天津市南開區(qū)2015-2016學年九年級數(shù)學上學期期末考試試題

一、選擇題（共12小題，每小題3分，滿分36分）

1.下列事件中是必然事件的是（）

A.平安.夜下雪

B.地球在自轉(zhuǎn)的同時還不停的公轉(zhuǎn)

C.所有人15歲時身高必達到1.70米

-D.下雨時一定打雷

2.下列圖形既是軸對稱圖形又是中心對稱圖形的是（）

3.用配方法解方程xz+4x+l=0,配方后的方程是（）

A.（x+2）2=3B.（x-2）2=3C.（x-2）2=5D.（x+2）2=5

4.下列關(guān)系式中：?=2x；②^=5；③7=-工；@y=5x+l；⑤y=x2-l；?y=-^-；⑦x.y=ll,

z

XXx

y是x的反比例函數(shù)的共有（）

A.4個B.3個C.2個D.1個_

5.如圖，弦CD垂直于。。的直徑AB,垂足為H,且CD=2貝，BD=V3,則AB的長為（）

A.2B.3C.4D.5

6.對于函數(shù)y=&下列說法錯誤的是（）

x

A.這個函數(shù)的圖象位于第一、第三象限

B.這個函數(shù)的圖象既是軸對稱圖形又是中心對稱圖形

C.當x>0時，y隨x的增大而增大

D.當x<0時，y隨x的增大而減小

7.在二次函數(shù)y=-xz+2x+l的圖象中，若y隨x的增大而增大，則x的取值范圍是（）

A.x>lB.x<lC.x>-1D.x<-1

8.如圖，在半徑為2,圓心角為90°的扇形內(nèi)，以BC為直徑作半圓，交弦AB于點D,連

接CD,則陰影部分的面積為（）

A.n-1B.2TT-1C.—n-1D.—IT-2

22

9.已知兩點A(5,6)、B(7,2),先將線段AB向左平移一個單位，再以原點0為位似中

心，在第一象限內(nèi)將其縮小為原來的1得到線段CD,則點A的對應(yīng)點C的坐標為()

2

A.(2,3)B.(3,1)C.(2,1)D.(3,3)

10.如圖，D、E分別是AABC邊AB、BC上的點，DE〃AC,若/：S^l：3,則帶的值

為()

11.如圖，在平面直角坐標系xOy中，直線y=J^x經(jīng)過點A,作ABLx軸于點B,將AABO

繞點B逆時針旋轉(zhuǎn)60°得到ACBD.若點B的坐標為(2,0),則點C的坐標為()

A.(-1,百)B.(-2,M)C.(-/3)1)D.(-/3，2)

12.如圖，拋物線y=ax2+bx+c與x軸交于點A(-1,0),頂點坐標為(1,n),與y軸的交

點在(0,2)、(0,3)之間(包含端點)，則下列結(jié)論：

9

①當x>3時，y<0；②3a+b>0；③-lWaW-士；④3WnW4中,

A.①②B.③④C.①④D.①③

二、填空題(共6小題，每小題3分，滿分18分)

13.在比例尺為1：1000000的地圖上，量得甲、乙兩地的距離是15cm,則兩地的實際距

離km.

14.如果兩個相似三角形的相似比為2：3,那么這兩個相似三角形的面積比為.

15.某口袋中有紅色、黃色、藍色玻璃球共72個，小明通過多次摸球試驗后，發(fā)現(xiàn)摸到紅

球、黃球、藍球的頻率為35%、25%和40%,估計口袋中黃色玻璃球有____________個.

16.如圖，正六邊形ABCDEF內(nèi)接于圓0,半徑為4,則這個正六邊形的邊心距0M

為.

17.如圖，點A在雙曲線y=1上，點B在雙曲線y=2上，且AB〃x軸，C、D在x軸上，若

四邊形ABCD為矩形，則它的面積為

DC

18.在AABC中，BA=BC,ZBAC=a,M是AC的中點，P是線段BM上的動點，將線段PA繞

點P順時針旋轉(zhuǎn)2a得到線段PQ.

(1)若a=60°,且點P與點M重合(如圖1),線段CQ的延長線交射線BM于點D,此時

ZCDB的度數(shù)為

(2)在圖2中，點P不與點B、M重合，線段CQ的延長線交射線BM于點D,則/CDB的度

數(shù)為(用含a的代數(shù)式表示)____________.

