第38屆全國中學生物理競賽決賽試題

（2021年12月12日上午9:00-12:00）

考生必讀

1、考生考試前請務(wù)必認真閱讀本須知。

2、本試題共7頁，總分為320分。

3、如遇試題印刷不清楚的情況，請務(wù)必向監(jiān)考老師提出。

4、需要閱卷老師評閱的內(nèi)容一定要寫在答題紙相應(yīng)題號后面的空白處；閱卷老師只評閱答題

紙上的內(nèi)容；寫在試題紙和草稿紙上的解答一律不被評閱。

一、（64分）一個不透明薄片上的小圓孔如圖la中黑I

色之間的部分所示，半徑OM為LOOmm。用波長

4=632.8nm的氫位激光作為光源從小孔左側(cè)平行正M

入射。在垂直于小孔的對稱軸上右側(cè)有某個點P;相t

對于P點，小孔處的波面可視為半波帶的組合：以P63一一

點為球心，P點到小孔中心O的距離為4（r0?A）,

分別以4+色、ZJ+2X-,4+3x2、…為半徑做球|

222圖la

面，將小孔所在平面的波面劃分成N個環(huán)帶（N為自

然數(shù)），P點到小孔邊緣M的距離為4+N&,半徑最小的環(huán)帶則是一個圓面，這樣劃分出

的環(huán)帶稱為半波帶（因為相鄰環(huán)帶的相應(yīng)邊緣到P點的光程差為人）。顯然，環(huán)帶的數(shù)目N

2

決定了P點的位置。在需要將原有半波帶重新劃分或合并時，只考慮將已有的每個半波帶

重新劃分為若干個新的半波帶，或者將已有的若干個半波帶重新合并為一個新的半波帶。

（1）（8分）若N=2〃+l,試分別求相應(yīng)于”=0和〃=1時P點的位置P°（P°為軸上最右

側(cè)的亮點，稱為主焦點）和耳（耳也為亮點，稱為|

次焦點）。I

（2）（24分）若N=4（4級波帶片），且在第1、3

半波帶放置透明材料（圖1b中灰色部分），使通過-----------------9---———

；°4琮

該透明材料的光增加尹程。求：

（i）（8分）此4級波帶片的主焦點斗的位置；|

（ii）（8分）緊鄰主焦點琮左側(cè)暗點巴的位置；圖北

（iii）（8分）緊鄰主焦點PJ右側(cè)暗點P；的位置。

（3）（32分）波帶片不僅可|

以實現(xiàn)平行光的聚焦，還可以|

成像。以上的4級波帶片平行

光的聚焦過程，相當于物距無,?_________________________________________________?

