2024年天津市紅橋區中考一模數學試題

學校:姓名：班級：考號：

一、單選題

1.cos30。的值等于（）.

A.yB.立C.走D.1

222

2.下列圖案中，既是軸對稱圖形，又是中心對稱圖形的是（）

3.下面四個關系式中，y是尤的反比例函數的是（）

4%4

A.-y=2x+lB.y=-------C.y=2x2+x+lD.y=------

33x

4.下圖是一個由6個相同的正方體組成的立體圖形，它的主視圖是（）

5.如圖，在RtAABC中，ZABC=90°,。為邊AB上一點，過點。作。垂足

為E,則下列結論中正確的是（）

一，BC

A.sinA=^B.cosA=^C.tanA=----D.tanA=----

ABADADBC

6.若一元二次方程：+3%一6=。的兩個根分別為玉、x?則玉乙的值等于（）

A.—6B.6C.-3D.3

7.若兩個相似多邊形的面積之比為1:3,則它們的相似比為（）

A.1gB.1:3C.1:6D.1：9

8.若點A（%,-3）,8（%,-1）,C（￡,l）都在反比例函數y=T的圖象上，則占，巧，

X3的大小關系為（）

A.xx<x2<x3B.x2<x1<x3C.x2<x3<xxD.x3<x2<xx

AE2

9.如圖，在?A5CD中，石是邊A3上一點，連結AC,OE相交于點E若二=彳,

EB3

則黑AF等于（）

CF

10.已知一次函數,=履+〃7（鼠根為常數，左/。）的圖象如圖所示，則二次函數

11.如圖，數學活動課上，為測量學校旗桿高度，小菲同學在腳下水平放置一平面鏡，

然后向后退（保持腳、鏡和旗桿底端在同一直線上），直到她剛好在鏡子中看到旗桿的

頂端.已知小菲的眼睛離地面高度為1.6m,同時量得小菲與鏡子的水平距離為2m,鏡

子與旗桿的水平距離為10m,則旗桿高度為（）

試卷第2頁，共6頁

A.6.4mB.8mC.9.6mD.12.5m

12.已知開口向下的拋物線y=ax2+bx+c（a,b,c為常數，。二0）與x軸的一個交點

的坐標為（6,0）,對稱軸為直線x=2.有下列結論：①a-b+c>Q-,②方程

cr2+bx+a=o的兩個根為玉=-！，％=!；③拋物線上有兩點產（即％）和。（々，%），

若》1<2<》2且Xl+%2>4,則丁1>〉2.其中正確結論的個數是（）

A.0B.1C.2D.3

二、填空題

13.一個不透明的袋子里裝有8個球，其中有5個紅球，3個白球，這些球除顏色外其

它均相同.現從中隨機摸出一個球，則摸出的球是白球的概率為.

14.tan450+2sin30°的值等于.

15.反比例函數的圖象經過點尸（-1,2）,則此反比例函數的解析式為.

16.若二次函數、=-非+》+左（左為常數）的圖象與x軸有兩個公共點，則上的取值范圍

是—.

17.如圖，在矩形ABCD中，AB=4,BC=3,以點B為圓心，適當長為半徑畫弧，

分別交BC,BD于點E,F,再分別以點E,尸為圓心，大于長為半徑畫弧（弧

所在圓的半徑相等），兩弧相交于點尸，作射線5尸，過點C作3尸的垂線分別交即，AD

于點N,垂足為。，則CN的長為.

18.如圖，在每個小正方形的邊長為1的網格中，ABC內接于圓，且頂點A,C均在

格點上，頂點B在網格線上.

①線段AC的長等于；

②請用不刻度的直尺，在如圖所示的網格中，畫出一個以A3為邊的矩形A3PQ,并簡

要說明點P,Q的位置是如何找到的(不要求證明).

三、解答題

19.如圖，在RtZXABC中，ZA=90°,AB=3,AC=4,求sinC,cosC,tanC的值.

20.在ABC中，DE分別為邊AB,AC上的點，若AB=8,AC=6,AD=3,AE=4.

⑵若BC=1,求OE的長.

