上海市浦東新區(qū)普通高中2024屆高二數學第一學期期末考試試題

考生請注意：

1.答題前請將考場、試室號、座位號、考生號、姓名寫在試卷密封線內，不得在試卷上作任何標記。

2.第一部分選擇題每小題選出答案后，需將答案寫在試卷指定的括號內，第二部分非選擇題答案寫在試卷題目指定的

位置上。

3.考生必須保證答題卡的整潔。考試結束后，請將本試卷和答題卡一并交回。

一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。

1.在長方體A3CD—A4GR中，BA+BC+CQ=()

D[B[B.D.B

C.DB.D.BDX

3

2.已知拋物線則它的焦點坐標為()

K3]3

c.&。]

3.已知等比數列｛4,｝各項均為正數，且必，外成等差數列，貝!]%。2。+“2。21+“2。22=()

24^2019+〃2018+^2017

A.27B.18

C.9D.1

4.已知數列｛4｝滿足％=2,。“=2---,則%=()

an-l

67

A.-B.-

56

55

c.一D.-

46

5.當我們停放自行車時，只要將自行車旁的撐腳放下，自行車就穩(wěn)了，這用到了()

A.三點確定一平面B.不共線三點確定一平面

C.兩條相交直線確定一平面D.兩條平行直線確定一平面

6.設數列｛%｝的前〃項和為S“，數列⑸+科是公比為2的等比數列，且4=1,則/=()

A.255B.257

C.127D.129

7.如圖是函數y=/（x）的導函數y=/'（x）的圖象，下列說法正確的是（）

兒函數丁=/（"在（-2,2）上是增函數

B.函數y=/（x）在（L+co）上是減函數

c.x=-l是函數y=/（x）的極小值點

D.x=1是函數y=/（力的極大值點

8.不等式3x+2<0的解集是（）

A.{x|lVxV2}B.1x|l<x<2}

C.{x|%v1或%>2}D.{x|x<l^x>2}

9.如圖，正三棱柱ABC—A與G中，AB=AAi=2f則人氐與平面A41G。所成角的正弦值等于（）

R6

A也

A.------

22

D.巫

邛4

10.“根>0且〃>0”是“方程加/+町;2=1表示橢圓”的（）

A.充分不必要條件B.必要不充分條件

C.充要條件D.既不充分又不必要條件

11.拋物線>2=2px（"〉0）的焦點到直線>=x+l的距離為代，則片（）

A.1B.2

C.272D.4

12.已知/,“是兩條不同的直線，是兩個不同的平面，豆lua,muB,則（）

A.若a1,則/〃"zB.若11-/3,則a_1_

C.若貝！|/上mD.若/〃m，則a//〃

二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。

13.設函數/'（X）是函數/（x）（xeR）的導函數，已知/'（x）</（x）,且/（0）=2,則使得了⑴―2"<0成立的

x的取值范圍是.

2

14.若函數/（犬）=kp之X—31nx—XL+3x1—L（ZeR）恰有兩個極值點，則上的取值范圍是

JC2%

2x-1

15.曲線y=二一在點（T-3）處的切線方程為

x+2

16.若p：存在x<5,使2x+a>0是真命題，則實數a的取值范圍是

三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。

22

17.（12分）已知耳,后是橢圓C:「+==l（a〉6〉0）的兩個焦點，尸為C上一點，。為坐標原點

ab

（1）若VP。工為等邊三角形，求C的離心率；

（2）如果存在點P,使得PFJPF2,且月的面積等于16,求b的值和a的取值范圍.

18.（12分）已知圓M：（x+2Gj+y2=-^的圓心為M,圓N：卜一26）~+/=；的圓心為N,一動圓與圓N

內切，與圓拉外切，動圓的圓心E的軌跡為曲線C

（1）求曲線C的方程；

（2）已知點尸（6,3）,直線/與曲線C交于A,B兩點,且=直線/是否過定點？若過定點，求出定點坐標；

若不過定點，請說明理由

19.（12分）已知橢圓C:\+￡=l（a〉》〉0）的離心率為且，點4（2,1）在橢圓上.

ab2

（1）求橢圓C的方程;

（2）過A點作X軸的平行線交y軸于點T,過T點的直線/與橢圓。交于兩個不同的點P、Q,直線AP、A。與x

軸分別交于“、N兩點，若|AM|=|AN|,求直線/的方程；

（3）在第（2）問條件下，點3是橢圓。上的一個動點，請問：當點3與點A關于x軸對稱時△PQB的面積是否

達到最大？并說明理由.

