2023~2024學年度蘇錫常鎮四市高三教學情況調研（一）

數學

注意事項：

1.答卷前，考生務必將自己的姓名、準考證號填寫在答題卡上.

2.回答選擇題時，選出每小題答案后，用鉛筆把答題卡上對應題目的答案標號涂黑.如需改

動，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案標號.回答非選擇題時，將答案寫在答題卡上.寫在本

試卷上無效.

3.考試結束后，將答題卡交回.

一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個選項中，只有一項是

符合題目要求的.

1,已知集合-中爐+3X+2>°},集合嶺X10K4},則（）

A.Ar>B=0B.AB=RC.AcrBD.BcrA

5

2.設（l+2%）5=4+Q]X+〃2%2++a5X,則+。5=（）

A.-2B.-iC.242D.243

3.已知平面向量滿足〃+〃+。=0,卜卜回二1」4二百，則〃與6的夾角為（）

兀

B.—C.—7iD.一兀

34

4.青少年的身高一直是家長和社會關注的重點，它不僅關乎個體成長，也是社會健康素養發展水平的體

現.某市教育部門為了解本市高三學生的身高狀況，從本市全體高三學生中隨機抽查了1200人，經統計后

發現樣本的身高（單位：cm）近似服從正態分布N（172,er?）,且身高在168cm到176cm之間的人數占

樣本量的75%,則樣本中身高不低于176cm的約有（）

A.150人B.300人C.600人D.900人

5.函數/（x）=sin12x+，在區間（0,2兀）內零點個數為（）

A.2B.3C.4D.5

22

6.在平面直角坐標系xQv中，已知A為雙曲線C：餐-當=1（4>0,匕>0）的右頂點，以。4為直徑的圓與

ab

。的一條漸近線交于另一點若匕，則。的離心率為（）

A.V2B.2C.2A/2D.4

7.萊莫恩（Lemoine）定理指出：過.ABC的三個頂點作它的外接圓的切線，分別和

所在直線交于點P,Q,R,則P,Q,R三點在同一條直線上，這條直線被稱為三角形的Lemoine線.在平面

直角坐標系xQy中，若三角形的三個頂點坐標分別為4（0』）,5（2,0）,C（0,T）,則該三角形的

Lemoine線的方程為（）

A.2x—3y—2=0B,2x+3y—8=0

C.3x+2y—22=0D.2x-3y-32=0

8.已知正項數列｛4｝滿足'+'+若%—2%=7,則％=（）

1">囚。2anan+l2"+1、,

13

A.-B.1C.-D.2

32

二、多選題：本題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的選項中，有多項符合題目

要求.全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯的得0分.

9.已知復數4/2/3,下列說法正確的有（

A若Z1ZLZ2Z2，則團=區|B.若z；+z：=0,則4=z2=0

D.若Izi-ZzRzi+ZzI，則平2=0

C.若y2=2理3,則Z]=0或Z2=z3

10.己知函數/■（%）=-----------,則（）

2—cos2x

A.〃龍）的最小正周期為兀B./（%）的圖象關于點（兀,0）對稱

D.八%）的最大值為孝

C.不等式/（x）>x無解

11.如圖，在棱長為2的正方體ABC。—4/。口中，E為AA的中點，點產滿足

=則（）

A.當；1=0時，AC[，平面應）產

B.任意2e[0,1],三棱錐產—5DE的體積是定值

C.存在Xe[0,l],使得AC與平面5￡）尸所成角為m

D.當4=2時，平面應）尸截該正方體的外接球所得截面的面積為四兀

319

三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分.

12.己知變量羽y的統計數據如下表，對表中數據作分析，發現y與x之間具有線性相關關系，利用最小

二乘法，計算得到經驗回歸直線方程為9=0用％+6,據此模型預測當x=10時5的值為.

X56789

354566.5

y

2

13.已知a,Z?e（O,l）41og?+log/=4,則一+ln4最小值為.

bb

14.在平面直角坐標系x0y中，已知點P（—U）和拋物線C：V=4x,過。的焦點F且斜率為左（左＞0）

的直線與。交于A,3兩點.記線段A5的中點為若線段的中點在。上，則左的值為；

|AF|?怛典的值為.

