2024年渭南市高三數(shù)學(xué)（文科）4月二模質(zhì)檢試卷

2024.04

注意事項：

1.本試題滿分150分，考試時間120分鐘.

2.答卷前務(wù)必將自己的姓名、學(xué)校、班級、準(zhǔn)考證號填寫在答題卡和答題紙上.

3.將選擇題答案填涂在答題卡上，非選擇題按照題號完成在答題紙上的指定區(qū)域內(nèi).

第I卷選擇題（共60分）

一、選擇題：本大題共12小題，每小題5分，共60分.在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題

目要求的.

1.已知復(fù)數(shù)z=-5+12i（i是虛數(shù)單位），則下列說法正確的是（）

A.復(fù)數(shù)z的實部為5B.復(fù)數(shù)，的虛部為12i

C.復(fù)數(shù)2的共軌復(fù)數(shù)為5+12iD.復(fù)數(shù)z的模為13

2.設(shè)全集U=R,集合/={x[y=/gx},B={x\-7<2+3x<5},貝UCu（NUB）=（）

A.{x|0<x<l}B.{x|xW0或xNl}C.{x|x<-3}D.{x\x>-3}

3.北宋數(shù)學(xué)家沈括的主要數(shù)學(xué)成就之一為隙積術(shù)，所謂隙積，即“積之有隙”者，如果棋、層壇之類，這

種長方臺形狀的物體垛積.設(shè)隙積共〃層，上底由ax6個物體組成，以下各層的長、寬一次各增加一個物

體，最下層（即下底）由cxd個物體組成，沈括給出求隙積中物體總數(shù)的公式為

s=《[（2b+d）a+e+2d）c]+3c-"）.已知由若干個相同小球粘黏組成的幾何體垛積的三視圖如圖所

示，則該垛積中所有小球的個數(shù)為（）

俯視圖

A.83B.84C.85D.86

4.已知平面向量5=（2cosa,—l）,B=（cosa,l）,其中戊￡（0,兀），若G正，則。=（）.

71兀…3兀

A.a=—B.a=—或a=—

444

71兀__p,2兀

C.a=—D.a=—或a=—

333

5.設(shè)a,夕為兩個平面，則□//"的充要條件是

A.a內(nèi)有無數(shù)條直線與用平行B.a內(nèi)有兩條相交直線與廣平行

C.a,尸平行于同一條直線D.a,，垂直于同一平面

6.在正四面體/-BCD的棱中任取兩條棱,則這兩條棱所在的直線互相垂直的概率是（)

4

D.

5

7.已知函數(shù)/（力=',若存在機使得關(guān)于x的方程〃x）=加有兩不同的根，貝心的取值范圍為

x,x>t

()

A.(-1,O)U(O,1)B.(-l,0)u(l,+oo)

C.(-?>,-l)o(0,l)D.(-oo,-l)u(l,+oo)

,、S2n-3

8.設(shè)等差數(shù)歹!]{%},加“}的前”項和分別為S，T?,若對任意正整數(shù)"都有寸=1三則

+

&+4b5+b]

19

D.—E.均不是

40

9.函數(shù)+[—兀,O）U（O,兀]）的圖像是

10.已知定義在R上的函數(shù)滿足/（“+〃—》”0,/（-》—1）=/（—》+1）,當(dāng)工€（0,1）

2

時J（x）=2「逐，則〃log480）=（）

A.--B.--C.V?D.—

555

22

11.已知雙曲線C：—-^=l（a>0,&>0）,拋物線E：J?=4x的焦點為F，準(zhǔn)線為/,拋物線E與雙曲

ab

線。的一條漸近線的交點為P,且尸在第一象限，過P作/的垂線，垂足為。，若直線。咒的傾斜角為120。，

則雙曲線C的離心率為（)

273?

