北師大第二附屬中學2024屆高考數學三模試卷

注意事項：

1.答卷前，考生務必將自己的姓名、準考證號填寫在答題卡上。

2.回答選擇題時，選出每小題答案后，用鉛筆把答題卡上對應題目的答案標號涂黑，如需改動，用橡皮擦干凈后，再

選涂其它答案標號?；卮鸱沁x擇題時，將答案寫在答題卡上，寫在本試卷上無效。

3.考試結束后，將本試卷和答題卡一并交回。

一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。

1.對于定義在R上的函數y=/(%),若下列說法中有且僅有一個是錯誤的，則錯誤的一個是()

A./(九)在(f,0]上是減函數B./(九)在(0,+。)上是增函數

C./(九)不是函數的最小值D.對于xeR,都有=—%)

22

2.設雙曲線=-二=1(a>0,b>0)的右焦點為F,右頂點為A,過F作AF的垂線與雙曲線交于B,C兩點，過B,C

ab

分別作AC,AB的垂線交于點D.若D到直線BC的距離小于Q+而定，則該雙曲線的漸近線斜率的取值范圍是

()

A.(-1,0)(0,1)

B.(-0),-1)(1什)

C.(-72,0).(0,72)

D.(-8,-夜)U(元,+8)

3.已知|2a+q=2,a為e[—4,0],則同的取值范圍是()

A.[0,1]B.g,lC.[1,2]D.[0,2]

22

4.已知雙曲線亍—方=1的漸近線方程為其±y=0,則匕=()

昱

A.2不B.73C.D.4A/3

2

5.若復數Z滿足(l+3i)z=(l+i)2,則|z|=()

A.在~B6麗D.叵

15.----C.

4525

6.點0在AABC所在的平面內，|。4|=|。制=|。。|,|AB|=2,卜。卜1,AO=2AB+//AC(2,//eR),且

42-〃=2Q0),則陷=()

A.-B.近C.7D.J7

32

7.定義在R上的函數/(尤)滿足/'(4)=1,f(x)為/(x)的導函數，已知y=f(x)的圖象如圖所示，若兩個正數a1

滿足/(2。+加＜1,則。的取值范圍是()

a+1

D.(-oo,3)

8.如圖所示，直三棱柱的高為4,底面邊長分別是5,12,13,當球與上底面三條棱都相切時球心到下底面距離為8,

C.D.

?二

9.阿基米德(公元前287年一公元前212年)是古希臘偉大的哲學家、數學家和物理學家，他和高斯、牛頓并列被稱

為世界三大數學家.據說，他自己覺得最為滿意的一個數學發現就是“圓柱內切球體的體積是圓柱體積的三分之二，并

且球的表面積也是圓柱表面積的三分之二”.他特別喜歡這個結論，要求后人在他的墓碑上刻著一個圓柱容器里放了一

個球，如圖，該球頂天立地，四周碰邊，表面積為54"的圓柱的底面直徑與高都等于球的直徑，則該球的體積為()

64〃

10.若集合M={L3},N={1,3,5},則滿足MUX=N的集合X的個數為（）

A.1B.2

C.3D.4

11.中國的國旗和國徽上都有五角星，正五角星與黃金分割有著密切的聯系，在如圖所示的正五角星中，以A、5、

C、。、石為頂點的多邊形為正五邊形，且則AT—叵口￡5=（）

22

A.浮QRB.鋁RQC.存RDD.鋁RC

12.某校團委對“學生性別與中學生追星是否有關”作了一次調查，利用2x2列聯表，由計算得K2。7.218,參照下表:

PgNk。）0.010.050.0250.0100.0050.001

k。2.7063.8415.0246.6357.87910.828

得到正確結論是（）

A.有99%以上的把握認為“學生性別與中學生追星無關”

B.有99%以上的把握認為“學生性別與中學生追星有關”

C.在犯錯誤的概率不超過0.5%的前提下，認為“學生性別與中學生追星無關”

D.在犯錯誤的概率不超過0.5%的前提下，認為“學生性別與中學生追星有關”

二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。

13.在如圖所示的三角形數陣中，用%（z>J）表示第i行第j個數（z,/eN*）,已知aiA=1-eN*）,且當行3

時，每行中的其他各數均等于其“肩膀”上的兩個數之和,即k=+（2<J<Z-1）,若am2>2019,則正

整數旭的最小值為.