四、解答題：本題共5小題，共77分.解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟.

15.記的內角A,5c的對邊分別為“,仇c,已知2cosB+1='.

a

（1）證明：B=2A-,

（2）若sinA=Y^,6=舊，求的周長.

4

16.如圖，在四棱錐E—ABCD中，EC,平面ABC。，DCYBC,AB//DC,OC=2AB=2,

CB=CE,點歹在棱監上，且BF」FE.

2

（1）證明：DE//平面AbC；

B

E

(2)當二面角F—AC—。為135時，求CE.

17.我國無人機發展迅猛，在全球具有領先優勢，已經成為“中國制造”一張靚麗的新名片，并廣泛用于森

林消防、搶險救災、環境監測等領域.某森林消防支隊在一次消防演練中利用無人機進行投彈滅火試驗，消防

4

員甲操控無人機對同一目標起火點進行了三次投彈試驗，已知無人機每次投彈時擊中目標的概率都為二，

每次投彈是否擊中目標相互獨立.無人機擊中目標一次起火點被撲滅的概率為!，擊中目標兩次起火點被撲

2

滅的概率為耳，擊中目標三次起火點必定被撲滅.

(1)求起火點被無人機擊中次數的分布列及數學期望；

(2)求起火點被無人機擊中且被撲滅的概率.

18.在平面直角坐標系xOy中，已知點P[O,-I],過橢圓。：^+/=1(。〉1)的上頂點人作兩條動直

線\:丁=幻+1,/2：丁=左2%+1(0<4(左2)分別與C交于另外兩點當匕=乎時，=

(1)求4的值；

\MN\9

(2)若桃2=L,求勺和左2的值.

4aA2

19.已知函數/(%)=-----2x(%>0),函數8(%)=-/+3W一。2-3。(。€口).

x

(1)若過點0(0,0)的直線/與曲線y=/(x)相切于點P,與曲線y=g(x)相切于點。.

①求。的值；

②當尸，。兩點不重合時，求線段尸。的長；

(2)若天°>1,使得不等式成立，求。的最小值.

2023?2024學年度蘇錫常鎮四市高三教學情況調研(一)

數學

注意事項:

L答卷前，考生務必將自己的姓名、準考證號填寫在答題卡上.

2.回答選擇題時，選出每小題答案后，用鉛筆把答題卡上對應題目的答案標號涂黑.如需改

動，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案標號.回答非選擇題時，將答案寫在答題卡上.寫在本

試卷上無效.

3.考試結束后，將答題卡交回.

一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個選項中，只有一項是

符合題目要求的.

1.已知集合A=W+3X+2>0},集合八例』<4},則（）

A.AryB-0B.AB=RC.BD.BA

【答案】D

【解析】

【分析】求出集合A,利用集合間的關系即可判斷.

【詳解】由題可得：A={x|x<—2或x>—1},5={X|0WXW4},則3。4.

故選：D.

5

2.設（1+2x）5=aQ+arx+a2x~++a5x,則q+4+，?+%=（）

A.-2B.-1C.242D.243

【答案】C

【解析】

【分析】利用賦值法，分別令％=0,1可得.

【詳解】令九=0,則『=為，.?.旬=1；

令x=1,貝!]3、=%+%+g+%+%+生；

q+a2+%+%+%=3、-1=242

故選：C.

3.已知平面向量d,Z?,c滿足°+>+°=0,向=|“=1,歸卜g,則a與6夾角為（）

717123

A.——B.——C.—7iD.一兀

4334

【答案】B

【解析】

【分析】根據向量的加減運算以及數量積的運算律求出a-b，繼而利用向量的夾角公式，即可求得答案.

【詳解】由題意知平面向量滿足a+b+c=O,|a|=|Z?|=l,|c|=A/3,

故1+/?=-1,所以(a+Z?)2=c?,

,1

所以"+2。.〃+//=3，所以

,a-b17r

則cosa,》=^R=5，a,b^[O,n],故。力=§,

故選：B

4.青少年的身高一直是家長和社會關注的重點，它不僅關乎個體成長，也是社會健康素養發展水平的體

現.某市教育部門為了解本市高三學生的身高狀況，從本市全體高三學生中隨機抽查了1200人，經統計后

發現樣本的身高(單位：cm)近似服從正態分布N(172,(y2),且身高在168cm到176cm之間的人數占

樣本量的75%,則樣本中身高不低于176cm的約有()

A.150人B.300人C.600人D.900人

【答案】A

【解析】

【分析】利用正態分布的性質，計算出P(172<X<176)和尸(X>176)即可求解.

