湖北省咸寧市通城縣2022-2023學年八年級下學期4月期中數學試題

一、精心選一選（本大題共8小題，每小題3分，滿分24分，每小題給出的4個選項中只有一個符合題意,

請在答題卷上將正確答案的代號涂黑）

1.在nABC。中，ZA=80°,ZB=100°,則NC等于（)

A.60°B.80°C.100°D.120°

2.下列二次根式中，能與7歷合并的是（)

A.V20B.412c.VsD.V4

3.下列各組數據中的三個數作為三角形的邊長，其中能構成直角三角形的是（）

A.1,近,V3B.M，V4，V5C.6,7,8D.2,3,4

4.菱形具有而矩形不具有的性質是（）

A.對角相等B.對角線互相垂直

C.對角線相等D.對角線互相平分

5.下列計算錯誤的是（）

A.V2-V3=V6B.我=2近C.^124-73=2D.V2+73=V6

6.已知貝Ux+y的平方根是（）

A.2B.-2C.±2D.±1

7.如圖，在矩形OABC中，點8的坐標是（1,3）,則A、C兩點間的距離是（）

8.如圖，四邊形A8CD中，ZA=90°,AB=243<AO=2,點N分別為線段8C,A8上的動點（含端

點，但點M不與點2重合），點、E,尸分別為。M,的中點，則跖長度的最大值為（）

A.3B.2aC.4D.2

二、細心填一填（本大題共8小題，每小題3分，滿分24分，請將答案填寫在答題卷相應題號的位置）

1

9.計算：耍=_____.

V3

10.比較大小：4'壓（填“>”或

11.若J市是整數，則正整數〃的最小值為.

12.如圖，在口ABC。中，ZABC的平分線BM交CD于點且MC=2,^ABCD的周長是14,則0M等于.

13.如圖，已知。4=。8,那么數軸上點A所表示的數是

14.一個菱形的兩條對角線長分別為和2A歷，則這個菱形的面積為.

15.觀察分析下列數據：如,-加，3,-W§，后，…，按規律第18個數據為

16.如圖，正方形42。的面積為16,對角線AC,2。相交于點0,點E,尸分別在邊AB,BC上運動，Z

EOF=9Q°,0G平分/￡。凡與邊BC交于點.G.則下列結論:

①0E=0F；

②四邊形OEBF的面積保持4不變；

③BG2+CF2=GF2；

④EP的最小值為簿.

其中正確說法的序號是.（把你認為正確的序號都填上）

三、專心解一解（本大題共8小題，滿分72分.請認真讀題，冷靜思考.解答題應寫出文字說明、證明過程或

演算步驟，請將答案寫在答題卷相應題號的位置）

17.（6分）計算-弧+（V3+1）（V3-1）

2

18.（8分）有一塊矩形木塊，木工采用如圖方式，求木板上截出兩個面積分別為18dm2和32加2的正方形木

板，求剩余木料的面積.

32dm2

18dm2

19.（8分）如圖，點E在邊長為10的正方形ABC。內，AE=6,BE=8,求陰影部分的面積.

20.（9分）中國古代數學家們對于勾股定理的發現和證明，在世界數學史上具有獨特的貢獻和地位，體現了

數學研究中的繼承和發展，現用4個全等的直角三角形拼成如圖所示“弦圖”.中，NACB=90°.AC

=b,BC=a,AB=c,請你利用這個圖形解決下列問題：

（1）試說明：a2+b2=cr；

（2）如果大正方形的面積是13,小正方形的面積是3,求（a+b）2的值.

21.（9分）如圖，在菱形ABCZ）中，AB=6,NZMB=60°,點E是A。邊的中點，點M是AB邊上一動點

（不與點A重合），延長ME交射線CD于點N,連接MO,AN.

（1）求證：四邊形AMDV是平行四邊形；

（2）①當AM的值為時，四邊形AMON是矩形；

②若AM=6,求證：四邊形是菱形.

3

D

22.（10分）如圖甲，筆直的公路上A,B兩點相距20初z,C,。為兩村莊，于點A,于點8,

已知DA=10切1,CB=5km,現在計劃在公路的A8段上建一個土特產品收購站E.