窮遠、像距等于焦距的情形。$°;s，

將一個點光源（物）置于軸上|

。點左側(cè)3m處的S點，其像|

點為SL如圖1c所示。圖1c

1

（i）（10分）4級波帶片主焦點對應(yīng)的像距OS'是多少？并驗證成像公式是否滿足。

（ii）（8分）如果該波帶片所成的像不是唯一的，軸上還有其他像點，那么距離第（3）

（i）問所得到的像點最近的另一個像點在哪里？與此成像過程對應(yīng)的次焦點的焦距是多

少？（不能應(yīng)用成像公式）

（iii）（14分）如果將物放置于此波帶片左側(cè)，與0點距離為0P//2,求分別將4級

波帶片的主焦點和（3）（ii）所述的次焦點作為焦點而成的像的類型（虛像或?qū)嵪瘢┡c位置。

（不能應(yīng)用成像公式）

二、（64分）2021年6月神州12載人火箭與天宮太空站成功對接，這里涉及到追擊者（神

州12火箭）與目標（太空站）在繞地軌道相遇的問題。

本題采用霍爾曼變軌方案來探究追擊者如何改變速度

（速率和方向）與固定軌道上的目標實現(xiàn)對接（相遇）。

如圖2a,目標A和追擊者c都在以半徑為4的圓

軌道上以速率。。逆時針運動。在0時刻兩者的位置分

別為

%=4,%=°，rA,i=rcJ=r0

在此時刻，追擊者c瞬間點火，速度瞬間改變Av（如

圖2b所示）；c的軌道也從半徑為"的圓軌道瞬間變?yōu)閳D

所示的橢圓軌道，橢圓軌道的長軸與極軸方向（中心到點

時c的位置的連線）之間的夾角為。（。是沿順時針方向

量的）。c的運動方向與極軸方向之間的夾角記為Q（Q正

向為逆時針方向）,c與中心相距《（Q）。

（1）（10分）若飛行物的質(zhì)量機、能量E（實際為飛行

和地球組成系統(tǒng)的總機械能）和角動量￡均為已知量，試

E、L、m和題給的已知參量%、%等來表示軌道參量］

￡。已知：正橢圓軌道（長軸沿極軸方向）在極坐標下的

式（原點取為右焦點）為

r（6＞）=---

1+2C0S。

其中，R是軌道尺寸參量，￡是軌道偏心率，統(tǒng)稱為軌

道參量。

（2）（6分）寫出點火（見圖2c）后追擊者c的軌道7（4）

的表達式，用“、偏心率￡和。表示。

（3）（6分）寫出點火后追擊者c的軌道周期7；與目標

A的周期7；之比7；/1，用￡和。表示。

（4）（18分）定義兩個點火參數(shù)（見圖2b）：無量綱

的速度大小改變率6=電,△。與外之間的夾角a（重

°。

合時a=0,順時針方向取為正方向）。試用點火參數(shù)5和a來表示追擊者c的軌道的偏心率

￡和￡COS°o

（5）（9分）考慮追擊者c和目標A在第一類軌道匯合點（見圖2c）相遇的情形。設(shè)自0

時刻起目標A經(jīng)過第一類軌道匯合點的次數(shù)為"A，追擊者c經(jīng)過第一類軌道匯合點的次數(shù)

