海淀區2023—2024學年第一學期期末練習

高三數學2024.01

本試卷共6頁，150分。考試時長120分鐘。考生務必將答案答在答題紙上，在試卷上作答無

效。考試結束后，將本試卷和答題紙一并交回。

第一部分(選擇題共40分)

一、選擇題共10小題，每小題4分，共40分。在每小題列出的四個選項中，選出符合題目要求

的一項。

(1)已知集合。={1,2,3,4,5,6},N={1,3,5},8={1,2,3},則C-C4n8)=

(A)[2,4,5,6)(B){4,6}

(C){2,4,6}(D){2,5,6}

(2)如圖，在復平面內，復數4，z,對應的點分別為Z1,Z,,則復數的"

、z)

虛部為2

4：

(A)-i(B)-1*：

(C)-3i(D)-3-20――

(3)已知直線A：x+十=1,直線右：2x-ay+2=0,I,//12,則。=

(A)1(B)-1

(C)4(D)-4

(4)已知拋物線C：丁=8》的焦點為尸，點河在。上，1次1=4,。為坐標原點，貝山“。1=

(A)472(B)4

(05(D)275

(5)在正四棱錐尸-.45。中，4B=2,二面角P-CD-A的大小為？，則該四棱錐的體積為

4

(A)4(B)2

4/、2

(Oy(D)y

(6)已知OC：x2+2x+y2-1=0,直線加x+〃(y-1)=0與。。交于4,8兩點.若△/BC為直角

三角形,則

(A)nin-0(B)m-n=0

(C)m+n=0(D)m2-3/?2=0

高三年級(數學)第1頁(共6頁)

(7)若關于x的方程log“x-，=0(a>0且)有實數解，則a的值可以為

(A)10(B)e

(02(D)4-

4

(8)已知直線，，4的斜率分別為后2，傾斜角分別為由，?2,則“cos(圖-a?)>0”是

7芯>0”的

(A)充分而不必要條件(B)必要而不充分條件

(C)充分必要條件(D)既不充分也不必要條件

(9)已知｛a,J是公比為)的等比數列，S”為其前〃項和.若對任意的“GN*,恒成

一

立，則

(A)同是遞增數列(B)｛%｝是遞減數列

(C)｛S”｝是遞增數列(D)⑶,｝是遞減數列

(10)蜜蜂被譽為“天才的建筑師”.蜂巢結構是一種在一定條件下建筑用

材面積最小的結構.右圖是一個蜂房的立體模型，底面48CDE尸是

正六邊形，棱NG,BH,C/,DJ,EK,也均垂直于底面/8CDE尸,

上頂由三個全等的菱形PGHI,PIJK,PKLG構成.設8c=1,

LGP1=乙IPK=乙26=。~109。28，，則上頂的面積為

(參考數據：cos6=-1~,tanq=J^)

(A)272(B)3^1

(C)(I))

第二部分(非選擇題共110分)

二、填空題共5小題，每小題5分，共25分。

(11)在(五-，)'的展開式中，x的系數為

X

(12)已知雙曲線f-叼2=1的一條漸近線為Jix--y=0,則該雙曲線的離心率為

高三年級(數學)第2頁(共6頁)

(13)已知點4,B,C在正方形網格中的位置如圖所示.若網格紙上小

c

正方形的邊長為1,則亞?BC=;點C到直線AB的距't

離為./

(14)已知無窮等差數列｛。,,｝的各項均為正數，公差為d,則能使得

B

a/n+1為某一個等差數列｛2｝的前n項和(九=1,2,…)的一組

Qi，d的值為由=,d-.

(15)已知函數/(x)=|COSX+Q|.給出下列四個結論：

①任意QER,函數/(x)的最大值與最小值的差為2；

②存在QER,使得對任意xER,f(x)+/(n-x)=2a；

③當”0時，對任意非零實數X,/(x+g4長-X)；

④當a=0時，存在Te(0,7t),xnER,使得對任意“GZ,都有/(x。)"(x0+U).

其中所有正確結論的序號是.