圖甲圖乙

（1）若規劃C,。兩村到收購站E的距離相等，則收購站E應建在離A點多遠處？

（2）若規劃C,。兩村到收購站E的距離的和最短，請在圖乙中通過作圖畫出收購站E的位置，計算得到

距離的和最短值為km.

23.（10分）如圖甲，我們把對角線相互垂直的四邊形叫做垂美四邊形.

（1）【概念理解】我們已經學習了①平行四邊形、②菱形、③矩形、④正方形，在這四種圖形中是垂美四

邊形的是（填序號）.

（2）【性質探究】小美同學猜想“垂美四邊形兩組對邊的平方和相等"，即，如圖甲，在四邊形ABC。中，

若ACLBD,則422+82=4。2+3。2.請判斷小美同學的猜想是否正確，并說明理由.

（3）【問題解決】如圖乙，在△ABC中，BC=3,AC=4,D,E分別是AC,BC的中點，連接AE,BD,

有AE_LB。，求AB.

24.（12分）如圖，在平面直角坐標系中，矩形。1BC的頂點8的坐標為（10,4）,點。是04的中點，點尸

在BC邊上運動.

4

①求證：四邊形PODF為平行四邊形；

②當點P的坐標為時，四邊形P。。尸為菱形.

（2）當△OOP等腰三角形時，求點P的坐標.

湖北省咸寧市通城縣2022-2023學年八年級下學期4月期中數學試題

參考答案與試題解析

一、精心選一選（本大題共8小題，每小題3分，滿分24分，每小題給出的4個選項中只有一個符合題意，

請在答題卷上將正確答案的代號涂黑）

1.在口48。中，乙4=80°,ZB=100°,則NC等于（）

A.60°B.80°C.100°D.120°

【分析】由在口A3。中，NA=80°,NB=100°,根據平行四邊形的對角相等，即可求得答案.

【解答】解：：在DABCD中，ZA=80°,ZB=100°,

.?.NC=NA=80°.

故選:B.

【點評】此題考查了平行四邊形的性質.此題比較簡單，注意熟記定理是解此題的關鍵.

2.下列二次根式中，能與迎合并的是（）

A.V20B.Vl2C.V8D.V4

【分析】先化成最簡二次根式，再判斷即可.

【解答】解：4720=275.不能和迎合并，故本選項錯誤；

B、V12=273）不能和迎合并，故本選項錯誤；

C、V8=272）能和迎合并，故本選項正確；

D、返=2不能和迎合并，故本選項錯誤；

故選：C.

【點評】本題考查了二次根式的性質，同類二次根式的應用，注意：幾個二次根式，化成最簡二次根式后,

如果被開方數相同，那么這幾個二次根式叫同類二次根式.

5

3.下列各組數據中的三個數作為三角形的邊長，其中能構成直角三角形的是（）

A.1,6，MB.M，y，c.6,7,8D.2,3,4

【分析】先求出兩小邊的平方和，再求出最長邊的平方，最后看看是否相等即可.

【解答】解：A,12+（V2）2=（V3）故是直角三角形，符合題意；

B、（V3）2+（JZ）2#（泥）2,故不是直角三角形，不合題意；

C、62+727^82,故不是直角三角形，不合題意；

D,V22+3V42,故不是直角三角形，不合題意；

故選：A.

【點評】此題主要考查了勾股定理逆定理，關鍵是掌握如果三角形的三邊長a,b,c滿足。2+廬=02,那么

這個三角形就是直角三角形.

4.菱形具有而矩形不具有的性質是（）

A.對角相等B.對角線互相垂直

C.對角線相等D.對角線互相平分

【分析】由菱形的性質和矩形的性質分別對各個選項進行判斷即可.

【解答】解：4對角相等，是矩形和菱形都具有的性質，故選項A不符合題意；

8、對角線互相垂直，是菱形具有而矩形不具有的性質，故選項8符合題意；

C、對角線相等，是矩形具有的性質，而菱形不具有的性質，故選項C不符合題意；

。、對角線互相平分，是矩形和菱形都具有的性質，故選項O不符合題意；

故選：B.

【點評】此題考查了菱形的性質以及矩形的性質，正確區分矩形和菱形的性質是解題的關鍵.