（起始時不計在內(nèi)）為電。在0時刻，%=00,%=0。求%，用%、4、￡和。表示。

2

（6）（3分）將"A用S、a表出，固定5,試求函數(shù)〃A（a）相對于a變化的兩個簡單、明顯

的極值點/（以便即使噴火時角度a相對于為有一些偏差，但解依然近似成立，便于成功

對接）。

（7）如果取上述兩個％值之一，

（i）（6分）3值有一個上限般x（即若5＞黑x，追擊者c和目標A不會相遇），求黑,；

（ii）（6分）令或的初始值為4，試寫出6與4、”A、』的關(guān)系式；并求當d='|、

〃A=2、&=1時6的值。

三、（64分）宇宙中可能有四分之一的物質(zhì)是以暗物質(zhì)的形式存在的。暗物質(zhì)可能是由一種

新的基本粒子構(gòu)成的。人們一直在尋找暗物質(zhì)粒子和已知的粒子之間的相互作用，其中一類

重要的實驗是尋找暗物質(zhì)粒子和原子核之間的相互作用。這類實驗一般是以某種材料作為靶

物質(zhì)，當暗物質(zhì)粒子飛入探測器時會和靶物質(zhì)的原子核發(fā)生碰撞。在這個過程中原本幾乎靜

止的原子核會從暗物質(zhì)粒子得到一部分動能，從而在靶物質(zhì)中運動，產(chǎn)生光信號和電信號。

暗物質(zhì)探測器可以探測到這些信號從而對暗物質(zhì)進行觀測。

（1）（35分）選取靶物質(zhì)為沆同位素原子核3xe,假設(shè)暗物質(zhì)粒子X和3xe核的質(zhì)量都是

質(zhì)子質(zhì)量%的132倍；在粒子X和"xe核的質(zhì)心系中，散射是各向同性的（出射粒子在各

個方向上出現(xiàn)的概率相等）。設(shè)有一個暗物質(zhì)粒子X以大小為200km/s的速度沿z方向進

入探測器，與靜止的靶核⑶Xe碰撞。試推導(dǎo)實驗室系（碰撞前相對于靶核⑶Xe靜止的參考

系）中碰撞后，

（i）（12分）3xe核的動量與其出射角的關(guān)系；

（ii）（16分）^Xe核的角分布（按其出射角的概率分布）；

（出）（7分）及xe核動能的分布。

（2）（11分）人們常常用散射截面來表示兩個粒子之間相互作用的大小，散射截面類似于

某種橫截面積，而橫截面積可理解為兩個粒子之間發(fā)生碰撞時的有效面積。例如，兩個半徑

分別為乙和々的剛性小球之間碰撞的橫截面積為兀化+々）2,這就是兩小球碰撞的散射截面。

現(xiàn)在探測器中有1.0t值原子，暗物質(zhì)粒子X和3xe核之間碰撞的散射截面為1.0*10-38加2；

假設(shè)所有的暗物質(zhì)粒子X的速度大小都是200km/s,假設(shè)在地球附近的暗物質(zhì)的密度為

0.40嗎/cm,試求這個探測器里每年能發(fā)生多少次暗物質(zhì)粒子X和.Xe核之間的碰撞？阿

佛加德羅常數(shù)義=6.023xl02,為簡化起見，假設(shè)質(zhì)子靜質(zhì)量為l.Og/mol。

（3）（7分）探測器探測到的信號是由⑶Xe核在碰撞過程中所得到的動能產(chǎn)生的。然而，只

有當該動能超出探測器的閾值時這個信號才能被記錄下來。假設(shè)這個閾值為10keV,試估算

這個探測器每年可以探測到多少個暗物質(zhì)粒子X與3Xe核發(fā)生了碰撞？質(zhì)子的靜質(zhì)量為

0.94GeV/c2,c是真空中的光速。

（4）（3分）銀河系中的暗物質(zhì)粒子的速率服從一定的分布/（。），暗物質(zhì)粒子的速率有一個

上限，即當。時，〃。）=。。請回答這個上限是由什么造成的？

（5）（8分）對于地球上的實驗室參考系，暗物質(zhì)粒子速度分布的上限是真空中光速的0.002

倍。另外，我們實際上也不知道暗物質(zhì)粒子的質(zhì)量是多少。請問當暗物質(zhì)粒子的質(zhì)量小于多

少時，上面的探測器將不可能探測到暗物質(zhì)的信號？

四、（64分）在生物體中電相互作用起著很重要的作用。將一個類DNA的酸性分子放入水

中，分子上一些松散附著的原子可能解離，正離子漂走，留下一些電子，使這個大分子帶負

電。類似地，水中的細胞膜也會因此而帶上負電，它們之間的靜電排斥作用可使這些大分子

3

或細胞避免“結(jié)塊”。由于物質(zhì)本身是電中性的，溶液中漂浮著的大量正離子，會使這些大

分子之間的靜電力隨距離衰減。在常溫T下考察以下問題：

（1）（31分）（i）（7分）考慮帶負電的細胞膜外側(cè)（朝向正離子漂浮的區(qū)域）附近靠近其

表面的區(qū)域。此時細胞膜可視為無限大平面。取x軸垂直于細胞膜外表面，方向指向膜外側(cè)，

原點在膜外表面上。膜周圍溶液的介電常量為￡,膜外表面上均勻分布的面電荷密度為-b

（b>0）。系統(tǒng)與環(huán)境保持熱平衡。由于靜電作用，溶液中各處正離子的密度并不均勻，但

可認為各局域部分都是平衡態(tài)。此時正離子的行為與地面上大氣分子的行為類似，只是這里

正離子受到靜電場作用，而大氣分子受到重力場作用。取緊靠膜外表面處正離子數(shù)密度n0

為待定常量。試寫出膜外表面附近電勢夕滿足的微分方程。已知電子電量為-e,正離子電

量為+e,玻爾茲曼常量為依忽略重力和水的浮力。提示：玻爾茲曼統(tǒng)計認為，粒子處于

能量為E的狀態(tài)的幾率正比于exp（-二），T為粒子所處平衡態(tài)的絕對溫度。

kT

（ii）（3分）細胞膜表面內(nèi)的液狀組織可認為是導(dǎo)電的；選取膜表面上的電勢為零。試

寫出在膜外表面上電勢,p滿足的邊界條件。

（iii）（10分）在給定的邊界條件下，取對數(shù)函數(shù)°（x）=/ln（l+&）作為第（1）⑴問

中得到的微分方程的試探解。試定出常量飛、42的值，并將0（x）和"（x）（在x處的正離子