0

￡1

22

312

44

7777

8448

152172115

16T2T16

I/J/

14.已知拋物線C:V=4x的焦點為尸，過點尸且斜率為1的直線與拋物線C交于點A,B,以線段AB為直徑的圓E

上存在點RQ,使得以PQ為直徑的圓過點。(-2"),則實數/的取值范圍為

15.如圖，直線/是曲線y=/(x)在x=3處的切線，貝！|八3)=.

16.已知等比數列｛4｝的各項均為正數，％,+%=4,%+。3-42-4=1，則內的值為.

三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。

17.(12分)某芯片公司對今年新開發的一批5G手機芯片進行測評，該公司隨機調查了100顆芯片，并將所得統計數

據分為[9,10)[10,11),[11,12),[12,13),[13,14]五個小組(所調查的芯片得分均在[9,14]內)，得到如圖所示的頻率分布

直方圖，其中a—b=O18.

(1)求這100顆芯片評測分數的平均數(同一組中的每個數據可用該組區間的中點值代替).

（2）芯片公司另選100顆芯片交付給某手機公司進行測試,該手機公司將每顆芯片分別裝在3個工程手機中進行初測。

若3個工程手機的評分都達到11萬分，則認定該芯片合格；若3個工程手機中只要有2個評分沒達到11萬分，則認

定該芯片不合格；若3個工程手機中僅1個評分沒有達到11萬分，則將該芯片再分別置于另外2個工程手機中進行二

測，二測時，2個工程手機的評分都達到11萬分，則認定該芯片合格；2個工程手機中只要有1個評分沒達到11萬分,

手機公司將認定該芯片不合格.已知每顆芯片在各次置于工程手機中的得分相互獨立，并且芯片公司對芯片的評分方

法及標準與手機公司對芯片的評分方法及標準都一致（以頻率作為概率）.每顆芯片置于一個工程手機中的測試費用均

為300元，每顆芯片若被認定為合格或不合格，將不再進行后續測試，現手機公司測試部門預算的測試經費為10萬元,

試問預算經費是否足夠測試完這100顆芯片？請說明理由.

18.（12分）為響應“堅定文化自信，建設文化強國”，提升全民文化修養，引領學生“讀經典用經典”，某廣播電視臺

計劃推出一檔“閱讀經典”節目.工作人員在前期的數據采集中，在某高中學校隨機抽取了120名學生做調查，統計結果

顯示：樣本中男女比例為3:2,而男生中喜歡閱讀中國古典文學和不喜歡的比例是7:5,女生中喜歡閱讀中國古典文學

和不喜歡的比例是5:3.

（1）填寫下面列聯表，并根據聯表判斷是否有95%的把握認為喜歡閱讀中國古典文學與性別有關系？

男生女生總計

喜歡閱讀中國古典文學

不喜歡閱讀中國古典文學

總計

（2）為做好文化建設引領，實驗組把該校作為試點，和該校的學生進行中國古典文學閱讀交流.實驗人員已經從所調

查的120人中篩選出4名男生和3名女生共7人作為代表，這7個代表中有2名男生代表和2名女生代表喜歡中國古

典文學.現從這7名代表中任選3名男生代表和2名女生代表參加座談會，記J為參加會議的人中喜歡古典文學的人數,

求5的分布列及數學期望￡年）

附表及公式：K-=----------、"----------,n^a+b+c+d.

(a+6)(c+d)(a+c)S+d)

0.050.0250.0100.0050.001

k°3.8415.0246.6357.87910.828

19.（12分）已知拋物線G：寸=2px（。＞0）上橫坐標為3的點與拋物線焦點的距離為4.

