專題03函數的基本性質專題03函數的基本性質

學習目標

1.函數、函數的運算；函數的奇偶性、單調性、周期性、函數的最大值或最小值。2.理解函數的概念，能使用函數的記號表示，

3.會求函數值，

4.會求簡單函數的定義域和值域。

5.理解函數運算意義，會求兩個函數的和與積。

6.掌握函數奇偶性、單調性、周期性概念，

7.會求一些簡單函數的最大值和最小值。知識梳理

重點1

函數的單調性定義：對于函數f(x)的定義域I內某個區間上的任意兩個自變量的值x1,x2,⑴若當x1<x2時，都有f(x1)<f(x2),則說f(x)在這個區間上是增函數；⑵若當x1<x2時，都有f(x1)>f(x2),則說f(x)在這個區間上是減函數.若函數y=f(x)在某個區間是增函數或減函數，則就說函數y=f(x)在這一區間具有單調性，這一區間叫做函數y=f(x)的單調區間.此時也說函數是這一區間上的單調函數.重點2

函數的奇偶性⑴偶函數：設（）為偶函數上一點，則（）也是圖象上一點.偶函數的判定：兩個條件同時滿足①定義域一定要關于軸對稱，例如：在上不是偶函數.②滿足，或，若時，.⑵奇函數：設（）為奇函數上一點，則（）也是圖象上一點.奇函數的判定：兩個條件同時滿足①定義域一定要關于原點對稱，例如：在上不是奇函數.②滿足，或，若時，.重點3

對稱變換：①y=f（x）②y=f（x）③y=f（x）重點4

判斷函數單調性（定義）作差法：對帶根號的一定要分子有理化，例如：

例題分析

例1．在上定義運算：，若不等式對任意實數恒成立，則實數的最大值為（）A． B． C． D．【答案】D【詳解】由，則即，所以恒成立，在上的最小值為，所以，整理可得，解得，實數的最大值為，故選：D例2．已知函數，則不等式的解集為（）A． B．C． D．【答案】A【詳解】因為，所以，所以，即，易知函數在上單調遞減，所以，即，解得或.故選A.跟蹤練習1．已知函數，，且，則下列結論中，一定成立的是（）A．，，B．，，C．D．2．已知函數，且，，，則??的大小關系為（）A． B．C． D．3．已知，且f(5)=7，則f(－5)的值是A．－5 B．－7 C．5 D．74．設是定義在上且圖象為連續不斷的偶函數，且當時是單調函數，則滿足的所有實數之和為（）A． B． C． D．5．已知函數的定義域為實數集，對，有成立，且，則A．10 B．5 C．0 D．-56．函數是定義在上的奇函數．若，則的值為（）A．6 B．5 C．4 D．37．已知函數是奇函數．（I）求m的值；（II）若對任意，恒有，求實數a的取值范圍．8．某溫室大棚規定，一天中，從中午12點到第二天上午8點為保溫時段，其余4小時為工作作業時段，從中午12點連續測量20小時，得出此溫室大棚的溫度(單位：攝氏度)與時間(單位：小時)近似地滿足函數關系，其中為大棚內一天中保溫時段的通風量.（1）當時，若一天中保溫時段的通風量保持100個單位不變，求大棚一天中保溫時段的最低溫度(精確到)；（2）若要保持一天中保溫時段的最低溫度不小于，求大棚一天中保溫時段通風量的最小值.9．上海市某地鐵項目正在緊張建設中，通車后將給更多市民出行帶來便利，已知該線路通車后，地鐵的發車時間間隔t（單位：分鐘）滿足，，經測算，在某一時段，地鐵載客量與發車時間間隔t相關，當時地鐵可達到滿載狀態，載客量為1200人，當時，載客量會減少，減少的人數與的平方成正比，且發車時間間隔為2分鐘時載客量為560人，記地鐵載客量為.（1）求的解析式；（2）若該時段這條線路每分鐘的凈收益為（元），問當發車時間間隔為多少時，該時段這條線路每分鐘的凈收益最大？10．已知二次函數（1）若在的最大值為，求的值；（2）若對任意實數，總存在，使得．求的取值范圍．

參考答案1．D【詳解】解：對于A，，，，因為，所以，而函數在區間上是減函數，故，與題設矛盾，所以A不正確；對于B，，，，可設，，，此時為最大值，與題設矛盾，故B不正確；對于C，取，，同樣為最大值，與題設矛盾，故C不正確；對于D，因為，且，說明可能如下情況成立、位于函數的減區間，此時，可得，所以成立、不在函數的減區間，則必有，所以，化簡整理，得成立．綜上所述，可得只有D正確故選：．2．D【詳解】因為，所以定義域為且關于原點對稱，又因為，所以為偶函數；當時，因為、均單調遞增，所以在上也單調遞增，又因為，，，所以，所以，所以，故選：D.3．A【詳解】解：因為，令，則，即為奇函數，又，所以，所以，所以，所以故選：A4．A【詳解】因為函數是定義在上且圖象為連續不斷的偶函數，且當時是單調函數，所以當時，是也是單調函數，且函數的圖象關于縱軸對稱，因此由或，當時，可得，顯然不是該方程的根，該方程根的判別式為，所以該方程有兩個不相等的實根，設為，則有，當時，可得，該方程根的判別式為，故該方程沒有實數根，綜上所述：滿足的所有實數之和為，故選：A5．D【詳解】對，有，所以，所以函數的周期為，所以，對于令可得，所以，即，故選：D.6．A【詳解】函數是定義在上的奇函數，則，解得．又，則，所以．故選：A7．（I）；（II）．【詳解】（I）因為函數的定義域為R，且是奇函數，所以，所以，所以m的值為；（II）由（I）得，所以函數是在R上的增函數，所以不等式等價于，即，所以，又，所以，所以，所以原不等式等價于恒成立，令，則，所以，令，所以在上單調遞減，所以，又，，所以，所以實數a的取值范圍為．8．（1）；（2）【詳解】（1）由題設知：，又均單調遞減，∴在上單調遞減，故當時，，∴大棚一天中保溫時段的最低溫度.（2）由題意，且，∴當時，由（1）知遞減，故只要即可，則，當時，，當且僅當時等號成立，故只要即可，則，若有，此時成立.∴綜上，在上，要保持一天中保溫時段的最低溫度不小于，大棚一天中保溫時段通風量的最小值為9．（1）；（2）分鐘.【詳解】（1）由題意知，（k為常數），因，則，所以；（2）由得，即，①當時，，當且僅當等號成立；②當時，在[10，20]上遞減，當時Q取最大值24，由①②可知，當發車時間間隔為分鐘時，該時段這條線路每分鐘的凈收益最大，最大為120元.10．（1）；（2）.【詳解】由解析式知：為開口方向向上，對稱軸為的二次函數，（1）當，即時，在上單調遞減，，不合題意；當，即時，在上單調遞減，在上單調遞增，，又，，在的最大值為，，解得：；綜上所述：.（2）若對任意實數，總存在，使得，則