2022北京朝陽高二（下）期末數學一、選擇題（本大題共小題，每小題5分，共50分。在每小題列出的四個選項中，選出符合題目要求的一項）1．已知集合A=?1，0，，B={x|x(x?，則A)A．B．C．D．，2．已知ab0，則下列不等式中成立的是()11A．2a2bB．abb2C．a2b2D．ab3．下列函數中既是奇函數又在(0,+)上單調遞增的是()1A．y=2xB．y=x+C．y=x|x|D．y=ln|x|x4．已知一組樣本數據(x，y)，(x，y)，，(x，y)，根據這組數據的散點圖分析x與y之間的線性相關關1122nn系，若求得其線性回歸方程為?=0.85x?85.7，則在樣本點57)處的殘差為()A．?2.45B．2.45C．3.45D54.555．在抗擊新冠疫情期間，有6名男生和5名女生共名大學生報名參加某社區疫情防控志愿服務，現從6名男生中選出2名組成一個小組，從5名女生中選出2名組成一個小組，在周日的上午和下午各安排一個小組值班，則不同的排班種數為(A75)B．C．D6006．“?2m2”是“x2?+10在x+)上恒成立的()A．充分而不必要條件C．充分必要條件B．必要而不充分條件D．既不充分也不必要條件7．已知函數f(x)的導函數f(x)的圖象如圖所示，則下列結論中正確的是()A．曲線y=f(x)在點(2，f(處的切線斜率小于零B．函數f(x)在區間(上單調遞增C．函數f(x)在x=1處取得極大值D．函數f(x)在區間(內至多有兩個零點8．為了了解居家學習期間性別因素是否對學生體育鍛煉的經常性有影響，某校隨機抽取了名學生進行調查，按照性別和體育鍛煉情況整理出如下的22列聯表：性別鍛煉情況合計不經常女生/人14男生/人合計/人22經常7211940818n(ad?bc)2注：2獨立性檢驗中，2=，n=a+b+c+d．常用的小概率值和相應的臨界值如表：(a+b)(c+d)(a+cb+d)0.10.053.8410.010.0057.8790.0012.7066.63510.828根據這些數據，給出下列四個結論：①依據頻率穩定于概率的原理，可以認為性別對體育鍛煉的經常性有影響；②依據頻率穩定于概率的原理，可以認為性別對體育鍛煉的經常性沒有影響；③根據小概率值=0.05的獨立性檢驗，可以認為性別對體育鍛煉的經常性有影響，這個推斷犯錯誤的概率不超過0.05；④根據小概率值=0.05的獨立性檢驗，沒有充分證據推斷性別對體育鍛煉的經常性有影響，因此可以認為性別對體育鍛煉的經常性沒有影響．其中，正確結論的序號是()A．①③B．①④C．②③D．②④9．若對任意x[0，]都有m成立，其中m，M為實數，則M?m的最小值為()3A．B．1+C．+D．3+32633?ax,xx10．已知函數f(x)=若存在唯一的整數x，使得0成立，則所有滿足條件的整數a的2|x+1|x3f(x)?2取值集合為()A．2，?1，0，，B．2，?1，0，C．1，01，D．1，，二、填空題（本大題共6小題，每小題5分，共30分）．計算：23+15?5=．933112．在(x2+)5的展開式中，x的系數為；各項系數之和為x13．在一組數據03，，7，中加入一個整數a得到一組新數據，這組新數據與原數據相比平均數不增大且方差減小，則a的一個取值為．14．已知某地只有A，B兩個品牌的計算機在進行降價促銷活動，售后保修期為1年，它們在市場的占有率之比為3:2．根據以往數據統計，這兩個品牌的計算機在使用一年內，A品牌有5%需要維修，B品牌有6%需要維修．若某人從該地隨機購買了一臺降價促銷的計算機，則它在一年內不需要維修的概率為．15．設函數y=f(x)的定義域為R，且滿足f+x)=f?x)，f(4+x)+f(4?x)=0，當x(0，2]時，f(x)=x2?2x．