2024屆湖南省長沙廣益中學中考數學適應性模擬試題

考生須知：

1.全卷分選擇題和非選擇題兩部分，全部在答題紙上作答。選擇題必須用2B鉛筆填涂；非選擇題的答案必須用黑色

字跡的鋼筆或答字筆寫在“答題紙”相應位置上。

2.請用黑色字跡的鋼筆或答字筆在“答題紙”上先填寫姓名和準考證號。

3.保持卡面清潔，不要折疊，不要弄破、弄皺，在草稿紙、試題卷上答題無效。

一、選擇題（每小題只有一個正確答案，每小題3分，滿分30分）

1.如圖，直線a〃b,點A在直線b上，ZBAC=100°,NBAC的兩邊與直線a分別交于B、C兩點，若N2=32。，則

2.如圖，△ABC中，ZACB=90°,ZA=30°,AB=1.點P是斜邊AB上一點.過點P作PQLAB,垂足為P,交邊

AC（或邊CB）于點Q,設AP=x,AAPQ的面積為y,則y與x之間的函數圖象大致為（）

3.已知某新型感冒病毒的直徑約為0.000000823米，將0.000000823用科學記數法表示為（）

A.8.23x106B.8.23x107C.8.23xl06D.8.23xl07

4.下列圖形中，既是中心對稱，又是軸對稱的是（）

5.下面的幾何圖形是由四個相同的小正方體搭成的，其中主視圖和左視圖相同的是（）

6.如圖中任意畫一個點，落在黑色區域的概率是（）

8.如果,3—2）2=2—a，那么（)

A.x<2B.x<2C.x>2D.x>2

9.肥皂泡的泡壁厚度大約是0.00000071米,數字0.00000071用科學記數法表示為（）

A.7.1X107B.0.71x106c.7.1x107D.71x108

I-11的倒數是（

10.)

2

11

A.-2B.—c.—D.2

22

、填空題（共7小題，每小題3分，滿分21分）

3

11.飛機著陸后滑行的距離y（單位：m）關于滑行時間t（單位：s）的函數解析式是y=60t-59r.在飛機著陸滑行

中，最后4s滑行的距離是_____m.

12.如圖，在直角坐標平面xOy中，點A坐標為（3,2）,ZAOB=90，NOA8=30，43與x軸交于點C,那么

AC：的值為

13.如圖，菱形ABCD的邊長為15,sinNBAC=%則對角線AC的長為

14.如圖，在△ABC中，AB=2,BC=3.5,NB=60。，將△ABC繞點A按順時針旋轉一定角度得到△ADE,當點B的

對應點D恰好落在BC邊上時，則CD的長為.

15.某風扇在網上累計銷量約1570000臺，請將1570000用科學記數法表示為.

16.如圖，。。的半徑為5cm,圓心。到A5的距離為3c/n,則弦A5長為cm.

17.如圖，一束光線從點4(3,3)出發，經過y軸上點C反射后經過點5(1,0),則光線從點A到點8經過的路徑長為

三、解答題（共7小題，滿分69分）

18.（10分）某新建成學校舉行美化綠化校園活動，九年級計劃購買4,3兩種花木共100棵綠化操場，其中A花木

每棵50元，5花木每棵100元.

（1）若購進A,8兩種花木剛好用去8000元，則購買了A,3兩種花木各多少棵？

（2）如果購買3花木的數量不少于A花木的數量，請設計一種購買方案使所需總費用最低，并求出該購買方案所需

總費用.

4

19.（5分）如圖，在口ABCD中，AB=4,AD=5,tanA=—,點P從點A出發，沿折線AB-BC以每秒1個單位長度

3

的速度向中點C運動，過點P作PQLAB,交折線AD-DC于點Q,將線段PQ繞點P順時針旋轉90。，得到線段

PR,連接QR.設APQR與口ABCD重疊部分圖形的面積為S（平方單位），點P運動的時間為t（秒）.