(3)對于適當大小的a,當點P在線段BM上運動到某一位置(不與點B、M重合)時，能

使得線段CQ的延長線與射線BM交于點D,且PQ=DQ,則a的取值范圍是____________.

三、解答題(共7小題，滿分66分)

19.已知關(guān)于x的一元二次方程xz+2x+k-1=0有實數(shù)根，k為正整數(shù).

(1)求k的值；

(2)當此方程有兩個非零的整數(shù)根時，求關(guān)于x的二次函數(shù)y=x?+2x+k-1的圖象的對稱軸

和頂點坐標.

20.在x2D2xDl的空格中，任意填上“+求其中能構(gòu)成完全平方的概率（列出

表格或畫出樹形圖）

21.如圖，在平面直角坐標系中，一次函數(shù)丫=1?+13的圖象分別交x軸、y軸于A、B兩點，

與反比例函數(shù)y=E的圖象交于C、D兩點，DE_Lx軸于點E,已知C點的坐標是（-6,-1）,

X

DE=3.

（1）求反比例函數(shù)與一次函數(shù)的解析式.

（2）根據(jù)圖象直接回答：當x為何值時，一次函數(shù)的值小于反比例函數(shù)的值.

22.如圖，在。。中，直徑AB與弦CD相交于點P,ZCAB=40°,/APD=65

（1）求NB的大小；

（2）已知圓心0到BD的距離為3,求AD的長.

23.一玩具廠去年生產(chǎn)某種玩具,成本為10元/件，出廠價為12元/件，年銷售量為2萬件.今

年計劃通過適當增加成本來提高產(chǎn)品檔次，以拓展市場.若今年這種玩具每件的成本比去年

成本增加0.7x倍，今年這種玩具每件的出廠價比去年出廠價相應(yīng)提高0.5x倍，則預計今年

年銷售量將比去年年銷售量增加x倍（本題中0<xWl）.

（1）用含x的代數(shù)式表示，今年生產(chǎn)的這種玩具每件的成本為元，今年生產(chǎn)

的這種玩具每件的出廠價為元.

（2）求今年這種玩具的每件利潤y元與x之間的函數(shù)關(guān)系式.

（3）設(shè)今年這種玩具的年銷售利潤為w萬元，求當x為何值時，今年的年銷售利潤最大？

最大年銷售利潤是多少萬元？

注：年銷售利潤=（每件玩具的出廠價-每件玩具的成本）X年銷售量.

24.如圖1,ZXABC是等腰直角三角形，四邊形ADEF是正方形，D、F分別在AB、AC邊上，

此時BD=CF,BD_LCF成立.

（1）當正方形ADEF繞點A逆時針旋轉(zhuǎn)。（0°<G<90°）時，如圖2,BD=CF成立嗎？

若成立，請證明；若不成立，請說明理由.

（2）當正方形ADEF繞點A逆時針旋轉(zhuǎn)45°時，如圖3,延長BD交CF于點G.

①求證：BDXCF；

②當AB=5,AD=正時，求線段BG的長.

（1）求它的對稱軸與X軸交點D的坐標；

（2）將該拋物線沿它的對稱軸向上平移，設(shè)平移后的拋物線與x軸，y軸的交點分別為A、

B、C三點，若/ACB=90°,求此時拋物線的解析式；

（3）設(shè)（2）中平移后的拋物線的頂點為M,以AB為直徑，D為圓心作。D,試判斷直線CM

備用圖

2015-2016學年天津市南開區(qū)九年級（上）期末數(shù)學試卷

參考答案與試題解析

一、選擇題（共12小題，每小題3分，滿分36分）

1.下列事件中是必然事件的是（）

A.平安夜下雪

B.地球在自轉(zhuǎn)的同時還不停的公轉(zhuǎn)

C.所有人15歲時身高必達到1.70米

D.下雨時一定打雷

【分析】根據(jù)必然事件、不可能事件、隨機事件的概念可區(qū)別各類事件.