數(shù)密度）用b、￡、7、e、左表出；

Civ）（3分）試驗證，所求得的”（x）保證了整個系統(tǒng)是電中性的。

（v）（8分）求以帶電的膜外表面單位面積為底的足夠高的柱形體積內(nèi)的靜電場能q,

以及同一體積中的所有正離子在靜電場中的總電勢能上。

（2）（33分）考慮兩個細胞彼此靠近的情形。兩個細胞膜外側(cè)及它們之間的這個系統(tǒng)，可

用這樣的簡化模型研究：已知兩個均勻帶負電的無限大平行平板各帶面電荷密度-b,相互

之間距離為2。。兩板正中間處選為坐標原點，x軸垂直于平板，原點電勢選為零，原點處

的正離子數(shù)密度小作為待定參量。取函數(shù)以無）=/ln[cos（&）]作為微分方程的試探解。

（i）（4分）由夕（x）滿足的微分方程定出常量43,用7、￡、e、k、“口表出。

（ii）（8分）求“0,用。、b、￡、「、e、％、9（若遇到超越方程，不必求解，該方程在物

理區(qū)域的解記為0）表出。

（iii）（5分）給出正離子在細胞外表面處與兩膜中心處的粒子數(shù)密度之差

Az;=n（±D）-n0,用cr、￡、7、人表出。

（iv）（3分）試驗證，所求得的“（X）保證了整個系統(tǒng)是電中性的。

（v）（5分）試給出帶電平面（細胞膜）單位面積上所受的作用力的合力。己知細胞膜

內(nèi)外都充滿了密度相同的水。提示：正離子在水中的行為與理想氣體類似，且局域地處于熱

平衡。

（vi）（8分）如果其它條件不變，在兩平板仍可視為無限大的前提下，試討論在近距離

和遠距離兩種不同的極限情形下，帶電平面單位面積上所受的作用力的合力大小如何隨距離

。而改變？

五、（64分）（1）（21分）一個電子的自旋磁矩為

式中-e（e>0）是電子電荷，加是電子質(zhì)量，一是電子的荷質(zhì)比；S是自旋角動量，其z

4

分量，只能取兩個值，自旋向上時，=!力，向下時，=-工力，其中方=2，〃是普朗克常

-222兀

量。假設(shè)一個分子或原子的磁矩等于一個電子的自旋磁矩。

（i）（14分）將順磁體置于外磁場中，由于其分子的磁矩平行或反平行于磁場方向排列

的幾率發(fā)生變化而產(chǎn)生磁化；磁化程度用單位體積內(nèi)的磁矩（磁化強度）M描述，M=XH,

其中力為磁化率，"三巨-用為磁場強度，3為磁感應(yīng)強度，〃。為真空磁導(dǎo)率。在通常溫

Ao

度7（絕對溫度）下‘kT>A（左為玻爾茲曼常量）；設(shè)磁感應(yīng)強度5是均勻

的，順磁體的分子數(shù)密度為"，試利用玻爾茲曼統(tǒng)計導(dǎo)出順磁體的磁化率滿足力=c",并給

_E_

出。的表達式。已知：玻爾茲曼統(tǒng)計認為，粒子處在某個能量狀態(tài)的幾率正比于一百，其中

E為該狀態(tài)的能量，7為粒子所處平衡態(tài)的絕對溫度。

（ii）（7分）鐵磁體不同于順磁體：在居里溫度以下，鐵磁體可以在沒有外磁場的環(huán)境

中產(chǎn)生并保持比較強的磁性，此稱為自發(fā)磁化；自發(fā)磁化產(chǎn)生“磁疇”，每個“磁疇”中分子磁

矩均沿著同一方向排列（順排），此時鐵磁體處于鐵磁相。磁矩發(fā)生順排的原因是因為量子

效應(yīng)，也可以認為里面有很強的等效磁場，外斯稱其為“分子場”。“分子場”比一個自旋磁矩

在原子間距上產(chǎn)生的磁場大3個量級左右。在居里溫度以上，鐵磁體轉(zhuǎn)變?yōu)轫槾朋w，它的磁

化率遵從居里-外斯定律力=二（其中e為居里溫度），與通常的順磁體有差異，其差異

來自于鐵磁體內(nèi)部的“分子場”Hm,凡，可表示為8",=7"。假設(shè)鐵磁體的分子數(shù)密度亦

為"，試給出/的表達式（居里溫度6可視為已知量）；并導(dǎo)出在所有磁矩都是順排的情形

下分子場的表達式。

（2）（9分）在鐵磁晶體中原子是在周期性的格點上排列的。每個原子所感受到的磁場可理

解為其最近鄰格點上的原子提供的“分子場”的平均值。

（i）（7分）考察如圖5a所示

AAAA

的一維晶格自旋系統(tǒng)，所有格

點上的磁矩都是順排的。這個

系統(tǒng)的居里溫度為假設(shè)上a

圖5a

一問中導(dǎo)出的Hm與。之間的

關(guān)系仍然成立，且此系統(tǒng)包含N（N>>1）個格點，每個格點上有一個原子；當發(fā)生自發(fā)磁

化后，原子的自旋平行排列，這樣的排列會使系統(tǒng)能量最低。試給出此時一個自旋在其最近

鄰格點上產(chǎn)生的等效磁場、以及整個系統(tǒng)的磁能。

（ii）（2分）假設(shè)這個一維晶

格自旋系統(tǒng)中的某一個非端

點晶格上的自旋發(fā)生翻轉(zhuǎn)，變

為反平行排列，如圖5b所示。a

圖5b

相比于圖5a的情形，系統(tǒng)的

能量增加了多少？

（3）（17分）若原子自旋交替

反向排列，則稱為反鐵磁體。

反鐵磁體具有特殊的晶格結(jié)

ABAB

構(gòu)：該結(jié)構(gòu)由A位晶格和B位a

圖5c

晶格組成，如圖5c所示。A位

的最近鄰都是B,次近鄰才是A；B位類似。反鐵磁體的最近鄰“分子場”與鐵磁體的方向相

5

反，而且除了最近鄰自旋之外，次近鄰自旋對“分子場”也有貢獻。此時，A、B位的“分

子場”可分別表示為

"mA=—=AB〃B—”AA〃A，"mB二一"AB〃A—^BB^B，

式中，〃A、分別是A、B位上自旋磁矩。設(shè)所有A位原子都是相同的，所有B位原子

也都是相同的，則ag==B，4>位1。

（i）（5分）試給出具有N個格點（A、B各有N/2個格點）的反鐵磁體的磁能;