A.-------D.—L.—D.2

332

2a

12.已知正數(shù)〃/滿足J+2b<a+-\nb+\,貝博+6=()

82

933

A.-B.-C.1D.-

424

第n卷非選擇題（共90分）

二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分.

x+y>2,

13.若實數(shù)x,y滿足約束條件2x+yV4,則z=x+2.v的最小值是.

x-y>-2,

15.2024年1月九省聯(lián)考的數(shù)學(xué)試卷出現(xiàn)新結(jié)構(gòu)，其中多選題計分標(biāo)準(zhǔn)如下：①本題共3小題，每小題

6分，滿分18分；②每道小題的四個選項中有兩個或三個正確選項，全部選對得6分，有選錯的得0分;

③部分選對得部分分（若某小題正確選項為兩個，漏選一個正確選項得3分；若某小題正確選項為三個,

漏選一個正確選項得4分，漏選兩個正確選項得2分）.已知在某次新結(jié)構(gòu)數(shù)學(xué)試題的考試中，小明同

學(xué)三個多選題中第一小題確定得滿分，第二小題隨機地選了兩個選項，第三小題隨機地選了一個選項,

則小明同學(xué)多選題所有可能總得分（相同總分只記錄一次）的中位數(shù)為.

16.用卜]表示不超過x的最大整數(shù)，已知數(shù)列｛%｝滿足：%=g,%+]=痛；-〃,〃eN*.若4=0,

2024]

〃二一2,貝I]%=；若4=〃=1,則.

三、解答題：共70分.解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟第17?21題為必考題，每個試題考生

都必須作答第22、23題為選考題，考生根據(jù)要求作答.

（一）必考題：共60分.

3

R-C

17.在中，內(nèi)角43,C的對邊分別為a,b,c,已知4cos?-------4sin5sinC=3.

2

⑴求A；

⑵若(6c-4A回卜os/+ac-cosB=a2-/,求"3c面積.

18.手機完全充滿電量，在開機不使用的狀態(tài)下，電池靠自身消耗一直到出現(xiàn)低電量警告之間所能維持

的時間稱為手機的待機時間.

為了解45兩個不同型號手機的待機時間，現(xiàn)從某賣場庫存手機中隨機抽取48兩個型號的手機各5臺,

在相同條件下進(jìn)行測試，統(tǒng)計結(jié)果如下：

手機編號12345

A型待機時間(h)120125122124124

8型待機時間(h)118123127120a

已知48兩個型號被測試手機待機時間的平均值相等.

⑴求。的值；

(2)求A型號被測試手機待機時間方差和標(biāo)準(zhǔn)差的大小；

(3)從被測試的手機中隨機抽取48型號手機各1臺，求至少有1臺的待機時間超過122小時的概率.

(注：n個數(shù)據(jù)國,工2,…,當(dāng)?shù)姆讲顂I=-[(X]—x)2+(x—x)~+...+(x“—x)2],其中x為數(shù)據(jù)x”馬，…，x”的

n2

平均數(shù))

19.如圖所示，在直三棱柱NBC-44G中，平面平面44A4,且441=/5=2.

(1)求證：3c2平面44A4；

(2)若三棱錐4-外接球的體積為二，求四棱錐4-8。。內(nèi)的體積.

20.已知函數(shù)/（工）=4工2+（8-a）x-a\nx

4

⑴求/(X)的單調(diào)區(qū)間；

(2)當(dāng)a=2時，證明：/(X)>4x——2e*+6x+4.

爐2一

21.已知橢圓￡：r+4V=l(a>6>0)的左，右焦點分別為號耳，。為￡短軸的一個端點，若△的g是

a"b

(2/7A

等邊三角形，點尸于三2一在橢圓E上，過點耳作互相垂直且與x軸不重合的兩直線CD分別交橢

圓E于4,B,C,D,且M,N分別是弦N2,CD的中點.

⑴求橢圓E的方程；

(2)求證：直線過定點；

(3)求△釁面積的最大值.

(二)選考題：共10分.請考生在第22、23題中任選一題作答.如果多做，則按所做的第一題計分.

［選修4-4：坐標(biāo)系與參數(shù)方程］

22.已知在平面直角坐標(biāo)系xQy中，以坐標(biāo)原點。為極點，x軸的非負(fù)半軸為極軸建立極坐標(biāo)系，曲線G

x=m+V3cosa

的極坐標(biāo)方程為O=2sin。；在平面直角坐標(biāo)系x/中，曲線C2的參數(shù)方程為為參

y=73sincr

數(shù))，點A的極坐標(biāo)為1且點A在曲線C?上.

(I)求曲線G的普通方程以及曲線C?的極坐標(biāo)方程；

(2)已知直線/:x-島=0與曲線G，Cz分別交于P,0兩點，其中尸，。異于原點O,求△/尸。的面積.