【詳解】因為X?N(172,cr2),P(168<X<176)=0.75,所以P(172<X<176)=0.375

則P(X2176)=0.5-0.375=0.125,所以樣本中身高不低于176cm的約有0.125x1200=150人.

故選：A.

5.函數/(x)=sin[2x+m]在區間(0,2兀)內的零點個數為()

A.2B.3C.4D.5

【答案】C

【解析】

【分析】利用三角函數的性質求解即可.

【詳解】令/(x)=sin(2x+1]=0,得2x+]=E,則x=—6+

兀j411

故—1,x—;k=2,x—兀，k—3,x—兀;k—4,x—兀，

3636

所以〃尤）在（0,2兀）共有4個零點，

故選：C.

22

6.在平面直角坐標系xQy中，已知A為雙曲線C：「-白=1（。＞0,匕＞0）的右頂點，以。4為直徑的圓與

ab

C的一條漸近線交于另一點若|AM|=g匕，則C的離心率為（）

A.72B.2C.2&D.4

【答案】B

【解析】

【分析】由漸近線方程和。求出|＜W|=ga,由勾股定理得到廿=3/,從而求出離心率.

b

【詳解】由題意得，OMLAM,雙曲線的一條漸近線方程為y=—x,

a

b\AM\b

故tan/AOM=—,即---?=一,

a\OM\a

又|4凹=小，所以|OM|=ga,

由勾股定理得即;片+:^=/,

解得/=3/,

故選：B.

7.萊莫恩（Lemoine）定理指出：過一ABC的三個頂點A5C作它的外接圓的切線，分別和BC,C4,AB

所在直線交于點尸,Q,R,則尸,Q,R三點在同一條直線上，這條直線被稱為三角形的Lemoine線.在平面

直角坐標系xQy中，若三角形的三個頂點坐標分別為4（0』）,5（2,0）,C（0,T）,則該三角形的

Lemoine線的方程為（）

A.2x—3y—2=0B.2x+3y—8=0

C.3x+2y—22—0D.2x-3y-32=0

【答案】B

【解析】

【分析】待定系數法求出外接圓方程，從而得到外接圓在AC處的切線方程，進而求出RR的坐標，得到

答案.

【詳解】ABC的外接圓設為4+歹=0,

1+E+F=QD=Q

4+2D+F=0,解得《E=3,

16-4E+F=0F=—4

，外接圓方程為/+/+3y—4=0,BP^2+[y+j

易知外接圓在A處切線方程為y=1,

又3C:二+二=1,令y=l得，x=-,：.P

2-42

在C（0,-4）處切線方程為y=-4

又AB：m+y=i，令y=-4得l=10,???火(10,—4),

y+4x—10

則三角形的Lemoine線的方程為1+451八，即2x+3y—8=0

----10

2

故選：B.

,、1n

8已知正項數列包｝滿足1嬴1+嬴+：

H-----------=----------nGN,若。5-2a6=7,則4=()

44+12〃+1

13

A.-B.1C.一D.2

32

【答案】D

【解析】

111

【分析】由已知和式求出通項------的通項，從而得出----=而，再由已知條件。5-2。6=7，從而求出

44+1a5a6----'yy

生，類似的往前推，求出％即可.

11

【詳解】〃=i時，——

1nn-1_1

心2時，-----2〃+1—2〃—1-4萬—1

%A+i

1、,.-.%%,=99,.?.。6(2。6+7)=99,,

的6

。6=5,%~18,

g%=63,二%=g

a3a4=35,.，.a3=10,

.3

"2"3—[5,..a?—,

a{a2=3,.,.1=2.

故選：D.

二、多選題：本題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的選項中，有多項符合題目

要求.全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯的得0分.