（ii）（12分）奈爾溫度是指高出這個溫度時，反鐵磁相消失，反鐵磁體呈順磁性。這

時，A位晶格和B位晶格的磁化強

度和磁場分別滿足

CC

M.=————“B，

A2rjiHA，MDB=rjt

這里系數(shù)C與第（1）（i）問中的類

同。試給出一維反鐵磁體的奈爾溫

度。

（4）（17分）下面考慮另一種情境:

原子分布在晶格常數(shù)為。的二維

x-y平面內(nèi)的正方點陣上,原子的磁

矩可在平面內(nèi)轉(zhuǎn)動。如圖5d,在尺

寸為LCL?a）的平面區(qū)域內(nèi)，

磁矩分布由各點上的箭頭所示。由

于“分子場”效應(yīng)，磁矩之間具有比

較強的相互作用，這種作用只明顯

存在于最近鄰分子之間。設(shè)此平面

內(nèi)第i個格點上的自旋角動量S,與

x軸的夾角為目€[0,2兀],系統(tǒng)磁能

可表示為

EQ4｝）=_J，eS「Sj

=-J^cos（6>-6>y）

其中/、J（/、J>0）為常量，?,力

代表所有最近鄰（一個格點一般有四

個最近鄰的格點）的格點i和，，系統(tǒng)

構(gòu)型由花｝給出。假設(shè)系統(tǒng)與環(huán)境達到

熱平衡，系統(tǒng)體積不變，此時亥姆赫

茲自由能為尸=￡-小，其中￡為系統(tǒng)

內(nèi)能，S為系統(tǒng)端。

（i）（3分）系統(tǒng)中可能存在的渦

旋構(gòu)型如圖5e所示。沿著圍繞渦旋中

心的閉合回路走一圈，該閉合回路上圖5e

6

最近鄰格點力的磁矩取向角之差的和為

2（4心）=2兀/

。,力

這里，/是與渦旋結(jié)構(gòu)有關(guān)的一個正整數(shù)，/=1的情形如圖5e所示。為方便起見，考慮以

渦旋中心為圓心、較大半徑為r的閉合回路（圓），試求圓上相鄰格點取向角之差的平均值

（ii）（5分）當圍繞渦旋中心的回路半徑/?比較大時，可近似認為磁矩依次排列成半徑

差為°的一系列同心圓，相鄰?fù)膱A上最近鄰磁矩之間的夾角可認為是零。半徑小的區(qū)域也

作同樣近似，對總能量影響不大。由此估算圖5e所示的一個渦旋系統(tǒng)的能量。

（iii）（3分）如果渦旋的中心放在不同的位置，則可以認為系統(tǒng)處于不同的狀態(tài)。假

設(shè)在尺寸為￡、晶格常數(shù)為。的正方點陣上只有一個渦旋，試估算可能的狀態(tài)數(shù)A,進而計

算系統(tǒng)的崎S三人In。。

（iv）（6分）若系統(tǒng)存在某個溫度，高于或低于此溫度，系統(tǒng)性質(zhì)有明顯不同，則可

能發(fā)生了相變。對于一個渦旋系統(tǒng)，找出可能的相變溫度，并加以說明。

7

第38屆全國中學生物理競賽決賽試題與參考解答

一、（64分）一個不透明薄片上的小圓孔如圖la中黑I.

色之間的部分所示，半徑OM為1.00mm。用波長

2=632.8nm的氮覆激光作為光源從小孔左側(cè)平行正M

入射。在垂直于小孔的對稱軸上右側(cè)有某個點P；相出

對于P點，小孔處的波面可視為半波帶的組合：以P01"一一

點為球心，P點到小孔中心O的距離為%.

分別以％+￡、4+2x,、%+3x白、…為半徑做球|

圖la

面，將小孔所在平面的波面劃分成N個環(huán)帶（N為自

然數(shù)），P點到小孔邊緣M的距離為4+N],半徑最小的環(huán)帶則是一個圓面，這樣劃分出

的環(huán)帶稱為半波帶（因為相鄰環(huán)帶的相應(yīng)邊緣到P點的光程差為4）。顯然，環(huán)帶的數(shù)目N

2

決定了P點的位置。在需要將原有半波帶重新劃分或合并時，只考慮將已有的每個半波帶

重新劃分為若干個新的半波帶，或者將已有的若干個半波帶重新合并為一個新的半波帶。

（1）（8分）若N=2"+l,試分別求相應(yīng)于〃=0和”=1時P點的位置P0（P。為軸上最右

側(cè)的亮點，稱為主焦點）和R也為亮點，稱為|

次焦點）。|

（2）（24分）若N=4（4級波帶片），且在第1、3

半波帶放置透明材料（圖1b中灰色部分），使通過-----------------

oP'i以]

該透明材料的光增加，光程。求；

（i）（8分）此4級波帶片的主焦點以的位置；|

（ii）（8分）緊鄰主焦點以左側(cè)暗點巴的位置；圖北

（iii）（8分）緊鄰主焦點以右側(cè)暗點舁的位置。

（3）（32分）波帶片不僅可|

以實現(xiàn)平行光的聚焦，還可以|

成像。以上的4級波帶片平行

光的聚焦過程，相當于物距無一._________________________________________________.