三、解答題共6小題，共85分。解答應寫出文字說明，演算步驟或證明過程。

(16)(本小題13分)

如圖，在四棱柱中，側面4354是正方形，平面”88小，平面”8,

AB//CD,4D=DC*4B,M為線段48的中點，ADLB.M.

(I)求證：G"〃平面/"Mi；

(n)求直線ZG與平面M田G所成角的正弦值.

高三年級(數學)第3頁(共6頁)

(17)(本小題14分)

在△ABC中，2ccosN=1b-a.

(I)求乙。的大小；

(n)若。=仃，再從條件①、條件②、條件③這三個條件中選擇一個作為已知，使△N8C存在,

求/C邊上中線的長.

條件①：△Z8C的面積為2仃；

條件②：sinB-sinA=—;

2

條件③：從一2a2=2.

注：如果選擇的條件不符合要求，得0分；如果選擇多個符合要求的條件分別解答，按第一

個解答計分.

(18)(本小題13分)

甲、乙、丙三人進行投籃比賽，共比賽10場，規定每場比賽分數最高者獲勝，三人得分

(單位：分)情況統計如下：

場次12345678910

甲8101071288101013

乙913812141179121()

丙121191111998911

(I)從上述10場比賽中隨機選擇一場，求甲獲勝的概率;

(n)在上述10場比賽中，從甲得分不低于10分的場次中隨機選擇兩場，設X表示乙得分大于

丙得分的場數，求X的分布列和數學期望E(X)；

(m)假設每場比賽獲勝者唯一，且各場相互獨立，用上述io場比賽中每人獲勝的頻率估計其獲

勝的概率.甲、乙、丙三人接下來又將進行6場投籃比賽，設匕為甲獲勝的場數，八為乙

獲勝的場數，匕為丙獲勝的場數，寫出方差。(匕)，B(y2),。(匕)的大小關系.

高三年級(數學)第4頁(共6頁)

(19)(本小題15分)

已知橢圓E：與+[=1(。>6>0)過點/(3,0),焦距為2>/?.

ab

(I)求橢圓E的方程，并求其短軸長；

(n)過點尸(1,0)且不與x軸重合的直線/交橢圓E于兩點C,D,連接C。并延長交橢圓E于

點“，直線與/交于點N,。為。。的中點，其中。為原點.設直線NQ的斜率為人,

求k的最大值.

(20)(本小題15分)

已知函數/(x)=ax2-xsinx+b.

(I)當a=1時，求證：

①當x>0時，/(x)>b；

②函數/(x)有唯一極值點；

(n)若曲線c,與曲線c2在某公共點處的切線重合，則稱該切線為c,和G的“優切線”.若曲

線y=/(x)與曲線>=-coax存在兩條互相垂直的“優切線”，求a,6的值.

高三年級(數學)第5頁(共6頁)

（21）（本小題15分）

對于給定的奇數加（加二3）,設N是由機x加個實數組成的機行機列的數表，且N中所

有數不全相同，/中第i行第/列的數1},記r⑴為4的第i行各數之和，c⑺為

A的第/列各數之和，其中i"G{l,2,…，機}.記/⑷=〃"N1）+N；）+…+廠（加）1.設集合

H=Ki,j）|%7（i）<0或％叱⑺<O",JG{1,2,…，/}},記"（⑷為集合H所含元素的個數.

（II）若r⑴，/⑵，…，尸（冽）中恰有s個正數,c（l）,c（2）,…，c（加）中恰有Z個正數.

求證：H（A）mt+ms-2ts；

（「當加=5時，求鬻的最小值.

高三年級（數學）第6頁（共6頁）

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高三數學參考答案

一、選擇題（共10小題,每小題4分,共40分）

(1)A(2)D(3)B(4)D(5)C

(6)A(7)D(8)B(9)B(10)D

二、填空題（共5小題,每小題5分，共25分）

(11)-5(12)2

(13)-1—(14)11（答案不唯一）

5

(15)②④

三、解答題（共6小題，共85分）

（16）（共13分）

解：（I）連接AD-

在四棱柱A8CD-A81GA中，側面CDDg為平行四邊形,

所以CQ[〃CD,QD,=CD.