20.（12分）已知橢圓E：「+與=1（?！等恕?）的離心率6=正，且右焦點到直線工—丁+2=0的距離為20.

ab2

（1）求橢圓的標準方程；

h2

（2）四邊形ABCD的頂點在橢圓上，且對角線AC,過原點。，若左前?凝二，證明：四邊形ABC。的面

a'

積為定值.

21.（12分）書籍是精神世界的入口，閱讀讓精神世界閃光，閱讀逐漸成為許多人的一種生活習慣，每年4月23日為

世界讀書日.某研究機構為了解當地年輕人的閱讀情況，通過隨機抽樣調查了100位年輕人，對這些人每天的閱讀時間

（單位：分鐘）進行統(tǒng)計，得到樣本的頻率分布直方圖，如圖所示：

（2）為了進一步了解年輕人的閱讀方式，研究機構采用分層抽樣的方法從每天閱讀時間位于[50,60）,[60,70）和

[80,90）的年輕人中抽取5人，再從中任選2人進行調查，求其中至少有1人每天閱讀時間位于[80,90）的概率.

22.（10分）已知直線4：（加一4）%—丁+1=0和4：（m+4）x+（m+l）y-l=0

（1）若乙〃4,求實數機的值；

（2）若求實數，〃的值

參考答案

一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。

1、D

【解題分析】根據向量的運算法則得到BA+BC=BD，帶入化簡得到答案.

【題目詳解】在長方體ABC?！?4Gq中，易知CC1=DR,

所以BA+BC+CC]=BA+BC+DD[=BD+DD[=BD\.

故選：D.

2、D

【解題分析】將拋物線方程化標準形式后得到焦準距p=g,可得結果.

3,,442

【題目詳解】由y得所以2P=§,所以p=],

所以拋物線x2=1y的焦點坐標為(0,1).

故選：D.

【題目點撥】關鍵點點睛：將拋物線方程化為標準形式是解題關鍵.

3、A

【解題分析】結合等差數列的性質求得公比4,然后由等比數列的性質得結論

【題目詳解】設｛4｝的公比為心因為必，義,與成等差數列，

24

所以9=普+出，即呼=空+%4，q--2q-3=Q,q=3或q=—l(舍去，因為數列各項為正)

匕匕八|"2020+“2021+12022_Q

所以一q一乙/

“2019+"2018+“2017

故選：A

4、A

【解題分析】根據遞推關系依次求出生，%，%，%即可?

C1

[題目詳解]4=2,4=2——,

4-1

3c14c15c16

%~2---于%=2-[=],%=2一點=1%=2一或=不

ax

故選：A.

5、B

【解題分析】自行車前后輪與撐腳分別接觸地面，使得自行車穩(wěn)定，此時自行車與地面的三個接觸點不在同一條線上.

【題目詳解】自行車前后輪與撐腳分別接觸地面，此時三個接觸點不在同一條線上，所以可以確定一個平面，即地面,

從而使得自行車穩(wěn)定.

故選B項.

【題目點撥】本題考查不共線的三個點確定一個平面，屬于簡單題.

6、C

【解題分析】由題設可得S,=2"-〃，再由。8=1-57即可求值.

【題目詳解】由數列｛S“+4是公比為2的等比數列，且4=1,

,,1

ASn+n=(ax+1)2-=2\即S,,=2"—〃,

87

Aas=Ss-S7=2-2-l=127.

故選：C.

7、A

【解題分析】根據圖象，結合導函數的正負性、極值的定義逐一判斷即可.