窮遠、像距等于焦距的情形。$

將一個點光源（物）置于軸上I

O點左側(cè)3m處的S點，其像|

點為卜，如圖1c所示。圖ic

（i）（10分）4級波帶片

主焦點對應(yīng)的像距OS，是多少？并驗證成像公式是否滿足。

（ii）（8分）如果該波帶片所成的像不是唯一的，軸上還有其他像點，那么距離第（3）

（i）問所得到的像點最近的另一個像點在哪里？與此成像過程對應(yīng)的次焦點的焦距是多

少？（不能應(yīng)用成像公式）

（iii）（14分）如果將物放置于此波帶片左側(cè)，與O點距離為OP：/2,求分別將4級

波帶片的主焦點和（3）（ii）所述的次焦點作為焦點而成的像的類型（虛像或?qū)嵪瘢┡c位置。

（不能應(yīng)用成像公式）

1

參考解答：

（1）（8分）對于焦點P,固定點P0和PM的距離差為1/2波長。設(shè)P到小孔中心的距離為

r0（P點位置坐標為x）,由半波帶法有

次+.=^+y①

式中R是小圓孔半徑。利用題給數(shù)據(jù)得

2

1.00+x；=（x0+0.3164x10一3）2,

式中為=/mmo由此得

=1580mm②（4分）

設(shè)3波帶焦點耳到小孔中心的距離為耳（耳位置坐標為王），由半波帶法有

卜+,=4+（2xl+l）g（3）

利用題給數(shù)據(jù)得

2-32

1.00+xf=（x1+3x0.3164xl0）,

式中a=%mm。由此得

rx=527mm（4）（4分）

（2）（i）（8分）由于灰色部分增加了1/2波長，導(dǎo)致所有波帶到達固定點P；時，其光程差

同中心波帶的光程差變?yōu)?,九，九，因此四個波帶在固定點琮處并非兩兩相消，而是共同增

強，形成焦點。在計算幾何長度時，最外側(cè)波帶外緣的幾何長度與中心軸線的幾何長度相比,

增加2人，故

卜+力=4+2%⑤（4分）

利用題給數(shù)據(jù)得

1.002+x,2=（xr+4x0.3164xlO-3）2,

式中療=/mm。由此得

“'=395mm⑥（4分）

（ii）（8分）緊鄰焦點以左側(cè)的暗點匕出現(xiàn)于進一步劃分波帶片為8個波帶結(jié)構(gòu)，

封+以=,+4.⑦（4分）

利用題給數(shù)據(jù)得

1.002+%7=（X」+8x0.3164xmy,

式中=X：］mmo由此得到暗點P1］坐標為

匕=198mm⑧（4分）

（出）（8分）緊鄰焦點以右側(cè)的暗點凡出現(xiàn)于四個波帶兩兩歸并，整體視為兩個波帶

時出現(xiàn)：

西+瑞=.+.⑨（4分）

利用題給數(shù)據(jù)得

2

1.0。2+兀］2=（篇+2x03164）2,

式中匕=Kimmo得到暗點P。坐標為

￡=790mm⑩（4分）

（3）（i）（10分）光線從波帶片最外側(cè)經(jīng)轉(zhuǎn)折到達像點時，其幾何路徑長度和軸線相比，增

加了24。方程為

Js%+R2+Jsj+R?=§物+s像+4Xy?（4分）

式中S物=OS,S像=os\利用題給數(shù)據(jù)得

222

A/3000+1.00+1.00=3000+x2+2A

式中s像=x2mmo由此解出

s像=455mm?（4分）

成像公式為

代入題給數(shù)據(jù)得

f=395mm?（2分）

和4級波帶片焦距成即⑥式一致，成像公式成立。

（ii）（8分）下一個像點，需要將4級波帶片拆解為12級波帶片。因此上一問中所表述的

路徑差即為6九，方程為

+R?++R。=s物+s%+3x4x萬?（2分）

利用題給數(shù)據(jù)得

222

A/3000+1.00+7^3+1.00=3000+x3+62

式中s%=x3mm。由此解出

5^=137mm?（2分）

對應(yīng)的次焦點是將4級波帶片拆解為12級波帶片時對應(yīng)的焦點。每個波帶片按照奇數(shù)