（1）當點R與點B重合時，求t的值；

（2）當點P在BC邊上運動時，求線段PQ的長（用含有t的代數式表示）；

（3）當點R落在口ABCD的外部時，求S與t的函數關系式；

（4）直接寫出點P運動過程中，△PCD是等腰三角形時所有的t值.

20.（8分）如圖，在平行四邊形ABC。中，ZAOC的平分線與邊相交于點E.

（1）求證5石+5。=00；

（2）若點E與點B重合,請直接寫出四邊形ABC。是哪種特殊的平行四邊形.

D

21.(10分)如圖，AA3C是等腰三角形，AB=AC,ZA=36.

(1)尺規作圖：作王汨的角平分線瓦)，交AC于點。(保留作圖痕跡，不寫作法)；

(2)判斷5CD是否為等腰三角形，并說明理由.

22.(10分)如圖，在頂點為P的拋物線y=a(x-h)2+k(ar0)的對稱軸1的直線上取點A(h,k+—),過A作BC，1

4a

交拋物線于B、C兩點(B在C的左側)，點和點A關于點P對稱，過A作直線m±l.又分別過點B,C作直線BE±m

和CDLm,垂足為E,D.在這里，我們把點A叫此拋物線的焦點，BC叫此拋物線的直徑，矩形BCDE叫此拋物線

的焦點矩形.

(1)直接寫出拋物線y=4x2的焦點坐標以及直徑的長.

4

(2)求拋物線y=—1x"23x+一17的焦點坐標以及直徑的長.

424

_3

(3)已知拋物線y=a(x-h)2+k(a/))的直徑為5,求a的值.

(4)①已知拋物線y=a(x-h)2+k(aWO)的焦點矩形的面積為2,求a的值.

1317

②直接寫出拋物線y=-x2--x+—的焦點短形與拋物線y=2-2m+m2l公共點個數分別是1個以及2個時m的值.

424XX+

23.(12分)如圖，在AABC中，ZC=90°,NBAC的平分線交BC于點D,點O在AB上，以點O為圓心，OA為

半徑的圓恰好經過點D,分別交AC、AB于點E.F.試判斷直線BC與。O的位置關系，并說明理由；若BD=2,不

BF=2,求。。的半徑.

24.（14分）城市小區生活垃圾分為：餐廚垃圾、有害垃圾、可回收垃圾、其他垃圾四種不同的類型.

（1）甲投放了一袋垃圾，恰好是餐廚垃圾的概率是;

（2）甲、乙分別投放了一袋垃圾，求恰好是同一類型垃圾的概率.

參考答案

一、選擇題（每小題只有一個正確答案，每小題3分，滿分30分）

1、D

【解析】

根據平行線的性質與對頂角的性質求解即可.

【詳解】

Va/7b,

/.ZBCA=Z2,

VZBAC=100°,Z2=32°

.?.ZCBA=180°-ZBAC-ZBCA=180o-100o-32o=48°.

.\Z1=ZCBA=48°.

故答案選D.

【點睛】

本題考查了平行線的性質，解題的關鍵是熟練的掌握平行線的性質與對頂角的性質.

2、D

【解析】

2

解：當點。在AC上時，；NA=30。，AP=x,...P2=xtan3(F==二，：.y=^APxPQ=^xxx-Z=—x；

，??，$

當點。在8c上時，如下圖所示:

'：AP=x,AB=1,ZA=30°,：.BP=l-x,ZB=60°,/.Pg=BP?tan60°=\7(l-x),AZ--z:=zAP*PQ=-Z-J一：一二

=-二二：二，，該函數圖象前半部分是拋物線開口向上，后半部分也為拋物線開口向下.故選D.

點睛：本題考查動點問題的函數圖象，有一定難度，解題關鍵是注意點。在上這種情況.

3、B

【解析】

分析：絕對值小于1的正數也可以利用科學記數法表示，一般形式為axHT,與較大數的科學記數法不同的是其所使

用的是負指數塞，指數由原數左邊起第一個不為零的數字前面的0的個數所決定.