則f（3）=；當x7)時，f(x)的取值范圍為．16．激活函數是神經網絡模型的重要組成部分，是一種添加到人工神經網絡中的函數．tanh函數是常用的激活函數2之一，其解析式為f(x)=?1．關于tanh函數的以下結論：1+e?2x①tanh函數是增函數；②tanh函數是奇函數；③對于任意實數a，函數y|f(x)|?ax?1至少有一個零點；④曲線y=f(x)不存在與直線x+2y=0垂直的切線．其中所有正確結論的序號是．三、解答題（本大題共5小題，共分。解答應寫出文字說明，演算步驟或證明過程）17分）某數學教師組織學生進行線上說題交流活動，規定從8道備選題中隨機抽取題目作答．假設在8道備2選題中，學生甲能答對每道題的概率都是，且每道題答對與否互不影響，學生乙、丙都只能答對其中的6道題．3（Ⅰ）若甲、乙兩人分別從8道備選題中隨機抽取1道作答，求至少有1人能答對的概率；（Ⅱ）若學生丙從8道備選題中隨機抽取2道作答，以X表示其中丙能答對的題數，求X的分布列及數學期望E(X)．118分）已知函數f(x)=ln?x)?．x（Ⅰ）求曲線y=f(x)在點(1，f(?處的切線方程；（Ⅱ）求函數y=f(x)的單調區間．19分）第屆冬季奧林匹克運動會于年2月日在北京圓滿閉幕，這是一次創造諸多第一”會．某學校為了了解學生收看北京冬奧會的情況，隨機調查了名學生，獲得他們日均收看北京冬奧會的時長數據，將數據分成6組：[0，，(0.5，，，，，2]，(2，，(2.5，3]，并整理得到如下頻率分布直方圖：假設同組中的每個數據用該組區間的右端點值代替．（Ⅰ）試估計該校學生日均收看北京冬奧會的時長的平均值；（Ⅱ）以頻率估計概率，從全校學生中隨機抽取3人，以X表示其中日均收看北京冬奧會的時長在，的學生人數，求X的分布列和數學期望E(X)；（Ⅲ）經過進一步調查發現，這名學生收看北京冬奧會的方式有：①收看新聞或收看比賽集錦，②收看比賽轉播或到現場觀看．他們通過這兩種方式收看的日均時長與其日均收看北京冬奧會的時長的比值如表：日均收看北京冬奧會的時長/小時通過方式①收看通過方式②收看[0，10(0.5，2313，3]1323日均收看北京冬奧會的時長在[0，，(0.5，，，3]的學生通過方式①收看的平均時長分別記為1，，，寫出，，2312320分）已知函數f(x)=?ax(aR)．x（Ⅰ）若y=f(x)在R上是增函數，求實數a的取值范圍；（Ⅱa=1時，判斷0是否為函數f(x)的極值點，并說明理由；（Ⅲ）若存在三個實數xxx，滿足f(x)=f(x)=f(x)，求實數a的取值范圍．12312321．（14分）已知集合＝{kN*}A＝aa，?a}，其中N*n．若A?，12n且對集合A中的任意兩個元素a，a，≠，都有，則稱集合A具有性質P．ij（Ⅰ）判斷集合{，，，，}是否具有性質P；并另外寫出一個具有性質P且含5個元素的集合；（Ⅱ）若集合A＝{a，a?，a}具有性質．12n（）求證：（a﹣a）的最大值不小于；ij（）求n的最大值．參考答案一、選擇題（本大題共小題，每小題5分，共50分。在每小題列出的四個選項中，選出符合題目要求的一項）1B，再結合交集的定義，即可求解．【解答】解：A=?1，0，，B={x|x(x?，則A，．故選：D．【點評】本題主要考查交集的定義，屬于基礎題．2【解答】解：對于A，y=2對于B，ab兩邊同乘一個負數b，故bx在R上單調遞增，所以2a2，故A正確．b2，故B錯誤．對于C，對于D，故選：A．0，|a|b|，所以a2b2，故C錯誤．110，，故D錯誤．ab【點評】本題主要考查不等式性質以及函數單調性，屬于基礎題．3【解答】解：對于A，y=2x為非奇非偶函數，不符合題意；1對于B，y=x+為奇函數，但在上為減函數，不符合題意；xx,x2對于C，y=x|x=，為奇函數，且在(0,+)上單調遞增，符合題意；?x,x02對于D，y=ln|x|為偶函數，不符合題意．