【解答】解：A、平安夜下雪是隨機事件，故A錯誤；

B、地球在自轉(zhuǎn)的同時還不停的公轉(zhuǎn)，是必然事件，故B正確；

C、所有人15歲時身高必達到1.70米是隨機事件，故C錯誤；

D、下雪時一定打雷是不可能事件，故D錯誤；

故選：B.

2.下列圖形既是軸對稱圖形又是中心對稱圖形的是（）

【分析】根據(jù)中心對稱圖形的定義旋轉(zhuǎn)180。后能夠與原圖形完全重合即是中心對稱圖形，

以及軸對稱圖形的定義即可作出判斷.

【解答】解：A、?.?此圖形旋轉(zhuǎn)180°后能與原圖形重合，此圖形是中心對稱圖形，也是

軸對稱圖形，故此選項正確；

B、?此圖形旋轉(zhuǎn)180°后不能與原圖形重合，.?.此圖形不是中心對稱圖形，是軸對稱圖形,

故此選項錯誤；

C、此圖形旋轉(zhuǎn)180°后不能與原圖形重合，此圖形不是中心對稱圖形，也不是軸對稱圖形,

故此選項錯誤；

D、?.?此圖形旋轉(zhuǎn)180°后不能與原圖形重合，，此圖形不是中心對稱圖形，是軸對稱圖形,

故此選項錯誤.

故選：A.

3.用配方法解方程xz+4x+l=0,配方后的方程是（）

A.（x+2）2=3B.（x-2）2=3C.（x-2）2=5D.（x+2）2=5

【分析】方程常數(shù)項移到右邊，兩邊加上4變形后，即可得到結(jié)果.

【解答】解：方程移項得：xz+4x=-l,

配方得：X2+4X+4=3,即（x+2）2=3.

故選A.

4.下列關(guān)系式中：①y=2x；②^=5；③y=-1；?y=5x+l；⑤y=%-l；⑥⑦xy=ll,

XXX

y是x的反比例函數(shù)的共有（）

A.4個B.3個C.2個D.1個

【分析】分別根據(jù)反比例函數(shù)、二次函數(shù)及一次函數(shù)的定義對各小題進行逐一分析即可.

【解答】解：①y=2x是正比例函數(shù)；

②^=5可化為y=5x,是正比例函數(shù)；

X

③y=-1符合反比例函數(shù)的定義，是反比例函數(shù);

④y=5x+l是一次函數(shù)；

⑤y=x2-1是二次函數(shù);

⑥y*不是函數(shù)；

⑦xy=ll可化為y=X,符合反比例函數(shù)的定義，是反比例函數(shù).

X

故選C.

5.如圖，弦CD垂直于。。的直徑AB,垂足為H,且CD=2J2BD=、/弓，則AB的長為（）

A.2B.3C.4D.5

【分析】根據(jù)垂徑定理和相交弦定理求解.

【解答】解：連接0D.

由垂徑定理得HD=網(wǎng),由勾股定理得HB=1,

設(shè)圓。的半徑為R,在Rt^ODH中，

則R?=（V2）2+（R-1）2,由此得2R=.3,

或由相交弦定理得（亞）2=1義（2R-1）,由此得2R=3,所以AB=3

故選B.

6.對于函數(shù)y=W,下列說法錯誤的是（）

A.這個函數(shù)的圖象位于第一、第三象限

B.這個函數(shù)的圖象既是軸對稱圖形又是中心對稱圖形

C.當x>0時，y隨x的增大而增大

D.當x<0時，y隨x的增大而減小

【分析】根據(jù)反比例函數(shù)的性質(zhì)：對于反比例函數(shù)y=^,當k>0時，在每一個象限內(nèi)，函

數(shù)值y隨自變量x的增大而減小；當k<0時，在每一個象限內(nèi)，函數(shù)值y隨自變量x增大

而增大解答即可.

【解答】解：函數(shù)y△的圖象位于第一、第三象限，A正確；

x

圖象既是軸對稱圖形又是中心對稱圖形，B正確；

當x>0時，y隨x的增大而減小，C錯誤；

當x<0時，y隨x的增大而減小，D正確，

由于該題選擇錯誤的，故選：C.

7.在二次函數(shù)y=-xz+2x+l的圖象中，若y隨x的增大而增大，則x的取值范圍是()

A.x>lB.x<lC.x>-1D.x<-1

【分析】拋物線y=-xz+2x+l中的對稱軸是直線x=l,開口向下，x<l時，y隨x的增大而

增大.