［選修4-5：不等式選講］

23.已知函數(shù)/(H=卜+2|_。卜_1|,QGR.

(1)當(dāng)。=2時，求不等式/(x)(0的解集；

⑵當(dāng)〃=-1時，函數(shù)/(x)的最小值為加，若b,。均為正數(shù)，且/+/+叱=加，求〃+b+2c的最

大值.

5

1.D

【分析】直接利用復(fù)數(shù)的基本概念得選項.

【詳解】解：[z=-5+12i,

???z的實部為-5,虛部為12,z的共軌復(fù)數(shù)為一5-12i,模為J(-5y+(12)2=13.

，說法正確的是復(fù)數(shù)z的模為13.

故選：D.

2.C

【分析】可求出集合A,B,然后進(jìn)行并集、補集的運算即可.

【詳解】解：A={x\x>Q},B={x|-3<x<l}；

：.AUB^{x\x>-3}；

.,.Cu(NUB)={x|x<-3}.

故選C.

【點睛】考查描述法的定義，對數(shù)函數(shù)的定義域，以及并集、補集的運算.

3.C

【分析】根據(jù)三視圖，求出公式中對應(yīng)的。,仇c,d,〃，代入公式進(jìn)行求解.

【詳解】從題設(shè)及三視圖中所提供的圖形信息和數(shù)據(jù)信息可知。=3,b=1,c=7"=5,〃=5,

555x49755

代入公式S=—[(2+5)x3+(l+10)x7]+—(7—3)=-------+—=——=85,

66363

故選：C.

4.B

【分析】根據(jù)向量垂直的坐標(biāo)表示得出cos2a=0,結(jié)合角的范圍求解即可.

【詳解】-alb.

:.a-b=2cos2a-1=cos2a=0，

,/ae(0,兀),2aG(0,2兀),

:.2a=—^2a=—

22f

71_p.371

二.a=一或a二—,

44

故選:B.

5.B

【分析】本題考查了空間兩個平面的判定與性質(zhì)及充要條件，滲透直觀想象、邏輯推理素養(yǎng)，利用面面

6

平行的判定定理與性質(zhì)定理即可作出判斷.

【詳解】由面面平行的判定定理知：a內(nèi)兩條相交直線都與月平行是a//〃的充分條件，由面面平行性

質(zhì)定理知，若。//6，則［內(nèi)任意一條直線都與月平行，所以。內(nèi)兩條相交直線都與萬平行是的

必要條件，故選B.

【點睛】面面平行的判定問題要緊扣面面平行判定定理，最容易犯的錯誤為定理記不住，憑主觀臆斷，

如：“若aua,6u?,a//6,則a///?”此類的錯誤.

6.A

【分析】根據(jù)正四面體的結(jié)構(gòu)特征，結(jié)合古典概型的概率計算公式，即可求解.

【詳解】由題意，正四面體/-8c。共有6條棱，其中任取兩條，共有C；=15種取法，

其中在正四面體力-BCD中，對棱互相垂直，只有N8與CO,AC與BD,AD與BC,三組互相垂直，

31

其余任意兩條棱夾角都為60°,所以這兩條棱所在直線互相垂直的概率尸=1=不

故選：A.

7.B

【分析】根據(jù)題意，利用幕函數(shù)的性質(zhì)，得到函數(shù)了=/(尤)的單調(diào)性，求得函數(shù)的最值，結(jié)合題意，列

出不等式，即可求解.

x3,x<t

【詳解】由函數(shù)f(x)=可得函數(shù)y=/(x)在(-8J),1,+8)上為增函數(shù),

x,x>t

當(dāng)時，盤x(x)fP，當(dāng)/時,兀n(x)=L

若存在m使得關(guān)于x的方程f(x)=m有兩不同的根，只需/>/,

解得-l<f<0或f>1,所以t的取值范圍為

故選：B.

8.C

【分析】運用等差數(shù)列的等和性及等差數(shù)列前〃項和公式求解即可.

【詳解】由等差數(shù)列的等和性可得，

11,+Q)

11

a3a9_a3a9_a3+a9_ax+an_?(】_Sn_2x11_3_19

+=+===

TJ\bJb；^^2b6bl+bn二4x11-3=4r

故選：C.