（1）求P的值；

（2）設（0</<2）為拋物線G上的動點，過尸作圓（龍+1）2+/=1的兩條切線分別與y軸交于A、B

兩點.求IA卻的取值范圍.

20.（12分）已知函數/（x）=/一nu+21nx+4.

（1）當加=5時，求7（幻的單調區間.

（2）設直線/是曲線y=/（x）的切線，若/的斜率存在最小值-2,求的值，并求取得最小斜率時切線/的方程.

（3）已知/Xx）分別在七，七（七/%）處取得極值，求證：/（石）+/（%2）<2.

21.（12分）某中學準備組建“文科”興趣特長社團，由課外活動小組對高一學生文科、理科進行了問卷調查，問卷共

100道題，每題1分，總分100分，該課外活動小組隨機抽取了200名學生的問卷成績（單位：分）進行統計，將數

據按照[0,20）,[20,40）,[40,60）,[60,80）,[80,100]分成5組，繪制的頻率分布直方圖如圖所示，若將不低于

60分的稱為“文科方向”學生，低于60分的稱為“理科方向”學生.

理科方向文科方向總計

男110

女50

總計

（1）根據已知條件完成下面2x2列聯表，并據此判斷是否有99%的把握認為是否為“文科方向”與性別有關？

（2）將頻率視為概率，現在從該校高一學生中用隨機抽樣的方法每次抽取1人，共抽取3次，記被抽取的3人中“文

科方向”的人數為4,若每次抽取的結果是相互獨立的，求J的分布列、期望E（J）和方差。（J）.

參考公式：其中"一+"c+d-

參考臨界值:

0.100.050.0250.0100.0050.001

k。2.7063.8415.0246.6357.87910.828

22.(10分)已知頂點是坐標原點的拋物線「的焦點尸在y軸正半軸上，圓心在直線y上的圓E與X軸相切,

2

且E,尸關于點”(—1,0)對稱.

(1)求E和「的標準方程；

(2)過點M的直線/與E交于4B,與「交于C,D,求證：

參考答案

一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。

1、B

【解析】

根據函數對稱性和單調性的關系，進行判斷即可.

【詳解】

由/(x+l)=/(l—x)得/(X)關于X=1對稱，

若關于x=1對稱，則函數在(0,+co)上不可能是單調的，

故錯誤的可能是3或者是。，

若。錯誤，

則在(-8,0］上是減函數，在/Xx)在(0,+s)上是增函數，則/'(0)為函數的最小值，與C矛盾，此時C也錯誤,

不滿足條件.

故錯誤的是3,

故選：B.

【點睛】

本題主要考查函數性質的綜合應用，結合對稱性和單調性的關系是解決本題的關鍵.

2、A

【解析】

由題意i.C(c-)，

aa

根據雙曲線的對稱性知。在x軸上，設則由

b1b2

BD,AS得：____a_=_Lc_jr=|_也，

c-xc-a|a*(a-c)|

因為。到直線的距離小于a+所以

b*Ir-j—ub*iia

|a*(a-c)|cr

1}h

即0〈一<1,所以雙曲線漸近線斜率左=土一e(—l,O)u(O,l),故選A.

aa

3、D

【解析】

設〃z=2a+b，可得a2=a-m-2a2e[-4,01,構造(a-1加2，結合上”=2,可得a-^-meH

L」4164]_22

根據向量減法的模長不等式可得解.

【詳解】

設m=2a+b>貝!J帆=2,

b=m—2a,a-b=a-m—2a2eI，。]，

1-、i-?1.1-21-2

/.(a—m)L-a--a*mT---m<2H---m

421616

m21

|加|2=標=%所以可得：4=_L,

82

11119

9929

配方可得—=—7712V2(a——tn)<4+-^=-,

28482

…1「13一

所以e—,

又Si'歸"一，機<||a|+|1]加||

444

則同e[0,2].

