江蘇省2024屆高三上學期期末迎考數學試題

學校:姓名：班級：考號：

一、單選題

1.已知集合A={20,24},5={20,23},則AuB中合數的個數為（）

A.0B.1C.2D.3

2.已知復數2=館5"-立i（i為虛數單位），則復數z3=（）

32

A.1B.-1C.iD.—i

3.已知函數/（x）=cos（x+0）］-54”：j,則“、=/（%）為奇函數”是“0=方”的

（）

A.充要條件B.充分不必要條件

C.必要不充分條件D.既不充分又不必要條件

4.平面上的三個力F2,工作用于同一點，且處于平衡狀態.己知耳=（1,0）,|瑞|=2,

化閭=120,則帕卜（）

A.1B.1C.6D.2

5.已知+'［（a>。）的展開式中唯有第5項的系數最大，則a的取值范圍是（

45

C.

353

6.如圖，函數/（天）=212!1［8+］，0>0）的部分圖象與苫軸相交于4,3兩點，與y軸

7T

相交于點C,且，ABC的面積為則。的值為（）

D.4

7.設數列{%}滿足2a“=%+i+a,i且〃eN*）,S,是數列{%}的前"項和，且

5s7—7$5=35,%=1,貝i]數歹!J震2的前2024項和為()

、4-+iJ

人2024-2025-506一2023

A.------B.------C.------D.------

2025202610134050

2x+3,x<0,

8.已知函數/(X)=]"_2)2x〉0則函數g(%)=[〃%)]-/[/(%)]的所有零點之和為

()

A.2B.3C.0D.1

二、多選題

9.已知某地區秋季的晝夜溫差X且尸（X>9）=；,該地區某班級秋季每

天感冒的人數y關于晝夜溫差M℃）的經驗回歸方程為y=bx+l,秋季某天該班級感冒

的學生有9人，其中有4位男生，5位女生，則下列結論正確的是（）

（參考數據：y=19,X=/J）

2i

A.若尸（X>11）=寸則P（7<X<9）=而

B.從這9人中隨機抽取2人，其中至少有一位女生的概率為二

O

4

C.從這9人中隨機抽取2人，其中男生人數J的期望為1

D.晝夜溫差每提高1。（2,該班級感冒的學生大約增加2人

10.已知函數/（》）=（無2+辦+，忖，下列結論正確的是（）

A.若函數“X）無極值點，則“X）沒有零點

B.若函數“X）無零點，則沒有極值點

C.若函數/（尤）恰有一個零點，則〃尤）可能恰有一個極值點

D.若函數/（x）有兩個零點，則/'（x）一定有兩個極值點

11.已知點A,B均在拋物線C:y2=x上，點/0,3）,則（）

A.直線朋的斜率可能為《

B.線段R1長度的最小值為世

C.若尸，A,8三點共線，則存在唯一的點2,使得點A為線段PB的中點

D.若P,A,8三點共線，則存在兩個不同的點B,使得點A為線段尸8的中點

試卷第2頁，共4頁

12.如圖，四棱錐尸-ABC。的底面是梯形，BC//AD,AB=BC=CD=\,AD=2,

PA=PD=近,平面上4。，平面ABC。，0,E分別為線段A。，R1的中點，點。是

底面A5CD內（包括邊界）的一個動點，則下列結論正確的是（）

A.ACIBP

B.三棱錐3-AOE外接球的體積為叵

4

3

C.異面直線PC與0E所成角的余弦值為:

4

D.若直線PQ與平面ABCD所成的角為60。，則點。的軌跡長度為內兀

三、填空題

13.若圓C與直線3x-4y-12=0相切，且與圓f-2》+產=0相切于點A（2,0）,寫出

一個符合要求的圓C的標準方程:

14.計算：4sin400-tan40°=.

15.與圓臺的上、下底面及側面都相切的球，稱為圓臺的內切球.若圓臺的上、下底面

半徑分別為小4,且24+4=2a,則它的內切球的體積的最大值為一.

16.反比例函數＞=1的圖象是雙曲線（其漸近線分別為x軸和y軸）；同樣的，“對勾函

數"丫=〃a+々巾＞0,〃＞0）的圖象也是雙曲線.設根=1,九=正，則此“對勾函數”所對

尤34

應的雙曲線的焦距為.