【解答】解：:a=-l<0,

二次函數(shù)圖象開口向下，

又???對稱軸是直線x=-±-l,

2a

.?.當X<1時，函數(shù)圖象在對稱軸的左邊，y隨X的增大而增大.

故選B.

8.如圖，在半徑為2,圓心角為90。的扇形內(nèi)，以BC為直徑作半圓，交弦AB于點D,連

接CD,則陰影部分的面積為()

A.n-1B.2n-1C.-n-1D.-n-2

22

【分析】已知BC為直徑，則/CDB=90°,在等腰直角三角形ABC中，CD垂直平分AB,CD=DB,

D為半圓的中點，陰影部分的面積可以看做是扇形ACB的面積與4ADC的面積之差.

22=2

【解答】解:在RtaACB中，AB=^2+2V2)

：BC是半圓的直徑,

.\ZCDB=90°,_

在等腰RtZ\ACB中，CD垂直平分AB,CD=BD=&,

，D為半圓的中點，

X

S陰影部JS扇形ACB-SAADc4nX22-2（加）2-TT-1.

故選A.

9.已知兩點A(5,6.)、B(7,2),先將線段AB向左平移一個單位，再以原點0為位似中

心，在第一象限內(nèi)將其縮小為原來的▲得到線段CD,則點A的對應(yīng)點C的坐標為（）

2

A.（2,3）B.（3,1）C.（2,1）D.（3,3）

【分析】先根據(jù)點平移的規(guī)律得到A點平移后的對應(yīng)點的坐標為（4,6）,然后根據(jù)在平面

直角坐標系中，如果位似變換是以原點為位似中心，相似比為k,那么位似圖形對應(yīng)點的坐

標的比等于k或-k求解.

【解答】解：.??線段AB向左平移一個單位，

；.A點平移后的對應(yīng)點的坐標為（4,6）,

...點C的坐標為（4X［，6x2）,即（2,3）.

22

故選A.

10.如圖，D、E分別是AABC邊AB、BC上的點，DE〃AC,若S：S=1：3,則更的值

△BDEACDEKr

為（）

【分析】由s：S=1：3,得到逛士，于是得到地」，根據(jù)DE〃AC,推出△BDEs^ABC,

△BDEACDB3BC4

根據(jù)相似三角形的性質(zhì)即可得到結(jié)論.

【解答】解：：SA：SA=1：3,

△BDEACDE

?.B?E_1,

CE3

?.B?E_1,

BC4

：DE〃AC,

-,.△BDE.^AABC,

.DE-BE-l

*'AC^BC^）

故選D.

11.如圖，在平面直角坐標系xOy中，直線y=?x經(jīng)過點A,作ABLx軸于點B,將aABO

繞點B逆時針旋轉(zhuǎn)60°得到4CBD.若點B的坐標為（2,0）,則點C的坐標為（）

V3）C.（-V3，1）D.（-V3，2）

【分析】作CHLx軸于H,如圖，先根據(jù)一次函數(shù)圖象上點的坐標特征確定A（2,2代），

再利用旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)得BC=BA=2立,NABC=60°,則NCBH=30°,然后在RtZSCBH中,利用

含30度的直角三角形三邊的關(guān)系可計算出CH二BC=?,BH=V3CH=3,所以O(shè)H=BH-OB=3-

2

2=1,于是可寫出C點坐標.

【解答】解：作CHLx軸于H,如圖，

?.,點B的坐標為（2,0）,ABLx軸于點B,

.?.A點橫坐標為2,_

當x=2時，y=J^x=2近，

/.A（2,2M）,

AAB0繞點B逆時針旋轉(zhuǎn)60°得到ACBD,

.,.BC=BA=25/3，ZABC=60°,

；.NCBH=30°,

在RtZXCBH中，CH="|BC=T，

BH=&CH=3,

OH=BH-0B=3-2=1,

AC(-1,5/3).