21.已知尸(2,3)在反比例函數>=_⑺為常數，且相片-2)的圖象上.

(1)求m的值，并判斷該反比例函數的圖象所在的象限；

⑵判斷點4(3,2),8(4,-2),C(-L-6)是否在該反比例函數的圖象上，并說明理由;

(3)若。為x軸上一點，且OP=PQ,求△。尸。的面積.

22.已知A3與O相切于點B,直線AO與，。相交于C,D兩點(AO>AC),E為BD

的中點，連接0E并延長，交42的延長線于點

試卷第4頁，共6頁

D

D

(1)如圖①，若E為"的中點，求/A的大小;

(2)如圖②，連接30與OF相交于點G,求證：Z￡>=ZF.

23.如圖，一艘海輪位于燈塔尸的北偏東61。方向上的A處，它沿正南方向航行70海里

后，到達位于燈塔尸的南偏東45。方向上的B處.求此時海輪距燈塔的距離BP(結果取

整數).參考數據：tan6：T7L8,0取1.4.

24.在平面直角坐標系中，點0(0,0),A(2,0),網2,2力))，C,D分別為。4,03的

中點.以點O為中心，逆時針旋轉0CD得.OC'D,點C,。的對應點分別為點C',￡>白

⑴填空：如圖①，當點DC落在y軸上時，點必的坐標為，點C'的坐標為；

(2)如圖②，當點C'落在03上時，求點0c的坐標和3￡>’的長；

(3)若M為CD的中點，求的最大值和最小值(直接寫出結果即可).

25.已知拋物線y=ax2+bx+4(a,b為常數，"0)經過A(-LO),8(4,0)兩點，與丁

軸交于點C,其頂點為D

(1)求該拋物線的解析式；

⑵求四邊形ACDB的面積；

(3)若P是直線3C上方該拋物線上一點，且ZACO=NPBC,求點P的坐標.

試卷第6頁，共6頁

參考答案：

1.C

【分析】根據特殊三角函數值來計算即可.

【詳解】cos30。=且

2

故選：C.

【點睛】本題考查特殊三角函數值，熟記特殊三角函數值是解題的關鍵.

2.D

【分析】本題考查軸對稱及中心對稱的定義，掌握中心對稱圖形與軸對稱圖形的概念，要注

意：軸對稱圖形的關鍵是尋找對稱軸，圖形兩部分折疊后可重合；中心對稱圖形是要尋找對

稱中心，旋轉180。后與原圖重合.

根據軸對稱圖形與中心對稱圖形的概念即可判斷.

【詳解】解：選項A是軸對稱圖形而不是中心對稱圖形，

選項B是軸對稱圖形不是中心對稱圖形，

選項C是軸對稱圖形而不是中心對稱圖形，

選項D是既軸對稱圖形又是中心對稱圖形.

故選：D.

3.D

【分析】本題考查了反比例函數的識別，形如>=上（左為常數且左W0）的函數叫做反比例

X

函數，由此判斷即可.

【詳解】解：A,-y=2x+i是一次函數，不是反比例函數，不合題意；

B,了=一4號x是一次函數，不是反比例函數，不合題意；

C,,=2/+戈+1是二次函數，不是反比例函數，不合題意；

4

D,y=-h是反比例函數，符合題意；

故選D.

4.A

【分析】本題考查了判斷簡單組合體的三視圖，熟知主視圖是從正面看到的圖形是解題的關

鍵.根據主視圖是從正面看到的圖，即可解答.

答案第1頁，共19頁

【詳解】解：該立體圖形的主視圖為:

故選：A.

5.B

【分析】本題考查解直角三角形，關鍵是掌握銳角三角函數定義.由銳角的三角函數定義,

即可判斷.

【詳解】解：DEIAC,

:.ZAED=ZABC=90°,

A、sinA=q標，故A不符合題意；

/IC-

B、結論正確，故B符合題意；

C、tanA=1f,故C不符合題意；

D、tanA=空，故3不符合題意.

AB

故選：B.

6.C

【分析】本題考查了一元二次方程根和系數的關系，根據兩根之積等于￡即可求解，掌握一

a

元二次方程根和系數的關系是解題的關鍵.

