面積計算

在小學階段學習的各種平面圖形之間有著密切的聯系.我們把平面圖形之間

的轉化方法及它們的面積、周長公式歸納如下圖：

計算圖形的面積要用面積公式，對于一些復雜的圖形有意識地運用運動變

化的觀點，將平面圖形簡單地變動位置，可以化繁為簡，化難為易，從而獲得

最佳解法。

例1己知三角形ABC的面積為1,BE=2AB,BC=CD,求三角形BDE的面積?

（下貝圖）

C

BD

E

例2求右圖中陰影部分的面積.（大圓直徑為2,單位：厘米）o

例3如下圖.在圖中三角形ABE、ADF和四邊形AECF的面積相等，求三角形AEF

的面積。

例4如下貫圖.等腰直角三角形ABC的腰為10厘米；以A為圓心，EF為圓弧，組

成扇形AEF；陰影部分甲與乙的面積相等.求扇形所在的圓面積.

例5如右圖.從一個正方形的木板上鋸下寬為9米的一塊長方形木條

以后，剩下的面積是與平方米.問鋸下木條的面積是多少平方米？

lo

例6一塊長方形鋼板，長截下4分米，寬截下1分米后，成了一塊正方形鋼板,

如右圖，面積比原來減少了49平方米原來長方形鋼板的面積是多少平方米？

222

例7ABCD為任意四邊形，其中AE=gAB,BF=-BC,CG=-CD,

DH=-DA,連結E、F、C,H求四邊形EFGH的面積與四邊形ABCD的面積

之比（如右圖）。

例8如右圖，已知三角形ABC的三條高必定交于一點，如記成P點,

請你講明票+裝+春】為什么成立？

答案

例1己知三角形ABC的面積為1,BE=2AB,BC=CD,求三角形BDE的面積?

（下頁圖）

分析利用己給的線段間的比例關系、已給的三角形的面積以及三角形的面積

公式，設法把三角形BDE劃分成一些與三角形ABC的面積成相應比例的三角形一

這樣，三角形BDE的面積就能求得了。

解：見右圖，連結CE對于三角形ABC與三角形BEC,分別把AB和BE

看成底，那么它們的高相等.此外，BE=2AB.根據三角形面積公式S=gah

可知，

$4次=25￡威=2-

顯然，三角形BEC和三角形CED

是兩個等底（BC=CD）、等高的三角形，因此

S_iCED=SdBK-2。

這樣，SiEDE=S二5K+5占皿川。

例2求右圖中陰影部分的面積.（大圓直徑為2,單位：厘米）。

哪

分析：解題時可以先將圖形下半部分翻轉拼接為右圖.然后將圖中的小圓移至

中心從圖中不難看出求原圖中陰影部分的面積就是求一個圓環的面積。

解：大圓半徑：2+2=1（厘米）

小圓半徑：1+2=0.5（厘米）

陰影面積：3.14X（P-O.5O

=2.355（平方厘米）

答：陰影部分的面積是2.355平方厘米.

例3如下圖.在圖中三角形ABE、ADF和四邊形AECF的面積相等，求三角形AEF

的面積。

分析三角形AEF的面積等于四邊形AECF的面積減去三角形ECF的面積.因為長

方形ABCD的面積等于三角形ABE、ADF和四邊形AECF的面積和，

而這三者的面積又相等，所以四邊形AECF的面積等于長方形面積的，由于

長方形ABCD的長、寬分別為9厘米和6厘米，因此很容易求出它的面積.所以解

題關鍵在于求出三角形ECF的面積。

根據三角形面積公式S=（獨，已知三角形ABE的面積等于長方形面積

的;，又知道AB=6厘米，可以求出BE的長度.知道BE的長度就可以求出

EC的長度祠理可以求出FC的長度.這樣三角形ECF的面積可以求出，使問題得

解。

解：長方形ABCD的面積：9X6=54（平方厘米）；

四邊形AECF及三角形ABE、AFD的面積相等，是：

54X1=18（平方厘米）；

EC的長度：9-18X2+6=3（厘米）；

FC的長度：6-18X2+9=2（厘米）5

三角形AEF的面積：

18-3X2+2=15（平方厘米）。

答：三角形AEF的面積是15平方厘米。

例4如下瓦圖等腰直角三角形ABC的腰為10厘米；以A為圓心，EF為圓弧，組

成扇形AEF；陰影部分甲與乙的面積相等.求扇形所在的圓面積.