次拆分時可獲得對應(yīng)的新的次級焦點，因此4級波帶片中的每個波帶需拆分為3個波帶才

能獲得此次焦點。

“2+.2=/，+3x4xg?（2分）

其中/'為次焦點的焦距。利用題給數(shù)據(jù)得

7/，2+1.002=f'+6A

由此解出：

/r=132mm?（2分）

3

即次焦距為132mm。

（iii）（14分）考慮將4級波帶片的主焦點作為焦點而成的像。由于物點在左側(cè)主焦點和波

帶片之間，仍然在左側(cè)。由⑥式或?式知

于=%=395mni,

據(jù)題意知物距為

f

s物=3=198mm?

設(shè)像距為sQ則

Js二+—2++R2=5物+s[+4x—?（3分）

利用題給數(shù)據(jù)得

222

A/198+1.00+7X4+1.00=198+X4+22

式中s%=X4inm。由此解出

Sg=-396mm,?（2分）

即該像點為虛像，在左側(cè)焦點位置。?（2分）

考慮將在第（3）（ii）小問中所述的次焦點作為焦點所成的像。設(shè)像距為感，則

&+R2+反+*=%+SQ3x4x1?（3分）

利用題給數(shù)據(jù)得

222

7198+l+7%f+1=198+x5+6/l

式中s*=x5mmo由此解出

5^=393mm,@（2分）

即該像點為實像，在波帶片右側(cè)393mm處的位置。?（2分）

評分標準：

第（1）問8分，②④式各4分；

第（2）問24分，

第（i）小問8分，⑤⑥式各4分；

第（ii）小問8分，⑦⑧式各4分；

第（iii）小問8分，⑨⑩式各4分；

第（3）問32分，

第（i）小問10分，??式各4分，?式2分；

第（ii）小問8分，????式各2分；

第（iii）小問14分，?式3分，??式各2分，?式3分，③式2分，結(jié)論?式2分。

4

二、（64分）2021年6月神州12載人火箭與天宮太空站成功對接，這里涉及到追擊者（神

州12火箭）與目標（太空站）在繞地軌道相遇的問題。

本題采用霍爾曼變軌方案來探究追擊者如何改變速度

（速率和方向）與固定軌道上的目標實現(xiàn)對接（相遇）。

如圖2a,目標A和追擊者c都在以半徑為4的圓

軌道上以速率。。逆時針運動。在0時刻兩者的位置分

別為

名,=4,%=。，K產(chǎn)％=4

在此時刻，追擊者C瞬間點火，速度瞬間改變（如

圖2b所示）；c的軌道也從半徑為4的圓軌道瞬間變?yōu)閳D2c

所示的橢圓軌道，橢圓軌道的長軸與極軸方向（中心到點火

時c的位置的連線）之間的夾角為。（。是沿順時針方向測

量的）。c的運動方向與極軸方向之間的夾角記為Q（Q正方

向為逆時針方向）,c與中心相距1（Q）-

（1）（10分）若飛行物的質(zhì)量〃八能量E（實際為飛行物

和地球組成系統(tǒng)的總機械能）和角動量工均為已知量，試用

E、L、切和題給的已知參量%、%等來表示軌道參量R、

￡。已知：正橢圓軌道（長軸沿極軸方向）在極坐標下的形圖2b

式（原點取為右焦點）為

1+2C0S。

其中，R是軌道尺寸參量，￡是軌道偏心率，統(tǒng)稱為軌

道參量。

（2）（6分）寫出點火（見圖2c）后追擊者c的軌道MQ）

的表達式，用“、偏心率￡■和0表示。

（3）（6分）寫出點火后追擊者c的軌道周期7；與目標

A的周期7；之比北/北，用￡和。表示。

（4）（18分）定義兩個點火參數(shù)（見圖2b）：無量綱圖2c

的速度大小改變率6=3，與%之間的夾角a（重

%

合時a=0,順時針方向取為正方向）。試用點火參數(shù)5和a來表示追擊者c的軌道的偏心率

￡?和€COS°o

（5）（9分）考慮追擊者c和目標A在第一類軌道匯合點（見圖2c）相遇的情形。設(shè)自0

時刻起目標A經(jīng)過第一類軌道匯合點的次數(shù)為"A，追擊者c經(jīng)過第一類軌道匯合點的次數(shù)