【詳解】解：???2/+3》-6=0的兩個根分別為毛、巧，

.__6_&

??石=-3，

故選：C.

7.A

【分析】本題考查了多邊形相似的性質.熟練掌握兩個相似多邊形的面積之比等于相似比的

平方是解題的關鍵.

根據兩個相似多邊形的面積之比等于相似比的平方求解作答即可.

【詳解】解：由題意知，若兩個相似多邊形的面積之比為1:3,則它們的相似比為1:目，

故選：A.

8.B

【分析】本題考查比較反比例函數自變量的大小，將函數值代入求出對應的自變量羽比較

答案第2頁，共19頁

大小即可.

【詳解】解：點A（和-3）,C（$,l）都在反比例函數y的圖象上,

333

--3=--1=—1=—

Xx2x3

解得玉=T,x2=-3,￡=3

x2<xl<x3,

故選B.

9.C

【分析】此題考查了平行四邊形的性質、相似三角形的判定和性質等知識.四邊形是平行四

AF

邊形，則AB=CD,ABCD,可證明尸s。。尸，得至!j——=——,由進一步即可得到

CFDC

答案.

【詳解】解：是平行四邊形，

AAB=CD,ABCD,

又：艾=2,

EB3

?AE_2

??一，

DC5

XVABCD,

：.ZCAB=ZDCAfZAED=/CDE,

：.AEFS;CDF,

.AFAE

**CF-Bc_5J

故選C.

10.A

【分析】本題考查了一次函數圖象分布，反比例函數圖象的分布，熟練掌握圖象分布與女,

機的關系是解題的關鍵.

【詳解】解：???一次函數丁=丘+相圖象經過一、二、四象限，

左（0,m0,

???二次函數》=依2+加的開口向下，頂點在y軸的正半軸；反比例函數y=A的圖象位于二、

X

四象限，

答案第3頁，共19頁

符合的圖象為A,

故選A.

11.B

【分析】根據鏡面反射性質，可求出NACS=NECD,再利用垂直求ABCsEDC,最后

根據三角形相似的性質，即可求出答案.

【詳解】解：如圖所示，

由圖可知，ABA.BD,CD上DE,CF±BD

\2ABC?CDE90?.

根據鏡面的反射性質,

IZACF=ZECF,

???90°-ZACF=90°-ZECF,

:.ZACB=ZECD,

1.ABCsEDC,

.AB_BC

'~DE~~CD'

小菲的眼睛離地面高度為1.6m,同時量得小菲與鏡子的水平距離為2m,鏡子與旗桿的水

平距離為10m,

.,.AB=1.6m,BC=2m,CD=10m.

.L6_2

:.DE=8m.

故選：B.

【點睛】本題考查了相似三角形的應用，解題的關鍵在于熟練掌握鏡面反射的基本性質和相

似三角形的性質.

12.D

【詳解】解：畫出拋物線大致示意圖：

答案第4頁，共19頁

由圖象可知：。<0,可0,00,拋物線與X軸另一個交點為（-2,0）,

①當了=-1時，a-b-^-c>0,①正確；

ba

②由。%2+云+。=0可得方程的兩根關系為:%+%=-一=一，

CC

方程0￥2+樂+。=0的兩根為一2,6,

：.--=4,-=-n,推導出一2=一!，

aac3

而若方程Cx2+fex+Q=0的兩個根為玉=一（,％2二1，

26

則一2=_1+[=_:，0=_1,故方程C/+樂+4=0的兩個根為％=_1,無2=,，②正確;

c263c1226

③拋物線開口向下，對稱軸為直線x=2,若X,<2<x2,且％+々>4,則點“小％）到對稱

軸的距離小于點。（尤2,%）到對稱軸的距離，則M>必，③正確；

故選:D.

3

13.-/0.375

8

【分析】直接利用概率計算公式求解即可.

【詳解】解：：袋子里裝有8個球，其中有5個紅球，3個白球，

.??從中隨機摸出一個球，則摸出的球是白球的概率為。，

O

故答案為：I.

O

【點睛】本題考查簡單的概率計算，熟知概率計算公式是解答的關鍵.

