2022年高一數(shù)學(xué)寒假作業(yè)精講精練（新人教A版）

常用邏輯用語(yǔ)

考點(diǎn)及要求

考點(diǎn):命題，全稱量詞命題與存在量詞命題的否定、充分條件，必要條件.

1.通過(guò)已知的數(shù)學(xué)實(shí)例,理解全稱量詞與存在量詞的意義.

2.能正確使用存在量詞對(duì)全稱命題進(jìn)行否定；能正確使用全稱量詞對(duì)特稱命題進(jìn)行否定.

3.通過(guò)對(duì)典型數(shù)學(xué)命題的梳理，理解必要條件是結(jié)論成立的部分條件:充分條件成立的命題就是真命題,理解充要條件的意義，理

解數(shù)學(xué)定義與充要條件的關(guān)系.

知識(shí)梳理

1.充分條件、必要條件與充要條件的概念

若pnq,則p是4的充分條件，4是p的

必要條件

p是q的充分不必要條件p=q且qNp

p是q的必要不充分條件p聲q且qnp

p是q的充要條件p=q

〃是q的既不充分也不必要條件pAq且q/p

2.全稱量詞與存在量詞

⑴全稱量詞:短語(yǔ)”所有的“、“任意一個(gè)”等在邏輯中通常叫做全稱量詞,用符號(hào)"V”表示.

⑵存在量詞:短語(yǔ)“存在一個(gè)”，“至少有一個(gè)”等在邏輯中通常叫做存在量詞,用符號(hào)T”表示.

3.全稱命題和特稱命題（命題p的否定記為「p,讀作“非p”.

全稱命題特稱命題

結(jié)構(gòu)對(duì)M中的任意一個(gè)x,有p（x）成立存在M中的一個(gè)％。，使p（%。）

成立

簡(jiǎn)記

VxEM,p(x)3%oeM,p(x0)

否定

3x0EM,-ip(x0)VxGM,-ip(x)

微點(diǎn)提醒

1.區(qū)別A是B的充分不必要條件(4=B且BK4),與A的充分不必要條件是B(B=4且4KB)兩者的不同.

2.A是B的充分不必要條件0rB是的充分不必要條件.

3.含有一個(gè)量詞的命題的否定規(guī)律是“改量詞，否結(jié)論”.

強(qiáng)化訓(xùn)練

1.命題：v%ez,2xez的否定為()

A.VxeZ,2xgZB.GZ,2%gZC.VxgZ,2xgZD.3xGZ,2xeZ

【答案】B

【解析】

命題：v%ez,2xez為全稱量詞命題，其否定為&ez,2久cz；

故選：B

2.“a=1”是“函數(shù)f(x)=lg(V^Ti-ax)為奇函數(shù)”的()

A.充分不必要條件B.充要條件

C.必要不充分條件D.既不充分也不必要條件

【答案】A

【解析】

由函數(shù)/1(%)=3"乂2+1一ax)為奇函數(shù),即/'(-K)=-f(x)，BP/(-x)+/(%)=0,

可得lg(Vx2+1+ax)+lg(Vx2+1—ax)=lg(x2+1—a2%2)=0,

所以％2一a2/=o,可得a=±l,

所以“a=1”是“函數(shù)f(x)=1g(乃E-ax)為奇函數(shù)”的充分不必要條件.

故選：A.

3.已知命題p：x2+x-2>0,命題q：x-1>0,貝！Jp是q的()

A.充分不必要條件B.必要不充分條件

C.充要條件D.既不充分也不必要條件

【答案】B

【解析】

因?yàn)槊}p：x>1或x<-2,命題q：x>1,

所以p是q的必要不充分條件，

故選：B

4.設(shè)a>0且a41,貝『'函數(shù)f(x)=/在R上是減函數(shù)”是“函數(shù)。(K)=(2-a)x在R上是增函數(shù)”的()

A.充分非必要條件B.必要非充分條件

C.充分必要條件D.非充分必要條件

【答案】A

【解析】

若函數(shù)y(x)=在R上是減函數(shù)，則0<a<l,

若函數(shù)g(X)=(2-a)x在R上是增函數(shù)，貝！)2-a>0,又a>0且a41,所以0<a<2且a71,

因?yàn)榧?0,1)真包含于集合(0,l)U(l,2)

所以“函數(shù)”支)=a，在R上是減函數(shù)”是“函數(shù)g(x)=(2-a)x在R上是增函數(shù)”的充分非必要條件.