故選：C．【點評】本題主要考查函數奇偶性與單調性的判斷，熟練掌握常見函數的性質是解題的關鍵，屬于基礎題．4x=165求得預測值，減去實際值即可得到殘差．【解答】解：把x=165代入?=0.85x?85.7，得?=0.85165?85.7=54.55，則在樣本點57)處的殘差為54.55?57=?2.45．故選：A．【點評】本題考查線性回歸方程的應用，考查殘差的求法，是基礎題．56名男生中選出2名組成一個小組，從5名女生中選出2名組成一個小組的種數，再將其分配到上午和下午，相乘即可．【解答】解：先分組，共有6252種分組方法，再分配到上午和下午，共22有種分配方法，故共有6故選：C．252A22=300種，【點評】本題考查排列、組合及簡單計數問題，屬于基礎題．6m的取值范圍，再結合充分條件、必要條件的定義，即可求解．【解答】解：+10在x+)上恒成立，1mx+在x+)上恒成立，x1當x+)時，x+2，即m2，x“?2m2”是“x故選：A．2?+10在x+)上恒成立”的充分不必要條件．【點評】本題主要考查充分條件、必要條件的定義，以及分離變量法，屬于基礎題．7【解答】解：逐一考查所給的說法：A．曲線y=f(x)在點(2，f(處的切線斜率等于零，選項A錯誤；B．函數f(x)在區間(上單調遞減，選項B錯誤；C．函數f(x)在x=1左右兩側都單調遞減，函數在此處不取得極大值，選項C錯誤；D．函數f(x)在區間(先單調遞增，再單調遞減，故在區間內內至多有兩個零點，選項D正確．故選：D．【點評】本題主要考查導函數與原函數之間的關系，利用導數圖像確定原函數性質的方法等知識，屬于基礎題．83.841比較即可根據小概率值=0.05的獨立性檢驗判斷．713【解答】解：由表可知，女生有人，其中經常鍛煉的有7人，頻率為=，2111男生有人，其中經常鍛煉的有人，頻率為，19111913因為，依據頻率穩定于概率的原理，可以認為性別對體育鍛煉的經常性有影響，故①正確，②錯誤；4011?72119221822=2.4313.841，所以根據小概率值=0.05的獨立性檢驗，沒有充分證據推斷性別對體育鍛煉的經常性有影響，因此可以認為性別對體育鍛煉的經常性沒有影響，故④正確，③錯誤．故選：B．【點評】本題考查了獨立性檢驗的應用，屬于中檔題．9f(x)=sin2x?x，利用導數求出f(x)在[0，]的最值即可求解．【解答】解：令f(x)sin2xx，，，x[0]=?則f(x)=2cos2x?1，由f(x)0可得0，或x，6由f(x)0可得x，66所以f(x)在)，(，)單調遞增，在(，)單調遞減，666633所以f(x)在x=取得極大值為f()=?，在x=取得極小值為f()=??，66266626又f(0)=0，f)=，33所以f(x)max=?，f(x)min=??，2626因為對任意x[0，]都有m成立，33所以，m，M，6233所以，M?m故選：D．)?(??)=3+，即M?m的最小值為3+．2633【點評】本題考查了導數的應用，考查了三角函數的最值的應用，考查了函數思想，屬于中檔題．10g(x)=3f(x)的圖象，由不等式的幾何意義：曲線上一點與(a,2)連線的直線斜率小于0，結合圖象即可求得a范圍．33x,x【解答】解：令g(x)=3f(x)=作出g(x)的圖象如圖所示：6|x+1|xx?a3f(x)?2g(x)?2x?a0等價于0，表示點(x，g(x與點(a,2)所在直線的斜率，可得曲線g(x)上只有一個整數點(x，g(x與(a,2)所在的直線斜率小于0，而點(a,2)在直線y=2上運動，由g(?2)=0，g(?=6，g(0)=0可知當2?