【題目詳解】由圖象可知，當工€（—2,2）時，r（x）＞0;當xe。,”）時，/'（無）＜0,

???/（X）在（-2,2）上單調遞增，在（2,+8）上單調遞減，可知B錯誤，A正確；

x=2是極大值點，沒有極小值，；.x=—1和x=l不是函數的極值點，可知C,。錯誤

故選：A

8、A

【解題分析】確定對應二次方程的解，根據三個二次的關系寫出不等式的解集

【題目詳解】X2-3X+2<0,即為(%—1)(%—2)KO,l<x<2

故選：A

9、C

【解題分析】取AG中點。，連接用。，AD,證明用。，平面A&GC，從而可得為A與與平面A&CC所

成角，再利用三角函數計算DBJAQ的正弦值.

【題目詳解】取AG中點。，連接與。，A￡),在正三棱柱ABC—A31G中，底面431G是正三角形，人AG，

又：CG，底面4月。］,CG，3］。，又CGcAG=G，，與。，平面A&G。，二⑶四人。為4片與平面

22

A41GC所成角，由題意，4￡>=6-F=5AB1=V2+2=2y/2,在RtA5|A。中,

V3

sinNB[AD=

AB,2V2-4

故選：c

【解題分析】根據充分條件、必要條件的定義和橢圓的標椎方程，判斷可得出結論.

【題目詳解】解：充分性：當加=〃=1,方程必+丁2=1表示圓，充分性不成立；

m＞0

必要性：若方程如2+爭2=1表示橢圓，貝!］卜〉0,必有機＞0且九＞0,必要性成立,

mwn

因此，“根＞0且〃＞0"是“方程加/+〃產=1表示橢圓”的必要不充分條件.

故選：B.

11、B

【解題分析】首先確定拋物線的焦點坐標，然后結合點到直線距離公式可得。的值.

【題目詳解】拋物線的焦點坐標為

￡-0+1

其到直線x—y+i=0的距離：d=2_______=立，

''-^/l+T―

解得：p=2(p=-6舍去).

故選：B.

12、B

【解題分析】由空間中直線與直線、直線與平面、平面與平面的位置關系分析選項A,C,D,由平面與平面垂直的判定

定理判定選項D.

【題目詳解】選項A.由/ua,mu4,a±/3,直線/,機可能相交、平行，異面，故不正確.

選項B.由/，分，lua,則故正確.

選項C.由/ua,mu力，直線/,機可能相交、平行，異面，故不正確.

選項D.由/ua,mu/，/〃根,則%尸可能相交，可能平行，故不正確.

故選：B

二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。

13>(0,+oo)

【解題分析】構造函數尸(乃=/學利用導數研究單調性，即可得到答案；

e

【題目詳解】/(為一2產<00翌<2,令E(x)=/學，

ee

二八f\x)ex-f(x)-ex于卜)一于(x)c

?r(x)=----------5------=------------<0

?'e，，

單調遞減,且尸(0)=2,

r.F(x)<F(0)<=>x>0,

??.x的取值范圍是(0,+8),

故答案為：(0,+oo)

47I

14、——<左<1

e

【解題分析】求導得尸(X)=.[履,-有兩個極值點等價于函數丫=h'-@-1)2有一個不等于1的零點，分離

X

參數得上=321,令/z(x)=321,利用導數研究/z(x)的單調性并作出/z(x)的圖象，根據圖象即可得出發(fā)的取

exex

值范圍

【題目詳解】函數Ax)的定義域為(。，+8),

Y-1

1(%)=三%/—(%—I)?],

X

令/'(x)=。，解得x=l或左=攵士，

若函數f(x)有2個極值點，

則函數y=k與〃(X)=生3-圖象在(0，+8)上恰有1個橫坐標不為1的交點，

而//(x)=_(x—D(x—3),

ex

令”(x)>0^>l<x<3,令h'(x)vOnxvl或x>3,

故h(x)在(0,1)和(3,+8)上單調遞減，在(1,3)上單調遞增，

4

又%(0)=1,如)=0,/z(3)=—,lim/z(x)=O,如圖所示，

故答案為：:，1]

15、5x-y+2-O

【解題分析】先驗證點在曲線上，再求導，代入切線方程公式即可

【題目詳解】由題，當x=—1時，y=-3,故點在曲線上

,2（x+2）-（2x-l）5

求導得：y=—————-所以VL_I=5

（x+2『（%+2）2

故切線方程為5x—y+2=0

故答案為：5x-y+2=0

16、＞-10}

【解題分析】將問題分離參數得到存在x<5,使a>-2x成立，可得結論.