故選：A

5.命題"久￡[1,2],3x2-a>0”為真命題的一個(gè)充分不必要條件是()

A.a<2B.a>2C.a<3D.a<4

【答案】A

【解析】

若“Vxe[1,2],3x2-a>0為真命題,得a<3/對(duì)于％e[1,2]恒成立，

2

只需a<(3x)min=3,

所以a<2是命題“VxG[1,2],3/-a20為真命題的一個(gè)充分不必要條件，

故選：A.

6.2021年1月初，中國(guó)多地出現(xiàn)散發(fā)病例甚至局部聚集性疫情，在此背景下，各地陸續(xù)發(fā)出“春節(jié)期間非

必要不返鄉(xiāng)”的倡議，鼓勵(lì)企事業(yè)單位職工就地過(guò)年.某市針對(duì)非本市戶籍并在本市繳納社保，且春節(jié)期間在

本市過(guò)年的外來(lái)務(wù)工人員，每人發(fā)放1000元疫情專項(xiàng)補(bǔ)貼.小張是該市的一名務(wù)工人員，則“他在該市過(guò)年”

是“他可領(lǐng)取1000元疫情專項(xiàng)補(bǔ)貼”的()

A.充分不必要條件B.必要不充分條件

C.充要條件D.既不充分也不必要條件

【答案】B

【解析】

只有非本市戶籍并在本市繳納社保的外來(lái)務(wù)工人員就地過(guò)年，才可領(lǐng)取1000元疫情專項(xiàng)補(bǔ)貼，小張是該市

的一名務(wù)工人員，但他可能是本市戶籍或非本市戶籍但在本市未繳納社保，所以“他在該市過(guò)年”是“他可領(lǐng)取

1000元疫情專項(xiàng)補(bǔ)貼”的必要不充分條件.

故選：B.

7.若a,b€R,則“a<6”是“Ina<Inb”的()條件

A.充分不必要B.必要不充分

C.充要D.既不充分也不必要

【答案】B

【解析】

因函數(shù)y=Inx在(0,+8)上單調(diào)遞增，則Ina<Inb<=>0<a<b

而a,beR,當(dāng)a<6時(shí)，a,b可能是負(fù)數(shù)或者是0,即Ina或Inb可能沒(méi)有意義，

所以"a<6"是"Ina<Inb”的必要不充分條件.

故選：B

8.下列四個(gè)結(jié)論中正確的個(gè)數(shù)是()

(1)設(shè)x<0,則比有最小值時(shí)4；

X

(2)若/(久+1)為R上的偶函數(shù)，則/(久)的圖象關(guān)于x=1對(duì)稱；

(3)命題“mnGN,2n>1000”的否定為:“VnGN,2n<1000；)

(4)命題“已知久,R,若久+y=3,貝h=2且y=1”是真命題.

A.1B.2C.3D.4

【答案】B

【解析】

(1)''x<0,—X>0,—>0,4+x=x+-=—(—X+—,

-XxX\-xj

(-x)+(￡)22J(r)j)=4,當(dāng)且僅當(dāng)x=—2時(shí)取等號(hào)，

.,.—<-4,/.(1)錯(cuò)；

X

(2)?..函數(shù)丫=〃％+1)為偶函數(shù)，...函數(shù)丫=〃％+1)的圖象關(guān)于、軸對(duì)稱,

Vy=/(x+1)的圖象是由y=/Xx)的圖象向左平移一個(gè)單位得到的，

函數(shù)y=f(x)的圖象關(guān)于x=l對(duì)稱.(2)對(duì).