12.如圖，拋物線y二ax阱bx+c與x軸交于點A（-1,0）,頂點坐標為（1,n）,與y軸的交

點在（0,2）、（0,3）之間（包含端點），則下列結(jié)論：

①當x>3時，y<0；②3a+b>0；③-lWaW-工；④3WnW4中，

3

正確的是（）

A.①②B.③④C.①④D.①③

【分析】①由拋物線的對稱軸為直線x=l,一個交點A（-1,0）,得到另一個交點坐標，利

用圖象即可對于選項①作出判斷；

②根據(jù)拋物線開口方向判定a的符號，由對稱軸方程求得b與a的關(guān)系是b=-2a,將其代

入（3a+b）,并判定其符號；

③根據(jù)兩根之積￡=-3,得到a=-￡然后根據(jù)c的取值范圍利用不等式的性質(zhì)來求a的取

a3

值范圍；

④把頂點坐標代入函數(shù)解析式得到n=a+b+c4c,利用c的取值范圍可以求得n的取值范圍.

【解答】解：①?.?拋物線丫=@*阱bx+c與x軸交于點A（-1,0）,對稱軸直線是x=l,

該拋物線與x軸的另一個交點的坐標是（3,0）,

,根據(jù)圖示知，當x>3時，y<0.

故①正確；

②根據(jù)圖示知，拋物線開口方向向下，則a<0.

,對稱軸x=」=],

2a

?\b二-2a,

3a+b=3a-2a=a<0,BP3a+b<0.

故②錯誤；

③?..拋物線與X軸的兩個交點坐標分別是（-1,0）,（3,0）,

.?.-1X3=-3,

=-3,則a=--.

a3

?..拋物線與y軸的交點在（0,2）、（0,3）之間（包含端點）,

；.2WcW3,

/.-iw-￡w-—,即-IWaW--.

333

故③正確；

④根據(jù)題意知,a=-￡--=1,

32a

.?.b=-2a=^,

3

4

n=a+b+c-c.

3

?.?2WcW3,

.?遇W&W4,即％nW4.

333

故④錯誤.

綜上所述，正確的說法有①③.

故選D.

二、填空題（共6小題，每小題3分，滿分18分）

13.在比例尺為1：1000000的地圖上，量得甲、乙兩地的距離是15cm,則兩地的實際距

離150km.

【分析】設(shè)兩地的實際距離為xcm,根據(jù)比例尺的定義得到15：x=l：1000000,然后根據(jù)

比例的性質(zhì)計算出x,再把單位由cm化為km即可.

【解答】解：設(shè)兩地的實際距離為xcm,

根據(jù)題意得15：x=l：1000000,

所以x=15000000cm=150km.

故答案為150.

14.如果兩個相似三角形的相似比為2：3,那么這兩個相似三角形的面積比為4：9.

【分析】根據(jù)相似三角形的面積比等于相似比的平方可直接得出結(jié)果.

【解答】解：：兩個相似三角形的相似比為2：3,

這兩個相似三角形的面積比為4：9.

15.某口袋中有紅色、黃色、藍色玻璃球共72個，小明通過多次摸球試驗后，發(fā)現(xiàn)摸到紅

球、黃球、藍球的頻率為35%、25%和40%,估計口袋中黃色玻璃球有18一個.

【分析】讓球的總數(shù)X黃色玻璃球的概率即為所求的黃色玻璃球的球數(shù).

【解答】解：：摸到紅球、黃球、藍球的頻率為35%、25%和40%,

摸到黃球的概率為0.25,

故口袋中黃色玻璃球有0.25X72=18（個）.

故答案為：18.

16.如圖，正六邊形ABCDEF內(nèi)接于圓0,半徑為4,則這個正六邊形的邊心距0M為」

E

D

M

R

【分析】由正六邊形的性質(zhì)得出NA0M=60°,0A=4,求出N0AM=30°,由含30°角的直角

三角形的性質(zhì)得出0M弓0A=2即可.

【解答】解：：六邊形ABCDEF是正六邊形，0M±AC,

.,.ZA0M=60°,Z0MA=90°,0A=4,

.\Z0AM=30°,

.\0M=-0A=2,

2

即這個正三角形的邊心距0M為2；

故答案為：2.

17.如圖，點A在雙曲線y=」上，點B在雙曲線y.上，且AB〃x軸，C、D在x軸上，若

XX

四邊形ABCD為矩形，則它的面積為2.

