內江六中2023?2024學年下學期高2026屆第一次月考

數學試題

考試時間：120分鐘滿分：150分

第I卷.選擇題（滿分60分）

一、單選題（每題5分，共40分）

1.tanl5°=（）

&+0

4￡）6.--4--2----C.2+石D.2->/3

44

【答案】D

【解析】

【分析】由tan15°=tan（45°—30°）,利用兩角差的正切公式計算可得.

【詳解】tan15°=tan（45°-30°）

_tan45°-tan30°_3_26

1+tan45°tan30°,J3

1+lx——

3

故選：D

2.下列說法正確的是（）.

A.單位向量均相等

B.向量。，方滿足。.。=0，則。，。中至少有一個為零向量

C.零向量與任意向量平行

D.若向量之，滿足同=,卜則。=±匕

【答案】C

【解析】

【分析】根據平面向量的基本概念、數量積的定義逐項判斷即可得結論.

【詳解】對于A：單位向量的模相等，但是方向不一定相同.故A錯誤；

對于B：向量。，匕滿足。力=0,貝1同=。或忖=。或夾角為叁，故B錯誤;

對于C：零向量與任意向量平行，故C正確；

【分析】結合降塞公式得到sin2A=sin25,所以2A=25或24+25=萬，從而可判斷三角形的形狀.

【詳解】因為sinAcosA=sin5cos5,所以』sin2A=Jsin23,即sin2A=sin25,所以2A=23

22

JT

或2A+25=?,故A=5或A+5=—,所以ABC是等腰三角形或直角三角形，

2

故選：D.

7.已知函數/(x)=sin[?u：+m)在一個周期內的圖象與x軸、y軸交于點A、點8,過點A的直線相交

于另外兩點C、D.設。為坐標原點，則3C+8D在。4方向上的投影向量的模為(

41

A.-B.cD.-

3-13

【答案】B

【解析】

【分析】首先求出3、A的坐標，依題意可得點A為線段CD的中點，從而得到3。+3。=2及1，根據

umnuumUUT

數量積的坐標表示求出3C+3。?04,再根據投影向量的定義求出3C+BD在Q4方向上的投影向量,

即可得解.

71,可得/(o)=sin]=￥，即50,

【詳解】因為/(x)=sinTtXH---

3

由圖可知：點A為減區間的對稱中心,

712

令兀x+—=2E+兀，keZ,解得％=2左+—,keZ,

33

2/22)(2

取％=0,則％=二，即川不0|,可得A4=j,

332

uumuumuu-

因為點A為線段CD的中點，則3。+3。=2氐4

/UlinUnixuur49

所以+==FH=r

/UlinUlin、uuruur8uur

(BC+BD\OA

OA_9錚=2抗/

則BC+28在。4方向上的投影向量為-----tttJ——1uur1X

OAOA2

1133

4

所以BC+B。在Q4方向上的投影向量的模為

故選：B

8.設函數，（x）=sinox+g在區間（0,兀）恰有三個取得最值的點、兩個零點，則實數。的取值范圍

是（）.

苣巨、

A.139B_3,6j

'138一(1319-

cD.

【答案】C

【解析】

7T

【分析】利用換元法設/=0X+§,分類討論。并利用正弦函數圖象列不等式求解.

【詳解】顯然。=0不合題意；

當。＞0時，設"ox+l，則y=/（x）=sinf,

當XG（0,7l）時，①兀-函數〃尤）在（0,兀）上恰有三個最值點、兩個零點,

（n71\

oy=siiW在兀+§上恰有三個最值點、兩個零點，如圖1.

5兀斗

ODM

23

圖1圖2

SilTT…138

由圖可知應有‘＜即+'?3兀,解得~<a>-~；

2363

,,717t,e

當6y<0時，a)7i+—I,如圖2,

（7C71]

由圖可知丁=5也/在①兀+§,§上不可能有三個最值點、兩個零點，不合題意;

所以實數0的取值范圍是”,彳，

I63」

故選:C.

二、多選題(每題5分，共20分)

9.已知函數/(x)=3sin[2x+1],函數g(x)的圖象由/(%)圖象向右平移:個單位長度得到，則下

列關于函數g(x)的說法正確的有()

A.g(x)的圖象關于點卜稱

B.g(x)的圖象關于直線尤1對稱

JTSJT

C.g(x)在一五，五上單調遞增

D.g(x)在一三，；上單調遞減

63

【答案】ABC

【解析】

【分析】根據三角函數的圖象變換求得函數g(x)=3sin12x-W；結合正弦型函數的圖象與性質，逐項

判定，即可求解.