(3)由命題的否定可判斷正確；

(4)令x=4,y=-l,滿足x+y=3與％=2且y=1矛盾，(4)錯(cuò).

正確個(gè)數(shù)為兩個(gè).

故選：B

9.下列說(shuō)法中，錯(cuò)誤的是()

A."x,y中至少有一個(gè)小于零”是“x+y<0”的充要條件

B.已知a,b€R,則“a2+爐=0，，是“口=。且6=0”的充要條件

C.“ab豐0”是“a豐0或b*0”的充要條件

D.若集合A是全集U的子集，則x《QAQ久64

【答案】AC

【解析】

對(duì)于A,當(dāng)x=3,丫=一2時(shí)，滿足x,y中至少有一個(gè)小于零，但無(wú)法推出x+y<0,A說(shuō)法錯(cuò)誤；

對(duì)于B,若a2+爐=0,則a=6=0；若a=6=0,則a2+爐=。，即“口2+產(chǎn)=0，，是“口=。且。=°”的

充要條件，B說(shuō)法正確；

對(duì)于C,當(dāng)&=0,6=1時(shí)，滿足a羊0或b力0,但此時(shí)ab=0,即無(wú)法推出abK0,C說(shuō)法錯(cuò)誤；

對(duì)于D,若集合4是全集U的子集，貝U(Cu4)U4=U,即命題“xCCM”與"64”是等價(jià)命題，D說(shuō)法正確.

故選：AC

10.下列選項(xiàng)中，p是q的充要條件的是()

A.p：xy>0,q：x>0,y>0

B.p：A\JB=A,q：BQA

C.p：三角形是等腰三角形，q：三角形存在兩角相等

D.p：四邊形是正方形，q：四邊形的對(duì)角線互相垂直平分

【答案】BC

【解析】

對(duì)于A：由xy>0,得x>0,y>0或x<0,y<0,故P不是q的充要條件，故A錯(cuò)誤；

對(duì)于B：由au8=a,則Baa,若BU4則au8=a,故P是q的充要條件，故B正確；

對(duì)于C:三角形是等腰三角形Q三角形存在兩角相等，故P是q的充要條件，故C正確；

對(duì)于D：四邊形的對(duì)角線互相垂直且平分Q四邊形為菱形，故P不是q的充要條件，故D錯(cuò)誤；

故選：BC

11.下列命題中，是真命題的是（）

A.a>1且6>1是ab>1的充分條件B.“久〉|”是1<2"的充分不必要條件

C.命題“Vx<1,%2<1”的否定是叼久>1,x2>rD.a+b=0的充要條件是藍(lán)=-1

【答案】AB

【解析】

對(duì)于A,當(dāng)a>1,b>l時(shí)，ab>1,充分性成立，A正確；

對(duì)于B,當(dāng)x>之時(shí)，0<（<2,充分性成立；當(dāng)（<2時(shí)，x>［或x<0,必要性不成立，貝（%>會(huì)是l<2"

的充分不必要條件，B正確；

對(duì)于C,由全稱命題的否定知原命題的否定為：3%<1,x2>1,C錯(cuò)誤；

對(duì)于D,當(dāng)a=0,b=0時(shí)，a+b=0,此時(shí)藍(lán)無(wú)意義，充分性不成立，D錯(cuò)誤.

故選：AB.

12.下列所給的各組p、q中，p是q的必要條件是（）

A.p：△ABC中，Z-BAC>Z.ABC,q：△ABC中，BC>AC；

B.p：a2<1,q：a<2；

C.p：-<1,q：b<a；

a

D.p：m<1,q-.關(guān)于x的方程+2x+1=0有兩個(gè)實(shí)數(shù)解.