7

9.C

【分析】根據(jù)題意，由函數(shù)的奇偶性可排除BD,再由當(dāng)(0,可時，y>0,可排除A.

【詳解】因為函數(shù)定義域為卜兀對關(guān)于原點對稱,

且/(-力=sin(-x)=|sinx=/(q,

-XX

則函數(shù)y=(x+g)sinx為偶函數(shù)，故BD錯誤;

當(dāng)(0,可時，y>0,故A錯誤，C正確;

故選：C

10.D

【分析】先根據(jù)/(-x-l)=/(-x+l)找到周期為2,貝I]/(log480)=/(log45)，因為1<log45<2,不在(0,1)

內(nèi)，所以根據(jù)奇偶性，有〃1嗚5)=-/(-log45)，再根據(jù)周期性有/(log480)=-/(2-log45),此時

2-log45e(0,1),代入/(無)=2,-石中,根據(jù)分?jǐn)?shù)指數(shù)幕的計算法則，及對數(shù)恒等式,對數(shù)運算法則求出結(jié)

果即可.

【詳解】解油題知/(x)+/(f)=0,

所以“X)為奇函數(shù),

因為/"(蟲一1)=/(一X+1),

將上式中T代替X,

有/(xT)=/(x+l),

將上式中x+1代替X,

有〃x)=/(x+2),

所以〃x)周期7=2,

則/(Iog480)=/(log4(16x5))

=/(log416+log45)

=/(2+log45)

=/(log45)

8

--/(-log45)

=-/(2-log45),

因為log44<log45<log416,

gpi<log45<2,

所以270g45e(0,1),

因為xe(O,l)時J(x)=2一石,

所以/(2-10845)=22-喻5一石

-*Og25

.3

"5'

所以/'(log,80)=-/(2-log45)=g.

故選:D

11.B

【分析】根據(jù)給定條件，結(jié)合拋物線的定義求出點尸的坐標(biāo)，進(jìn)而求出2即可求解作答.

a

【詳解】拋物線E：/=人的焦點為尸(1,0),準(zhǔn)線為/：x=-l,令/交x于點八即有|廣7|=2,

由尸直線。尸的傾斜角為120°,得NPQE=NQFT=60。,貝!尸］=2|尸T±4,|℃=2百，

9

又H尸。I，則△尸”為正三角形，I尸。=4,因此點尸(3,2百)，

22huh2

雙曲線C：/￥=9060)過點尸的漸近線為尸7，于是2g=3二,解得廠百

所以雙曲線C的離心率0='標(biāo)+"=

a

故選：B

12.A

【分析】不等式可化為e〃-8“V41nb-16b+8,分別構(gòu)造函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)求出函數(shù)的最大、最小值，由

不等式左邊最小值等于右邊的最大值，建立方程即可得解.

e2a1

2a

LWl由——+2b<a+-\nb+l<=>e-8a<4lnb-16b+sf

82

設(shè)/(x)=e'—4x,則八x)=e“—4,

當(dāng)x>ln4時，/'(x)>0,當(dāng)x<ln4時，/<x)<0,

所以/(x)在(0,ln4)上單調(diào)遞減，在(In4,+a))上單調(diào)遞增，

貝!)/(%)*=/(山4)=4一81口2,故/(2。)=e2a—8。24—81n2,

當(dāng)且僅當(dāng)2〃=ln4,即”=ln2時取等號；

設(shè)g(x)=41nl6x+8,則g(x)J(.4x),

X

當(dāng)0<x<1時g'(x)>0,當(dāng)[<x時g'(x)<0,

44

所以g(x)在[o])上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，

所以g(x)max=g\]=4-81n2,故g(6)=41n6766+8W4-81n2,

當(dāng)且僅當(dāng)6=!時取等號，

4

又f(2a)<g(b),則/(2〃)=g(b)=4-8In2,

119

止匕時Q=ln2/=—,則?。+6=2+—==.

444

故選：A

【點睛】關(guān)鍵點點睛：不等式中含有不相關(guān)的雙變量，據(jù)此分別構(gòu)造不同的函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)求最值是關(guān)

鍵之一，其次根據(jù)不等式左邊的最小值與不等式右邊的最大值相等，由不等式成立得出方程是關(guān)鍵點之

二，據(jù)此建立方程求解即可.