分析???△―€：是等腰直角三角形，二AC=BC,ZA=ZB=45°?Ss=Sr,

即S二本的面積等于以AE為半徑，圓心角是45°的扇形面積根據己知條件，可

求打三角形ABC的面積從而可求出圓面積。

解：三角形ABC的面積：竺產=50（平方厘米）；

周角是45°圓心角的幾倍？360X45=8；

圓面積：50X8=400（平方厘米）o

答：扇形所在的圓面積是40評方厘米。

例5如右圖.從一個正方形的木板上鋸下寬為J米的一塊長方形木條

以后，剩下的面積是與平方米,問鋸下木條的面積是多少平方米？

lo

分析利用一種稱之為“弦圖”的求面積的方法.用“弦圖”計算面積最主要的

是掌握“弦圖”的特點.其一：大正方形邊長小方形長X+長方形寬y。

其二：小正方形的邊長張方形的長x-長方形的寬y.解題時先把四個面積為

形邊長是￡米，從而可求出拼成后正方形的總面積，進而確定正方形的邊長。

解：拼成后大正方形的面積：

||x4+99罷（平方米）

大正方形的邊長：

:第=（%%.?.大正方形的長為系米

3666

長方形的長（即長方形木條的長）：

:長+寬=:（米），長-寬=：（米），

62

A長=（胃+白+2=］（米）o

626

鋸下木條的面積：屋心（平方米）。

6212

答：鋸下木條的面積是平方米。

例6一塊長方形鋼板，長截下4分米，寬截下1分米后，成了一塊正方形鋼板,

如右圖，面積比原來減少了49平方米原來長方形鋼板的面積是多少平方米？

14分*川

I

加s

I?IIIIIIIIIIIIIIIIIIII

分析初看起來，圖中長方形長和寬，正方形的邊長都不知道，無法求出長方

形的面積，能否用特殊的方法思考呢？審題后發現長方形的長、寬和面積都和

正方形有關系.圖中陰影部分，如果添一條“輔助線”，如下頁圖（1）或下瓦

圖（2）,把它分解成兩個長方形.以下頁圖（2）為例.記正方形的邊長為x分米.

帶陰影的小長方形長為（x+4）分米，寬為1分米，帶陰影的大長方形長為x分

米，寬為4分米.“面積比原來（長方形）減少了49平方米”，也就是大長方形

陰影部分面積+小長方形陰影部分面積=陰影部分總面積=49平方分米，用方程

解.

Q分*tQ分淤f

1

i分!—!周川wJ刪刪

(1)<2)

解：設正方形邊長為X分米。

(x+4)X1+4X=49,

x+4+4x=49,

5x=45,

x=9。

9X9+49=130(平方分米)

答：長方形鋼板面積為13評方分米。

222

例7ABCD為任意四邊形，其中人￡=5衣3,BF=-BC,CG=-CD,

2

DH=yDA,連結E、F,CH求四邊形EFGH的面積與四邊形ABCD的面積

之比(如右圖)。

解：連結ED和BD得知S」2H=S^血,

SAAED=gS<!ADB'所以

S=1X2S=2

Q&AEH_33。&婭口_9Q&ABD

2

同理，CGF=§S&BCD

2=2S

因此S&AEH+S&CGF+S

9△ABD\BCD-9Q口ABCD

2

同理S&BFE+S&DHG=§S□納CD

>4

所以S△妣H+SACGF+S&BFE+S&DHG="^^nABCD

所以$口皿時c￡)v=

L—g/^n^CD-^■^□ABCD

即四邊形EFGH的面積：四邊形ABCD面積=5:9。

例8如右圖，已知三角形ABC的三條高必定交于一點，如記成P點,

請你講明彩導群】為什么成立?

分析與解答從右圖中可以看出APBC和aABC是同底的兩個三角形,

它們的面積之比等于它們對應高的比，所以=常同理可得：

'AAR「

S&PCA=PES&PAB=PF

—二至'。=無

JAPCA,S&PABPDPEPF

所以Q&PBC+--------+--------=-----+-----+—

24ABCSuA2A%DRvrSu..RUrADBECF

-1-,

又,SAPEC+SAPCAS/ipAE=SAABC

PDPEPFS△他c

------1-------1-----=--------=lo

ADBECFSL

習題十四

L右圖是一個圓心角為45°的扇形，其中直角三角形B0C的直角邊為6厘

米，求陰影部分面積。

2.在右圖中，陰影部分A的面積比陰影部分B的面積大10.5平方厘米，求線

段BC的長度？

D

3.一個直徑為10厘米的圓，如左圖.圓內有一個扇形，扇形的弧長為3.14

厘米，求扇形的面積。

4.右圖中，大正方形面積比小正方形面積多24平方米，求小正方形的面積

是多少？

5.用同樣的長方形條轉，在一叢花的周圍鑲成一個正方形邊框，如右圖.

邊框的周長為264厘米.里邊小正方形的面積為900平方厘米，問每塊長方形條

存的長和寬各是多少厘米？

習題十四解答

L提示：針對本題特點，選用先擴大再縮小的方法解題.把原圖作為一個整

體擴大一倍，使其成為圓心角是90°的扇形，使問題得解.（見右圖）

解：大三角形面積：

（+愛6=36（平方厘米）。