滬教版（上海）高中數(shù)學(xué)2019-2020學(xué)年度高三數(shù)學(xué)二輪復(fù)習(xí)解析幾何專題之直線與圓錐曲線②教學(xué)目標(biāo)直線與橢圓、雙曲線、拋物線中每一個(gè)曲線的位置關(guān)系都有相交、相切、相離三種情況，從幾何角度可分為三類：無公共點(diǎn)，僅有一個(gè)公共點(diǎn)及有兩個(gè)相異公共點(diǎn)。對于拋物線來說，平行于對稱軸的直線與拋物線相交于一點(diǎn)，但并不是相切；對于雙曲線來說，平行于漸近線的直線與雙曲線只有一個(gè)交點(diǎn)，但并不相切．直線和橢圓、雙曲線、拋物線中每一個(gè)曲線的公共點(diǎn)問題，可以轉(zhuǎn)化為它們的方程所組成的方程組求解的問題，從而用代數(shù)方法判斷直線與曲線的位置關(guān)系。知識梳理一、解決直線和圓錐曲線的位置關(guān)系的解題步驟是：（1）直線的斜率不存在，直線的斜率存，（2）聯(lián)立直線和曲線的方程組；（3）討論類一元二次方程（4）一元二次方程的判別式（5）韋達(dá)定理，同類坐標(biāo)變換（6）同點(diǎn)縱橫坐標(biāo)變換（7）x，y，k(斜率)的取值范圍（8）目標(biāo)：弦長，中點(diǎn)，垂直，角度，向量，面積，范圍等等二、運(yùn)用的知識：（1）中點(diǎn)坐標(biāo)公式：，其中是點(diǎn)的中點(diǎn)坐標(biāo)。（2）弦長公式：若點(diǎn)在直線上，則，這是同點(diǎn)縱橫坐標(biāo)變換，是兩大坐標(biāo)變換技巧之一，或者。（3）兩條直線垂直：則（4）韋達(dá)定理：若一元二次方程有兩個(gè)不同的根，則。典例精講例1.（★★）已知線段AB=6，直線AM，BM相交于M，且它們的斜率之積是，求點(diǎn)M的軌跡方程。解析：以AB所在直線為x軸，AB垂直平分線為y軸建立坐標(biāo)系則A（-3，0），B（3，0），設(shè)點(diǎn)M的坐標(biāo)為，則直線AM的斜率直線BM的斜率由已知有化簡，整理得點(diǎn)M的軌跡方程為鞏固練習(xí)1.（★★）已知動點(diǎn)P與平面上兩定點(diǎn)連線的斜率的積為定值.（1）試求動點(diǎn)P的軌跡方程C.（2）設(shè)直線與曲線C交于M、N兩點(diǎn)，當(dāng)|MN|=時(shí)，求直線l的方程.解：（1）設(shè)點(diǎn)，則依題意有，整理得由于，所以求得的曲線C的方程為（）（Ⅱ）由消去y得解得由，解得所以直線l的方程x－y+1=0或x+y－1=0例2.（★★）已知橢圓的中心在坐標(biāo)原點(diǎn)O，焦點(diǎn)在坐標(biāo)軸上，直線y=x+1與橢圓交于P和Q，且OP⊥OQ，|PQ|=，求橢圓方程.解：設(shè)橢圓方程為mx2+ny2=1(m＞0,n＞0)，P(x1,y1),Q(x2,y2)由得(m+n)x2+2nx+n－1=0,Δ=4n2－4(m+n)(n－1)＞0,即m+n－mn＞0,由OP⊥OQ,所以x1x2+y1y2=0,即2x1x2+(x1+x2)+1=0,∴+1=0,∴m+n=2 ①又22,將m+n=2,代入得m·n= ②由①、②式得m=,n=或m=,n=故橢圓方程為+y2=1或x2+y2=1.鞏固練習(xí)1.（★★）在直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)到兩點(diǎn)、的距離之和等于4，設(shè)點(diǎn)的軌跡為曲線，直線與曲線交于、兩點(diǎn).（1）求出的方程；（2）若=1，求的面積；（3）若，求實(shí)數(shù)的值。【解析】：（1）設(shè)P（x，y），由橢圓定義可知，點(diǎn)P的軌跡C是以為焦點(diǎn)，長半軸為2的橢圓．它的短半軸，故曲線C的方程為．（2）設(shè)，由解得，，（3）設(shè)，其坐標(biāo)滿足消去y并整理得，故．若，即．而，于是，化簡得，所以．例3.（★★）設(shè)、分別是橢圓的左、右焦點(diǎn)，過定點(diǎn)的直線與橢圓交于不同的兩點(diǎn)、，且∠為銳角（其中為坐標(biāo)原點(diǎn)），求直線的斜率的取值范圍.【解析】：顯然直線不滿足題設(shè)條件，可設(shè)直線：，，聯(lián)立，消去，整理得：∴由得：或又∴又∵，即∴故由①、②得或回顧總結(jié)