詳解：0.000000823=8.23x10-1.

故選B.

點睛：本題考查用科學記數法表示較小的數，一般形式為axl(T,其中iw|a|V10,n為由原數左邊起第一個不為零的

數字前面的0的個數所決定.

4、C

【解析】

根據中心對稱圖形，軸對稱圖形的定義進行判斷.

【詳解】

A、是中心對稱圖形，不是軸對稱圖形，故本選項錯誤；

B、不是中心對稱圖形，也不是軸對稱圖形，故本選項錯誤；

C、既是中心對稱圖形，又是軸對稱圖形，故本選項正確；

D、不是中心對稱圖形，是軸對稱圖形，故本選項錯誤.

故選C.

【點睛】

本題考查了中心對稱圖形，軸對稱圖形的判斷.關鍵是根據圖形自身的對稱性進行判斷.

5、C

【解析】

試題分析：觀察可得，只有選項c的主視圖和左視圖相同，都為|||,故答案選C.

考點：簡單幾何體的三視圖.

6、B

【解析】

抓住黑白面積相等，根據概率公式可求出概率.

【詳解】

因為，黑白區域面積相等，

所以，點落在黑色區域的概率是

2

故選B

【點睛】

本題考核知識點：幾何概率.解題關鍵點：分清黑白區域面積關系.

7、A

【解析】

由主視圖和左視圖確定是柱體，錐體還是球體，再由俯視圖確定具體形狀，確定圓錐的母線長和底面半徑，從而確定

其側面積.

【詳解】

解：由主視圖和左視圖為三角形判斷出是錐體，由俯視圖是圓形可判斷出這個幾何體應該是圓錐；

根據三視圖知：該圓錐的母線長為6cm,底面半徑為8+l=4cm,

故側面積=7trl=7tx6x4=147rcmi.

故選：A.

【點睛】

此題考查學生對三視圖掌握程度和靈活運用能力，同時也體現了對空間想象能力方面的考查.

8、B

【解析】

〃（Q>0）

試題分析：根據二次根式的性質J/=時=0（a=0），由此可知2-aNO,解得aW2.

故選B

〃（。>0）

點睛：此題主要考查了二次根式的性質，解題關鍵是明確被開方數的符號，然后根據性質行=14=0（。=0）可求

-tz（tz<0）

解.

9、C

【解析】

科學記數法的表示形式為axion的形式，其中iw|a|<10,n為整數.確定n的值時，要看把原數變成a時，小數點移動

了多少位，n的絕對值與小數點移動的位數相同.當原數絕對值>1時，n是正數；當原數的絕對值<1時，n是負數.

【詳解】

0.00000071的小數點向或移動7位得到7.1,

所以0.00000071用科學記數法表示為7.1x107,

故選C.

【點睛】

本題考查科學記數法的表示方法.科學記數法的表示形式為axion的形式，其中n為整數，表示時關鍵要正

確確定a的值以及n的值.

10、D

【解析】

根據絕對值的性質，可化簡絕對值，根據倒數的意義，可得答案.

【詳解】

|--|=-，’的倒數是2；

222

的倒數是2,

故選D.

【點睛】

本題考查了實數的性質，分子分母交換位置是求一個數倒數的關鍵.

二、填空題（共7小題，每小題3分，滿分21分）

11、24

【解析】

先利用二次函數的性質求出飛機滑行20s停止，此時滑行距離為600m,然后再將t=20-4=16代入求得16s時滑行的距

離，即可求出最后4s滑行的距離.

【詳解】

33

y=60t--12=--(t-20)2+600,即飛機著陸后滑行20s時停止，滑行距離為600m,

22

當t=20-4=16時，y=576,

600-576=24,

即最后4s滑行的距離是24m,

故答案為24.

【點睛】

本題考查二次函數的應用，解題的關鍵是理解題意，熟練應用二次函數的性質解決問題.