四、解答題

17.已知△A3C的內角A,B,。所對的邊分別為b,c,c=2,2a=bccosC+c.

（1）求角5的大??；

■rr

（2）若BD=DC，IAB|^|ACbZCAD=—求△ABC的面積.

6f

18.抽屜里裝有5雙型號相同的手套，其中2雙是非一次性手套，3雙是一次性手套,

每次使用手套時，從抽屜中隨機取出1雙（2只都為一次性手套或都為非一次性手套），

若取出的是一次性手套，則使用后直接丟棄，若取出的是非一次性手套，則使用后經過

清洗再次放入抽屜中.

(1)求在第2次取出的是非一次性手套的條件下，第1次取出的是一次性手套的概率；

(2)記取了3次后，取出的一次性手套的雙數為X,求X的分布列及數學期望.

19.如圖，在直三棱柱ABC-A4G中，M,N分別為棱8片的中點，ACVAB,

A

⑴求證：CM,平面CAW；

(2)求二面角C-GN-M的正弦值.

20.已知函數=寸.

(1)當0=1時，求曲線y=/(x)在點4(1,/。))處的切線方程；

(2)若求證：""a.

21.已知數列｛%｝滿足％=1,且對任意正整數相，〃都有金+“=%+%,+2〃說.

⑴求數列｛%｝的通項公式；

⑵求數列｛(T)%“｝的前w項和S“，若存在正整數公使得21+%=0,求上的值；

⑶設a=9n[l+,+‘],，是數列也,｝的前“項和，求證:?；<上一.

21/an+Jn+1

22.已知橢圓E(+，=l(a>b>0),點C(0,-l)和點。卜|,司在橢圓E上.

⑴求橢圓E的方程；

(2)設P是橢圓上一點(異于C,。)，直線尸C,P。與x軸分別交于M,N兩點.證明:在x

軸上存在兩點A,B,使得是定值，并求此定值.

試卷第4頁，共4頁

參考答案：

1.C

【分析】利用集合的并集運算與合數的定義即可得解.

【詳解】因為A={20,24},3={20,23},

所以AB={20,23,24},則AuB中的合數為20和24.

故選：C.

2.A

【分析】根據復數代數形式的乘法與乘方運算化簡即可.

【詳解】因為z=cos女-3i=」-且i,

3222

故選：A

3.C

【分析】首先根據奇函數的定義，結合兩角和差的余弦公式，求再根據充分，必要條件

的定義，即可判斷選項.

【詳解】若y=/(x)為奇函數，貝滿足〃T)=—〃X),所以cos(r+e)=—cos(x+0),

貝U有COSXCOS夕=0,

則cos0=O,因為所以夕=士》所以“y=/(無)為奇函數”是“。=5”的必要不

充分條件.

故選：C

4.C

【分析】首先由耳+工+罵=0變形，再結合向量數量積的運算公式，即可求解.

【詳解】由題意得￡+8+罵=0,所以一居=4+鳥，兩邊平方得時=歸『+2片6+網2,

即同=1+2X1X2X]-￡|+4=3,所以同=6.

故選：C

5.A

答案第1頁，共15頁

【分析】利用二項式定理展開公式，結合系數最大列出不等式即可求解.

【詳解】3+三:的展開式的通項為&=&（可［3

C^-a4>C^-<7345

由題可知「:.八「L，解得

^1^6Cl>ClD乙

故選：A

6.B

【分析】由三角形面積求得函數的周期，由周期得參數值.

JT

【詳解】根據題意，當x=0時，/（O）=2tan--2,

7T1TT7T

又〔ABC的面積為萬,，S.0=5x2x48=5=48=5，

；?函數/（元）的周期為■!，可得周期7=/=5=0=2,

故選：B.

7.C

【分析】由題意易得｛%｝為等差數列，遞推得出］｝，也為等差數列，結合裂項相消法求和

即可.

【詳解】因為2%=%+*"22且"eN*）,所以數列｛4｝為等差數歹U,

設公差為d,

及j

因為S“=nal+

所以&=%+■*辿”（常數）,

n2n+\

則，｝，也為等差數列.

因為5S—35,所以則數列用的公差為?