5.下列計算錯誤的是（）

A.V2-V3=V6B.78=272c.412^^3=2D.72+73=V6

【分析】根據二次根式的乘法、二次根式的化簡、二次根式的除法及二次根式的加減運算，進行各選項的

判斷.

【解答】解：A、&乂?=加，計算正確，故本選項正確；

B、我=2料，計算正確，故本選項正確；

C、S叵=計算正確，故本選項正確；

D、血與我不是同類二次根式，不能直接合并，原式計算錯誤，故本選項正確.

故選：D.

【點評】本題考查了二次根式的加減及乘除運算，屬于基礎題，掌握各部分的運算法則是關鍵.

6

6.已知則x+y的平方根是（）

A.2B.-2C.±2D.±1

【分析】根據二次根式有意義的條件求出x,進而求出》根據平方根的概念解答即可.

【解答】解:由題意得，x-3^0,3-x20,

解得，x=3,

貝Uy=l,

.,.無+y=4,

V4的平方根是±2,

.?.尤+y的平方根是±2,

故選：C.

【點評】本題考查的是二次根式有意義的條件、平方根的概念，掌握二次根式的被開方數是非負數是解題

的關鍵.

7.如圖，在矩形04BC中，點2的坐標是（1,3）,則A、C兩點間的距離是（）

【分析】根據矩形的性質即可求出答案.

【解答】解：在矩形OABC中，

OB^AC,

:B（1,3）,

0B=4/+32=V10,

故選：C.

【點評】本題考查矩形，解題的關鍵是熟練運用矩形的性質以及勾股定理，本題屬于基礎題型.

8.如圖，四邊形ABC。中，/A=90°,AB=2M，A￡>=2,點N分別為線段BC,A8上的動點（含端

點，但點M不與點8重合），點E,尸分別為。M,的中點，則EF長度的最大值為（）

7

A.3B.2V3C.4D.2

【分析】連接。N、DB,根據勾股定理求出BD,根據三角形中位線定理得到EE=LON,結合圖形解答即

2

可.

【解答】解:連接。N、DB,

在RtZkDAB中，ZA=90°,AB=2M，AD=2,

AB￡,=VAD2+AB2=4,

?..點E,尸分別為。M,MN的中點，

;.EF=LDN,

2

由題意得，當點N與點8重合時ON最大，最大值為4,

長度的最大值為2,

故選：D.

【點評】本題考查的是三角形中位線定理、勾股定理，掌握三角形的中位線等于第三邊的一半是解題的關

鍵.

二、細心填一填（本大題共8小題，每小題3分，滿分24分，請將答案填寫在答題卷相應題號的位置）

9.計算：生=2.

V3

【分析】分子分母都乘分母有理化因數?計算即可得解.

【解答】解：①，

V3

=V12-V3

8

6

3

—2.

故答案為：2.

【點評】本題考查了分母有理化，是基礎題，確定出分母有理化因數是解題的關鍵.

10.比較大小：4>（填“>"或

【分析】根據二次根式的性質求出05=4,比較J正和近的值即可.

【解答】解:4=^16，

V16>Vi5.

故答案為：>,

【點評】本題考查了二次根式的性質和實數的大小比較等知識點，關鍵是知道4=^16,題目較好，難度

也不大.

11.若J市是整數，則正整數〃的最小值為5.

【分析】J而是正整數，則20"一定是一個完全平方數，首先把20”分解因數，確定20〃是完全平方數時,

n的最小值即可.

【解答】解：：20"=22><5小

整數”的最小值為5.

故答案為：5.

【點評】本題考查了算術平方根的定義，理解/而是正整數的條件是解題的關鍵.

12.如圖，在口ABC。中，/ABC的平分線交C￡?于點且MC=2,。ABC。的周長是14,則。M等于

3.

【分析】根據BM是/ABC的平分線和AB//CD,求出BC=MC=2,根據口ABC。的周長是14,求出CD

=5,即可得到。M的長.

【解答】解：是NA8C的平分線，

9

/ABM=NCBM,

*：AB//CD,

：.ZABM=/BMC,

:?NBMC=NCBM,

:?BC=MC=2,

???□ABCD的周長是14,

：?BC+CD=7,

:?CD=5,

則0M=CD-MC=3,

故答案為：3.