時，(x)?2x?ag(x)?2x?a只有點(0,0)滿足0，當0a1時，只有點(6)滿g(x)?20，當a1時，至少有(6)，滿足當a?2時，至少有(0,0)，(滿足0，不滿足唯一整數點，故舍去，x?ag(x)?2x?a0，不滿足唯一整數點，故舍去，因為a為整數，故a可取2，?1，，，?01故選：B．【點評】本題考查分段函數的應用，考查學生的運算能力，屬于中檔題．二、填空題（本大題共6小題，每小題5分，共30分）15【解答】解：原式=23+15?5=3+log3=9+3=1+1=2，93293395故答案為：2．【點評】本題主要考查了對數的運算性質，是基礎題．12r=3，可得x的系數；各項系數之和與二項式系數和相等，即為2n．1【解答】解：展開式的通項公式為r15=r(x2)5?r()r=5rx10?3r，r=0，1...，5，x令r=3，可得x的系數為53=20；各項系數之和與二項式系數和相等，即為25=．【點評】本題考查二項式展開式的項，考查各項系數和，考查學生計算能力，屬于基礎題．130+3+5+7+10【解答】解：由題意得，原數據的平均數=5，51原數據的方差為[(0?2+?2+?2+(7?2+?]=11.6，250+3+5+7+10+a25+a新數據的平均數x==，解得a，aZ，661新數據的方差為[(0?x)2+?x)2+(a?x)2+?x)2+(7?x)2+?x)]261585=[6x2?+2a)x+183+a]26+a將x=代入得，a2?10a11.80，+6287287解得：a?，5+)，5528759，15?1.4，所以a，3，，，故答案為：2（答案不唯一，，，4，【點評】本題考查了求平均數與方差的問題，記住平均數與方差的公式是解題的關鍵．14【解答】解：某人從該地隨機購買了一臺降價促銷的計算機，設買到的計算機是A品牌為事件A，買到的計算機是B品牌為事件B，325則由題可知PA）=，P（B）=，5從品牌中購買一個，設買到的計算機一年內不需要維修為事件C，從B品牌中購買一個，設買到的計算機一年內不需要維修為事件D，則由題可知PC）=95%，P（D）=94%，A、B、C、D互相獨立，故購買一臺降價促銷的計算機，則它在一年內不需要維修的概率為P(AC)+P(BD)=PA）P（）P（）P+B32（D）=95%+94%=0.946．55故答案為：0.946．【點評】本題考查獨立事件和互斥事件的概率，屬于基礎題．15f（）=f（3對于第二空：分析可得f(x)=?f(x?4)，當x7)時，x?4，由此分析可得答案．【解答】解：根據題意，函數y=f(x)的定義域為R，且滿足f+x)=f?x)，令x=0可得：f（1）=f（3，當x(0，2]時，f(x)=x2?2x，則（）f1=1?2=1，故f（）=1；3f(x)滿足f+x)=f?x)，則有f(x)=f(4?x)，函數f(x)的圖象關于直線x=2對稱，又由(4+x)+f(4?x)=0，則f(x+4)=?f(x)，當x7)時，x?4，此時有f(x)=?f(x?4)，當x(0，2]時，f(x)=x2?2x且f(x)的圖象關于直線x=2對稱，則區間上，有1f(x?4)，又由f(x)=?f(x?4)，則0，當x7)時，f(x)的取值范圍為[0，；故答案為：1，?[0，．【點評】本題考查抽象函數的性質，涉及函數值的計算，屬于基礎題．16通過研究導函數的值域判斷曲線不存在與直線x+2y=0垂直的切線．222【解答】解：f(x)=?1的定義域為R，f(?x)+f(x)=?1+?1=0，故②正確，1+e?2x1+e?2x1+e2x2又ye?2x=在上單調遞減，所以f(x)=?1在R上單調遞增．