2024年1月“七省聯考”考前猜想卷

業/rJ”,

數學

（考試時間：120分鐘試卷滿分：150分）

注意事項：

1.本試卷分第I卷（選擇題）和第n卷（非選擇題）兩部分。答卷前，考生務必將自己的姓名、準

考證號填寫在答題卡上。

2.回答第I卷時，選出每小題答案后，用2B鉛筆把答題卡上對應題目的答案標號涂黑。如需改動,

用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案標號。寫在本試卷上無效。

3.回答第n卷時，將答案寫在答題卡上。寫在本試卷上無效。

4.考試結束后，將本試卷和答題卡一并交回。

一、選擇題：本題共8小題,每小題5分，共40分.在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的.

1.若全集U=R,A={x\x<l},2={x|無>1},則（）

A.A￡BB.CBC.3勺6/D.4U8=R

【答案】C

【解析】A={x\x<l},B={x\x>}},^,A={x\x>l},則Nc2=0,A錯誤，

B錯誤，C正確，=或無>1},D錯誤，故選C.

2.已知i為復數單位，富=2+i,則z=l+“i的模為（）

1-1

A.1B.y/2c.2D.4

【答案】B

【解析】由察=2+i可得3+ai=（2+i）（l-i）=3-i,所以°=一1,

1-1

所以z=l-i,則忖==女,故選B.

3.在三角形4BC中，AC=3,AB=4,ZCAB=nQ°,則（篇+就）?通=（）

A.10B.12C.-10D.-12

【答案】A

【解析】記就=a,次=6,則忖=3,忖=4,

'.'a-b=|5|-|^|cos0=12cosl2O°=-6,:.（a+b\-b=a'b+^=-6+16=10.

4.sin(a-/7)+sin(a+/7)=；,1tana

cosasin1——，貝!J八二()

3tan/>

34C.9

A.—B.一D

432-I

【答案】A

二；,得2sinacos/?=；,

【解析】由sin(a-/7)+sin(a+尸)

即sinacos乃=一,而cosasin/7=-,

tana_sinacos￡3

所以故選：A

tan/3cosasm(34

5.在等比數列｛〃“｝中，。2,。6是方程--8x+加=0兩根，若〃3。5=3〃4，則冽的值為（）

A.3B.9C.-9D.-3

【答案】B

【解析】因為生，。6是方程--8%+加=0兩根,

所以%+R=8,%。6=加,△=64-4加〉0,即加<16,

=

在等比數列｛。“｝中，出"6="3"5=”4，又。3。53a4，

所以d=3%,因為〃4。0，所以為=3,所以加=d=9,故選B.

6.中國國家大劇院是亞洲最大的劇院綜合體，中國國家表演藝術的最高殿堂，中外文化交流的最大平

臺.大劇院的平面投影是橢圓C,其長軸長度約為212m,短軸長度約為144m.若直線/平行于長軸

且。的中心到/的距離是24m,貝!）/被。截得的線段長度約為（）

A.140mB.143mC.200mD.209m

【答案】C

【解析】設該橢圓焦點在x軸上，以中心為原點，建立直角坐標系，如圖所示,

22

設橢圓的方程為：5+鼻=1,a>b>0,由題意可得2a=212,26=144,

ab

22

將a=106,6=72代入方程，得％+=1,

1062722

因為直線/平行于長軸且C的中心到I的距離是24m,

令1=24,得|2打=42：收*200(m),故選C.

7."6=±而”是“直線X+y+6=0與圓C:(x+l)2+(y-lf=5相切”的()

A.充分條件B.必要條件

C.既是充分條件又是必要條件D.既不是充分條件也不是必要條件

【答案】C

【解析】圓心C到直線x+y+6=0的距離1=空=右，

所以例=，記，即6=土而，所以所求直線方程為x+y±JTU=O.

?=”是“直線x+y+6=0與圓C：(x+l『+(y-l)2=5相切”的充要條件，故選C.

8.設Q=ln2,b=1.09,c=e",貝！J()

A.c<b<aB.a<c<b

C.c<a<bD.a<b<c

【答案】D

【解析】a=ln2<Ine=1<Z?,c=e03>e°=1>?,

令/(x)=e*-x2-l,則/'(x)=e*-2x,

令g(x)=e*-2x,則g<x)=e*-2,

當xe(-8,ln2)時,g,(x)<0J'(x)單調遞減，

當xe(ln2,+⑹時，g〈x)>0/(x)單調遞增，

所以r(x)2/(ln2)=2(「ln2)>0,

所以/(x)在R上單調遞增，

所以f(0.3)>40)=0,即e°3>L09,所以c>6.