14.2

【分析】本題考查了特殊角的三角函數值，解決本題的關鍵是熟練記憶一些特殊角的三角函

數值.

【詳解】解：tan450+2sin30°=l+2x|=l+l=2,

故答案為：2.

答案第5頁，共19頁

k

【分析】設反比例函數的解析式為y=勺(上片0),由已知把(-1,2)代入解析式求得左的

值，即可求出解析式.

k

【詳解】設反比例函數的解析式為y=—(左WO),

X

把(-1,2)代入則有2=二，

解得:仁2,

2

所以反比例函數的解析式為：y二-一，

x

2

故答案為產-4.

X

【點睛】本題考查了待定系數法求反比例函數的解析式，熟練掌握待定系數法是解題的關鍵.

16.k>

4

【分析】本題考查了二次函數與一元二次方程，根的判別式.熟練掌握二次函數與一元二次

方程，根的判別式是解題的關鍵.

由題意知，A一4x(—l)x左>0,計算求解即可.

【詳解】解：由題意知，A=l2-4x(-l)xZr>0,

解得，k>-■-,

4

故答案為：k>-7.

4

17.2^5

【分析】本題考查相似三角形的判定和性質，矩形的性質，勾股定理，角平分線的性質，關

鍵是由角平分線的性質，三角形面積公式求出CK的長，由-CDNs&BCK,推出

CN：BK=CD：BC,即可求出CN=2VL

設BP交CD于K,過K作KH_LBD于H,由矩形的性質推出/BCK=NCDN=90。，

CD=AB=4,由勾股定理求出=J3c2+a>2=5,由三角形面積公式得到

-BCCD=-BCCK+-BDKH,由角平分線的性質得到CK=m，因此3x4=3CK+5CK,

222

求出CK=2，由勾股定理求出8K=JBC2+CK?由CDNsBCK,推出

22

答案第6頁，共19頁

CMBK=CDBC,即可求出CN的長.

【詳解】解：設B尸交8于K,過K作KH_LBD于〃,

???四邊形ABCD是矩形，

../BCK=/CDN=900,CD=AB=4,

BC=3,

，BD=JBC2+CD2=5,

BCD的面積=5CK的面積+BDK的面積，3c?CD=g3C.CK+；3DK”,

由題意知：BP平分/CBD,

KHLBD,KCLBC,

:.CK=KH,

.?.3x4=3CX+5cX,

:.CK=~,

2

BK=>JBC2+CK2=—,

2

QCO1BO,

ZCBK+ZBCO=ZDCN+Z.BCO,

:"CBK=/DCN,

ZBCK=ZCDN,

z.CDNsBCK,

:.CN：BK=CD：BC,

...CM垣=4：3,

2

/.CN=2A/5.

故答案為：2石.

答案第7頁，共19頁

18.Vio見解析

【分析】本題考查作圖一復雜作圖，勾股定理、矩形的判定，解題關鍵是理解題意，靈活運

用所學知識是關鍵.

①利用勾股定理解題即可；

②先根據直角所對的弦是直徑確定圓心，利用對角線相等且平分的四邊形是矩形作圖即可.

【詳解】?AC=V32+12=710>

②如圖，取格點。，連接C。與圓相交于點P,連接AP；取圓與網格線的交點E,凡

連接政，與A尸相交于點。；連接2。并延長，與圓相交于點。；連接3尸，PQ,AQ,

則四邊形A3尸Q即為所求.

1________AHAn

【分析】由勾股定理得，BC=dAB?AC?=5,根據sinCMR^cosCMH^tanCuM；

￡>CnCnC

計算求解即可.

【詳解】解：由勾股定理得，BC^y/AB2+AC2=5>

???立。絲=鼠叱=生/而。=空二,

BC5BC5BC4

【點睛】本題考查了勾股定理，正弦、余弦、正切.熟練掌握

正弦二歌'余弦二照'正切二帖是解題的關鍵?

20.(1)見解析

7

⑵DE=_

2

【分析】本題主要考查了三角形相似的判定和性質，解題的關鍵是熟練掌握三角形相似的判

答案第8頁，共19頁

定方法.