故①正確，R1+e?2x2當x0時，f(x)=?11恒成立，所以函數y|f(x)|在(?,0)上單調遞減，1+e?2x在(0,+)單調遞增，且y|f(x)1，故當a=0時，g(x)=ax+1=1，此時函數y|f(x)|?ax?1無零點，故③錯誤，44又f(x)==1，且0f(x)，e?2x+e2x+2e+22e2x所以f(x)不可能為2，故不存在與直線x+2y=0垂直的切線，故④正確．故答案為：①②④．【點評】本題主要考查復合函數函數奇偶性、單調性、導數以及函數零點相關知識，屬于較難題．三、解答題（本大題共5小題，共分。解答應寫出文字說明，演算步驟或證明過程）17Ⅰ）根據對立事件以及相互獨立事件的乘法公式即可求解；（Ⅱ）根據超幾何分布即可求概率，進而可得分布列以及期望．3321）由題意可知：乙能答對一道題的概率為，若兩人都不能答對的概率P=??)=，4431112則至少有1人能答對的概率為1?P=（Ⅱ）X的取值為0，，，；C221C168C121237621528P(X=0)==,P(X====,P(X=2)==，822822882X的分布列為：XP01213713152832E(X)=0+1+2=．287【點評】本題考查了對立事件以及相互獨立事件的乘法公式和離散型隨機變量的分布列與期望，屬于中檔題．18Ⅰ）求導，根據導函數在某點處的導數值是切線的斜率即可求解；（Ⅱ）根據導函數的正負即可確定y=f(x)的單調區間．2x?11(x+x?1）由f(x)=ln?x)?，得f(x)=+=2，xx2x(x??=?=+=+故f(0，f(ln21，所以切線方程為yln21．（Ⅱ）y=f(x)的定義域為(，由（）知當x?1，f(x)0，f(x)單調遞減，112當?1x，f(x)0，f(x)單調遞增，當x1，f(x)0，f(x)單調遞減，211故y=f(x)的單調遞增區間為(?)，單調遞減區間為(,(．22【點評】本題考查了利用導數研究函數的單調性與切線方程，屬基礎題．19Ⅰ）根據頻率分布直方圖直接計算即可；1（Ⅱ）可得X的可能取值且X~B)，求出X取不同值的概率即可得出分布列，求出數學期望；2（Ⅲ）分別計出，，即可比較．123）根據題意，估計該校學生日均收看北京冬奧會的時長的平均值為：(0.50.1+10.3+1.50.4+20.6+2.50.4+30.2)0.5=1.875小時；（Ⅱ）由條件可知，從全校學生中隨機抽取1人，其日均收看北京冬奧會的時長在，的概率估計為0.3+0.2=0.5，1X的可能取值為，，2，且X~B)，211138則P(X=0)=30()3=,P(X==C13()3=，28213118P(X=2)=32()3=,P(X==C33()3=，282X的分布列為：XP012313318888123所以X的數學期望E(X)=3（Ⅲ）1=0.51=0.5小時，=；2342367因為(0.5，，，的人數之比為3:4，所以2=+1.5)=小時，77因為，2]，(2，，(2.5，3]的人數之比為3:2:1，3211379所以3=(2+2.5+3)=小時，666所以．231【點評】本題考查了離散型隨機變量的分布列與期望，屬于中檔題．20(I)對函數求導，若y=f(x)在R上是增函數，即f(x)恒成立，得a，設g(x)=+x)e，x求導后利用單調性求得函數的最小值，即可求得結果；(II)對函數二次求導后求得導數的單調性即可判斷出結果；(III)若存在三個實數xxx，滿足f(x)=f(x)=f(x)，則函數f(x)3個單調區間，結合(I)中函數g(x)123123的單調性且x→時，g(x)→0，利用單調性解得結果．f(x)=+x)e?a，【解答】解：(I)若y=f(x)在R上是增函數，即f(x)恒成立，得ag(x)=(x+2)eg(x)0x?2g(x)0x?2，x?ax(aR)，則x，設g(x)x)e=+x，x，得，得1即g(x)在(?,?2)遞減，在(+)遞增，則g(x)?，