【分析】根據(jù)雙曲線的圖象上的點與原點所連的線段、坐標軸、向坐標軸作垂線所圍成的矩

形的面積S的關(guān)系S=|k|即可判斷.

【解答】解：過A點作AEJ_y軸，垂足為E,

?.?點A在雙曲線尸工上，

X

???四邊形AEOD的面積為1,

?.?點B在雙曲線y4上，且AB〃x軸，

x

.,?四邊形BEOC的面積為3,

，四邊形ABCD為矩形，則它的面積為3-1=2.

故答案為：2.

18.在AABC中，BA=BC,ZBAC=a,M是AC的中點，P是線段BM上的動點，將線段PA繞

點P順時針旋轉(zhuǎn)2a得到線段PQ.

(1)若a=60°,且點P與點M重合(如圖1),線段CQ的延長線交射線BM于點D,此時

/CDB的度數(shù)為二0二

(2)在圖2中，點P不與點B、M重合，線段CQ的延長線交射線BM于點D,則/CDB的度

數(shù)為(用含a的代數(shù)式表示)90°-a.

(3)對于適當大小的a,當點P在線段BM上運動到某一位置(不與點B、M重合)時，能

使得線段CQ的延長線與射線BM交于點D,且PQ=DQ,則a的取值范圍是45°<a<60°.

【分析】(1)由條件可得出AB=BC=AC,再利用旋轉(zhuǎn)可得出QM=MC,證得CB=CD=BA,再由三

角形外角的性質(zhì)即可得出結(jié)論；

(2).由(1)可得BM為AC的垂直平分線，結(jié)合條件可以得出Q,C,A在以P為圓心，PA

為半徑的圓上，由圓周角定理可得/ACQ=^/APQ=a,可得出/CDB和a的關(guān)系；

(3)借助(2)的結(jié)論和PQ=QD,可得出/PAD=/PCQ=/PQC=2/CDB=180°-2a,結(jié)合/BAD

>ZPAD>ZMAD,代入可得出a的范圍.

【解答】解:(1)如圖1,；BA=BC,ZBAC=60°,

.?.AB=BC=AC,ZABC=60°,

為AC的中點，

AMB±AC,ZCBM=30°,AM=MC.

VPQ由PA旋轉(zhuǎn)而成，

，AP=PQ=QM=MC.

VZAMQ=2a=120°,

AZMCQ=60°,NQMD=30°,

：.ZMQC=6O0.

.\ZCDB=30°.

故答案為：30。；

(2)如圖2,連接PC,

?.?由(1)得BM垂直平分AC,

；.AP=PC,NADB=NCDB,NPAD=NPCD,

又?；PQ=PA,

；.PQ=PC=PA,

；.Q,C,A在以P為圓心，PA為半徑的圓上,

ZACQ=-ZAPQ=a，

2

.\ZBAC=ZACD,

；.DC〃BA,

.?.ZCDB=ZABD=90°-a.

故答案為：90°-a；

(3)VZCDB=90°-a,且PQ=QD,

...NPAD=NPCQ=NPQC=2NCDB=180°-2a,

?.?點P不與點B,M重合，

.\ZBAD>ZPAD>ZMAD,

.*.2a>180°-2a>a,

???45°<a<60°.

故答案為：45°<a<60°.

圖1

三、解答題(共7小題，滿分66分)

19.已知關(guān)于x的一元二次方程x?+2x+k-1=0有實數(shù)根，k為正整數(shù).

(1)求k的值；

(2)當此方程有兩個非零的整數(shù)根時，求關(guān)于x的二次函數(shù)y=x2+2x+k-1的圖象的對稱軸

和頂點坐標.

【分析】?(1)根據(jù)一元二次方程xz+2x+k-1=0有實數(shù)根，可推△》()，求出k的取值范圍，

得出k的數(shù)值即可；

(2)分別把k的值代入方程2x?+4x+k-1=0,解得結(jié)果根據(jù)方程有兩個非零的整數(shù)根進行分

析，確定k的值，進一步利用二次函數(shù)的性質(zhì)確定對稱軸和頂點坐標.

【解答】解：(1)??,關(guān)于X的一元二次方程x2+2x+k-l=0有實數(shù)根，

???△=4-4(k-1)20.

???kW2.