(1)證明△ADEs^ACB,得出NADEuNACB即可；

(2)根據△ADEs^ACB得出獎=g，然后代入數據求值即可.

BCAC

【詳解】(1)解：VAB=8,AC=6,AT>=3,AE=4,

.ADAC3

**AE-AB-4'

VZA=ZA,

:.Z\ADE^Z\ACB,

：.ZADE=ZACB.

(2)解：由(1)得：4^DES4\CB,

.DEAD

**BC-AC

?DE_3

??=~,

76

7

解得：DE=-.

2

21.(l)m=4,該反比例函數的圖象在第一、三象限

(2)點A,C在這個函數的圖象上，點8不在這個函數的圖象上，理由見解析

(3)6

【分析】(1)由點尸(2,3)在該反比例數的圖象上，可得3=看工，可求〃=4,由機+2=6>0,

判斷反比例函數的圖象所在的象限即可；

(2)由(1)可知，該反比例函數的解析式為丫=9,然后將3個點坐標代入判斷即可；

X

(3)由。為x軸上一點，且OP=PQ,可知△。尸。是等腰三角形，且點。的坐標為(4,0),

根據S,“°=<00%,計算求解即可?

【詳解】(1)解：：點尸(2,3)在該反比例數的圖象上，

?Q_m+2

2

解得機=4.

m+2=6>0,

..?該反比例函數的圖象在第一、三象限.

答案第9頁，共19頁

（2）解：由（1）可知，該反比例函數的解析式為y=9,

X

當x=3時，y=2；

3

當x=4時，y=-^-2；

當工二一1時，丁=一6；

???點A,。在這個函數的圖象上，點5不在這個函數的圖象上.

（3）解：???。為％軸上一點，且OP=P。，

△。尸。是等腰三角形，且點Q的坐標為（4,0）,

*e-5OPO=；°Q.力=gx4x3=6,

???△。尸。的面積為6.

【點睛】本題考查了反比例函數解析式，反比例函數的性質，等腰三角形的判定，坐標與圖

形等知識.熟練掌握反比例函數解析式，反比例函數的性質，等腰三角形的判定，坐標與圖

形是解題的關鍵.

22.（1）/4=30。

（2）見解析

【分析】本題考查了切線的性質和垂徑定理和圓周角定理，解題關鍵熟練運用修改性質進行

推理證明.

（1）連接OB,如圖①，先根據切線的性質得到NO3尸=90。，再利用余弦的定義求出

/3。6獷=60。，接著根據圓心角、弧、弦的關系得到/。0E=/3。e=60。，所以4403=60。,

然后利用互余得到Nk的度數；

（2）連接如圖②，根據垂徑定理得到再利用等角的余角相等得到

ZOBD=ZF,加上=從而得到NO=NF.

【詳解】（1）解：連接02,如圖①，

池與；。相切于點2,

:.OBrAF,

:.ZOBF=90°,

E為。尸的中點，

:.OE=EF,

答案第10頁，共19頁

:.OF=2OB,

在RtAOBF中，

cosZBOF=-=-

OF2f

:.ZBOOF=60°,

點E為的中點，

:"DOE"BOE=60°,

,\ZAOB=60°f

圖①

(2)證明：連接03,如圖②,

點E為應）的中點，

:.OE上BD,

:.NOGB=90。,

/OBD+NBOF=9U,ZBOF+ZF=90°,

:.ZOBD=ZF,

OB=OD,

:.N0BD=ND,

圖②

23.此時海輪距燈塔的距離族約為63海里.

答案第11頁，共19頁

【分析】本題考查的是解直角三角形的應用一方向角問題，掌握方向角的概念、熟記銳角三

角函數的定義是解題的關鍵.

過點尸作尸于尸，設PC=x海里，根據等腰直角三角形的性質用尤表示出3C,根據

正切的定義用x表示出AC,根據題意列出方程，解方程得到答案.

