立體幾何

鬟題型簡介

立體幾何一般作為全國卷第20題21題.重點題型主要是

1體積問題及表面積問題

2線面距離及線面角問題

3二面角問題

4空間幾何綜合問題

學(xué),典例在線

題型一：體積及表面積問題

1.在如圖所示的多面體中，AE_L平面ABC,AE//CD,AE=2CD=2,CA=CB=3,AB=20

B

⑴證明：平面ABE2平面

(2)求多面體ABCDE的體積.

1.如圖①，在平面四邊形A8CD中，AB=AD^2,BC=CD=6,ABAD=60.將△BCD沿著BD折

疊，使得點C到達(dá)點C的位置，且二面角A-8L?-C為直二面角，如圖②.已知產(chǎn),G,F分別是AC,ARAB

的中點，E是棱AB上的點，且C￡與平面板)所成角的正切值為撞.

3

⑴證明：平面PGV〃平面C'DB；

(2)求四棱錐P-GEE。的體積.

題型二：線面距離及線面角問題

1如圖，在多面體ABCDE中，已知ABC,AGO,3CE均為等邊三角形，平面ACDL平面ABC,平面5CEL

平面ABC,X為A8的中點.

⑴判斷?！昱c平面ABC的位置關(guān)系，并加以證明;

⑵求直線?！ㄅc平面ACE所成角的正弦值.

1如圖，尸￡＞垂直于梯形ABCD所在平面，ZADC=ZBAD^90,尸為上4的中點，PD=&，

AB=AD=^CD=1,四邊形PDCE為矩形.

⑴求證：AC〃平面DEF；

⑵求平面ABCD與平面BCP的夾角的大小;

⑶求點F到平面BCP的距離.

題型三：二面角問題

1如圖，四棱錐尸-ABC。中，已知AD〃臺C,BC=2AD,AD=DC,0BC￡)=6O°,CD3\PD,PB5\BD.

⑴證明：PBSAB；

(2)設(shè)E是尸C的中點，直線AE與平面ABC。所成角等于45。，求二面角B-PC-。的余弦值.

1如圖，在四棱錐S-ABCD中，底面A8CO為梯形，AB//CD,AB=2CD,AD=SD,ASAB為正三角

形，SCLBC,CB=CS.

A

⑴求證：平面SA5_L平面SBC；

⑵求二面角C-的余弦值.

題型四：空間幾何綜合問題

L如圖所示,正方形A8CD所在平面與梯形ABMN所在平面垂直，AN//BM,AN=AB=BC=2,BM=4,

CN=2+.

⑴證明：平面A3CD；

(2)在線段CM(不含端點)上是否存在一點E,使得二面角E-BN-M的余弦值為也.若存在,求出的段值;

3EM

若不存在，請說明理由.

1如圖，在四棱錐E-4BC。中，平面平面ABC。，0、M分別為線段A。、DE的中點，四邊形BC。。是

邊長為1的正方形，AE=DE,AEB1DE.

E

M

/O\\

zqJ-7----

BC

⑴求證：CM〃平面ABE；

⑵求直線CM與8。所成角的余弦值；

⑶點N在直線A。上，若平面BM廂平面ABE,求線段AN的長.

鏟刷模擬

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1.（2023?山東?濰坊一中校聯(lián)考模擬預(yù)測）如圖，在四棱錐尸-ABCD中，_皿>為等邊三角形，M為PA的

中點，PD±AB,平面E4￡>_L平面A5co.

⑴證明：平面MCDJL平面R4B；

（2偌AD//BC,AD=2BC,CD=2AB,求平面MCD與平面P5C夾角的余弦值.

2.（2023?山東?日照一中校考模擬預(yù)測）如圖，直三棱柱A2C-44。的體積為4,A^C的面積為2近.

⑴求A到平面ABC的距離；

(2)設(shè)。為AC的中點，AAi=AB,平面ABC，平面4網(wǎng)4,求二面角A—m―C的正弦值.

3.(2023?吉林?長春十一高校聯(lián)考模擬預(yù)測)如圖，在三棱柱ABC-A4C中，4Al，平面ABC,。為線段

AB的中點，CB=4,AB=4y/3,AG=8,三棱錐A-&DC的體積為8.

(1)證明：4。，平面與CQ;

(2)求平面AC。與平面ABC夾角的余弦值.