【詳解】由函數/(x)=3sinJx+幻的圖象向右平移:個單位長度，

所得圖象對應的函數為g(x)=3sin2〔x—=3sin12x—個],

對于A中，當A方，可得g(x)=0,所以g(x)關于點對稱，所以A正確；

對于B中，當x=時，可得g[f)=3,所以g(x)關于直線x=]對稱，所以B正確；

,1,715兀,,八717171

對于C中，當X￡--時,可得

24246494

715兀

根據正弦函數的性質，可得g(x)在上單調遞增，所以正確；

-24924C

11

_

33_71兀兀

1||_

對于D中，當XG_時，可得2%——E

_~2"2_

1631_6

715兀

根據正弦函數的性質，可得g(x)在上單調遞增，所以不正確

-24924D

故選：ABC.

10.若sin(a+，)+cos(tz+，)=2夜cos[a+：]sin，，則下列結論不正確的是().

A.tan(a-/)=lB.tan(?-/7)=-1

C.tan(tz+齊)=1D.tan(?+/?)=-l

【答案】ACD

【解析】

【分析】由兩角和與差的正弦，余弦，和同角三角函數關系化簡可得.

【詳解】因為sin(?+y0)+cos(?+夕)=2后cos'+[]sin/3,

所以可得：

sinacos§+cosasinJ3+cosacos,一sinasin￡

=2cos(Zsin2sintzsin/3

化簡可得sinacos力一cosesin￡+cosacos￡+sinasin￡=0,

即sin(?-/7)+cos(a-/7)=0,

所以tan=

故ACD錯誤，B正確；

故選：ACD.

11.海水受日月的引力，在一定的時候發生漲落的現象叫潮.一般地，早潮叫潮，晚潮叫汐.在通常情況

下，船在漲潮時駛進航道，靠近碼頭；卸貨后，在落潮時返回海洋.已知某港口水深/?)(單位：m)

與時間/(單位：h)從0?24時的關系可近似地用函數/心=Asin(°/+9)+"A〉O,0〉O,|d<(J

來表示，函數/?)的圖象如圖所示，貝I()

ir

A./(0=3sin-Z+5(0<?<24)

6

B.函數/⑴的圖象關于點(12,0)對稱

C.當/=5時，水深度達到6.5m

D.己知函數g⑺的定義域為[0,6],g(2t)=/(2。—〃有2個零點九芍，則tan/^=6

【答案】ACD

【解析】

【分析】根據圖象的最值求出46,再根據圖象得到其周期則得到。，代入最高點求出。，則得到三角

函數解析式，則判斷A,再結合其對稱性即可判斷B,代入計算即可判斷C,利用整體法和其對稱性即可

判斷D.

【詳解】對A,由圖知/(/)1mx=8,/(/)疝n=2,,/=3,

Z+

b：/()max/(Omln：g

2，

，TT7T

的最小正周期T=12,...O=T=X，

/⑶=3sin[]+o]+5=8,.,.]+夕=]+2版(左eZ),解得：0=2E(ZeZ),

又|同</，；.0=O,.,./?)=3sin々+5(0</V24),故A正確；

26

對B,令?=kn,(^GZ),解得[=6左，(左wZ),

6

當左=2時，，=12,

貝1J/(12)=3sin271+5=5,

則函數/⑺的圖象關于點(12,5)對稱，故B錯誤;

JT

對C,/(5)=3sin—X5+5=6.5,故C正確;

6

對D,2/e[0,6],則fe[0,3],令g(2f)=/(2。—“=0,

則/(2力=〃，令2t=m,則根據圖象知兩零點叫,〃馬關于直線f=3,

則叫+g=6,即2%+=6,則：+七=3,

7171/T

則tan----=tan—=V3,故D正確.

11It?

故選：ACD.

【點睛】關鍵點睛：本題的關鍵是利用三角函數模型結合圖象求出其解析式.

(X-B

12.對任意兩個非零的平面向量a和￡,定義a=若平面向量5、匕滿足同2忖〉0,。與

JTn

b的夾角，e0,-，且〃。和Z?d都在集合加￡Z,〃￡Z｝中.給出以下命題，其中錯誤選項的

m

是).