9.已知復數4/2/3,下列說法正確的有（）

A.若Z[Z]=z,z?，貝U㈤=艮1B.若z；+z；=0,則馬=z?=0

c.若z/2=z/3,則4=0或Z2=Z3D.若|Z1-Z2|=|Z1+Z2|,則乎2=0

【答案】AC

【解析】

【分析】A項，由復數的性質,「可得；BD項，舉特例即可判斷；C項，先證明命題“若2e2=0,則

4=0,或Z2=0”成立，再應用所證結論推證可得.

【詳解】選項A,Z[-Z]=z2z2,則匕「=區「|zj=RI,故A正確；

選項B,令z=i,Z2=l,滿足條件z；+Z；=-1+1=0,但Z]WZ2，且均不為0,故B錯誤;

選項C,下面先證明命題“若Z]Z2=0,則4=0,或Z2=0”成立.

證明：設4=Q+Z?i,〃,b￡R,z2=c+6?i,c,6?GR,

若ZE2=0,則有(a+Z?i)(c+di)=(ac-bd)+(ad+bc)i=O,

ac-bd=0ac=bd

故有《即4",,兩式相乘變形得,(a?+b2^cd=0,

ad+be=0ad=-be

則有/十^=。，或。=0,或4=0,

①當"十/二。時，a=b=。,即4=。；

②當Q2+/WO，且。=0時，則〃d=ad=0,

又因為。力不同時為0,所以d=0,即？2=0；

③當"十/^W。，且6?=。時，則QC=Z?C=0,同理可得C=0,故？2=。；

綜上所述，命題“若Z]Z2=0,則Z]=0,或22=。”成立.

下面我們應用剛證明的結論推證選項C,

..ZXZ2=4Z3,Z^Z2-Z3^=0f

二.4=0,或Z2-Z3=0,即4=0或Z2=Z3，故C正確；

選項D,令Z]=l+i*2=1-i,

則|4_Z2|=k+a|=2,

但4Z2=(l+i)(l-i)=2,ZZ2不為0,故D錯誤.

故選：AC.

10已知函數y(x)=si=則()

2-cos2x

A./(力的最小正周期為兀B.7(%)的圖象關于點(兀,0)對稱

C.不等式/(x)>x無解D./(%)的最大值為《

【答案】BD

【解析】

【分析】對于選項A:驗證/(兀+力=/(力是否成立即可判斷；對于選項B:驗證/(2兀-％)=-/(%)是否

成立即可判斷；對于選項C:利用/(—兀)=0>—兀即可驗證/(%)>》有解；對于選項D:利用二倍角公式,

結合基本不等式即可判斷.

/、sin(71+x)-sinx,、

【詳解】對于選項A:7?(兀+尤)=^—\7=~——丁7/(z力x,，兀不是/(九)的周期，故A錯

2—cos2(兀+%)2—cos2x

誤;

/、sin（2兀-x）-sinx（、（、,、

對于選項B:/（2兀-x）=----------=-----=-/（%）,?,./（%）關于（兀,0）對稱，故B正確；

2—cos2（2兀-xI2—cos2x

對于選項C:/（-7i）=0＞一兀,「./（X）＞X有解，故C錯誤；

/xsinxsinx

對于選項D：〃x）=OF工T與若si.W0,則

若sinx>0,則/(X)1」=正

~2夜2,

2sinxH----

sin%

當且僅當2sinx=1-,即sinx=XZ時，原式取等，故D正確.

siwc2

故選:BD.

11.如圖，在棱長為2的正方體ABC。—AgG2中，E為A4的中點，點產滿足

=貝I()

A.當4=0時，AC]，平面應＞產

B.任意/le[0,1],三棱錐尸—5D石的體積是定值

C.存在XG[0,1],使得AC與平面應＞尸所成的角為T

D.當4=2時，平面應）尸截該正方體的外接球所得截面的面積為變兀

319

【答案】ACD

【解析】

【分析】建立適當的空間直角坐標系，對于A,4=0時，尸與4重合，故只需驗證AC1，面30A是否

成立即可，對于B,由4片不與平面5OE平行，即點口到面30E的距離不為定值，由此即可推翻B,

對于C,考慮兩種極端情況的線面角，由于尸是連續變化的，故AC與平面3D尸所成的角也是連續變化

的，由此即可判斷；對于D,求出平面應)產的法向量，而顯然球心坐標為。(1,1,1),求出球心到平面

應＞尸的距離，然后結合球的半徑、勾股定理可得截面圓的半徑，進一步可得截面圓的面積.

