臨澧一中2022屆高三數學解答題突破專項訓練導數及其應用02（函數零點問題）1．已知函數在區間，上的最小值為，最大值為1．（1）求實數，的值；（2）若函數有且僅有三個零點，求實數的取值范圍．2．已知函數．（1）求函數的單調區間和極值；（2）畫出函數的大致圖象，并說明理由；（3）求函數的零點的個數．3．已知函數的圖象在點處的切線方程為．（1）若對任意有恒成立，求實數的取值范圍；（2）若函數在區間內有3個零點，求實數的范圍．4．已知函數．（1）當時，求曲線在點，（1）處的切線方程；（2）當時，函數有兩個零點，求正整數的最小值．5．已知函數．（1）若函數在上單調遞減，求的取值范圍；（2）若函數在定義域內沒有零點，求的取值范圍．6．已知函數．（1）若，討論的單調性；（2）已知，若方程在有且只有兩個解，求實數的取值范圍．7．已知函數和．（1）若曲線和在處的切線斜率都為，求和；（2）若方程在區間，上有解，求的取值范圍．8．已知函數．（1）若為單調函數，求的取值范圍；（2）若僅有一個零點，求的取值范圍．9．已知函數，．（1）證明：有且僅有一個零點；（2）當，時，試判斷函數是否有最小值？若有，設最小值為（a），求（a）的值域；若沒有，請說明理由．10．已知函數．（1）當時，求函數在，上的最小值；（2）若函數在，上的最小值為1，求實數的取值范圍；（3）若，討論函數在，上的零點個數．11．設，．（1）討論在，上的單調性；（2）令，試判斷在上的零點個數，并加以證明．12．已知函數，其中，．（1）當時，求曲線在點，處的切線方程；（2）判斷是否存在極值，若存在，請判斷是極大值還是極小值；若不存在，說明理由；（3）討論函數在，上零點的個數．參考答案1．（1）函數，則，①當時，令，可得或，此時函數的增區間為，，的減區間為，由，，，（2），因為函數在區間，上的最小值為，最大值為1，則有，解得，；②當時，令，可得，此時函數的減區間為，，的增區間為，由，，，（2），因為函數在區間，上的最小值為，最大值為1，則有，解得，．綜上所述，，或，；（2）①當時，，，若函數有且僅有三個零點，實數的取值范圍為；②當，時，，，若函數有且僅有三個零點，實數的取值范圍為．2．（1）函數，定義域為，則，令，解得，當時，，則單調遞減，當時，，則單調遞增，故當時，函數有極小值，所以的單調遞增區間為，單調遞減區間為，有極小值，無極大值；（2）令，解得，當時，，當時，，所以的圖象經過特殊點，，，當時，與一次函數相比，指數函數呈爆炸式增長，增長速度更快，結合（1）中的單調性與極值情況，作出函數的圖象如圖所示：（3）函數的零點的個數為函數的圖象與直線的交點個數，由（1）以及（2）的圖象可知，當時，有極小值，結合函數的圖象，所以關于函數的零點的個數如下：當時，零點的個數為0個；當或時，零點的個數為1個；當時，零點的個數為2個．3．（1），．函數的圖象在點處的切線的方程為．（1），（1），，解得，．．，，．當時，函數取得最大值．對任意有恒成立，．．實數的取值范圍是，．（2）由（1）可得：，，令，解得，1．列表如下：100單調遞增極大值單調遞減極小值單調遞增由表格可知：當時，函數取得極小值（1）；當時，函數取得極大值．要滿足函數在區間內有3個零點，，解得，則實數的取值范圍．4．（1）當時，，，，（1），（1），故切線方程是，即；（2），當時，由可得，由得，由，得，①若時，在上單調遞增，至多1個零點，不合題意，②若時，函數在上單調遞減，在上單調遞減，（1），故若函數有2個零點，則，令，，則，在遞減，又（2），（3），（4），故存在使得，則的解集是，，綜上，的取值范圍是，，，故正整數的最小值是4．5．（1）因為函數在上單調遞減，所以在上恒成立，由，，可得，由于，則在上恒成立，令，，故在上單調遞增，所以只需即可，，所以，所以的取值范圍是，．