綜上，。＜6＜。.故選口

二、選擇題：本題共4小題,每小題5分，共20分.在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求.全部選

對的得5分,部分選對的得2分，有選錯的得0分.

9.近年來，我國人口老齡化持續加劇，為改善人口結構，保障國民經濟可持續發展，國家出臺了一系

列政策，如2016年起實施全面兩孩生育政策，2021年起實施三孩生育政策等.根據下方的統計圖，下

列結論正確的是()

2010至2022年我國新生兒數量折線圖

(

火

電

<

*

彘

A.2010至2022年每年新生兒數量的平均數高于1400萬

B.2010至2022年每年新生兒數量的第一四分位數低于1400萬

C.2015至2022年每年新生兒數量呈現先增加后下降的變化趨勢

D.2010至2016年每年新生兒數量的方差大于2016至2022年每年新生兒數量的方差

【答案】AC

【解析】對于A,由折線圖可知：2010至2022年每年新生兒數量13個數據中有2010至2018年的數量(9

個)均高于1500萬，3個數據低于1400萬，根據數據之間的差距可得2010至2022年每年新生兒數量的

平均數高于1400萬，故選項A正確；

對于B,由圖可知共有13個數據，因為13x25%=3.25,所以第一四分位數是按照從小到大排列的數據

的第4個數據，由折線圖可知，第4個數據為2019年新生兒的數量，其值大于1400萬，故選項B錯誤；

對于C,由折線圖可知2015至2022年每年新生兒數量呈現先增加后下降的變化趨勢，故選項C正確；

對于D,由折線圖可知：2010至2016年每年新生兒數量的波動比2016至2022年每年新生兒數量的波動

小，所以2010至2016年每年新生兒數量的方差小于2016至2022年每年新生兒數量的方差，故選項D錯

誤，故選AC.

10.已知函數〃x)=Nsin(0x+。1/>0,0>0,-5<。<蕓的部分圖象如圖所示，則()

-O\5KVx

612\

A./(x)的最小正周期為兀

JTJT

B.當xeO時，〃x)的值域為V3V3

C.將函數/(x)的圖象向右平移方個單位長度可得函數g(x)=sin2x的圖象

D.將函數/(x)的圖象上所有點的橫坐標伸長為原來的2倍，縱坐標不變，得到的函數圖象關于點

愣H對稱

【答案】ACD

【解析】由圖可知，A=l,函數/'(x)的最小正周期7=4x(1!-^)=-故A正確；

兀

由7=「2，幻＞0,知。=271=2—71=c2,

畫T兀

因為/用j所以$出[2'＞夕)=1,所以1+夕=2也+',keZ,即夕=2歷r+弓，keZ,

又所以。=m，所以/(x)=sin(2x+?],

22616J

對于B,當xeR寸，2x+Je-芻，華，所以sin[2x+g]e

_44J6|_33JVo)

所以“X)的值域為一5-,1，故B錯誤；

對于C,將函數“X)的圖象向右平移工個單位長度，得到g(x)=sin2卜培卜e=sin2x的圖象，故C正

確；

對于D,將函數Ax)的圖象上所有點的橫坐標伸長為原來的2倍，縱坐標不變，得到y=sin(x+E卜勺圖

象，

因為當x=1時，j=sin^+^=sinn=0,所以得到的函數圖象關于點,(T]對稱，故D正確.故選

ACD.

11.如圖，在棱長為1的正方體N8CD-44G。中，尸為棱CG上的動點(點p不與點c,C/重合)，過點

尸作平面口分別與棱8C,CD交于X,N兩點，若CP=CM=CN,則下列說法正確的是()

A.4/CJ_平面a

B.存在點尸，使得NG〃平面a

C.存在點尸，使得點出到平面夕的距離為g

D.用過點尸，M,的平面去截正方體，得到的截面一定是梯形

【答案】ACD

【解析】連接BCvBDQggQF

CMCN

因為。0=CN,C5=CD,所以上_,所以MN//BD

CBCD

又平面G5D,Mu平面C3。，所以"N〃平面￡班

同理可證〃尸//Bq,MP〃平面G5。

又MPcMN=M,MN、初尸u平面a,所以平面05。〃平面a

易證4。，平面。1助，所以4。，平面a,A正確

又4GC平面G5Z）=G，所以4G與平面a相交，不存在點尸，使得4G〃平面a,B不正確.