A.若%=1時，則〃b=ba-\

B.若租=2時，則〃'I

若加=3時，則〃b的取值個數最多為7

20242

D.若m=2024時，則〃。的取值個數最多為生土

2

【答案】BD

【解析】

d-b同cos。\b\cosO

【分析】由新定義可知ab=b?a1?,再對每個命題進行判斷，即可

2,b

bb°Fa

得出結論.

7a-ba。\cos0Z?cos。

b=^-=—b-a

【詳解】對A,若%=1時，@=〃，bI」——=%，

bb°Fa

兩式相乘得cos?。‘又公嗚'

<cos20<1,即:<小々<1,且〃>0,勺wZ,

??.〃=4=1,即Qb=b〃=1，故A正確；

了a'b|Q|COS。n

對B,若m=2地，則〃b=-^=:J=3,

\bCOS0〃cH/i

同理,相乘得到=」，

8a=?I=cos2?

\a\24

又，e0,—,所以，Wcos2ewl,即工<■^■<1,

L4j224

則（","）取值（2,1）時符合等<1,此時ab=l，故B錯誤；

7a-b|Q|COS。n

對C,若根=3時，則〃b=-^=w=耳,

同理6a=W：：se=4,相乘得cos2e=迫，

同39

又0,—,<cos20<1,/.—<<1,且“〉0,4>0,",4eZ,

L4j229

又同》W〉0,得〃2〃],

當〃=3時，〃i=2,3；

當九=4時，4=2；

當〃=5,6,7,8,9時，“1=1；

：.a〃的取值個數最多為7個，故C正確；

對D,若加=2024時，由上面推導方法可知!<—A<1,

220242

2

220242

/.n>nnA>,；?"210120，1432<n<2024，

c20242

匕的取值個數最多為202牛—1432+1w---------故D錯誤.

2

故選：BD.

第n卷非選擇題（滿分90分）

三、填空題（每題5分，共20分）

13.與a=(3,-4)同向的單位向量為.

34

【答案】(子―M)

【解析】

【分析】根據向量同向設出萬，再根據單位向量求出坐標即可.

【詳解】設與a=(3,-4)同向的單位向量為b=267(2>0)

所以〃=A,a=A(3,—4)=(34,—44),

又因為b是單位向量，所以忖=，9%+16%=25囚=1,所以X=±g,

而2〉0,所以2=(,所以人=(|,—g).

故答案為：.

14.已知a=(3,4+2)1=(41),若a與匕的夾角為銳角，則實數4的取值范圍是.

【答案】(—；,l)U(l,+s)

【解析】

【分析】根據d與6的夾角為銳角，可知。與6的數量積大于0,但要排除二者同向的情況，由此可求得

答案.

【詳解】由題意，a與匕的夾角為銳角，

故。，。〉0，即32+(X+2)xl>°,即X〉—萬,

當行與方共線時，3—4。1+2)=0,解得4=1或;1=—3,

當力與。同向時，4=1,此時〃./?>(),但不符合〃與/?的夾角為銳角，

故實數X的取值范圍是(—;/)_(1,+8),

故答案為：(—―,1)(1,+°0)

15.在ABC中，3sinA+4cosB=6,3cosA+4sinB=l,則。的大小是.

TT

【答案】-##30°

6

【解析】

【分析】利用同角三角函數的基本關系結合誘導公式求解即可.

【詳解】由3sinA+4cos5=6,3cosA+4sinB=l,

兩式平方和得9sin2A+9cosnA+16cos2B+16sin2B+24sinAcosB+24cosAsinB=36+1，

即9+16+24sin(A+5)=37,因而sin(A+B)=；.

在^ABC中，sinC二sin[兀一(A+B)]=sin(A+B)=g,且C￡(0,兀)，

._..7T_5兀

因而C二一或一，

66

又3cosA+4sinB=1化為4sinB-l-3cosA>0,

所以COSA<!<‘，則A>四，故。=

3236

TT

故答案為：—

6

16.在一ABC中，AB=(2m,m+5),AC=(cosa,sina),(meR,aeR),若對任意的實數才，

\AB-tAc\>|AB—A4恒成立，則BC邊的最小值是.

【答案】M

【解析】

分析】設AD=/AC，得到卜5—/44=|。⑷2口目恒成立，得出ACSBC,根據題意，結合勾股

定理，得至何=,網2—時，即可求解.