,?濃為正整數(shù)，

k=l,2；

(2)設(shè)方程x2+2x+k-1=0的兩根為x,x,則

12

xJxj-2,x-x=k-l,

當k=l時，方程x2+2x+k-1=0有一個根為零；

當k=2時，方程X2+2x+k-1=0有兩個相同的非零實數(shù)根-1.

k=2符合題意.

二次函數(shù)y=x2+2x+l=(x+1)2,

對稱軸是x=-1,頂點坐標是(-1,0).

20.在X2Q2XQ1的空格中，任意填上“+求其中能構(gòu)成完全平方的概率(列出

表格或畫出樹形圖)

【分析】首先根據(jù)題意畫出樹狀圖，然后由樹狀圖求得所有等可能的結(jié)果與其中能構(gòu)成完全

平方的情況，再利用概率公式即可求得答案.

【解答】解：畫樹狀圖得：

開始

/\/\

一?一■

???共有4種等可能的結(jié)果，其中能構(gòu)成完全平方的有2種情況，

其中能構(gòu)成完全平方的概率為：-=--

42

21.如圖，在平面直角坐標系中，一次函數(shù)丫=1?+13的圖象分別交X軸、y軸于A、B兩點，

與反比例函數(shù)丫=工的圖象交于C、D兩點，DELx軸于點E,已知C點的坐標是(-6,-1),

X

DE=3.

(1)求反比例函數(shù)與一次函數(shù)的解析式.

(2)根據(jù)圖象直接回答：當x為何值時，一次函數(shù)的值小于反比例函數(shù)的值.

【分析】(1)先由點C的坐標求出反比例函數(shù)的關(guān)系式，再由DE=3,求出點D的坐標，把

點C,點D的坐標代入一次函數(shù)關(guān)系式求出k,b即可求一次函數(shù)的關(guān)系式.

(2)由圖象可知：一次函數(shù)的值小于反比例函數(shù)的值.

【解答】解：(1)點C(-6,-1)在反比例函數(shù)y=工的圖象上,

X

-6X(-1)=6,

???反比例函數(shù)的關(guān)系式為y5,

,點D在反比例函數(shù)y=—±,且DE=3,

y=3,代入求得：x=2,

???點D的坐標為(2,3).

?；C、D兩點在直線y=kx+b上,

.'2k+b=3

*|-6k+b=-］，

解得：，

b=2

,一次函數(shù)的關(guān)系式為y=4x+2.

(2)由圖象可知：當x<-6或0<x<2時，一次函數(shù)的值小于反比例函數(shù)的值.

22.如圖，在。。中，直徑AB與弦CD相交于點P,ZCAB=40°,ZAPD=65°.

(1)求/B的大小；

(2)已知圓心0到BD的距離為3,求AD的長.

【分析】(1)由同弧所對的圓周角相等求得NCAB=/CDB=40°,然后根據(jù)平角是180。求得

NBPD=H5°；最后在4BPD中依據(jù)三角形內(nèi)角和定理求/B即可；

(2)過點0作0ELBD于點E,則0E=3.根據(jù)直徑所對的圓周角是直角，以及平行線的判定

知OE〃AD；又由0是直徑AB的半徑可以判定0是AB的中點，由此可以判定0E是4ABD的

中位線；最后根據(jù)三角形的中位線定理計算AD的長度.

【解答】解：(1)VZCAB=ZCDB(同弧所對的圓周角相等)，/CAB=40°,

.\ZCDB=40°；

又?；NAPD=65°,

.,.ZBPD=115°；

.?.在4BPD中，

.\ZB=180°-ZCDB-ZBPD=25°；

(2)過點。作OELBD于點E,則0E=3.

；AB是直徑，

.,.AD±BD(直徑所對的圓周角是直角)；

；.OE〃AD；

又是AB的中點,

A0E是4ABD的中位線，

.\AD=20E=6.

23.一玩具廠去年生產(chǎn)某種玩具,成本為10元/件，出廠價為12元/件，年銷售量為2萬件.今

年計劃通過適當增加成本來提高產(chǎn)品檔次，以拓展市場.若今年這種玩具每件的成本比去年

成本增加0.7x倍，今年這種玩具每件的出廠價比去年出廠價相應(yīng)提高0.5x倍，則預計今年

年銷售量將比去年年銷售量增加x倍(本題中0<xWl).