521.幾一1n+152"("+1)_111

所以--二1----'，所以ao.77\7―7，

n22714S￡+I(n+l)(M+2)n+1n+2

H(H+1)

所以數列f表L的前2024項和為

1111111111506

23344520252026~22026~1013

答案第2頁，共15頁

故選：c.

8.D

【分析】令t=/（x）,得到g⑺=--〃。，令g⑺=0,可得〃=,列出方程求得t=+l,

得到/（x）=±l,在結合函數的解析式，列出方程，即可得到答案.

【詳解】由函數g（x）=["切2T]/（切，令t=f（x）,則g（/）=?-/⑺，

令g（f）=O,可得產=。（）,

當/>0時，由廣=/（。，可得〃=（/—2）2,即-4/+4=0,解得/=1；

當好0時，由產=〃。，可得』=2/+3,即產一2-3=0,解得t=-l或f=3（舍去），

所以好±1,即〃x）=±l,

當x>0時，令（x-2）2=1或（x-2『=-1（舍去），解得x=l或無=3；

當xvO時，令2%+3=±1,解得元二-1或工=一2,

所以函數g（無）=[〃尤）丁一/[〃切的零點之和為1+3-1—2=1.

故選：D.

9.ABD

【分析】根據正態分布、超幾何分布的概率與期望的計算方法，以及線性回歸分析的基本概

念可得到答案.

【詳解】由P（X>9）=g,可得〃=9,1=9,所以

121

尸（7<X<9）=尸（9<X<11）=P（X>9）—P（X>11）=]—M=75，故A正確；

因為1一鳥=3,故B正確；

。96

4服從超幾何分布，其中N=9,M=4,〃=2,所以￡信）=半=,，故C錯誤；

N9

因為；=9，亍=19,所以19=99+1，所以5=2,故D正確.

故選：ABD

10.AD

【分析】畫出可能圖象，結合圖象判斷選項即可.

答案第3頁，共15頁

【詳解】

①②③④

=1+(a+2)x+a+6]e",設g(x)=f+(a+2)x+a+b

若函數/'(X)無極值點則，貝?！?(a+2)2-4(a+6)V0,

此時儲-46+4M0,即4-464-1,所以=(f+辦+萬人*>0,沒有零點，如圖①；

若函數/(%)無零點，則有1-4人<0,此時a?-4/?+4<4,

當片-46+4>。時，/(X)先正再負再正，原函數先增再減再增，故有極值點，如圖②；

若函數/(x)恰有一個零點，貝1]片-4)=0,

此時片一4〃+4=4>0,f(x)先正再負再正，原函數先增再減再增，有兩個極值點，如圖

③；

若函數“X)有兩個零點，則/一46>0,此時。2-46+4>4>0,((無)先正再負再正，

函數先增再減再增，有兩個極值點，如圖④；

所以AD正確.

故選：AD.

11.BD

【分析】對A：直接判斷上'是否有解；對B：|PA|=Jy：+(3-y),用導數

求最值即可；對CD：根據A為線段PB的中點可得2y；-12%+9=0,判斷此方程解的個數即

可.

【詳解】設4(冷％),3(%2，%)，則占=4,無2=貨.

對于A,假設直線上4的斜率為則％=-10%+30=0,

由于A=100-120<0,則該方程無解，所以直線以的斜率不可能為故A錯誤；

對于B:1P川=，才+(3-/,記y=y：+(3-y)2,則V=4y：-2(3-yj,

記g(%)=4y：一2(3-%),則g<％)=12y；+2>0,y，=g(%)單調遞增.

答案第4頁，共15頁

由于**]=0,因此，當必>1時，y，>0,y=y；+（3—%）2單調遞增，

當/<1時，V<o,y=y：+（3-%了單調遞減，

故當必=1時，y=y：+（3—yj2取最小值5,

因止匕|PA|=Jy：+（3-x）的最小值為&,故B正確；

對于C,若P,A8三點共線，A為線段PB的中點，則0+%=2±,3+%=2%，

所以％=2不，%=2%—3.

又公二和腎=々,所以（2%-3）~=%2=2玉=2才，即2y：-12%+9=0,

A=144-4X2X9=72>0,故2y；-12%+9=0有兩個不相等的實數根，

所以滿足條件的點8不唯一，故C錯誤，D正確.