【詳解】設AD=/AC，如圖所示，

因為對任意的實數/,都有|A3-7Aq2,3-714恒成立，

由|AB-MC|=|AB-AD|=|DB|>畫恒成立，則ACIBC,

因為AB=(27〃,m+5),AC=(cos?,sin?),所以卜,=/(以+廳+20,|AC|=1,所以

\BC\=^|AB|2-|AC|2=^5(/n+1)2+20-1>J20—1=719，

當且僅當，”=-1時，等號成立.

故答案為：V19.

【小問2詳解】

因/(^)=3+3sin^+2cos^=V13sin(^+^)+3,

23

其中sin/=-^=,cGS(p=-j=,

vl3713

所以當6+0=]+2版(左eZ),即9=^+2E—0/eZ時，/(。)有最大值3+屈，

,,n,.八.，兀c,13713

止匕時sin"=sm[/+2KH~(p\-coscp-[丁,

故當/(O)取最大值3+JF時，sin，=千3.

21.為了慶祝巴蜀中學建校90周年，學校將在校園內懸掛各種宣傳板，有一種宣傳板由一個四邊形和一

個三角形拼接而成(如圖)，在四邊形ABC。中，CDVCB,ABCD,尸為四邊形ABC。外一點，

尸于點M,PN交AB于點、N,PA=4,CD=2日PM=近，ZPAB^0.

12

jrjr

(2)若N為AB的中點，一W6W—,求四邊形的面積的最大值.

43

【答案】(1)BC=娓；

(2)7.

【解析】

【分析】(1)由題可得PN=4sin—以及MN=JG，進而即得；

12

(2)由題可得/W=4sin6,AN=4cos0,MN=4sin8—&，然后根據根據條件表示出四邊形

ABCD的面積，再利用換元法及二次函數性質即可得出結果.

【小問1詳解】

5兀

在RtZ\/W中，NPAB=一，PA=4,

12

??.PN=PAsin*4sin|f=4sin[+^=4><q[+￡3+?,

又PM=正，

:.MN=PN—PM=娓,又AB//CD,CDLCB,PMLCD,

所以四邊形8cMN為矩形，

:.BC=MN=遍;

【小問2詳解】

由題可以得出/W=4sin8,AN=4cos^,MN=4sin0—V2>

根據N為AB的中點即可得出A5=8cos6>,

/4vc

/-------N-------

四邊形ABCZ）的面積S=；x（AB+CD）義=；（20+8cos夕）（4sin8—0）,

化簡S=16sin6>cos0+4A/2（sin（9-cos6））-2,

令/=sing—cosd=V^sin[d—e0,^,

所以S=8x（l—產）+4"—2=—8/+4"+6=—8.一乎;+7,

對稱軸：/=受，o<變<避二1,

442

所以，當f=時，S=7,四邊形ABC。面積的最大值為7.

4max

22.已知函數〃x)=2sin[公r+fcos公r—]?(G>0),若/(x)的最小正周期為兀.

(1)求/(%)的解析式;

ZYJTTT

⑵若函數g(x)=/2(x)-W(x)+1在-qq上有三個不同零點X1,X2,當,且不<%<%3.

4

①求實數。取值范圍;

JT

②若2%+%>—w，求實數。的取值范圍.

71

【答案】⑴〃x)=sin2x+-；

3

(2)?fl,—/5+V153父

；②"[16寸

【解析】

【分析】（1）根據輔助角公式化簡即可.

（2）根據函數零點與二次函數的性質得到關于方的方程，再利用韋達定理、三角函數的性質求解即可.

【小問1詳解】

=sin2a)x+-\,

I3

2兀

因為“力的最小正周期為兀，所以工=兀，即啰=1，

兀

所以/(x)=sin|2x+-|.

3

【小問2詳解】

71.7T1ta

①由⑴知〃x)=sin2|2x+--asinI2nx+—|+—,

33

由七x嚀可得。5+|4，

令/=sin[2x+/J,

,2c兀.c71a兀71一,工一

若函數g（九）=sin2xH——asin2xH-——有二個零點,

33464

IJT\IJT\Z7JTJT

即sin[2x+§J—asin|2x+§J+a=0在一qq有三個不相等的實數根,

3464

也就是關于，的方程r-內+q=0在區間有一個實根，另一個實根在上11上,

422J2

或一個實根是i,另一個實根在|,ik當一個根在［o,；］,另一個實根在］；』

g(0)〉0