【詳解】解：過點P作尸CLAB于P,

設尸C=x海里，

由題意得，ZA=61°,ZB=45°,AB=70海里，

在RtAPCB中，ZB=45°,

：.BC=PC=x（海里），PB=y/2PC=42x（海里），

PC

在RtAACP中，ZA=61°,tanA=——,

AC

PCx

貝niUlAC=------h—,

tanA1.8

由題意得，*+x=70,

1.o

解得，x=45,

貝！=（海里），

答：海輪距燈塔的距離BP約為63海里.

(2)(-1,^),BD=26

(3)4+也,4一立

22

【分析】⑴過C作CHLv軸于H,由網2,2⑹，O為08中點，得￡＞（1,⑹，即得

答案第12頁，共19頁

OD=J+（國=2,根據以點。為中心，逆時針旋轉OCD,得OCD,知8'=0D=2,

故D（O,2）；由4（2,0）,2（2,2道），可得軸，tanZAOB=^=73>從而

ZAOB=60。=ZCOD=ZCOD',^C'H=-OC=-,OH=6cH=@,故J；

22、2（22）

故答案為：（0,2）1￥，；j；

（2）當點C落在。8上時，過。0作軸于M,求出

1lL

ZEfOG^l80°-ZAOB-ZCOD=60°,即可得0G=5。。=1,DG=6oG=E,故

玖-1,6）；BD'=2A/3;

（3）由C,。分別為。4,。8的中點，可得CD〃AB,CD=^AB=6,從而

ZDCO=ZBAO=90°,根據以點。為中心，逆時針旋轉,。CD,得：0CD,可得

ZD'C'O=ZDCO=90°,CD=CD=y/3,即得CMCD'=—,

22

OM=ylCM2+OC'2=—,知M在以。為圓心，正為半徑的圓上運動；當BM最大時,

22

M在80的延長線上，求出BM=O8+OM=4+E,即最大值為

2

4+—；當2M最小時，M在線段。8上，BM=OB-OM=4--,即最小值為4-立.

222

【詳解】（1）解：過C'作軸于"，如圖：

網2,2@,。為08中點,

川1,6),

.?.OD=+=2,

答案第13頁，共19頁

:以點。為中心，逆時針旋轉OCD,得OCD,

:.OD=OD=2,

:點。，落在y軸上,

.?.。（0,2）；

A（2,0）,C為。4中點，

OC=-OA=1=OC,

2

A（2,0）,3（2,2月,

無軸，tanNAOB=^=6

2

ZAOB=60°=ZCOD=ZC'OD',

:.ZCOH=90。—60°=30°,

C'H=-OC=—,OH=y/3C'H=,

-Ck^；

（。’2）,降）

故答案為:

（2）解：當點C'落在OB上時，過必作。軸于M,如圖:

由（1）知ZAOB=60°,/COD'=60°,OD'^2,ZD'OG=180。—ZAOB—ZC'OD'=60°,

.?.NGDO=30。，

OG=^OD'=1,D'G=y[3OG=5/3,

玖-L?,

B（2,26）,

答案第14頁，共19頁

.?.20=J（2+l）?+（2有一⑹2=2』；

二點次的坐標為卜1,若），30的長為26；

（3）解：如圖：

是AQ5的中位線，

CD//AB，CD=—AB=—x2^/3=#),

22

..〃CO=/R4O=90。，

:以點。為中心，逆時針旋轉OCD,得二OCD,

/DCO=NDCO=90°,CD=CD=B

M是C'￡>'的中點，

CM=-C'D'=—,

22

OM=y/CM2+OC'2=^l~+『=?，

r.M在以。為圓心，立為半徑的圓上運動；

2

當最大時，如圖：

答案第15頁，共19頁

八y/

D/

/.

------------------------->

cf<7OCA

Mv

D'

此時M在B。的延長線上，

網2,2月,

:.OB={22+(2國=4,

:.BM=OB+OM=4+—;

2

即最大值為4+逝；

2

當/最小時，如圖：

此時M在線段。3上，BM=OB-OM=4--,

2

最小值為4-也；

2

綜上所述，8M最大值為4+也，最小值為4-立.

22

【點睛】本題考查幾何變換綜合應用，涉及銳角三角函數,直角三角形性質及應用等，解題

的關鍵是掌握含30。的直角三角形三邊的關系.

25.(l)y=-x2+3x