（起始時不計在內(nèi)）為電。在0時刻，%=00,%=0。求力4，用%、為、￡和。表示。

（6）（3分）將〃人用6、a表出，固定試求函數(shù)相對于&變化的兩個簡單、明顯

的極值點/（以便即使噴火時角度a相對于為有一些偏差，但解依然近似成立，便于成功

對接）。

（7）如果取上述兩個％值之一，

⑴（6分）S值有一個上限黑，（即若，追擊者c和目標A不會相遇），求黑x；

（ii）（6分）令”的初始值為q，試寫出S與劣、限、/的關(guān)系式；并求當為=］、

〃A=2、4=1時S的值。

5

參考解答：

（1）由軌道方程可知

①（2分）

總能量￡、軌道角動量工為守恒量：

L=俏°近樂=mv^r&=mvr

或

L

v=——②（2分）

mr

系統(tǒng)總能量為

17cz2CI}

E=----1------=------1-------③（2分）

r

&2mr近r&2mr&

其中

C=GMm=m%v：

這里，利用了

GMm說

——--=m—

44

由①②③式和。的表達式得

￡2

R=F~~r④（2分）

mrovQ

⑤（2分）

（2）追擊者c的橢圓軌道點火后變?yōu)槠D(zhuǎn)的橢圓。按題中角度定義，這偏轉(zhuǎn)的橢圓軌道為

^（^0）=--------Z-示⑥（3分）

l+￡COS（q+0）

初始條件為

%=!，當q=o

代入⑥式得

R=4（1+￡COS。）⑦（1分）

于是

心善比*⑧（2分）

l+￡COS（q+0）

（3）由⑥式可得點火后的橢圓軌道的長軸長度2a為

2a=b+””+￡cos。）+%（l+￡cos0）=27式1+￡；0$0）⑨（2分）

1+￡1-f1-￡2

目標A的軌道長軸為2%。由開普勒第三定律得

導(dǎo)修―「⑩（4分）

6

（4）現(xiàn)將點火后速度用點火參數(shù)表達。取極坐標，徑向（從圓軌道中心即焦點指向追擊者c

所在位置的矢徑方向）速度為

vr=v08sina

切向（垂直于矢徑的方向）速度為

%=%（1+Scosa）?（1分）

由角動量Z守恒有

L=mrove=mrovo（l.+8cosa）?（2分）

由?式和

“（1+ECOS0）“（1+ECOS0）

生=-iT；—'位=一二一

得，在近地和遠地點速率為

L4%(l+bcosa)(1+^)(1+8cosa)

°近二=-------------------------=Vr.

冽生q(l+￡COS/)u1+￡COS。

l+￡?（2分）

Lrovo(1+rJcoscr)(1一g)(l+bcosa)

°遠==---------------------=Vn

mr遠樞1+ecos。)1+ECOS0

\-￡

由能量守恒有

C12cL2

E=--------F—mv=----+-------?（2分）

r2r2mr

在遠地和近地點有

C1i=~~+\mv&

-------1——mv

七2r訴2

此即

(1一￡)。1(1-￡,)(1+8cosa)(1+￡)C1(l+￡)(l+5cosa)

-----------------+-m+—m

“(1+￡COS。)21+ECOS。4(1+￡COS°)21+ecos。

化簡后有

C2（l+5cosa）2

—二mvQ-----------------

r01+ecos。

利用。的表達式，上式即

1+￡cos0=(1+5cos。)？

或

8cos°=bcosa(2+8cosa)?（3分）

點火后(，=0)沿軌道徑向速度和切向速度大小之比為

v_3sina_1dry_esin。

r?（3分）

"ol+5cosa41d，J4=01+￡COS。

此即

7

6sina

￡sin/=(l+￡cos°)

l+5cosa

=(1+23cosa+32cos2a)-------------?（1分）

1+8cosa

=5sina(l+5cosa)

由??式得

s=sjl+3cos2a+25cosc(1+cos2a)+81cos2a?（4分）

［（解法二）

現(xiàn)將點火后速度用點火參數(shù)表達。取極坐標，徑向（從圓軌道中心即焦點指向追擊者c所在

位置的矢徑方向）速度為

vr=sina

切向（垂直于矢徑的方向）速度為

（分）

ve=%(l+bcosa)?1

由角動量工守恒有

（分）

L-mrQv0=mr0v0fl+8cosa)?2

由④?式得

尺」叫。。（l：S：osa）］2=%（i+5c°se）2?（2分）

由⑦?式得

(1+ecos0)=(1+5cosa/?（2分）

于是

scos0=3cosa(2+8cosa)?（3分）

變速后的能量

lGMm+；加［W(1+bcosa)2+v1S2sin2a~\

E二----------------?（2分）

利用C=GMm=mrovl得

1

E=-mv1+—m［若(1+Scoscz)2+說*sin2tz］?（2分）

2

將?式代入⑤式得

a+23cosa(l+cos2tx)+8~cos2a?（4分）

1

（5）在,時刻兩者相遇，要求：

=nT=nT--^-T

tccAAA?（3分）

利用⑩?式得

3/2

%北綜1+￡COS0