因為14。=V1+1+1=豆，點C到平面ctBD的距離為浮

所以點出到平面a的距離的取值范圍為（竿,指）

又地＜2〈百，所以存在點尸，使得點出到平面a的距離為C正確.

333

因為4R//3G，所以/烏//〃尸，所以用過點P,M,功的平面去截正方體得到的截面是四邊形皿所

又ADJIMP,且/RR"?,所以截面為梯形，D正確

故選：ACD

12.拋物線有如下光學性質：由其焦點射出的光線經拋物線反射后，沿平行于拋物線對稱軸的方向射

出.反之，平行于拋物線對稱軸的入射光線經拋物線反射后必過拋物線的焦點.已知拋物線

C:/=2x,O為坐標原點，一束平行于x軸的光線人從點P（私2）射入，經過C上的點4（%,乂）反射

后，再經過。上另一點3（x2，%）反射后，沿直線4射出，經過點。，則（）

1

A.^1^2=-

B.延長交直線x=-g于點D,則。，B,。三點共線

C.\AB\=—

114

9

D.若總平分443。，則加=—

4

【答案】AB

【解析】由題意知，點尸（（,0；/（占,2）,如圖：

_2-0_4

將工（42）代入/=2x,得玉=2,所以4（2,2）,則直線N8的斜率1萬二§，

L----

2

又時，%=一；，則dm

o2\oZy

所以西了2=2x：=!，所以A選項正確；

o4

i25

X|^|=X1+X2+1=2+-+1=—,所以C選項錯誤;

又知直線8Q〃x軸，且則直線50的方程為了=-g,

又4（2,2）,所以直線/。的方程為丁=七

令x=-；,解得k-；，即年;，-￡|，0在直線呢上，

所以。，B,。三點共線，所以B選項正確；

設直線尸&的傾斜角為e,斜率為照，直線的傾斜角為a,

若28平分N/20,^AABQ=2APBQ,即a=2。，

2tan042k.1

所以tana=tan26=,則￡=丁號，且的＞0，解得心=

1-tan~0J1-?02

2d7141

又從=—=上，解得：m=1所以D選項錯誤；故選AB.

0

m——128

8

三、填空題：本題共4小題,每小題5分，共20分

13.給定條件：①〃x）是奇函數；②〃盯）=〃x）〃y）.寫出同時滿足①②的一個函數〃x）的解析

式：.

【答案】/（x）=x（答案不唯一）

【解析】當/（x）=x時，定義域為R,關于原點對稱，且/（-x）=-x=-/（x）,則其為奇函數，

又因為〃孫）=孫=》?）三/（》）〃n）,所以y（x）=x滿足題意，

?

14.已知（辦-2）（》+—）5的展開式中的常數項為240,則。=.

X

【答案】3

【解析】（X+與的展開式的通項=C"5"（—y=2匕產力&=0,1,2,3,4,5）,

%X

令5—2/二一1得/=3,令5—2尸=0,無角軋

所以（QX-2）（%+—）5的展開式中的常數項為Q.23c=80。=240,所以"3.

x

15.為備戰巴黎奧運會，某運動項目進行對內大比武，王燕、張策兩位選手進行三輪兩勝的比拼，若王

_3、

燕獲勝的概率為:，且每輪比賽都分出勝負，則最終張策獲勝的概率為______

4

【答案】卷

【解析】①第一局王燕勝，第二局張策勝，第三局張策勝，②第一局張策勝，第二局王燕勝，第三局

張策勝，③第一局，第二局張策2勝，.?.比賽結束時乙獲勝的概率

p——x_x__|—x_X__|--X—=___|----1------

4444444464646432

16.四棱錐尸-N8CD各頂點都在球心。為的球面上，且尸/，平面/8C。，底面N8CD為矩形,

PA=AD=2,AB=2亞,設分別是的中點，則平面截球。所得截面的面積

為.

【答案】33t

【解析】如下圖所示，

易知四棱錐尸-48CD外接球與以工尸,48,4D為棱長的長方體的外接球相同；

由題意可知球心。為尸。中點，

故球O的直徑2R=^22+22+（2A/2）2=4，解得R=2

由M,N分別是尸￡>,的中點可得MN//PC,可得PC//平面AMN；

所以球心。到平面AMN的距離等于點C到平面AMN的距離，

設球心O到平面的距離為"，截面圓的半徑為〃，

在三棱錐C-/AW中，易知⑷//平面JWC,且凡睡=，&*亞=1,

1

所以VA-MNC=-XSMMNCAM=—,

而展麗=?與麗M=亞x2d=孚,由等體積法得1=1,

所以r=/2一產=3,故截面面積為步=3兀.