13.2

10

【分析】作出可行域，再將目標(biāo)函數(shù)z=x+2y對應(yīng)的直線進(jìn)行平移，數(shù)形結(jié)合即可得出最值.

【詳解】作出可行域，如下圖：

將直線z=x+2y進(jìn)行平移，觀察直線/在了軸上的截距變化，

可知當(dāng)直線/經(jīng)過點/時，直線/在y軸上的截距最小，此時目標(biāo)函數(shù)z=x+2.y取到最小值,

聯(lián)立〔I；〉解得工，可得點，(2，。)，

即z*=2+0=2.

故答案為：2

3

14.-##1.5

2

【分析】綜合運用對數(shù)恒等式、對數(shù)的運算性質(zhì)和三角函數(shù)誘導(dǎo)公式進(jìn)行計算即可.

ln2tan

【詳解】e+log2^sin^^^?log3(^^|

=2+log2sin^47i+己］?log3tan1一兀+?

=2+log2(sin弓］?logs(tanT

=2+.2；｝(晦6)=2+(—,；=g.

3

故答案為：j.

15.11

【分析】列舉出所有的得分情況，再結(jié)合中位數(shù)的概念求答案即可.

【詳解】由題意得小明同學(xué)第一題得6分；

11

第二題選了2個選項，可能得分情況有3種，分別是得0分、4分和6分;

第二題選了1個選項，可能得分情況有3種，分別是得0分、2分和3分;

由于相同總分只記錄一次，因此小明的總分情況有：6分、8分、9分、10分、12分、13分、14分、15

分共8種情況，

所以中位數(shù)為此1^=11,

故答案為：11.

16.2——，2

3

【分析】當(dāng)2=0,〃=-2時，利用構(gòu)造法可得出數(shù)列｛%-2｝是等比數(shù)列，求出4―2=-進(jìn)而

111

得出%;當(dāng)丸=〃=1時，由題目中的遞推關(guān)系式可得%+1>%,一=—7----------縱您>2,即可求解.

anan~Yan+l~1

【詳解】當(dāng)2=0,〃=一2時，%+1=2（〃〃一1）,即%+1-2=2（%-2）,

7

則數(shù)列｛%-2｝是以%-2=為首項，2為公比的等比數(shù)列.

所以%-2=-§X2"T,即％=2-女.

當(dāng)2=〃=1時，*T）,即。“+[-1=。“（。”-1）,且%20,

42

故為+12為,故故。=（。"-1）一>。,

1111111

a

n+\><2?>?1>1,an-1^0,所以------=—z------6=------1-----，所以一=----；----------

為出一1。“（見一1）??-1%a?an-\an+x-\

A2024]]]]

因為生=1，所以￡—=—+—+…+—

31=1ai%"2a2024

1—1—=3——-—

Q1一]。2025—1。202511

上41313369161。

由"1=5,。用=〃：-（%T）可得:Clr.=----Cl-,=-------,UA-----------F1>2.

9816561

120241

o<--<i,貝u￡-=2.

因為an+\>a“，所以。2025>2，

“20251|_q_

、2〃

故答案為：2-—；2.

3

【點睛】關(guān)鍵點點睛：本題考查函數(shù)與數(shù)列的綜合，數(shù)列的通項公式及前〃項和.利用構(gòu)造法即可求解第

12

一空；借助遞推關(guān)系式得出—=—1-；-一二，%。25>2是解答第二空的關(guān)鍵.

??an-lan+l-l

2兀3

17.⑴彳⑵]

【分析】（1）結(jié)合三角恒等變換的知識化簡已知條件，求得cosZ,進(jìn)而求得A.

（2）利用余弦定理化簡已知條件，求得如,進(jìn)而求得三角形/3C的面積.

cosC

【詳解】（1）4xl±（^-）_4sin5sinC

2

=2+2cos（5-C）-4sin5sinC

=2+2(cosBcosC+sin5sinC)—4sin3sinC

=2+2cos5cosc-2sin5sinC

=2+2cos(B+C)=2+2cos(兀一%)