【答案】AD

【解析】

對(duì)于A,因?yàn)樵谌切沃写筮厡?duì)大角，小邊對(duì)小角，反之也成立，所以當(dāng)ABAC>N4BC時(shí)，有BC>4C,

當(dāng)BC>4C時(shí)，有NB4C>乙4BC,所以°是q的充要條件；

對(duì)于B,由a?<1,得—1<a<1,則a<2一定成立，而當(dāng)a<2時(shí)，如a=—2,a?<1不成立，所以p

是q的充分不必要條件；

對(duì)于C,由色<1可知，當(dāng)a>0時(shí)，6<a；當(dāng)a<0時(shí)，b>a；而當(dāng)b<a時(shí)，若a>0,貝哈<1,若a<0,則

aa

5>1,所以p是q的既不充分也不必要條件；

對(duì)于D,當(dāng)m=0時(shí)，關(guān)于x的方程+2%+1=。只有一個(gè)實(shí)根，若關(guān)于x的方程m/+2%+1=0有

兩個(gè)實(shí)數(shù)解時(shí)，則｛:得小<1且小力°，所以P是4的必要不充分條件；

故選：AD

13.已知TxeR,使得2/+a%+|w0”是假命題，則實(shí)數(shù)的。取值范圍為.

【答案】(-2,2)

【解析】

6R,使得2/+ax+|<0”是假命題，

命題R,使2產(chǎn)+ax+1>0”是真命題，

判別式△=a2-4x2x|<0,

—2VCL<2.

故答案為：(-2,2).

14.若命題p是“對(duì)所有正數(shù)x,均有久>/+2；則「p是.

【答案】3%>0,使得％<X2+2

【解析】

解：根據(jù)全稱命題的否定為特稱命題得命題0：“對(duì)所有正數(shù)x,均有%>/+2”的否定「「是：存在正數(shù)》,

使得x<%2+2.

故答案為：3%>0,使得比W/+2.

15.下列四個(gè)結(jié)論：①“2=。”是“血=6”的充分不必要條件；②在NWC中，+"2=Be?”是“AZBC為

直角三角形”的充要條件;③若a,bER,則“a?+爐力0”是“a,b全不為0”的充要條件；④若a,bGR^a2+

匕2大0”是“a,6不全為0”的充要條件.其中正確命題的序號(hào)是.

【答案】①④

【解析】

當(dāng)4=0時(shí)，Aa=0>當(dāng)4益=0時(shí)，2=0或2=0，①正確；

當(dāng)△力BC中乙8=5，則AC?=+4^2,故②錯(cuò)誤；

取a=0,b=1得到a?+b20,故③錯(cuò)誤；

若a^+b?彳0,則a,b不全為0,若a,6不全為0,則0^+爐于0,故④正確；

故答案為：①④.

2222

16.在復(fù)數(shù)范圍內(nèi),給出下面3個(gè)命題：①|(zhì)a+b\=a+2ab+b；②已知z1、z2>z3eC,若（z2一zx）+

2

（Z3-Zx）=0,則Z］=Z2=Z3；③z是純虛數(shù)=z+2=0.其中所有假命題的序號(hào)為.

【答案】①②③

【解析】

①：等號(hào)的左邊是非負(fù)實(shí)數(shù)，而右邊不一定是非負(fù)實(shí)數(shù)，如a=l,b=i,假命題.

②：取Zi=0,z2-l,Z3=i,貝！|（Z2-Z1）2+（Z3-Z1）2=0,但Z］、Z2、Z3互不相等，假命題.

③：當(dāng)z=0時(shí)滿足z+2=0,但Z不是純虛數(shù)，所以z+2=0推不出Z是純虛數(shù)，假命題.

故答案為：①②③

17.已知p:VxeR,a/—ax+1>0恒成立，q:eR,/+%+a=0.如果p,q中有且僅有一個(gè)為真命題，

求實(shí)數(shù)a的取值范圍.

【答案】（—8,0）1）（?4）

【解析】

若p為真命題，當(dāng)a=0時(shí)，可得1>0恒成立，滿足題意；

當(dāng)a7。時(shí)，則代屋2一4”0,解得。<。<4,

???當(dāng)p為真命題，實(shí)數(shù)a的取值范圍是［0,4）.