【點評】本題考查了平行四邊形的性質和角平分線的定義，根據平行四邊形的對邊相等求出BC+CD是解

題的關鍵，注意等腰三角形的性質的正確運用.

【分析】首先根據勾股定理得：0B=爬.即。4=泥.又點A在數軸的負半軸上，則點A對應的數是-

V5.

【解答】解：由圖可知，0c=2,作8CLLOC,垂足為C,取8c=1,

故0B=0A=7OC2+BC2=正2+[2=辰'

在x的負半軸上，

???數軸上點A所表示的數是-V5.

故答案為：-\[5-

【點評】熟練運用勾股定理，同時注意根據點的位置以確定數的符號.

14.一個菱形的兩條對角線長分別為行和2A歷，則這個菱形的面積為，述.

【分析】直接由菱形面積公式列式計算即可.

10

【解答】解：..?菱形的兩條對角線長分別為百5和

.,?菱形面積2A/2=2V5.

2

故答案為：2娓.

【點評】本題主要考查了菱形的性質，熟記菱形面積公式是解題的關鍵.

15.觀察分析下列數據：M，-娓,3,-2^3.任，…，按規律第18個數據為-3加.

【分析】觀察發現規律為（-1）"I怎，寫出第18個數據即可.

【解答】解：：百，-氓,3,-麗,415,（-1）n+1V3n，

.?.第18個數據為：-3娓.

故答案為：-

【點評】本題考查了算術平方根及數字的變化規律，發現規律是關鍵.

16.如圖，正方形ABCD的面積為16,對角線AC,8。相交于點。，點E,尸分別在邊AB,8C上運動，Z

EOF=90°,0G平分/EOF,與邊BC交于點G.則下列結論：

?OE=OF；

②四邊形OEBF的面積保持4不變；

③BG?+CF2=GF2；

④所的最小值為簿.

其中正確說法的序號是①②③④.（把你認為正確的序號都填上）

【分析】依據正方形的性質以及全等三角形的判定與性質、勾股定理，通過推理計算即可得到正確的結論,

進而得出答案.

【解答】解：：正方形ABC。的對角線AC,2。相交于點。，

：.OB=OC,ZBOC=90°,ZOCF=ZOBE=45°,

又?：NEOF=90°,

：.ZBOE=ZCOF,

：./\BOE^/\COF(ASA),

11

：.OE=OF,故①正確；

.?.△80E與△(%)尸的面積相等，

...四邊形OEBF的面積與△02C的面積相等，

又???△BOC的面積等于正方形ABCD面積的四分之一,

...四邊形OE8F的面積保持4不變，故②正確；

如圖所示，連接EG,

,?0G平分NEOR

：.ZEOG=ZFOG,

又：OE=OROG=OG,

:AEOGWAFOG(SAS),

:.EG=FG,

,--△BOE^ACOF,

；.BE=CF,

'：RtABEG中，BG^+BEr=EG2,

：.BG2+CF2=GF2,故③正確；

\"OE=OF,ZEOF=90°,

AEOF是等腰直角三角形，

：.EF=42OE,

當有最小值時，EF的值最小，

???△A08是等腰直角三角形，

當0EL48時，0E的最小值等于AB的一半，

即OE的最小值等于2,

...斯的最小值為故④正確.

故答案為：①②③④.

BGFC

12

【點評】本題考查正方形的性質、全等三角形的判定和性質、等腰直角三角形的判定和性質等知識的綜合

運用，解題的關鍵是學會添加常用輔助線，構造全等三角形、直角三角形解決問題.

三、專心解一解（本大題共8小題，滿分72分.請認真讀題，冷靜思考.解答題應寫出文字說明、證明過程或

演算步驟，請將答案寫在答題卷相應題號的位置）

17.（6分）計算式-我+（V3+D（V3-1）

【分析】直接化簡二次根式以及結合平方差公式計算得出答案.

【解答】解:原式=3&-2^2+3-1

=6+2.

【點評】此題主要考查了二次根式的混合運算，正確化簡二次根式是解題關鍵.