【題目詳解】存在％<5,使2x+a>0,即存在x<5,使a>—2x,所以a>—10

故答案為：10}

三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。

17、(1)e=73-l;(2)6=4,。的取值范圍為[4&,+oo).

【解題分析】(1)先連結「耳，由VP。鳥為等邊三角形，得到/耳「工=90,忸瑪卜c,歸娟=辰；再由橢圓定

義，即可求出結果；

⑵先由題意得到，滿足條件的點P(x,y)存在，當且僅當TW2c=16,二——匕=-1,=+多=1,根據三

個式子聯立，結合題中條件，即可求出結果.

【題目詳解】(1)連結PK，由VPO&等邊三角形可知：在△耳P8中，/五/耳=90,忸8|=c,歸耳|=辰，

于是2a=歸耳|+|叫|=c+石c,

c2r

故橢圓。的離心率為￡=一=；---T==A/3-1；

a1+V3

122

(2)由題意可知，滿足條件的點P(x,y)存在，當且僅當一|必2c=16,!——乙=-1,=+1=1,

21-1x+cx-ca1b2

即c|y|=16①

八/=02②

22

由②③以及q2=》2+c2得y2=[,又由①知/=￡,故萬=4；

由②③得Y=1d—〃)，所以c22b2,從而儲量2+c222b2=32，故

c

當b=4,。之4夜時，存在滿足條件的點P.

故b=4,。的取值范圍為[40,+oo).

【題目點撥】本題主要考查求橢圓的離心率，以及橢圓中存在定點滿足題中條件的問題，熟記橢圓的簡單性質即可求

解，考查計算能力，屬于中檔試題.

22

18、(1)-匕=1,%>3；

93

(2)過，(12,-6).

【解題分析】(1)根據兩圓內切和外切的性質，結合雙曲線的定義進行求解即可；

(2)設出直線/的方程與雙曲線的方程聯立，利用一元二次方程根與系數關系，結合平面向量數量積的坐標表示公式

進行求解判斷即可.

【小問1詳解】

設圓E的圓心為E(x,y),半徑為r,

171

貝!||EN|=r+；,怛=r—所以|即=6<|ACV]

由雙曲線定義可知，E的軌跡是以M,N為焦點、實軸長為6的雙曲線的右支，

22

所以動圓的圓心E的軌跡方程為工-匕=1,x>3；

93

【小問2詳解】

設A(石,%),3(%，%)，直線/的方程為兀=沖+方

f22

土-上=1x23/、

由<93,，得(次一3)V+2爪0+廠一9=0,且布_3力0,

x=my+1,

-2mt

故|；又PAPB=0，所以(%一6)(9—6)+(%—3)(%—3)=0

t—9

Im-3

又%]=myx+%,x2=my2+1,

所以=+￡—6)+(%-3)(%一3)

二(〃+i)%%+(皿—6加—3)(%+%)+(56)2+9

(加+1)(/一9)一2加(加/一6加一3)+，2-12，+45)(>一3

=0,

m2—3

即18Hz2+3加才一〃+18-72=0.又

18m2+3mf-^2+18/^-72=18m2+3皿一?-6)?-12)=(3加+/-6)(6加一/+12)=0,故彳=6加+12或

，二—3根+6

若t=—3加+6,貝！I直線I的方程為x=m(y-3)+6,

過點尸(6,3),與題意矛盾，所以3帆+6,故/=6機+12,

所以直線/的方程為x=m(y+6)+12,過點(12,—6)

【題目點撥】關鍵點睛：利用一元二次方程根與系數的關系是解題的關鍵.