12、正

3

【解析】

過點A作ADLy軸，垂足為D,作BEl_y軸，垂足為E.先證A再根據NQ4B=30。求出三角形的相

似比，得至!JO?OE=2：6,根據平行線分線段成比例得到AC:8C=O〃:OE=2：色;巫

3

【詳解】

解：

如圖所示：過點A作軸，垂足為O,作BELy軸，垂足為E.

VZOAB=30°,ZAZ)E=90°,ZDEB=9Q°

：.ZDOA+ZBOE=90°fZOBE+ZBOE=90°

ADOAOBE

:?△ADOS/^OEB

VZOAB=30°,NAO3=90。，

：.OA：OB=y/3:l

???點A坐標為（3,2）

：.AD=3,0D=2

■:AADOsAOEB

，旦"G

OEOB

：.OE=y/3

,JOC//AD//BE

根據平行線分線段成比例得：

AC:BC=0D:0E=2：J3

3

故答案為友.

3

【點睛】

本題考查三角形相似的證明以及平行線分線段成比例.

13、24

【解析】

試題分析：因為四邊形ABCD是菱形，根據菱形的性質可知，BD與AC互相垂直且平分，因為H二二二一一=,AB=10,

所以；BD=6,根據勾股定理可求的'AC=8,即AC=16；

考點：三角函數、菱形的性質及勾股定理；

14、1.1.

【解析】

分析：由將△ABC繞點A按順時針旋轉一定角度得到△ADE,當點B的對應點D恰好落在BC邊上，可得AD=AB,

又由NB=60。，可證得△ABD是等邊三角形，繼而可得BD=AB=2,則可求得答案.

詳解：由旋轉的性質可得：AD=AB,

VZB=60°,

/.△ABD是等邊三角形，

；.BD=AB,

VAB=2,BC=3.1,

,,.CD=BC-BD=3.1-2=1.1.

故答案為：1.1.

點睛：此題考查了旋轉的性質以及等邊三角形的判定與性質.此題比較簡單，注意掌握旋轉前后圖形的對應關系，注

意數形結合思想的應用.

15、1.57x1

【解析】

科學記數法的表示形式為axion的形式，其中lW|a|V10,n為整數.確定n的值時，要看把原數變成a時，小數點移

動了多少位，n的絕對值與小數點移動的位數相同.當原數絕對值＞1時，n是正數；當原數的絕對值＜1時，n是負

數.

【詳解】

將1570000用科學記數法表示為1.57x1.

故答案為1.57x1.

【點睛】

此題考查科學記數法的表示方法.科學記數法的表示形式為axion的形式，其中10a|VlO,n為整數，表示時關鍵要

正確確定a的值以及n的值.

16、1cm

【解析】

首先根據題意畫出圖形，然后連接OA,根據垂徑定理得到OC平分AB,即AC=BC,而在RSOAC中，根據勾股

數得到AC=4,這樣即可得到AB的長.

【詳解】

解：如圖，連接OA,則OA=5,OC=3,OC±AB,

.\AC=BC,.?.在RtAOAC中，AC=^/QA2-CX：2=4＞?，-AB=2AC=l.

故答案為L

【點睛】

本題考查垂徑定理；勾股定理.

17、2

【解析】

延長AC交x軸于B，.根據光的反射原理，點B、B，關于y軸對稱，CB=CB\路徑長就是AB，的長度.結合A點坐

標，運用勾股定理求解.

【詳解】

解：如圖所示，

延長AC交x軸于B，.則點B、B，關于y軸對稱，CB=CB\作AD，x軸于D點.則AD=3,DB，=3+1=1.

由勾股定理AB=2

/.AC+CB=AC+CB=AB=2.即光線從點A到點B經過的路徑長為2.

考點：解直角三角形的應用

點評：本題考查了直角三角形的有關知識，同時滲透光學中反射原理，構造直角三角形是解決本題關鍵

三、解答題(共7小題，滿分69分)

18、(1)購買A種花木40棵，8種花木60棵；(2)當購買A種花木50棵、5種花木50棵時，所需總費用最低，最

低費用為7500元.