(1)用含x的代數(shù)式表示，今年生產(chǎn)的這種玩具每件的成本為(10+7x)元,今年生產(chǎn)

的這種玩具每件的出廠價為(12+6x)元.

(2)求今年這種玩具的每件利潤y元與x之間的函數(shù)關(guān)系式.

(3)設(shè)今年這種玩具的年銷售利潤為w萬元，求當x為何值時，今年的年銷售利潤最大？

最大年銷售利潤是多少萬元？

注：年銷售利潤=(每件玩具的出廠價-每件玩具的成本)X年銷售量.

【分析】(1)根據(jù)題意今年這種玩具每件的成本比去年成本增加0.7x倍，即為(10+10?0.7x)

元/件；這種玩具每件的出廠價比去年出廠價相應(yīng)提高0.5x倍，即為(12+12?0.5x)元/件；

(2)今年這種玩具的每件利潤y等于每件的出廠價減去每件的成本價，即y=(12+6x)-

(10+7x),然后整理即可;

(3)今年的年銷售量為(2+2x)萬件，再根據(jù)年銷售利潤=(每件玩具的出廠價-每件玩具

的成本)X年銷售量，得到w=2(1+x)(2-x),然后把它配成頂點式，利用二次函數(shù)的最

值問題即可得到答案.

【解答】解：(1)10+7x；12+6x；

(2)y=(12+6x)-(10+7x),

y=2-x(OVxWl)；

(3)Vw=2(1+x)?y

=2(1+x)(2-x)

二-2X2+2X+4,

w=-2(x-0.5)2+4.5

-2<0,OVxWl,

???w有最大值，

???當x=0.5時，w=4.5(萬元).

最大

答：當X為0.5時，今年的年銷售利潤最大，最大年銷售利潤是4.5萬元.

24.如圖1,4ABC是等腰直角三角形，四邊形ADEF是正方形，D、F分別在AB、AC邊上,

此時BD=CF,BD_LCF成立.

(1)當正方形ADEF繞點A逆時針旋轉(zhuǎn)6(0°<0<90°)時，如圖2,BD=CF成立嗎？

若成立，請證明；若不成立，請說明理由.

(2)當正方形ADEF繞點A逆時針旋轉(zhuǎn)45°時，如圖3,延長BD交CF于點G.

①求證：BD±CF；

②當AB=5,AD=y時，求線段BG的長.

【分析】(1)由AABC是等腰直角三角形和ADEF是正方形得到判斷△ABD/Z^ACF的條件;

(2)由全等得到NBGC=90°,利用勾股定理計算即可.

【解答】解:⑴BD=CF成立.

理由：???△ABC是等腰直角三角形，

；.AB=AC,

：ADEF是正方形，

；.AD=AF,ZBAC=ZDAF,

ZBAC-ZDAC=ZDAF-ZDAC,

即/BAD=/CAF,

在4ABD和AACF中

，AB=AC

<ZBAD=ZCAF

AD=AF

/.△ABD^AACF,

；.BD=CF.

(2)①由(1)全等得：/ABD=/ACE,

AZGBC+ZGCB=ZGBC+ZACF+ZACB=(ZABG+ZGBC)+ZACB=45°+45°=90°,

.?.NBGC=90°,

ABGXCF.

②過D作DH±AB于H,AH=DH=AD+M=1,

；.BH=3,

???BD刃BE2+D滬標，

延長AD交BC于P,

則BP=CP,(AD平分NBAC,AB=AC,等腰三角形三線合一)

由NBCG=90°知：DP/7CG,

.BDBP一

DGCP

.*.BG=2BD=2>/10.

25.已知二次函數(shù)尸一x的圖象如圖.

（1）求它的對稱軸與x軸交點D的坐標；

（2）將該拋物線沿它的對稱軸向上平移，設(shè)平移后的拋物線與x軸，y軸的交點分別為A、

B、C三點，若NACB=90°,求此時拋物線的解析式；

（3）設(shè)（2）中平移后的拋物線的頂點為M,以AB為直徑，D為圓心作。D,試判斷直線CM

與。D的位置關(guān)系，并說明理由.