因為AB〃a>,CD=-AB,Af為AB中點,

2

所以CD〃AM,CD=AM.

所以GA〃AM,CjD1=AM.

所以四邊形MARG為平行四邊形.

所以MCi〃AD1.

因為C[Ma平面ADD^,

所以GM〃平面ADQA.

(II)在正方形中，A4,LAB.

因為平面1平面ABCD,

所以9_L平面A8CD.

所以M±AD.

因為AD_L4M,B|Mu平面ABB|A，可用與你相交,

高三年級（數學）參考答案第1頁（共9頁）

所以AD_L平面A331A.

所以AD_LAB.

如圖建立空間直角坐標系A-5.

不妨設AD=1,則

A(0,0,0),Q(1,2,1),與(0,2,2),M(0,0,l).

所以AQ=(1,2,1),q?i=(—1,0,1),

MG=（1,2,0）.

設平面MB?的法向量為n=（x,y,z），則

口G瓦二。，即1+z”

[n.MCX=0,[x+2y=0.

令九=2,貝[Jy=—1,z=2.于是〃=(2,—1,2).

AC{-n_A/6

因為cos<AC^n>=

所以直線AG與平面MB?所成角的正弦值為骼.

高三年級（數學）參考答案第2頁（共9頁）

(17)(共14分)

解：(I)由正弦定理"=—'='及2ccosA=2Z?-〃,得

sinAsinBsinC

2sinCcosA=2sinB—sinA.①

因為A+8+C=7C,

所以sin3=sin(A+C)=sinAcosC+cosAsinC.②

由①②得2sinAcosC—sinA=0.

因為A￡(0,TT),所以sinAwO.

所以cosC=—.

2

因為。￡(0,兀)，

所以c

3

(II)選條件②：sinB-sinA=—.

2

由(I)知，ZB=7t---ZA=--ZA.

33

27r

所以sin3—sinA=sin(--A)-sinA

641?4?4641.4

=——cosA+—sinA-sinA=——cosA——sinA

2222

=sing-A).

所以sin(2-A)=^.

因為Ae(0,爭，所以(_襯).

所以緊二I,即人十

所以AABC是以AC為斜邊的直角三角形.

因為C=A/3，

所以AC=e=^-

=2.

sinCsin四

3

高三年級（數學）參考答案第3頁（共9頁）

所以AC邊上的中線的長為1.

選條件③：b2-2a2=2.

由余弦定理得a1+白-ab=3.

設AC邊上的中線長為d,由余弦定理得

6?2=+---?2cosC

42

2b1ab

=a+--------

42

b2a2+b2—3

2=a+------------------

42

=1.

所以AC邊上的中線的長為1.

（18）（共13分）

解：（I）根據三人投籃得分統計數據，在10場比賽中，甲共獲勝3場，分別是第3場,

第8場，第10場.

設A表示“從10場比賽中隨機選擇一場，甲獲勝”，則

（II）根據三人投籃得分統計數據，在10場比賽中，甲得分不低于10分的場次有6場,

分別是第2場，第3場，第5場，第8場，第9場，第10場，其中乙得分大于丙

得分的場次有4場，分別是第2場、第5場、第8場、第9場.

所以X的所有可能取值為0,1,2.

P(X=0)=-^^=—,p(x=l)=^^=—fP(X=2)=E^=^

D15OC"15OCl5

所以X的分布列為

X012

182

P

15155

io24

所以E(X)=0x—+lx2+2x—=一.

151553

（III）。區）＞￡＞（X）＞D（X）.

高三年級（數學）參考答案第4頁（共9頁）

(19)(共15分)

解：(I)由題意知a=3,2c=26.

所以c=A/5,Z?2=di2—c2=4.

22

所以橢圓E的方程為上+邑=1,其短軸長為4.

94

（II）設直線CD的方程為％=咫+1,。（尤1,%）,。（尤2，為），則M（-玉，-%）.

Rr_1

由?9+4-'得(4機2+9)丁+8機＞-32=0.

x=my+1

r-riu-8m

所以…=而而

由A（3,0）得直線AM的方程為y=二^（%-3）.