4.(2022?江蘇南京?南京師大附中?？寄M預(yù)測)如圖，在四棱錐尸-A8CD中，底面A3CD是邊長為2的

菱形，NADC=60。，.E4D為等邊三角形，。為線段AD的中點，且平面R4D，平面ABCD,M是線段PC

上的點.

p

⑴求證：OMVBC-,

⑵若直線與平面R4B的夾角的正弦值為巫，求四棱錐M-ABCD的體積.

10

5.(2023?河北衡水?衡水市第二中學(xué)?？寄M預(yù)測)如圖，直四棱柱ABCD-4qGR中，相="，E是&A

的中點，底面ABC。是平行四邊形，若ACJ■平面BOQ.

(1)若A2=A4,,證明：底面A3CD是正方形

⑵若/區(qū)4。=60。，求二面角四-BE-。的余弦值

6.(2022?河北衡水?河北衡水中學(xué)?？寄M預(yù)測)直四棱柱ABC。-AqG2被平面1所截，所得的一部分

如圖所示，EF=DC.

(1)證明：即//平面AC尸；

(2)若r>C=2AD=4AE=2,ZADC=^,平面￡FCD與平面A8CD所成角的正切值為,求點E到

平面ACF的距離.

售，刷真題

1.(2021?全國?統(tǒng)考高考真題)如圖，四棱錐尸-ABCD的底面是矩形，底面ABCD,PD=DC=LM

為BC的中點，且尸3,40.

(1)求BC；

(2)求二面角A-PM-B的正弦值.

2.(2021,全國,統(tǒng)考圖考真題)已知直二棱柱ABC-A]B|G中，側(cè)面A41gl8為正方形，AB—BC=2,E,F

分別為AC和CG的中點，。為棱44上的點.BF1A.B,

(1)證明：BF±DE；

（2）當(dāng)片。為何值時，面與面DEE所成的二面角的正弦值最小?

3.（2021?全國?統(tǒng)考高考真題）如圖，在三棱錐A-3CD中，平面平面BCD,AB=AD,。為8。的

中點,

（1）證明：OALCD-,

（2）若_OCD是邊長為1的等邊三角形，點E在棱4。上，DE=2E4,且二面角E-BC-D的大小為45。,

求三棱錐A-3co的體積.

4.（2022?全國?統(tǒng)考高考真題）如圖，四面體A8CD中，AD±CD,AD=CD,ZADB=ZBDC,￡為AC的中

點.

⑴證明：平面平面ACD；

（2）設(shè)AB=3￡>=2,NACB=60。，點尸在BD上，當(dāng)△的（；的面積最小時，求與平面所成的角的正弦

值.

5.（2022?全國?統(tǒng)考高考真題）小明同學(xué)參加綜合實踐活動，設(shè)計了一個封閉的包裝盒，包裝盒如圖所示:

底面ABC。是邊長為8（單位：cm）的正方形，E4及一FBC“GC￡>,_HD4均為正三角形，且它們所在的平

面都與平面A8CD垂直.

（1）證明：￡F//平面ABCD；

⑵求該包裝盒的容積（不計包裝盒材料的厚度）.

6.（2022?全國?統(tǒng)考高考真題）如圖，直三棱柱ABC-AUG的體積為4,A^C的面積為2忘.

B

⑴求A到平面A8C的距離；

（2）設(shè)。為4C的中點，AAi=AB,平面ABC，平面AB瓦A，求二面角A—BD—C的正弦值.

7.（2022?全國?統(tǒng)考高考真題）如圖，PO是三棱錐尸-ABC的高，PA=PB,ABJ.AC,E是PB的中點.

p

(1)證明：OE//平面PAC；

(2)^ZABO=ZCBO=30°,PO=3,PA=5,求二面角C—AE—3的正弦值.

8.(2022?北京?統(tǒng)考高考真題)如圖，在三棱柱ABC-A4G中，側(cè)面BCC4為正方形，平面8。6耳，平面

ABB.A，AB=BC=2,M,N分別為4旦，AC的中點.

C

⑴求證：MN〃平面BCC4；

(2)再從條件①、條件②這兩個條件中選擇一個作為已知，求直線A8與平面8MN所成角的正弦值.

條件①：AB1MN