故選：BD

12.AC

【分析】根據平面平面ABC。，得到「。上平面A3CD,可判斷A,B選項；異面直線

PC與OE所成角的余弦值在PCD中由余弦定理，可判斷C選項；若直線PQ與平面ABCD

所成的角為60。，點。的軌跡為以。為圓心，且為半徑的半圓可判斷D選項.

3

易證四邊形ABCO為菱形，所以3。1AC,

連接尸O,因為尸A=PO=&,所以POLAD,

因為平面PA￡>_L平面ABCD,平面PADc平面ABCD=AD,POu平面PAD,

所以「01平面ABCD,

因為ACu平面A3CD,所以尸OLAC,

又尸。OB=O,所以AC，平面尸QB.又BPu平面尸03,所以ACJ_3P,故A正確;

易證"OE為等腰直角三角形，&AO3為等邊三角形，且平面上4。，平面ABCD,

所以三棱錐B-AOE外接球的球心為等邊三角形AOB的中心，所以三棱錐B-AOE外接球

答案第5頁，共15頁

的半徑為亞,

3

所以三棱錐3-AOE外接球的體積為\/=士%x（3y=迪萬，故B錯誤；

3327

因為PDIIOE,所以/CPD為異面直線PC與0E所成的角（或其補角）,

因為PO=JPZ）2—O￡）2=1，所以尸C=JPO2+OC2=0,

2+2—13

在,PCD中，由余弦定理，得cos/CP￡>=2義正義g=及,故C正確；

因為P01平面ABCD,所以。。為尸Q在平面ABCD內的射影，

若直線PQ與平面ABCD所成的角為60。，則ZPQO=60°,

因為PO=1,所以。。=弓，故點。的軌跡為以。為圓心，g為半徑的半圓,

所以點。的軌跡長度為叵，故D錯誤.

3

故選：AC.

13.（X+1）2+/=9（或（無一?）+y='）

【分析】分兩圓是內切和外切兩種情況，結合點到直線的距離公式運算求解.

【詳解】設圓C的半徑為廣，圓心C到直線版-4了-12=。的距離為"，

由題知兩圓心連線過點A（2,0）,

圓了2-2》+丁2=0,即+V=1,圓心為（1,0）,半徑為1,

故圓C的圓心C在無軸上.

若兩圓內切，則C（2-八0）,

由題意可得B（2T）-4X0-12|」,解得「=3,

5

所以圓C的標準方程為（無+琰+V=9；

若兩圓外切，則C（2+r,0）,

由題意可得3（2+2-4x0-12|=廠，解得r=：,

54

所以圓C的標準方程為1-+>2='；

答案第6頁，共15頁

故答案為：(X+1)2+V2=9(或

4)16

【分析】將原式切化弦，進而通分并結合倍角公式化簡，然后再利用兩角和與差的正弦公式

化簡，最后求得答案.

sin40。_4sin40°cos40°-sin40°2sin80°-sin40°

【詳解】4sin40°-tan40°=4sin400-----------

cos40°cos40°cos40°

2sin(120o-40o)-sin40°_2sin120。cos40。-2cos120。sin40?！猻in40。

cos40°cos40°

目cos400+sin40°-sin40°_

cos40°

故答案為：瓜

4兀

15.

T

【分析】根據圓臺的軸截面圖，結合圓臺和球的結構特征以及基本不等式運算求解.

【詳解】如圖，畫出截面圖,

可得O1B=BE=rvO^C=CE=r,,貝BC=/+r,,

記內切球的半徑為R,可知。。2=2尺,

過B作8G_LDC,垂足為G,

則CG=4—3，BG=Oa=2R,

答案第7頁，共15頁

所以（｛+j=4改+值一行，解得4改=4.產）=4,即RW1,

當且僅當24=弓=及時，等號成立，

所以它的內切球的體積的最大值為］4兀叱=；4兀.

4

故答案為：—TI.

16.2A/2

【分析】求得雙曲線為＞=立彳+也可得漸近線方程，運用對稱性可得實軸所在的直線方

34x

程，與函數聯立，求得交點坐標，由兩點的距離公式，可得〃的值，從而可得瓦。值，即可

得雙曲線的焦距.