【解析】

(1)設購買A種花木x棵，B種花木y棵，根據“A,B兩種花木共100棵、購進A,B兩種花木剛好用去8000元”

列方程組求解可得;

(2)設購買A種花木a棵，則購買B種花木(100-a)棵，根據“B花木的數量不少于A花木的數量”求得a的范圍,

再設購買總費用為W,列出W關于a的解析式，利用一次函數的性質求解可得.

【詳解】

解析：(1)設購買A種花木x棵，B種花木y棵,

x+y=100x=40

根據題意，得：，解得：《

[50x+100y=8000y=60'

答：購買A種花木40棵，B種花木60棵；

(2)設購買A種花木a棵，則購買B種花木(100-a)棵,

根據題意，得：100-a?a,解得：a<50,

設購買總費用為W,則W=50a+100(100-a)=-50a+10000,

隨a的增大而減小，.?.當a=50時，W取得最小值，最小值為7500元，

答：當購買A種花木50棵、B種花木50棵時，所需總費用最低，最低費用為7500元.

考點：一元一次不等式的應用；二元一次方程組的應用.

19、(1)—；(2)—(9-t)；(3)①S=--t2H—t--■；②S=-^t2+l.(3)S=-----(9-t)2;(3)3或—

7533771755

??17

或4或1.

【解析】

4

(1)根據題意點R與點B重合時t+—1=3,即可求出t的值；

3

(2)根據題意運用t表示出PQ即可；

(3)當點R落在口ABCD的外部時可得出t的取值范圍，再根據等量關系列出函數關系式；

(3)根據等腰三角形的性質即可得出結論.

【詳解】

解：(1)???將線段PQ繞點P順時針旋轉90。，得到線段PR,

；.PQ=PR,/QPR=90°,

.?.△QPR為等腰直角三角形.

..4

當運動時間為t秒時，AP=t,PQ=PQ=AP?tanA=—t.

???點R與點B重合，

.4

AP+PR=t+—t=AB=3,

3

解得：t=3.

(2)當點P在BC邊上時，3<t<9,CP=9-t,

A4

.tanA=—，

3

.44

..tanC=—，sinC=—,

35

4

.*.PQ=CP?sinC=y(9-t).

12

(3)①如圖1中，當亍<號3時，重疊部分是四邊形PQKB.作KM_LAR于M.

。DC

圖i

VAKBR^AQAR,

KM_BR

~QP=AR'

7

KM-r-4

丁=J

：.KM=-(-t-3)=-t——，

7337

、，、,、

.1,421,74162,21632

?.S=SAPQR-SAKBR=-X(—t)--x(—1-3)(—t-------)=--tH----1--.

232337337

②如圖2中，當3VtW3時，重疊部分是四邊形PQKB.

2

S=SAPQR_SAKBR=-x3x3--xtx—1=--t+l.

2277

③如圖3中，當3VtV9時，重疊部分是APQK.

DQ

圖3

4413424

S=—,SPQC=—x—x—(9-t)(9-t)=-----(9-t)2.

7A7255175

①當DC=DPi=3時,易知APi=3,t=3.

324

②當DC=DP2時，CP2=2?CD?-=y,

1

；.BP2=—,

5

121

t=3n———?

55

③當CD=CP3時，t=4.

310

④當CP3=DP3時，CP=2v-=—,

353

綜上所述，滿足條件的t的值為3或一或4或」.

53

【點睛】

本題考查四邊形綜合題、動點問題、平行四邊形的性質、多邊形的面積、等腰三角形的判定和性質等知識，解題的關

鍵是學會用分類討論的思想解決問題，學會利用參數構建方程解決問題，屬于中考壓軸題.

20、(1)見解析；⑵菱形.

【解析】

(1)根據角平分線的性質可得NADE=NCDE,再由平行線的性質可得AB〃CD,易得AD=AE,從而可證得結論；

(2)若點E與點B重合,可證得AD=AB,根據鄰邊相等的平行四邊形是菱形即可作出判斷.