=2-2cosZ=3,cosZ=——,

2

3

(2)i[be-45/3jcosA+ac-cosB=a2-b2,

2bclac

b1+c2-a2.國b1+c2-a2a2+c2-b212

-----------------4V3----------------+---------------=a2-b,

22bc2

222

r222Ab+c—a

:.b+c—ci—45/3---------------=0n，

2bc

vA=b2+c2-a2wO,

3

/.1-=0,bc=2y/i,S^ABC=LbcsinZ=U<2而<更=>

2bc2222

18.(l)a=127⑵印|V5.(3)P(C)=||

【分析】（1）先根據(jù)平均數(shù)公式求平均數(shù)，再根據(jù)等量關(guān)系求〃;

（2）根據(jù)方差公式以及標(biāo)準(zhǔn)差公式求結(jié)果;

（3）先確定總事件數(shù)，再求對立事件：兩臺待機時間不超過122小時的事件數(shù)，進(jìn)而確定至少有1臺的

待機時間超過122小時的事件數(shù)，最后根據(jù)古典概型概率公式求概率

0+5+2+4+4…

【詳解】（1）%=120+—[23,

5

,二12。+一2+3+7+。+(”12。)

5

13

由/=,解得a=127.

(2)設(shè)A型號被測試手機的待機時間的方差為s；,

則1-乙)+(X2~XA)+…+卜〃-肛)]

=：[(120-123丫+(125-123)2+(122-123丫+(124-123)2+(124-123)1=y,

所以A型號被測試手機的待機時間的標(biāo)準(zhǔn)差為：^=|V5；

(3)設(shè)/型號手機為//,42,Aj,A4,A5；3型號手機為8/,B2,B},B4,B5,從被測試的手機中隨

機抽取/,8型號手機各1臺，不同的抽取方法有25種.

事件C：“至少有1臺的待機時間超過122小時”

事件“抽取的兩臺手機待機時間都不超過122小時”的選法有：

(小，Bi),0,B4),(小，BD,(4，BQ,共4種.

因此所以尸(0=1”傳)=,?

【點睛】古典概型中基本事件數(shù)的探求方法

⑴列舉法.

(2)樹狀圖法：適合于較為復(fù)雜的問題中的基本事件的探求.對于基本事件有“有序”與“無序”區(qū)別的題目，

常采用樹狀圖法.

(3)列表法：適用于多元素基本事件的求解問題，通過列表把復(fù)雜的題目簡單化、抽象的題目具體化.

(4)排列組合法：適用于限制條件較多且元素數(shù)目較多的題目.

4

19.⑴證明見解析；(2)§.

【分析】(1)連接幺4,根據(jù)棱柱的性質(zhì)可得四邊形44?/為正方形，于是又由面面垂直

的性質(zhì)，可得44,平面48C,AB}1BC,結(jié)合45-3C,利用線面垂直的判定定理可得8C1平面

4B[BA；

(2)先證明4c為三棱錐/-42C外接球的直徑，可得4。=3,根據(jù)勾股定理可得BC=1,再證明

14

平面42CG后，可得〃“CC閩=§xlx2x2=§.

【詳解】(1)連接/用，:NBC-44G為直三棱柱，且

四邊形4gA4為正方形,

14

4

B

：.AB{±A.B,又平面A】BC1平面ARBA,

且平面A,BCn平面ARBA=A、B,AB,u平面A{B{BA,

??./耳，平面又BCu平面45C,AB.1BC,

又B[B1平面ABC,BCu平面ABC,

：.B—BC,又AB[cB]B=B,且/4，平面氏4,

3。1平面4耳氏4.

4977*3

(2)由題可知：1兀曖弋,解得外接球半徑火=5，

由(1)可知3C_L48,VZ4AC=ZA,BC=90°,

...4c為三棱錐/-/0C外接球的直徑，

4。=3,又蟲=2,：.AC=45,又AB=2,：.BC=\,

?：AB1BC,AB1BB、,BCcBB、=B,：.AB1平面BlBCCi,

14

,?七-8CG8,=§xlx2x2=].

20.(1)答案不唯一，見解析(2)證明見解析

【分析】(1)求出函數(shù)導(dǎo)數(shù)，根據(jù)導(dǎo)數(shù)分aVO和。>0兩類討論，即可求出函數(shù)單調(diào)區(qū)間；

(2)原不等式等價于°(x)=e-lnx-2>0,分析函數(shù)有唯一極值點看,只需證明。(%)>0即可，結(jié)合

零點可知。(Xo)=‘+x0-2,利用均值不等式可知最小值大于0,即可證明.