（2）的定義域為，，令，，當時，單調遞增，，，，，故存在，使得，即，即①，兩邊取對數得②，而在上單調遞減，在，上單調遞增，故，故，將①②代入上式得，化簡得，因為，當且僅當，即時取等號，所以，故，即的取值范圍是．6．（1）依題可得，定義域為，所以．當時，由，得，由，得，則的單調遞減區間為，單調遞增區間為．當時，由，得，由，得或，則的單調遞減區間為，單調遞增區間為和．當時，恒成立，則的單調遞增區間為．當時，由，得，由，得或，則的單調遞減區間為，單調遞增區間為和．（2）．方程在有且只有兩個解，即關于方程在上有兩個不相等的實數根．令，，則．令，，則，因為在上恒成立，故在上單調遞增．因為（1），所以當時，有，即，所以單調遞減；當，時，有，即，所以單調遞增．因為，（1），，所以的取值范圍是．7．（1）函數的導數為，所以曲線在處的切線的斜率為①，的導數為，所以曲線在處的切線的斜率為②，由①②，解得，；（2）方程在區間，上有解，則在區間，上有解，設，則，當時，，遞增；當時，，，遞減．所以的最大值為（1），所以，所以．令，則，由的導數為，可得在遞增，遞減，則的最小值為（1），即有恒成立，由，得，所以在，遞減，在，遞增，所以在處取得最小值1，因為與相交有解，且．（e），（e），所以（1），所以，所以的取值范圍為．8．（1），因為為單調函數，故或’恒成立，因為，故只需或對于恒成立，令，則‘對于恒成立，所以為增函數，所以，由于時，，故不成立，即不可能為單調遞減函數，當恒成立時，，此時為單調遞增函數，所以當為單調函數時，的取值范圍為，；（2）因為（1），所以1是的一個零點，由（1）可知，當時，為上的增函數，所以僅有一個零點，滿足題意，當時，令’得，由（1）可知，在上為單調遞增，且，，故存在唯一的，使得成立，即，當，時，，為減函數，當時，，為增函數，所以在處取得最小值，因為只有一個零點，所以，又（1），所以，所以，綜上所以的取值范圍為，或．9．（1）證明：因為，所以時，，函數無零點；又因為，所以，時，，單調遞增，又（1），，，即（1），故存在唯一，使，綜上可知，函數有且僅有一個零點．（2）解：，，，，，單調遞增，又（1），，故存在唯一，使，即，，，單調遞減；，，，單調遞增，因此有最小值，（a），令，，，故單調遞減，進而，（1），，即（a）的值域為，．10．（1）當時，，，因為，，所以，所以為單調遞增函數，所以（1）．（2），，，當時，，所以為單調遞增函數，（1），符合題意；當時，在，上，，單調遞減，在上，，單調遞增，所以（a），解得，與矛盾，舍去，故實數的取值范圍為，．（3）由（2）可知，當時，在，上，為單調遞增函數，，此時函數的零點個數為0；當時，（a），令，，則，函數單調遞減，令，解得，所以當，，，，，，，所以當時，，此時函數在，上的零點個數為0；當時，，此時函數在，上的零點個數為1；當，時，，此時在，上的零點個數為2．綜上，可得，時，函數在，上的零點個數為0；時，函數在，上的零點個數為1；，，函數在，上的零點個數為2．11．（1），令，則，或，時，，單調遞增，，時，，單調遞減，時，，單調遞增，，時，，單調遞減，綜上，的單調遞增區間為和，單調遞減區間為，和，．（2）在上有3個零點，證明如下：，則，故是的一個零點，，是偶函數，要確定在上的零點個數，只需確定時，的零點個數即可，①當時，，令，即，，時，，單調遞減，，，時，，單調遞增，，在有唯一零點．②當時，由于，，，而在，單調遞增，，故，故在，無零點，在有一個零點，由于是偶函數，在有一個零點，而，故在上有且僅有3個零點．12．（1）當時，，，，，，，故切線方程是：；（2），設，，故遞減，，又時，，①若，即時，使，當時，，遞增，當，時，，遞減，在處取極大值，不存在極小值，②若，即，，在，遞增，此時無極值