【詳解】如圖所示建系，D(0,0,0),5(2,2,0),A(2,0,2),A(2,0,0),Q(0,2,2),

所以03=(2,2,0),4=(2,0,2),AQ=(-2,2,2),

從而4&.鹿=-4+4=0,4。1.%=Y+4=0,

所以，DB,AQ±D\,

又DBnDAi=D,DB,D\u面BDAX,

所以AC1，面8D4],

2=0時，戶與A重合，平面尸為平面,

因為公。1_1面5。4，AGJ■平面3D尸，A對.

AA不與平面平行，，產到面瓦右的距離不為定值，

???三棱錐產-5DE的體積不為定值，B錯.

設面的法向量為4

%?DB-2x+2y=0

則〈..y，令再=1,解得％=—1,4=—1,

nx-DAX-2再+22]=0

即可取4=。,—1,—1),

而AC=(-2,2,0),

/、4&

所以AC與平面BDF所成角的正弦值為cos(AC,%)=~Z=丁一尸=三

''AC.k2n3

又BD=(-2,-2,0),BBX=(0,0,2),

所以ACBD=4—4=0,ACBB]=0,

所以AC，3D,AC，3用，

又BDBB]=B,BD,BBiu面DBBX,

所以AC,面。Bg,

當產在A時，AC與平面BD尸所成角的正弦值為*5〈走，此時AC與平面5D戶所成角小于

323

7Tjr

當尸在⑸時，AC與平面應)戶所成角為一〉一，

23

所以存在4e[0,1]使AC與平面應>尸所成角為三，C正確.

￡>(0,0,0),5(2,2,0),1(2,242),

,.n-DB=02%+2y=0

設平面5。尸的法向量為〃=(x,y,z),<,

n-DF=02x+22y+2z=0

不妨設x=l,則y=-l,z=；l-l,/=(L-L,2—l),AC=(-2,2,0).

2=|,則/[2,。2],平面3D尸的法向量〃=1,—1,—顯然球心0(1,1,1),

0D?"1JigIA-I_A.A_A

0到面BDF的距離d==-==^—,外接球半徑R=74+4+4=G,

WM192

...截面圓半徑的平方為r=R2—磨=至，所以s=71r2=些兀，D對.

1919

故選：ACD.

【點睛】關鍵點點睛：判斷D選項的關鍵是利用向量法求出球心到截面應>尸的距離，由此即可順利得解.

三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分.

12.已知變量乂y的統計數據如下表，對表中數據作分析，發現y與龍之間具有線性相關關系，利用最小

二乘法，計算得到經驗回歸直線方程為9=0.8尤+6,據此模型預測當％=10時夕的值為.

56789

3.54566.5

y

【答案】7.4

【解析】

【分析】經驗回歸直線方程9=公+”過樣本點的中心「,可，所以把（三習代入亍=0.8%+4求得&的值，

再代入x=10求解即可.

【詳解】由己知得了=7,歹=5,即樣本點中心（7,5）,

因為經驗回歸直線方程9=0.8%+6過樣本點的中心（7,5）,

所以5=0.8x7+d,解得6=—0.6.

所以，當x=10時，9=0.8x10—0.6=74.

故答案為：7.4.

13.已知。力e（0,1）—（1,轉），41og?+log/=4,則一+ln4的最小值為.

bb

【答案】In2+l##l+ln2

【解析】

r\r\。

【分析】依題意可得a=/，則—+皿3=1昉+—,令〃x）=ln%+—,利用導數求出/（%）的最小值，即

bbbx

可得解.

【詳解】；41og?+log/=4,a,/?e（O,l）i

；?41082+^^=4,.1log/=L,.）=&,

log/2

日口,2在[、I2[a2b12

即”=Z?2,所以—+]n—=—+ln—=lnb+—,

bbbbb

2

令/(x)=lnx+—,xe(0,+oo),

則f'(x)=~T=~2~，

XXX?