故選：D.

【點睛】

本題考查了向量的運算綜合，考查了學生綜合分析，轉化劃歸，數學運算的能力，屬于中檔題.

4、A

【解析】

22萬

根據雙曲線方程3-方=1(6>0),確定焦點位置，再根據漸近線方程島±y=0得到,=百求解.

【詳解】

22

因為雙曲線上—1=1(b>0),

4b2

所以a=2,又因為漸近線方程為氐±y=0,

所以"上出，

a2

所以/?=2^/3.

故選：A.

【點睛】

本題主要考查雙曲線的幾何性質，還考查了運算求解的能力，屬于基礎題.

5、D

【解析】

31

先化簡得z=g+gi,再求|z|得解.

【詳解】

…2i2i(l-3i)31.

Z-l+3i--10——g+J，

所以|z|=^.

故選：D

【點睛】

本題主要考查復數的運算和模的計算，意在考查學生對這些知識的理解掌握水平.

6、D

【解析】

54

確定點。為AABC外心，代入化簡得到％4=彳，再根據5C=AC—A3計算得到答案.

63

【詳解】

由囪=煙=兇

可知，點。為AABC外心,

--1-21-2

則ABAO=—A3=2,ACAO=-AC—,XAO=AAB+jiiAC9

22

2

AO-AB=AAB+]nAC-AB=42+ptAC-AB=2,

所以21①

AO.AC=XAB.AC+//AC=AAB-AC+//=—,

因為42—〃=2,(2)

54

聯立方程①②可得％=因為3C=AC—A5,

63

所以BC?nAd+AB?—2AC-AB=7，即,C卜近.

故選：D

【點睛】

本題考查了向量模長的計算，意在考查學生的計算能力.

7、C

【解析】

6+1

先從函數單調性判斷2〃+人的取值范圍，再通過題中所給的〃涉是正數這一條件和常用不等式方法來確定——的取值

4+1

范圍.

【詳解】

由丁=/(x)的圖象知函數/(x)在區間(0,+。)單調遞增，而2a+b〉0,故由/(2a+3<1=/(4)可知2a+/?<4.

/?+14—2a+17_

故tr<---------=-2+<5,

a+1a+1a+1

b+1b+171

=-2+綜上得3的取值范圍是(3,5).

又有a+1ajb----

2^~2[+13

故選：C

【點睛】

本題考查了函數單調性和不等式的基礎知識，屬于中檔題.

8、A

【解析】

設球心為，三棱柱的上底面的內切圓的圓心為，該圓與邊切于點，根據球的幾何性質可得

為直角三角形，然后根據題中數據求出圓二半徑，進而求得球的半徑，最后可求出球的體積.

【詳解】

如圖，設三棱柱為----且———；1--；，高._

<<<<

所以底面-為斜邊是的直角三角形，設該三角形的內切圓為圓-，圓與邊切于點-，

^JU/U/UjU/UjUjU/」，?，u

則圓-的半徑為^

Uj—,一,

一r.二.——

設球心為一,則由球的幾何知識得-----為直角三角形，且:

所以

即球二的半徑為八予

所以球二的體積為.“(加，=罕

故選A.

【點睛】

本題考查與球有關的組合體的問題，解答本題的關鍵有兩個:

(1)構造以球半徑二、球心到小圓圓心的距離二和小圓半徑二為三邊的直角三角形，并在此三角形內求出球的半徑,

這是解決與球有關的問題時常用的方法.

(2)若直角三角形的兩直角邊為-斜邊為則該直角三角形內切圓的半徑合理利用中間結論可提

高解題的效率.

9、C

【解析】

設球的半徑為R,根據組合體的關系，圓柱的表面積為S=2兀臚+2^-7?x27?=54〃，解得球的半徑R=3,再

代入球的體積公式求解.

【詳解】

設球的半徑為尺，

根據題意圓柱的表面積為S=2兀臥+2?7?x27?=54萬，

解得R=3,

44

所以該球的體積為廠=—nN=—x萬x33=36乃.