四、解答題：本題共6小題，共70分.解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟.

17.（本小題滿分10分）已知數列｛%｝滿足4=1,且點（一二」）在直線y=x+l上.

an+\an

（1）求數列｛?｝的通項公式；

(2)數列｛q〃q〃+i｝前〃項和為7；,求能使3加-12對〃￡N*恒成立的加(meZ)的最小值.

【解析】⑴點('」)在直線尸工+2上

%%

11c

得-------=2,----------------------2分

。〃+1冊

所以數列］,是以首項為工=1,公差為2的等差數列.--------------3分

I。"為

故L='+2("T)=2"1,即氏=不二.--------------5分

a〃%2〃—1

要使7；<3加-12對〃eN*恒成立,

3m-12>—,BPm>-----------------------9分

23

又加EZ,所以加的最小值為9.---------------------10分

18.(本小題滿分12分)在銳角V4BC中，內角力,B,。的對邊分別為Q,b,c,且c-2bcosZ=b.

(1)求證：A=2B；

(2)若A的角平分線交5C于Q,且。=2,求△43。面積的取值范圍.

【解析】(1)因為。-2bcos/=6,

由正弦定理得sinC-2siriScos/=sinB----------------------2分

又A+B+C=K,所以sin（4+8）—2sin5cos/=siib4cosB-cosZsiM=sin（4—5）=sinB--------3分

因為VZBC為銳角三角形，所以/￡（0,鼻，■仁］

（TTJT\

又y=sinx在［-亍］）上單調遞增，所以/-8=8，即4=28；----------------------5分

（2）由（1）可知，A=2B,所以在中，ZABC=NBAD,

ADAB21

=

由正弦定理得：而=二OR,所以4D=BD=---------------------7分

sinBsin（7i-25）sm2BcosB

所以Svzm=-xABxADxsinB=^-=tanB.----------------------9分

2cosB

又因為VN8C為銳角三角形，

JIJIJI

所以0<5<一,0<25<-,0<K-35<-,解得一<5<一,--------------H分

22264

（也）（也）

所以tarRw彳-,1,即△45。面積的取值范圍為方-,1.----------------------12分

\7\7

19.（本小題滿分12分）直播帶貨是一種直播和電商相結合的銷售手段，目前已被廣大消費者所接

受.針對這種現狀，某公司決定逐月加大直播帶貨的投入，直播帶貨金額穩步提升，以下是該公司

2023年前5個月的帶貨金額：

月份X12345

帶貨金額力萬元350440580700880

（1）計算變量》,了的相關系數『（結果精確到0.01）.

（2）求變量x,了之間的線性回歸方程，并據此預測2023年7月份該公司的直播帶貨金額.

（3）該公司隨機抽取55人進行問卷調查，得到如下不完整的列聯表：

參加過直播帶貨未參加過直播帶貨總計

女性2530

男性10

總計

請填寫上表，并判斷是否有90%的把握認為參加直播帶貨與性別有關.

_二/-、2_\2

xx

參考數據:y=590,X,[i~）=1°，=176400,

i=lz=l

5____________

￡卜7）（?-力=1320,^441000~664.

Z=1

n__

S1-尤）（力7）

參考公式：相關系數/—G--------------------5---------------------，線性回歸方程的斜率b=J------------；—,截距

臥Z=1

d=y-bx.

附：K2=

*0.99

【解析】(1)VlOxV176400-2xV441000?2分

,-.v

（2）因為x=yx（1+2+3+4+5）=3,y=590?

3—2〉

=10,X（x,-x）（》-y）=1320,--------------------4分

Z=1Z=1

.XLTUT

所以6=上、----------=——1320=132,2=590-132x3=194,-------------------6分

力…）210

i=\

所以變量X,了之間的線性回歸方程為5=132x+194,

當無=7時，9=132x7+194=1118（萬元）.

所以預測2023年7月份該公司的直播帶貨金額為1118萬元.,8分

(3)補全完整的列聯表如下.