18.（8分）有一塊矩形木塊，木工采用如圖方式，求木板上截出兩個面積分別為18而，和32勿宗的正方形木

板，求剩余木料的面積.

32dm2

18dm2

【分析】根據兩個正方形木板的面積分別為18而，和32而？，分別求得18和32的算術平方根，則可得兩

個正方形的邊長，然后用小正方形的邊長乘以兩個正方形的邊長之差即可得出答案.

【解答】解：,兩個正方形木板的面積分別為18而2和32dm2,

.,.這兩個正方形的邊長分別為：氏=3近（dm）,732=472（dm）,

剩余木料的面積為：（46-3衣）X3我=6義3&=6（dm2）.

【點評】本題考查了二次根式在正方形和長方形面積計算中的應用，熟練掌握二次根式的計算是解題的關

鍵.

19.（8分）如圖，點E在邊長為10的正方形ABC。內，AE=6,BE=8,求陰影部分的面積.

【分析】利用勾股定理的逆定理可判斷AABE是直角三角形，利用正方形減去直角三角形的面積即可.

【解答】解：在△A3E中，

13

V62+82=102,

/.A￡2+BE2=AB2,

.?.△ABE是直角三角形，ZAEB=9Q°；

陰影部分的面積S=S正方形ABCD-SAABE

=102-AX6X8

2

=76.

【點評】本題考查了正方形的性質：正方形的四條邊都相等，也考查了勾股定理的逆定理，解本題的關鍵

就是利用勾股定理的逆定理判斷出△ABE是直角三角形.

20.(9分)中國古代數學家們對于勾股定理的發現和證明，在世界數學史上具有獨特的貢獻和地位，體現了

數學研究中的繼承和發展，現用4個全等的直角三角形拼成如圖所示“弦圖”.Rt^ABC中，NACB=90°.AC

=b,BC=a,AB=c,請你利用這個圖形解決下列問題：

(1)試說明：cr+b1=<?■■,

(2)如果大正方形的面積是13,小正方形的面積是3,求Q+b)2的值.

【分析】(1)根據題意，我們可在圖中找等量關系，由中間的小正方形的面積等于大正方形的面積減去四

個直角三角形的面積，列出等式化簡即可得出勾股定理的表達式.

(2)根據完全平方公式的變形解答即可.

【解答】解：(1)?..大正方形面積為直角三角形面積為Lb,小正方形面積為(…)2,

2

2

.*.c=4X(A-b)2=2ab+a2-2ab+b2即c2—a2+b2；

2

(2)由圖可知：

(b-a)2=3,4X_lab=13-3=10,

2

/.2ab=10,

：.(a+b)2=(b-a)2+4oZ?=3+2X10=23.

【點評】本題考查了對勾股定理的證明和以及非負數的性質，掌握三角形和正方形面積計算公式是解決問

14

題的關鍵.

21.(9分)如圖，在菱形ABCD中，AB=6,/D48=60°,點E是邊的中點，點M是AB邊上一動點

(不與點A重合)，延長ME交射線CD于點N,連接MD,AN.

(1)求證：四邊形AMDN是平行四邊形；

(2)①當AM的值為3時,四邊形AMDN是矩形；

②若AM=6,求證：四邊形AMON是菱形.

【分析】(1)由菱形的性質可得/。監=/40￡,再由點E是邊的中點，可得AE=OE,從而可證明

ANDE%AMAE(AAS),則NE=ME,根據對角線互相平分的四邊形是平行四邊形可得答案；

(2)①當AM的值為3時，四邊形AMDN是矩形.根據對角線相等的平行四邊形是矩形即可判定；

②根據對角線互相垂直的平行四邊形是菱形即可判定.

【解答】(1)證明：?..四邊形A2C。是菱形，

.,.AB//CD,

：./DNE=ZAME,

:點E是邊的中點，

J.AE^DE,

,ZDNE=ZAME

在△NOE和△MAE中，,NDEN=NAM，

DE=AE

:.ANDE學叢MAE(AAS),

:.NE=ME,

四邊形AMDN是平行四邊形；

(2)①解：當4W的值為3時，四邊形AMLW是矩形.理由如下：

?.?四邊形ABCD為菱形，

.\AB=AD=6,

:點E是邊的中點，

：.AE=1.AD=3,

2

.\AM=AE=3,

15

VZDAB=60°,

.?.△AEM是等邊三角形，

:.EM=AE,

?：NE=EM=LMN,

2

：.MN=AD,

?.,四邊形AMDN是平行四邊形,

四邊形AMDN是矩形.

