而因此題目可以轉化為：在條件時，求的最大值和最小值就可以了。當時最大值為1，當時最小值為。正交變換后是橢圓的標準方程。問題就是在這橢圓上求出一點使其到原點的距離平方為最大和最小。4.2.重積分在正交變換下形式不變性。多元函數積分中的換元法是計算積分的重要的方法,換元的目的使得被積函數簡單或者是積分區域簡化,但換元有它的隨意性,并存在一定的難度，因此引入新的積分變量時必須要同時考慮被積函數和積分區域的特點,而對于多元函數的重積分應用正交變換是一種較為簡便的方法。例：對于上連續函數,有證明:若，原式=等式顯然成立，因此可設,把單位向量擴充成一正交矩陣作正交變換而，變為，由上式得于是由三重積分變數替換公式得：所以===此例說明用正交變換的方法去處理重積分的某些問題是卓有成效的，并且不受空間維數的限制，可見正交變換兼顧了積分區域和被積函數的特點。較用其他變換的證法來得簡便。更重要的是這種方法有一般性利于推廣,有利于進一步學習的需要，如在曲面積分中的應用。4.3正交變換在曲面積分中的應用曲面積分中，通過正交變換進行變量替換使得非平面曲面上的積分化為二維空間的曲面積分。這一應用使得積分解題變得簡便的靈巧。設光滑曲面S：在正交變化之下變成曲面則對于S上的連續函數有此式說明了第一曲面積分在正交變換下形式不變性。例:證明普阿松公式，其中S是單位球面。分析若等式顯然成立，否則令因為若令則有（則考慮用正交變換）證明：以單位向量擴充成一個三階正交矩陣A。作正交變換，即A是第一行為的3階正交矩陣，則在A的作用下，因所以=即S在A下的象仍為單位球面，于是于是有再令因此求得所以=利用正交變換的剛體變換性質，可證明第一類曲面積分和重積分在正交變換下的不變性．因而可將其應用于簡化多元函數積分計算．正交變換的此類應用充分體現了一般化、代數化、模型化的數學方法論．正交變換的數學方法論意義5、1.一般化一般化就是從考慮一個對象,過渡到考慮包含該對象的一個集合,或者從考慮一個較小的集合過渡到去考慮一個包含該較小集合的更大集合.運用一般化策略解決問題的關鍵是仔細觀察、分析解決問題的特征,從中找出能使問題一般化的因素,以便把特殊命題拓廣成包含這一特殊情況的一般問題,而且要注意比較一般化后的各種命題,以選擇最佳一般命題,它的解決包含著特殊問題的解決.一般化的解題策略之所以成功,就在于一般化命題中的關系和規律更容易看清楚.從以上各例的證明中可以看出，正交變換的一部分就已經決定了結論的正確性,但直接證明困難很大,而作為整個正交變換的結果,卻是較為顯而易見的.5.2代數化代數化使得對數學對象性質的研究變成了對數量的分析、討論和求解,從而把定性研究階段推進到定量研究階段,代數化使得空間的幾何結構數量化,實現了對抽象空間圖形的研究,使人們對形的認識從靜態發展到動態.代數化把推理程序機械化,促進了定理的機器證明.文章中的正交變換就是這樣的例子.5.3.模型化模型化就是根據問題的有關信息確定某種特定的映射關系構想出數學模型,將問題轉化為對數學模型的數理機制的研究,從而達到解題目的的一種方法.當解決一個問題比較困難時,可以通過構造該數學問題的數學模型,將數學問題化歸為一個已經能解決的,或比較容易解決的數學問題加以解決,即所謂化歸型數學建模,這是一個數學方法論的過程,是在兩個數學結構之間進行的.實現化歸型數學建模的關鍵是找到一個合適的映射,使生疏化成熟悉，復雜化成簡單，抽象化成直觀，含糊化成明朗，正交變換正是起到了這個作用.從數學方法論的角度來說，數學變換主要是一種化歸的思想，就是采用某種手段將問題通過變換使之轉化，把待解決或未解決的問題通過某種轉化過程，歸結到一類已經能解決或者比較容易解決的問題中去，最終求獲原問題解答的一種手段和方法。也可以說就是問題的規范化、模式化。化歸在數學研究中幾乎無處不在，化歸的基本功能是：生疏化成熟悉，復雜化成簡單，抽象化成直觀，含糊化成明朗。結語綜上所述,正交變換之所以能夠在數學領域發揮極其重要的作用,是因為它符合數學發展的代數化潮流,集合了數學方法論中豐富的數學思想,使用正交變換的方法去處理重積分的某些問題是卓有成效的,并且不受空間維數的限制.因而得到了在很多領域的廣泛應用.如在物理學上、幾何上、概率論上等學科有著廣泛應用的前景。文中應用正交變換化二次標準型，以及在各種積分、曲面積分等中的應用,恰恰是在正交變換作用下獲得的具有數學美的產物.參考文獻[1]張禾瑞,郝炳新.高等代數[M].北京:高等教育出版社,1999.[2]王琳．用正交變換化實二次型為標準型方法研究[J]．數學通報，1990，30(3)：31—33．[3]汪慶麗．用矩陣的初等變換化實二次型為標準形[J]．新疆教育學院學報，2001，17(2)：22—24[4]華東師大數學系.數學分析(下冊)[M].北京:高等教育出版社,2001(第3版)：305—306[5]姚允龍.高等數學與數學方法導引[M].上海:復旦大學出版社,1988.[6]楊仲華.正交變換在數分