參加過直播帶貨未參加過直播帶貨總計

女性25530

男性151025

總計401555

----------------------9分

零假設4。：參加直播帶貨與性別無關,

根據以上數據，經計算得到片一言|黑普。3.743>2,7。6f

11分

根據小概率值a=0.1的獨立性檢驗我們推斷〃。不成立，即參加直播帶貨與性別有關，該判斷犯錯誤

的概率不超過10%.12分

20.（本小題滿分12分）如圖，三棱柱/8C-44G的底面是等邊三角形，AB=AAi=6,乙4期=60。,

D,E,F分別為BB],CG，2c的中點.

（1）在線段幺4上找一點G,使尸G〃平面4。石，并說明理由;

（2）若平面平面/BC,求平面與平面42。所成二面角的正弦值.

【解析】（1）如圖所示:

當點G為必的中點時，尸G〃平面--------------1分

證明如下：設H為DE中點，連接口7,48.

因為在三棱柱ABC-4B?中,BBJICCJIAA,,--------------2分

D,E,尸,G分別為84,CG，8C,/4的中點，

所以FHHECHAfi,且FH=EC=Afi,

所以四邊形同GEE為平行四邊形.

所以尸G//48,--------------4分

又因為平面4DE,尸G<z平面4。石，

所以尸G〃平面NQE.--------------5分

（2）如圖所示:

取45中點O,連接

因為AB=AAt=BB[,ZABBt=60,

所以VN3可為正三角形，所以--------------6分

又因為平面4448_1平面/2C,平面44148c平面4BC=/2,4。＜Z平面44"3,

所以8。，平面ABC,

又CO,NOu平面NBC,

所以耳O_LCO,5Q_L/O,

因為VN8C為等邊三角形，所以OCLAB.----------------------7分

以。為原點，分別以。口94。4所在直線為x軸，＞軸，z軸建立空間直角坐標系，

(a3分、

依題意得力(0,3,0),5(0,—3,0),C(36,0,0),4(0,6,3月)，及(0,0,36),00,--,^-,--------------8分

所以。4=0,—,DE=BC=(3^/3,3,0).

I22J

設平面AQE的法向量n=(x,y,z),

n-DA.=0—v+—z=0-/\

貝I」由_J，得2，2，令尤=],得1,5.---------------------9分

^-DE=°[3氐+3廣。

取平面N8C的法向量加=(0,0,1),

設平面與平面ABC所成二面角的大小為0,

m-n

貝仙cos[cos(加〃55V29

|m|-|w|1x^2929,11分

所以sin。=Vl-cos23=/支,

29

所以平面4。月與平面所成二面角的正弦值為名絲.--------------12分

29

21.（本小題滿分12分）已知直線x+y+l=O與拋物線C:/=2處（？>0）相切于點/,動直線/與拋物

線C交于不同兩點M,N（M,N異于點/）,且以"N為直徑的圓過點4

（1）求拋物線C的方程及點N的坐標；

（2）當點4到直線/的距離最大時，求直線/的方程.

fx+y+l—0

【解析】（1）聯立，消V得/+28+22=0,

［x=2py

因為直線x+y+l=O與拋物線C:x?=2加（0>0）相切，

所以A=402_8p=0,解得0=2或p=0（舍去）,--------------2分

當p=2時，x2+4x+4=0,解得x=-2,所以V=l,--------------4分

所以拋物線。的方程為犬=4了，點4的坐標為（-2,1）；--------------5分

（2）顯然直線/的斜率存在，

可設為了=丘+6,/（尤1，弘）1（尤2，%），

［y=kx+b

由12A，消）得必一4AX-4Z?=0,

［%=4y

貝!|A=16后2+166>0,

項+%2=4k,x1x2=一4b,--------------7分

A.M=（X］+2,必一1）,AN—+2,%-1），

因為以為直徑的圓過點4

所以商.m二0,

即（國+2）（尤2+2）+（%一1乂了2-1）=。，--------------8分

整理可得（a2+］）占％+［左（6-］）+2］（尤］+尤2）+（6_］『+4=0,

所以一46（公+1）+4左2（6一1）+8左+僅一1）2+4=0,

化簡得6?-66+9=4左2-8左+4，

所以僅一3『=（2左-2。

所以6-3=2左一2或6—3=2-24，

即6=24+1或6=-2左+5,9分

當6=2左+1時，直線/:y=履+2左+1,

即>一1=左@+2）,所以直線/過定點（一2,1）（舍去），--------------10分

當6-3=2—2左時，直線/:y=H-2左+5,滿足A>0,

即y-