33

故選：C

【點睛】

本題主要考查組合體的表面積和體積，還考查了對數學史了解，屬于基礎題.

10、D

【解析】

X可以是{5},{1,5},{3,5},{1,3,5}共4個,選D.

11、A

【解析】

利用平面向量的概念、平面向量的加法、減法、數乘運算的幾何意義，便可解決問題.

【詳解】

解：AT—^^~ES=SD—SR=RD=^^QR.

22

故選：A

【點睛】

本題以正五角星為載體，考查平面向量的概念及運算法則等基礎知識，考查運算求解能力，考查化歸與轉化思想，屬

于基礎題.

12、B

【解析】

通過K?a7.218與表中的數據6.635的比較，可以得出正確的選項.

【詳解】

解:K?。7.218>6.635,可得有99%以上的把握認為“學生性別與中學生追星有關”，故選B.

【點睛】

本題考查了獨立性檢驗的應用問題，屬于基礎題.

二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。

13、2022

【解析】

根據條件先求出數列｛42｝的通項，利用累加法進行求解即可.

【詳解】

'anA=]一^7，5?2),

下面求數列｛4.2｝的通項，

由題意知,="n+%-1.2，(“23),

4.2一4-1.2=4-1/=]_^T，(“23),

a_)+(??_1-4-2.2)+…+(%.2-。2.2)+。2.2=+"一耳,

an2=(tz?2-n122

數列｛4.2｝是遞增數列，且々021.2<2019<020222，

,用的最小值為2022.

故答案為：2022.

【點睛】

本題主要考查歸納推理的應用，結合數列的性質求出數列｛%,2｝的通項是解決本題的關鍵.綜合性較強，屬于難題.

14,[-1,3]

【解析】

由題意求出以線段AB為直徑的圓E的方程,且點D恒在圓E夕卜，即圓E上存在點P,Q，使得DP，。。，則當DP,DQ

JF

與圓E相切時，此時NP'DQ'N',由此列出不等式，即可求解。

【詳解】

x=y+1。

由題意可得，直線A3的方程為％=y+L聯立方程組2二，可得y2—4y-4=0,

y=4x''

設4（%,%）,5（%2，%），則%+%=4,%%=-4,

設￡（4,%）,貝！I%='2y2=2,xE=yE+1=3,

又|AB|=Xy+%2+2=%+1+%+1+2=8,

所以圓E是以（3,2）為圓心，4為半徑的圓，所以點。恒在圓E外.

圓E上存在點尸,。，使得以PQ為直徑的圓過點。（—2/）,即圓E上存在點尸,。，使得。PLOQ,設過。點的兩

直線分別切圓E于尸,Q'點，

冗514>V2

要滿足題意，則“叫出所以西=而再而彳=

整理得/_4/-3<0,解得2-夕</<2+近，

故實數t的取值范圍為［2-77,2+77］

【點睛】

本題主要考查了直線與拋物線位置關系的應用，以及直線與圓的位置關系的應用，其中解答中準確求得圓E的方程，

把圓E上存在點P,Q,使得以尸。為直徑的圓過點。（-2,。，轉化為圓E上存在點RQ,使得。尸，DQ是解答的

關鍵，著重考查了分析問題和解答問題的能力，屬于中檔試題。

1

15>一?

2

【解析】

求出切線/的斜率，即可求出結論.

【詳解】

由圖可知直線/過點（3,3）［o,g）,

3--

可求出直線/的斜率小21，

3-02

由導數的幾何意義可知，r（3）=1.

故答案為:1.

2

【點睛】

本題考查導數與曲線的切線的幾何意義，屬于基礎題.

16、72-1

【解析】

運用等比數列的通項公式，即可解得4.