所以當0〈尤<2時r(x)<0,當尤>2時/'(x)<o,

所以/（九）在（0,2）上單調遞減，在（2,+8）上單調遞增,

所以/（x：U=/（2）=ln2+l,

所以+i=ln2+l當且僅當b=2,a=夜時取得.

\bbmin

故答案為：ln2+l

14.在平面直角坐標系xQy中，已知點P（—1,1）和拋物線C:/=4x,過C的焦點尸且斜率為左（左＞0）

的直線與。交于A,3兩點.記線段A3的中點為M,若線段的中點在C上，則左的值為

|AF|.忸耳的值為.

【答案】①.2②.5

【解析】

【分析】設43：,=左（龍—1），與拋物線聯立，由韋達定理得%+%=9，%+x,=4+2,從而得到M

kk

的坐標，以及線段的中點坐標，代入拋物線方程，即可求出女的值，得到|A斗忸耳的值.

【詳解】令B（x,,y2）,AB:y=^（x-l）,線段PM的中點為N

y=k(x-l],44

聯立2；，消X可得y2——y—4=0,則%+%=—，%%=-4,所以

y=4xkk

西+々=上芳+2=*+2,即”。+1彳），所以線段MP的中點N（\,g+；）,由于線段MP的

11,4

中點N在拋物線上，貝心工+萬）,解得左=2或左=一6（舍去），即左=2,

由于在拋物線中|A同=玉+1,忸f=七+1,所以

/2\/2、22(%+%『-乂%

_X%+2

|AF|.|BF|=(XI)(X+I)=々+1T+i--------------r+1

1+2164

164+8

--1----+1=5.

164

故答案為：2；5.

四、解答題：本題共5小題，共77分.解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟.

15.記ABC的內角A,3,C的對邊分別為a,4c,已知2cosB+l=

a

（1）證明：5=2A；

（2）若sinA=Y2,6="Z,求的周長.

4

【答案】（1）證明見解析

（2）7+V14

【解析】

【分析】（1）利用正弦定理邊化角結合角范圍可證；

（2）利用倍角公式求得sinC,然后利用正弦定理可得

【小問1詳解】

（2cosB+l）sinA=sinC=sin（A+B）=sinAcosB+cosAsinB

nsinA=sinBcosA-cosBsinA=sin（5—A）

因為A5￡（0,7l）,.,.5-人￡（一兀,兀）

.?.A=6—A或A+（5—A）=7i（舍），,\B=2A.

【小問2詳解】

由sinA=乎，結合（1）知4+5=3人€（0,兀），則Ae、吟］，得

cosA=y11-sin2A=Jl-

sinB=sin2A=2sinAcosA=2xx，

444

13

cosB=cos2A=1-2sin9A=l-2x—=~,

84

^23歷幣10725A/2

/.sinC=sin（A+⑶=sinAcosB+cosAsin5=-x—H------x----=-------=------

'）4444168

由正弦定理得

abca^/14cia=2

------=-------=--------S=------=-------Sv

sinAsin5sinC^2幣5-72[c=5

77-I-

:.^ABC的周長為a+b+c-7+A/14-

16.如圖，在四棱錐E—ABCD中，￡C_L平面ABC。，DCLBC,AB//DC,DC=2AB=2,

CB=CE,點尸在棱BE上，且BF」FE.

(1)證明：OE//平面AbC；

(2)當二面角尸—AC—。為135時，求CE.

【答案】(1)證明見解析

⑵有

【解析】

【分析】(1)由線面垂直得到線線垂直，建立空間直角坐標系，求出平面AFC的法向量/=(1,-2,-機),

根據DE?弭=0得到證明；

(2)求出平面ACD的法向量，根據二面角的大小列出方程，求出CE=6.

【小問1詳解】

因為EC,平面A3CD,3C,CDu平面ABC。，

所以EC，5C,EC，CD,

又DCLBC,

以C為坐標原點，CB,CE,CD所在直線分別為x,%z軸，，建立空間直角坐標系，

設BC=m,

DC=2AB=2,

CA=(m,O,l),CF=^|m,|m,oj,DE=(O,m,-2),

設平面AFC的一個法向量為4=(尤,y,z),

.?CA=(x,y,z)-(m,O,l)=mx+z=0

則I/、,21、21,

4-CF=yx,y,z)-\—m,—m,O\=—mx+—my=0

令x=l得y=-2,z=-〃z,故4=(1,一2,-加)

二.DE-4=—2m+2m=0,

故。E//平面AFC；

【小問2詳解】

平面ACD的一個法向量后=(0,1,0),

...COS135===,

?1-WjV5+m2-12

\CE=y/3.