【詳解】由題可得雙曲線為y=&%+9,所以漸近線為x=0及y=］x,漸近線夾角為

34x

60。,貝心=立

a3

所以，焦點所在的直線方程為〉=6尤，

f76fA/6

y=Ax=——x=-------

由后5得氐=坦苫+更解得4.4

3夜.372

y=—x+—34x

［34x丁丁卜=一丁

此時°=j乎［+［竽［=Y，則6

2

所以c=，/+62=點，則焦距為2a-

故答案為：2垃.

71

17.（I）%

⑵26

【分析】（1）利用余弦定理即可求解；

（2）利用正弦定理和面積公式即可求解.

【詳解】（1）因為2〃=加cosC+c,c=2,所以Q=bcosC+l,所以由余弦定理得

.a2+b2-c21

a=b--------------F1，

2ab

答案第8頁，共15頁

〃2_i_*]

所以2/=/+/2一。2+2。，所以/+。2一廿=農，所以cosB=f二=3

lac2

又3€(0,兀)，所以2=三.

TTTT

(2)設/Z)CA=a,則NAZ)B=a+—,XBAD=--a.

62

BDAD

在△AB。中，由正弦定理有"/兀組,即圖-=-T.

sin[,-ajsinBcosasiny

在△AC。中，由正弦定理有.7t=--.

sin—sma

o

.兀coscr

因為BD=DC,所以sm6=.兀，即sinoccos(x=sin—sin—,

--sin-63

sina3

所以sin2a=走.因為ae(0,,所以2a=2或2a==,

212)33

所以或(舍去).

63

71711

當。=：時，A=—,AC=26,△A5C的面積為7x2x2g=2g\

n/./

(2)分布列見解析，1.606

【分析】(1)根據條件概率的計算公式，分別求出對應事件的概率，代入計算即可；

(2)根據題意，計算離散型隨機變量的概率，得出分布列，計算期望即可.

【詳解】(1)設“第1次取出的是一次性手套”為事件4“第2次取出的是非一次性手套”為

事件3,

31??313

貝.⑻X+”布，P(AB)=P(A)P(B|A)=-x-=-,

J乙JJJ乙J.\J

所以在第2次取出的是非一次性手套的前提下，第1次取出的是一次性手套的概率為

答案第9頁，共15頁

15

23

（2）記取出的一次性手套的雙數為X,則X=0,1,2,3,

p(x=o)=0.064,P(X=l)=]x出+|x|x|+^x|=0,366,

32\

p(X=3)=—x-x—=0.1

'7543

貝P(X=2)=1—0.064-0.366-0.1=0.47,

則X的分布列為:

X0123

p0.0640.3660.470.1

數學期望E(X)=0.366+2x0.47+3x0.1=1.606

19.（1）證明見解析

⑵手

【分析】（1）先利用線面垂直證明ABLC0,再利用平行證明通過計算長度

利用勾股定理證明CM，由線面垂直判定定理即可證明CM，平面GMN；

（2）建立空間直角坐標系，利用法向量方法求解二面角.

【詳解】（1）在直三棱柱4BC-A再￡中，A4,，平面ABC,

又ABu平面ABC,AA.1AB,

又;ACLAB,ACHAAI=A,AC,明u平面ACGA,

，AB上平面ACGA.

又CMu平面ACGA，/.ABLCM.

'：M,N分別為44-B4的中點，

:.MN〃AB,：.MN±CM.

；.AM=^M=3,AC=4G=3,

答案第10頁，共15頁

CM=QM=y/9+9=342,

22

/.CM+CXM=18+18=36=CC；,CM1CtM,

又,/MNnC,M=M,MN,QMu平面QMN.

：.CM_L平面G'N.

（2）平面ABC,AB1AC,...以A為原點，分別以AB,AC,憾所在直線為x軸、

y軸、z軸，建立空間直角坐標系A-孫z,如圖.

C（0,3,0）,Q（0,3,6）,“（0,0,3）,N（4,0,3）,

Aeq=（0,0,6）,GN=（4,-3,-3）,CM=（0,-3,3）.

設平面CGN的法向量為n=（尤,%z）,

n-CC,-0,z=0,i

則即以-=。可取〃=（3,4，。）.