【詳解】(1)由題意知“X)的定義域為(0,+8).由已知得/，(0=8.+(8；a)xq_(8x?(x+l)

當(dāng)a40時,/'(x)>0,/(x)在(0,+8)上單調(diào)遞增，無單調(diào)遞減區(qū)間.

當(dāng)a>0時，令H(x)>0,得x>￡；令/(x)<0,得0<x<g,

OO

15

所以/(X)在，4J上單調(diào)遞減，在[J,+8)上單調(diào)遞增.

綜上，當(dāng)aWO時，/(x)的單調(diào)遞增區(qū)間為(0,+8),無單調(diào)遞減區(qū)間；

當(dāng)a>0時，“X)的單調(diào)遞減區(qū)間為單調(diào)遞增區(qū)間為

(2)證明：原不等式等價于夕(x)=e=lnx-2>0,則=

易知"(x)在(0,+劃上單調(diào)遞增，且"(3)=五一2<0,"(1)=e-1>0,

所以9’(x)在\,1)上存在唯一零點七,此時9(x)在(0,%)上單調(diào)遞減，在(%,+℃)上單調(diào)遞增，

要證0(x)>0即要證0(%)>0,由e'。-工=0,得己=,,/=±,代入夕(x°)=e*。-lnx0-2,得

%/e°

/、1C

9(/o)=—+/_2,

%

因為9(工0)=1-x0-2>2/—x0-2=0,

%oY%0

所以/(x)〉4x2-2ex+6x+4.

21.(1)[+[=1(2)證明見解析(3)||

【分析】(1)根據(jù)橢圓過點及焦點三角形為正三角形求解;

(2)設(shè)直線N8的方程為》=叩-1,(冽70),聯(lián)立橢圓方程求中點M坐標(biāo)，同理求N點坐標(biāo)，得到直線

兒W方程即可得證；

(3)求出三角形面積，利用換元法求函數(shù)的最小值即可得解.

【詳解】(1)如圖，

因為點尸乎]在橢圓￡上，所以士+君=1，

133)9a9b

因為AOGI是等邊三角形，所以6=任，a2=b2+c2=4c2,

424

所以狠/+k=l'解得，=1，/=4萬=3,

16

所以橢圓的方程為止+其=1.

43

（2）設(shè)直線的方程為尤=叩-1,（加20）,則直線CD的方程為工=-工〉-1,

m

x=my-1

聯(lián)立/?2消去工得(3m2+4)>2_6町-9=0,

—+—=1

[43

設(shè)/（士,必）,8（右%）,則加=七匹=/^

443m

所以％”=%T=_2/，即.

3m+43加2+4’3m2+4

1f43z/z

將.的坐標(biāo)中的加用-/弋換,得s的中點N一3,-3

4

當(dāng)/=i時，所在直線為％=-亍，

,7m3m7m（4）

當(dāng)蘇時，右"=而刁，直線的方程為了一藐。二斫刁卜+病M｝整理得

所以直線MN過定點及

3n

(3)

4n2+3

33m3+m

~212m4+25m2+12

33t_331_

令根+一1=/(/22),則'一萬,121+1一3,

m12%+一

由于廣⑵，則在［2,+s）上遞增，

33

所以當(dāng)U2,即加=±1時，S取得最大值為二，

49

33

即△MNg面積的最大值為

49

22.⑴曲線￡：x2+y2-2y=0；曲線C?：p=2#>cos。⑵七巫

【分析】（1）先把曲線。的極坐標(biāo)方程化為直角坐標(biāo)方程，把曲線C2的參數(shù)方程化為普通方程，進(jìn)而

可得極坐標(biāo)方程;

17

（2）先求出點A的直角坐標(biāo)，分別聯(lián)立直線與品。2的普通方程，求出尸,。兩點的坐標(biāo)，再根據(jù)兩點間

的距離公式及點到直線的距離公式即可得解.

【詳解】（1）因為曲線G的極坐標(biāo)方程為。=2sin。，所以夕2=2psin。，

X=pcos夕

由卜=psin。,得曲線G的直角坐標(biāo)方程為

-2y=0；

p2=x2+y2

x=m+^3cosa

由曲線C2的參數(shù)方程為廠