【詳解】

(1)；DE平分NADC,

.*.ZADE=ZCDE.

???四邊形ABCD是平行四邊形，

AB//CD,AB=CD,AD=BC,AB=CD.

,/ZAED=ZCDE.

ZADE=ZAED.

AAD=AE.

.*.BC=AE.

VAB=AE+EB.

ABE+BC=CD.

⑵菱形，理由如下：

由（1）可知，AD=AE,

?.?點E與B重合，

/.AD=AB.

?.?四邊形ABCD是平行四邊形

???平行四邊形ABCD為菱形.

【點睛】

本題考查了平行四邊形的性質，平行線的性質，等腰三角形的性質，菱形的性質，熟練掌握各知識是解題的關鍵.

21、（1）作圖見解析（2）.BCD為等腰三角形

【解析】

（D作角平分線，以B點為圓心，任意長為半徑，畫圓??；交直線AB于1點，直線BC于2點，再以2點為圓心，

任意長為半徑，畫圓弧，再以1點為圓心，任意長為半徑，畫圓弧，相交于3點，連接3點和O點，直線30即是已

知角AOB的對稱中心線.

（2）分別求出5CD的三個角，看是否有兩個角相等，進而判斷是否為等腰三角形.

【詳解】

（1）具體如下：

A

(2)在等腰八鉆。中，NA=36，BD為NABC的平分線，故/ABC=NC=72。，ZDBC=36°,那么在△OBC

中，ZB￡>C=72°

VZB￡>C=ZC=72°

???.5CD是否為等腰三角形.

【點睛】

本題考查角平分線的作法，以及判定等腰三角形的方法.熟悉了解角平分線的定義以及等腰三角形的判定方法是解題的

關鍵所在.

21

22、(1)4(1)4(3)+—(4)①a=±5；②當m=l-收或m=5+也時，1個公共點，當L&<m<l或5Wm<5+&

時，1個公共點，

【解析】

(1)根據題意可以求得拋物線y=yx1的焦點坐標以及直徑的長；

4

1317

(1)根據題意可以求得拋物線y=：xi-7x+下的焦點坐標以及直徑的長；

424

3

(3)根據題意和y=a(x-h)】+k(a邦)的直徑為萬，可以求得a的值；

(4)①根據題意和拋物線y=ax1+bx+c(a/0)的焦點矩形的面積為1,可以求得a的值；

②根據(1)中的結果和圖形可以求得拋物線y=-x1-±x+—的焦點矩形與拋物線y=xLlmx+mi+l公共點個數分別是

424

1個以及1個時m的值.

【詳解】

(1),拋物線y=—xl

4

1

...此拋物線焦點的橫坐標是0,縱坐標是：0+廣=1,

4x—

4

二拋物線y=！x1的焦點坐標為(0,1),

4

將y=l代入y=^xi,得xi=-l,xi=l,

4

二此拋物線的直徑是：1-(-1)=4；

13171

(1),.,y=-x1--x+——=一(x-3)1+1,

4244

1

,此拋物線的焦點的橫坐標是：3,縱坐標是：1+彳1=3,

4x—

4

二焦點坐標為(3,3),

將y=3代入y=!(x-3)Ui,得

4

3=—(x-3)1+1,解得,xi=5,xi=l,

4

,此拋物線的直徑時5-1=4；

(3),焦點A(h,kn---),

4a

111

?*.k+—=a(x-h)]+k,解得，xi=h+TM>x^h-Trn>

4a2|a|2|a|

1113

.?.直徑為：h+T-j-|-(h-TT-|)=|-|=-?

21al2|a||a|2

2

解得，a=±—,

3

2

即a的值是土一；

3

1

(4)①由(3)得，BC=時，

1

XCD=A'A=rn，

2同

111

所以，S=BC?CD=—=1.

n|a|2|a|2a2

解得，a=土!；

2

②當m=l-C或m=5+0時，1