"CN=0,

由（1）知CM_L平面GMN,

故可取平面CMN的法向量機=（0,-1,1）.

m-n（0,-1,1）-（3,4,0）272

.?.cos（m,?

m||n|^2x5

???二面角C-GN-"的正弦值為

20.（1）y=（e-l）x+l；（2）證明見解析.

【解析】（1）首先求導得到r（x）=e=：（x>0）,從而得到左=e-l,再利用點斜式求切線

方程即可.

答案第11頁，共15頁

(2)首先求導得到尸(可=0，-'=」「靖-3,根據y=x/在(O,+e)上單調遞增，且

axxkcij

ye(O,y),且一>1，得到存在唯一玄40，+8)，使得/*--=。，再根據函數的

單調性得到/'(力向，利用基本不等式即可證明/""二手.

【詳解】(1)當a=l時，f(x}=ex-inx^f'[x\=ex~—(x>0).

X

：.k=f(l)=e-l,又/⑴=e,

/(x)在點A處的切線方程為y-e=(e-l)(x—l),即y=(e-l)x+l.

(2)/(x)=^--=>/(%)=^--=-Ler--^(x>0),

aaxx\a)

易知y=xe"在(0,+a)上單調遞增，且y￡(0,+oo),

X0<d5<l=>—>1,

a

存在唯一為?0,+8),使得/6出_工=0,即e"。=」「oinxo=_x°_lna.

a

當O<x<Xo時，r(x)<0,/(X)為減函數;

當時，/^x)>0,/(x)為增函數.

,1?/(x)=/(^0)=^-^=—+^+—=1LO+—+ln?

aax04aqix0,

1

當且僅當飛=一,即%=1時，等號成立.

%

.,.當0<°<1時，〃x)〉2+lna.

【點睛】關鍵點點睛：本題主要考查導數的綜合應用，考查利用導數證明不等式，解題的關

鍵為找到導函數的隱藏零點，屬于中檔題.

21.(1)4=〃2

(2)2

(3)證明見解析

【分析】(1)令加=1得。同=4+1+2〃，通過累加的方式即可得解.

答案第12頁，共15頁

(2)首先分類討論結合等差數列求和公式得到S“表達式，然后對女分類討論列方程求解即

可.

(3)首先將數列也,}通項公式化簡，通過不等式放縮，然后裂項相消即可求解.

【詳解】(1)由對任意正整數m,n都有am+n=an+am+2mn，令m=1,可得an+1=an+l+2n,

所以。用-4=2〃+l.

當“22時，%=%+(%—■%)+(%—aj++(a“—=1+3++(2〃—l)=a~,

當”=1時，％=1,符合上式，所以%=

(2)由(1)得見=/，當〃為偶數時，

222222

Sn=(-l+2)+(-3+4)++[-(?-1)+?]=

/、](3+2"T)+

3+7+11++(2M-1)=^——----=12八

當〃為奇數時，n—l為偶數，S.=S,T+(T)Z=S.「%=*1"=?F-

-2

三二，〃為偶數

綜上所述，S?=2

工^戶為奇數

I2

若k為偶數,則％+1為奇數，由2曷+5皿=0,即左2+人化+1)一+/+1=0,整理得

2

左2一左一2=0,解得左=—1(舍去)或左=2;

若左為奇數，貝必+1為偶數，由2'+Sz=0,即_左2_1+優+1)-+l+1=0,整理得

2

k2-k-2=0,解得左=一1或左=2,均不合題意，舍去.

綜上，所求發的值為2.

,1,C11}1,[11~

(3)由2=”1+—+—=-ln1+—+-―Ty

aa

2I?n+iJ2y"(n+1)

2

,2(〃+])2++("+])2,++"2+2〃+l

="+i)2="+i)2

答案第13頁，共15頁

n2(n+1)2+2n(n+l)+ln(n+l)+l

=In=In—

n2n+1)2n(n+l)

1=ln14--L

=ln1+

\nn+1

現在我們來證明%>0時，ln(x+l)<x,

令〃x)=x-ln(x+l),x>0,求導得:(無)=1--二=上>0,

1+X1+X

所以/(%)=%—山(％+1),%>0單調遞增，所以/(%)=%—山(％+1)>/(0)=0,x>0,

1111

結合當%>0時，ln(x+l)<x,有2=ln1+