17.我國無人機發展迅猛，在全球具有領先優勢，已經成為“中國制造”一張靚麗的新名片，并廣泛用于森

林消防、搶險救災、環境監測等領域.某森林消防支隊在一次消防演練中利用無人機進行投彈滅火試驗，消防

4

員甲操控無人機對同一目標起火點進行了三次投彈試驗，已知無人機每次投彈時擊中目標的概率都為二，

每次投彈是否擊中目標相互獨立.無人機擊中目標一次起火點被撲滅的概率為g,擊中目標兩次起火點被撲

2

滅的概率為§,擊中目標三次起火點必定被撲滅.

(1)求起火點被無人機擊中次數的分布列及數學期望;

（2）求起火點被無人機擊中且被撲滅的概率.

【答案】（1）分布列見解析，y

,、102

(2)—

125

【解析】

【分析】（1）由二項分布概率公式求概率即可得分布列，再由二項分布期望公式可得;

（2）根據條件概率以及全概率公式求解可得

小問1詳解】

起火點被無人機擊中次數X的所有可能取值為0,1,2,3

p(x=o)=Ij(X=l)=C!

5I1125

2

P(X=2)=C］：)4j-

小熊「"A1125

X的分布列如下:

X0123

1124864

P

125125125125

X?53,g,「.E(X)=3xg=m

【小問2詳解】

擊中一次被撲滅的概率為々=[

擊中兩次被火撲滅的概率為鳥=言

4I3_64

擊中三次被火撲滅的概率為鳥=?-125

……n63264102

所求概率P=-----+------H--------=------

125125125125

18.在平面直角坐標系xOy中，已知點P[O,-g],過橢圓C：W+V=l（a〉l）的上頂點A作兩條動直

線I:y=kxx+l,l2:y=V+l(O<^<%)分別與C交于另外兩點必N.當％='時，|=\PM\.

（1）求。的值;

\MN\9

（2）若匕%2=1，麗=可,

求左1和k2的值.

【答案】（1）2（2）&=；,左2=2

【解析】

【分析】（1）聯立直線直線AM和橢圓的方程，求出M點坐標，根據列出關于a的方程，即

可求得答案.

（2）聯立直線和橢圓方程，求出點M,N的坐標的表達式，即可求得左.，左川的表達式，結合占匕=1，

9

\MN\-x17

可推出即尸,M,N三點共線，結合|人陽8-可得M=丁，由此即可取得答案.

XN8

【小問1詳解】

由題意得A（o,l）,P[°，T]，直線AM的方程為y=^x+l，

_72(2、_

聯立<y—2*/.—+1%2+y/2a~x=0解得x=0或

x2+a2y2=a2Ja2+2

代入y=^^x+l，得丁=2-a2

a'+2

「2億22-a。'

:.M

、/+2a2+2J

2、2

f-2億2)‘2—a1J(-2yl2a2(2-a15丫

^\AM\=\PM\^,++~?------1—

a2+2、4+2)a2+2,、〃+23,

7

解得/=4,

a>l,:.a=2；

【小問2詳解】

2

由（1）知橢圓方程為二+/=1,y=klx+l

聯立《X2+4y2=4,

4-

得（4左；+1）%2+8左/=0,解得尤=0或%=-第；］，

8kl皿711—4左；甌1—46片、

即入N二一詬IP則為//「族可，即依一叩‘叩）'

2

同理可得N（一看'言），

1—4651-%5

-^-L+-4代+134

nl,4后+13lz,1、,

則kpM=----靛---=—§*1+T)'kpN=--(^+—),

8k[3-&

—44+11―4%+1

,1

由于左42=1，故占=/，故kpM=kpN,即P,M,N三點共線,

/vn

8x一

8kl8k2_%_8左i

又與=一“節'/

4代+14x4+14+將