【詳解】

a6+a5=41%(1+4)=4

解:

%+6一。2一6=]6(l+q)—tZ](l+q)=]

44

。3*~^~-%*工=1,%=4(4_q),<74-4<72+4=0,

(q2-2)2=0,q'=2,:.q=\[2,=4,

ad+qg"=4,(0+l)q=1,

1

a=A/2-1.

{0+1

故答案為：V2-1.

【點睛】

本題考查等比數列的通項公式及應用，考查計算能力，屬于基礎題.

三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。

17、(1)11.57(2)預算經費不夠測試完這100顆芯片，理由見解析

【解析】

(1)先求出。=025,Z7=0J07,再利用頻率分布直方圖的平均數公式求這100顆芯片評測分數的平均數；(2)先求

出每顆芯片的測試費用的數學期望，再比較得解.

【詳解】

(1)依題意，(005+a+〃+035+028)xl=1,故a+Z?=032.

又因為a—b=(M8.所以a=025,匕=007,

所求平均數為95x0.05+105x025+115x035+125x028+135x007

=0.475+2625+4.025+35+0.945=1157(萬分)

(2)由題意可知，手機公司抽取一顆芯片置于一個工程機中進行檢測評分達到11萬分的概率。=0.0.28+0.07=0.7.

設每顆芯片的測試費用為X元，則X的可能取值為600,900,1200,1500,

P(X=600)=032=009,P(X=900)=0.73+0.7x032+03x0.7x03=0.469,

P(X=1200)=Cx03x072x03=01323,P(X=1500)=C；x03x0.72x0.7=03087,

故每顆芯片的測試費用的數學期望為

E(X)=600x0.09+900x0.469+1200x01323+1500x03087=1097.91(元)，

因為100X1097.91>100000,

所以顯然預算經費不夠測試完這100顆芯片.

【點睛】

本題主要考查頻率分布直方圖的平均數的計算，考查離散型隨機變量的數學期望的計算，意在考查學生對這些知識的

理解掌握水平.

17

18、(1)見解析，沒有(2)見解析，—

6

【解析】

(D根據題目所給數據填寫2x2列聯表，計算出K?的值，由此判斷出沒有95%的把握認為喜歡閱讀中國古典文學與

性別有關系.

(2)先判斷出J的所有可能取值，然后根據古典概型概率計算公式，計算出分布列并求得數學期望.

【詳解】

(1)

男生女生總計

喜歡閱讀中國古典文學423072

不喜歡閱讀中國古典文學301848

總計7248120

片=120(42x18-3。義3。)2=O,208<3.841

72x48x72x48

所以，沒有95%的把握認為喜歡閱讀中國古典文學與性別有關系.

(2)設參加座談會的男生中喜歡中國古典文學的人數為m,女生中喜歡古典文學的人數為"，則。m+”.且4=2,3,4

C4。2cle11

P(^=2)=P(m=l,n=l)=21=-

C2cleUClC2C21

P《=3)=P(加=2/=l)+P(加=l/=2)=2；；=

UC4c3，

產(。=4)=尸(加=2,"=2)=:震

C4c36

所以J的分布列為

J234

1j_

p

326

貝!IE?=2X：+3X1+4X!=^.

32oo

【點睛】

本小題主要考查2x2列聯表獨立性檢驗，考查隨機變量分布列和數學期望的求法，考查數據處理能力，屬于中檔題.

19、(1)p=2；(2)0<\AB\<2

【解析】

(1)根據橫坐標為3的點與拋物線焦點的距離為4,由拋物線的定義得到3+'=4求解.

2

I%一左(毛+1)|

(2)設過點P(/，%)的直線方程為V-%=左(X-%),根據直線與圓(x+l)2+y2=1相切，則有=1,

產+1

整理得：(/2+2%)42_2%(%+1)左+(%2_1)=0,根據題意4(0,為_勺/)，5(0,為_左2%)，建立

I%&|%/J(匕+&『一4匕』，將韋達定理代入求解.

【詳解】

(1)因為橫坐標為3的點與拋物線焦點的距離為4,

由拋物線的定義得：3+3=4,

2

解得：。=2.