故答案為：3；

②證明：'."AB=AD=6,AM=6,

：.AD=AM,

VZDAB=60°,

...△AMD是等邊三角形，

J.MELAD,

:四邊形AMDN是平行四邊形，

四邊形AMDN是菱形.

【點評】本題考查了菱形的判定與性質、矩形的判定與性質、平行四邊形的判定與性質及等邊三角形的判

定與性質等知識點，熟練掌握相關性質及定理是解題的關鍵.

22.(10分)如圖甲，筆直的公路上A,2兩點相距20歷w,C,。為兩村莊，于點A,于點2,

已知D4=10hw,CB=5km,現在計劃在公路的A8段上建一個土特產品收購站E.

圖甲圖乙

(1)若規劃C,D兩村到收購站E的距離相等，則收購站E應建在離A點多遠處？

(2)若規劃C,。兩村到收購站E的距離的和最短，請在圖乙中通過作圖畫出收購站E的位置，計算得到

距離的和最短值為25km.

【分析】(1)設AE=xkm,則8E=(20-x)km,在與中，由勾股定理結合DE=CE

得出方程求出x的值即可求解；

(2)作點C關于的對稱點C,連接。。交A8于點E,則點E即為所求，。。長即為距離的和最短值，

16

在RtZXDBC中由勾股定理求出。。的長即可.

【解答】解：(1)^AE=xkm,貝(20-x)km,

在RtAADE與RtABCE中,由勾股定理得，

AD2+AE2=DE1,B￡2+BC2=CE2,

"：DE=CE,

：.AD2+AE2=BE^+BC2,

102+x2=(20-x)2+52,

解得尤=箜，

8

即收購站E應建在離A點、區km處；

8

(2)如圖，作點C關于A8的對稱點C,連接。。交A8于點E,則點E即為所求，。。長即為距離的和最

短值，

''、、、C

"C

過點C作CFA.DA交DA的延長線于點F,

則DC=7DF2+FC/2=V(10+5)2+202=25(物力

故答案為：25.

【點評】本題考查了作圖-應用設計作圖，勾股定理，軸對稱-最短路線問題，熟記勾股定理是解題的關

鍵.

23.(10分)如圖甲，我們把對角線相互垂直的四邊形叫做垂美四邊形.

(1)【概念理解】我們已經學習了①平行四邊形、②菱形、③矩形、④正方形，在這四種圖形中是垂美四

邊形的是②④(填序號).

(2)【性質探究】小美同學猜想“垂美四邊形兩組對邊的平方和相等"，即，如圖甲，在四邊形48。中，

若則4爐+82=&。2+3。2.請判斷小美同學的猜想是否正確，并說明理由.

(3)【問題解決】如圖乙，在△ABC中，BC=3,AC=4,D,E1分別是AC,BC的中點，連接AE,BD,

有AE_L8O,求AB.

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【分析】（1）利用垂美四邊形的定義依次判斷，可求解；

（2）由勾股定理可得結論；

（3）由三角形中位線定理可得AO=LC=2,BE=LBC=S,DE=1AB,由垂美四邊形的性質可求解.

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【解答】解：（1）,??菱形、正方形的對角線互相垂直，

菱形、正方形是垂美四邊形，

故答案為：②④；

（2）猜想正確，理由如下：

"/四邊形ABCD中，AC±BD,

：.ZAOB=ZCOD=ZBOC=ZAOD=90°,

:.AB2=OA2+OB2,CD1=OC1+OD1,BC1=OB2+OC2,AD1=OA2+OD1,

：.AB2+CD2=（9A2+OB2+OC2+OD2,B^+AD2=OB2+OC2+OA2+OD2,

:.AB2+CD2=AD1+BC2；

（3）VBC=3,AC=4,D、E分別是AC、8c的中點，

:.AD=1