再+3

y=-2

由,4+3^y=-----y!—i

3+玉一my

x=my+Xx

因為西=myx+1,

所以y=_^_,工=皿一￡）+1=中.

所以N（左詈，一三）.

因為。為。。的中點，且無2=加%+1，

所以0（等±1港）.

所以直線NQ的斜率

也+/

k=22=為+M=4療+9=__8m_

22

my2+12-myx/?!（y2+^）-1-8m12m+9

224m2+9~

當mVO時，kMO.

高三年級（數學）參考答案第5頁（共9頁）

當相>0時,

因為12加+222次2>9=12后,當且僅當機=走時,

等號成立.

m2

8m<2百

所以％=

12m2+9—9

所以當機=@時，上取得最大值也.

29

(20)(共15分)

角窣：(I)①當。=1時，f(x)=x2-xsinx+Z?=x(x-sinx)+Z?.

i己g(x)=x-sinx(x>0),貝！Jg'(x)=l-cosxN0.

所以g(x)在[0,+8)上是增函數.

所以當尤>0時，g(x)>g(0)=0.

所以當九>0時，f(x)=x(x-sinx)+b>b.

②由f(x)=x2-xsinx+b^f'(x)=2x-sinx—xcosx,且f'(0)=0.

當了>0時，f\x)=x(l-cosx)+x-sinx.

因為1一cosxNO,x-sinx>0,

所以尸(x)>0.

因為f\-x)=-f\x)對任意XGR恒成立，

所以當x<0時，f\x)<0.

所以0是7(x)的唯一極值點.

(II)設曲線y=/(x)與曲線y=-cosx的兩條互相垂直的“優切線”的切點的橫坐標

分別為七，%,其斜率分別為A,k2,則左芯=-1.

因為(―cosx)*=sinx?

所以sin再?sinx2=kxk2=-1.

所以{sin%,sinx2)={-1,1}.

不妨設sinX]=l,則石=24兀+],keZ.

因為々=/'(%])=2aX1-sinxj一石cos玉，

由“優切線”的定義可知2份-sin石一百cos%=sinX].

高三年級（數學）參考答案第6頁（共9頁）

…19

所以。=—=------，左￡Z.

再4%冗+71

由“優切線”的定義可知,?4一百sin玉+Z?=-cos玉，

石

所以5=0.

當〃=--一，kwZ,6=0時，取％=2左兀+烏，x.=-2kTt--,貝|

4上九+兀1222

/(玉)=-cos再=0,/(%2)=—cos3=0,/'(%)=sin畫=1,/'(9)=sin%=-1,

符合題意.

所以〃=------，左￡Z,Z?=0.

4左兀+兀

(21)(共15分)

解：

(I)/(A)=10,H(4)=12；-)=12,4(4)=15.

由定義可知：將數表A中的每個數變為其相反數，或交換兩行(列)，H(A),/(A)

的值不變.因為根為奇數，atjG｛-1,1｝,所以“1)/(2),,r(m),c(l),c(2),,c(m)均

不為0.

(II)當s￡｛。,加｝或才仁｛0,叫時，不妨設s=0,即r(i)<0,/=1,2,,m.

若，=0,結論顯然成立；

若不妨設c(j)>0,j=1,2,,t,則?,/)￡“，1=1,2,,m，j=1,2,,t.

所以"(A)之的，結論成立.

當se｛0,前且,金｛0,叫時，不妨設r⑴>0,2=1,2,,s，c(j)>0,j=1,2,,t,

則當s+l<i<根時，r(0<0；當才+1</<根時，c(j)<0.

因為當，=1,2,,s,J=R+17+2,，機時，r(z)>0,c(j)<0,

所以(%?"，))?(％?c(j))=若-r(z)-c(j)<0.

高三年級(數學)參考答案第7頁(共9頁)

所以IIIII

同理可得：,，=s+1,s+2,,m,I-I-I-I-I

/=l,2,,t.

I-I-I-I-I

所以H(A)>s(m-1)+(m—s)t=mt+