若q為真命題，則有4=I2-4a>0,解得a<%

???當(dāng)q為真命題，實(shí)數(shù)a的取值范圍是（-8,勺.

p,q中有且僅有一個(gè)為真命題，

???當(dāng)p為真命題，q為假命題時(shí)，實(shí)數(shù)。的取值范圍是［0,4）13（］,+8）=（［,4）;

當(dāng)p為假命題，q為真命題時(shí)，實(shí)數(shù)a的取值范圍是（-8,0）.

綜上，當(dāng)p,q中有且僅有一個(gè)為真命題時(shí)，實(shí)數(shù)a的取值范圍是（-8,0）UG，4）.

18.已知集合M={%1（%+3）（久—5）<0},yV={%|—m<x<m}.

（1）若“XGM”是％eN”的充分條件，求實(shí)數(shù)m的取值范圍；

（2）當(dāng)山》0時(shí)，若“xe是“xeN”的必要條件，求實(shí)數(shù)小的取值范圍.

【答案】

(1)[5,+oo)

(2)[0,3]

【解析】

(1)可得M={x|(x+3)(%-5)<0}={x|-3<x<5]

若“xeM”是“xeN”的充分條件,則McN,

所以{靠1—3,解得小》5,所以實(shí)數(shù)小的取值范圍為[5,+8)；

(2)若“xeM”是“xeN”的必要條件,則NcM,

m>0

因?yàn)檠?,所以NH0,貝1」一瓶》一3,解得04血《3,

,m<5

綜上所述，實(shí)數(shù)小的取值范圍為[0,3].

19.將下列命題改寫成“若a,則/J”的形式，并判斷“an邛是否成立.

(1)直角三角形的外心在斜邊上；

(2)有理數(shù)是實(shí)數(shù)；

(3)面積相等的兩個(gè)三角形全等.

【答案】

(1)若一個(gè)三角形是直角三角形，則該三角形的外心在斜邊上.an￡成立

(2)若一個(gè)數(shù)是有理數(shù)，則這個(gè)數(shù)是實(shí)數(shù).a今￡成立

(3)若兩個(gè)三角形的面積相等，則這兩個(gè)三角形全等.an￡不成立

【解析】

(1)命題改寫成：若一個(gè)三角形是直角三角形，則該三角形的外心在斜邊上.

由直角三角形的外心是斜邊的中點(diǎn)，可知a=￡成立.

(2)命題改寫成：若一個(gè)數(shù)是有理數(shù)，則這個(gè)數(shù)是實(shí)數(shù).

實(shí)數(shù)由有理數(shù)和無(wú)理數(shù)構(gòu)成，即QUR,可知a00成立.

(3)命題改寫成：若兩個(gè)三角形的面積相等，則這兩個(gè)三角形全等.

因?yàn)閮蓚€(gè)面積相等的三角形，則面積的2倍也相等，也就是底乘高相等；但是一個(gè)數(shù)可以有許多不同的因

數(shù)，所以說(shuō)這兩個(gè)三角形的對(duì)應(yīng)邊、對(duì)應(yīng)高不一定相等，故面積相等的兩個(gè)三角形不一定全等，可知an。

不成立.

20.已知命題p："V-1<x41,不等式/一刀-爪<0成立”是真命題.

U)求實(shí)數(shù)ni的取值范圍；

(2)若q:-4<zn-a<4是p的充分不必要條件，求實(shí)數(shù)a的取值范圍.

【答案】

(1)(2,+8);

(2)［6,+oo).

【解析】

(1)由題意命題p："V-14x4L不等式/-萬(wàn)一爪<o成立”是真命題.

22

m>x—x在-1<%<1恒成立，即m>(%—x)max,x￡［—1,1］；

因?yàn)?—x—(x--)2—所以—:《/一x42,即?n>2,

所以實(shí)數(shù)m的取值范圍是(2,+8)；

(2)由p得，設(shè)2=>2},由q得，設(shè)8={m|a—4<m<a+4},

因?yàn)閝:-4<m-a<4是p的充分不必要條件；

所以q=>p,但p推不出q,B