(2)設過點q(％,%)的直線方程為y一為=左(》一玉))，

因為直線與圓(%+1)2+丁=1相切，

所以少1)1=1,

整理得：(/2+2%)左2—2%(%+1)左+(為2—1)=0,

2

_2y0(x0+l)_y0-l

?十長2一2,n為長2-2,n'

x0+2X0X0+2X0

由題意得：A(0,y0-Zqx0),B(O,yo-k2x0)

所以|A同二|左「左21%=/J(K+A)2—4,#2，=2J。(.；2j(Xo+2『+(/+2)+l'

因為。<%?2,

111

所以-------<—

x0+22

所以0<|AB|W2.

【點睛】

本題主要考查拋物線的定義及點與拋物線，直線與圓的位置關系，還考查了運算求解的能力，屬于中檔題.

W

20、(1)單調遞增區間為(2,4)；單調遞減區間為［g,2］；(2)m=6,2x+y-l=0i(3)證明見解析.

【解析】

(1)由/'(%)的正負可確定/(%)的單調區間;

(2)利用基本不等式可求得x=l時，/'(%)取得最小值4-m，由導數的幾何意義可知4-m=-2,從而求得加，

求得切點坐標(1,/。))后，可得到切線方程;

(3)由極值點的定義可知外,馬是2公一g+2=0的兩個不等正根，由判別式大于零得到機的取值范圍，同時得到

2

韋達定理的形式；化簡/(玉)+/(%)為-?+6,結合加的范圍可證得結論.

【詳解】

(1)由題意得：/(九)的定義域為(0,+e),

當加=5時，/(x)=x2-5x+21nx+4,

二當了€(0，1］和(2,+8)時，/(%)>0；當時，/,(%)<0,

.?./(X)的單調遞增區間為〔0,(2,+8)；單調遞減區間為］;,21

7IT2

(2),x>0,所以.?./'(x)=2x+?—加22加=4—根(當且僅當2%=—,即％=1時取等號),

Xy%

切線/的斜率存在最小值-2,「Z—"二—2,解得：m=6,

.-./(1)=1-6+4=-1,即切點為(1,—1),

從而切線方程/：y+l=-2(為一1),即：2x+y-l=0.

/一、、c22x2-mx+2

(3)/'(x)=2x+——m=--------------,

XX

/(X)分別在玉，%(%W%)處取得極值，

%,(%wy)是方程2廠—+2=0,即2f一蛆+2=0的兩個不等正根.

m

則八=加一16>0,解得：加之>16,且%+%2=5>。，%X2=1.

x2

-*-/(i)+〃％2)=片+/—袱西+x2)+8+21n(xl%2)+x2)-2x1x2-m(x1+x2)+8+21n(x1x2)

(mV入.m門…<m2

=--2xl-mx——b8+21nl=------1-6,

^2)24

加2

機2>16，------F6<2,

4

即不等式%)+/(%)<2成立.

【點睛】

本題考查導數在研究函數中的應用，涉及到利用導數求解函數的單調區間、導數幾何意義的應用、利用導數證明不等

式等知識；本題中證明不等式的關鍵是能夠通過極值點的定義將問題轉變為一元二次方程根的分布問題.

21、(1)列聯表見解析，有；(2)分布列見解析，|,連.

【解析】

(1)由頻率分布直方圖可得分數在［60,80)、［80,100］之間的學生人數，可得列聯表.根據列聯表計算K?的值，結合

參考臨界值表可得到結論；

(2)從該校高一學生中隨機抽取1人，求出該人為“文科方向”的概率P.由題意J?6(3,p),求出分布列，根據公式

求出期望和方差.

【詳解】

(1)由頻率分布直方圖可得分數在［60,80)之間的學生人數為0.0125x20x200=50,在［80,100］之間的學生人數為

0.0075x20x200=30,所以低于60分的學生人數為120.因此列聯表為

理科方向文科方向總計

男8030110

女405090

總計12