22

19、(1)——=1；

82

(2)y=gx+l；

(3)當點3與點A關于％軸對稱時，△尸08的面積達到最大，理由見解析.

【解題分析】(D設c=??>0),可得出a=2f,病二7=八將點A的坐標代入橢圓C的方程，求出r的

值，即可得出橢圓。的方程；

(2)分析可知直線/的斜率存在，設直線/的方程為y=H+l,設點P(七,%)、。(%2，%)，將直線/的方程與橢圓C

的方程聯立，列出韋達定理，由已知可得七戶+心。=0,結合韋達定理可求得大的值，即可得出直線/的方程；

(3)設與直線/平行且與橢圓。相切的直線機的方程為y=+將該直線方程與橢圓C的方程聯立，由判別式

為零可求得/=±2,分析可知當點3為直線y=2與橢圓。的切點時，APOB的面積達到最大，求出直線

y=；x-2與橢圓C的切點坐標，可得出結論.

【小問1詳解】

解：因為工=1,設。=后(/>0),則。=23b=y/JT^=t,

a2

22

所以，橢圓C的方程可表示為二+4=19

4/t2

2

將點A的坐標代入橢圓C的方程可得7=1,解得/=行，

22

因此，橢圓C的方程為土+乙=1.

82

【小問2詳解】

解：設線段的中點為E,因為14M=|AN|,則軸，

故直線AP、AQ的傾斜角互補，

易知點T（O,1）,若直線軸，則P、。為橢圓。短軸的兩個頂點，

不妨設點尸（0,行）、2（0,->/2）,則的.=上乎，&°=上?2,kAP+kAQ^0,不合乎題意.

所以，直線/的斜率存在，設直線/的方程為丁=履+1,設點。（%,%）、。（9，%），

聯立1、.=n+1，W（4^2+l）x2+8fct-4=0,A=64k2+16（4Z:2+1）=16（8A:2+1）>0,

?1+4yz=g

_8左4

由韋達定理可得為+々=一一下一，=---3一，

4k-+l4k+1

^-1kx,=y2-lkx2

AP

xx-2X]—2，A°X2-2X2-2,

則kAPf==處一T"=0，

xx-2x2-2

X“一41

所以Xl%2一（%1+%）=4左2+]=0'解得上=5，

因此，直線/的方程為y=gx+L

【小問3詳解】

解：設與直線/平行且與橢圓C相切的直線m的方程為y=Lx+t,

一1

y——x~\~t

聯立『2,可得無2+2笈+2產—4=0（*）,

x2+4/=8

△，=4尸-4（2/-4）=16-4/=0,解得/=±2,

由題意可知，當點3為直線y=gx-2與橢圓C的切點時，此時△P0B的面積取最大值，

當/=—2時，方程（*）為尤2—以+4=0,解得X=2,此時y=gx2—2=—1,即點8（2,—1）.

此時，點3與點A關于％軸對稱，

因此，當點3與點A關于x軸對稱時，△PQB的面積達到最大.

【題目點撥】方法點睛：圓錐曲線中的最值問題解決方法一般分兩種：

一是幾何法，特別是用圓錐曲線的定義和平面幾何的有關結論來求最值；

二是代數法，常將圓錐曲線的最值問題轉化為二次函數或三角函數的最值問題，然后利用基本不等式、函數的單調性

或三角函數的有界性等求最值

22

20、(1)-x------J1-------=1；

84

（2）證明見解析.

【解題分析】（1）根據已知條件列出關于隊氏c的方程組求解即可;

⑵設九：，=6+根，代入三+匯=1，利用韋達定理，通過心0?怎。=一4,結合SABCO=4S.,轉化求解即

84a1

可

【小問1詳解】

'￡=2/2

a2\a=242,,

c+2/—,xy

5一尸-=2n4b=2=E:----F—=1

垃。84

a2=b2+c2〔

【小問2詳解】

22

設人（%,%）,6（%2，%），設5：＞=6+根，代入上+乙=1，

84

得(1+2k2)x2+4kiwc+2m2-8=0,

4km2m2-8

A>0,工玉+々

1+2^2'