2024年高考數(shù)學(xué)全真模擬卷07（新題型地區(qū)專用）

（考試時(shí)間：120分鐘；滿分：150分）

注意事項(xiàng)：

1.本試卷分第I卷（選擇題）和第II卷（非選擇題）兩部分。答卷前，考生務(wù)必將自己的姓名、準(zhǔn)考證號(hào)填寫

在答題卡上。

2.回答第I卷時(shí)，選出每小題答案后，用2B鉛筆把答題卡上對(duì)應(yīng)題目的答案標(biāo)號(hào)涂黑。如需改動(dòng)，用

橡皮擦干凈后，再選涂其他答案標(biāo)號(hào)。寫在本試卷上無效。

3.回答第U卷時(shí)，將答案寫在答題卡上。寫在本試卷上無效。

4.考試結(jié)束后，將本試卷和答題卡一并交回。

第I卷（選擇題）

一、單項(xiàng)選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分，在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合要

求的。

1.（5分）（2024?福建莆田.二模）某校高三年級(jí)有男生600人，女生400人.為了獲得該校全體高三學(xué)生

的身高信息,采用按比例分配的分層隨機(jī)抽樣抽取樣本，得到男生、女生的平均身高分別為173cm和163cm,

估計(jì)該校高三年級(jí)全體學(xué)生的平均身高為（）

A.167cmB.168cmC.169cmD.170cm

【解題思路】根據(jù)題意結(jié)合平均數(shù)的計(jì)算公式運(yùn)算求解.

【解答過程】由題意可得：估計(jì)該校高三年級(jí)全體學(xué)生的平均身高為0.6x173+0.4X163=169（cm）.

故選：C.

2.（5分）（2024.陜西商洛?模擬預(yù)測(cè)）如圖，在公ABC中，滿足條件加=DB,AE=jfC,若屁=XBA+面,

則：+工=（）

a〃

1

A.8B.4C.2D.-

2

【解題思路】利用向量加法的三角形法則，結(jié)合已知條件，可得屁=：瓦？+：麗，求出4=：,〃=：,從而

4444

得出答案.

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【解答過程】因?yàn)槠?方+荏，AD=DBfAE=^EC,

所以屁=3而+:芯=2麗+:（阮一雨），

即尻=-^A+-~BC,

44

又屁=ABA+uBC,

11

故+8

---

所以4n，A

.U

故選：A.

3.（5分）（2024?甘肅?一模）已知數(shù)列｛。九｝為等差數(shù)列，%+。5+。6=6,%+即+的=31，則Qio+air+

。12=（）

A.16B.19C.25D.29

【解題思路】根據(jù)等差數(shù)列的通項(xiàng)公式及性質(zhì)，進(jìn)行計(jì)算即可.

【解答過程】因?yàn)?劭+”6=6,電+。8+的=11，

所以。7++@9—（。4+。5+。6）=9d=5,

所以Clio++。12=@7+^8+。9+9d=11+5=16,

故選：A.

4.（5分）（2024?四川巴中?一模）已知直線相，〃與平面a,/?、y,下列命題中正確的是（）

A.若any=7H,ny=n,則7nlm

B.若？7i||a,ml/?,則a1￡

C.若aII/7,mLa,Sly,則租IIy

D.若a工°,aC\0=n,mln,則7nla

【解題思路】根據(jù)平面相交時(shí)，交線的可能情況判斷A；根據(jù)線面平行的性質(zhì)定理以及面面垂直的判定定

理，判斷B；根據(jù)面面平行以及線面垂直的性質(zhì)可判讀C；根據(jù)面面垂直的性質(zhì)可判斷D.

【解答過程】對(duì)于A,若any=m,/?ny=n,則可能相交或平行，A錯(cuò)誤；

對(duì)于B,因?yàn)閙||a,過加作平面y和平面a交于m則血|忻，

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而m-L0,故7i1S，又?iua,故al￡,B正確；

對(duì)于C,若a||0,m1a,則m_L0,又0_Ly,

則可能有mily,也可能有muy,C錯(cuò)誤；

對(duì)于D,若a1S，aC0=n,mln,

則可能mua或m||a或zn,a相交，D錯(cuò)誤；

故選：B.

5.（5分）（2024.全國?模擬預(yù)測(cè)）1949年10月1日，開國大典結(jié)束后，新成立的中央人民政府在北京飯

店舉行了有600余位賓客參加的新中國第一次國慶招待會(huì)，史稱“開國第一宴”.該宴的主要菜品有：鮑魚濃

汁四寶、東坡肉方、蟹粉獅子頭、雞汁煮干絲、清炒翡翠蝦仁和全家福.若這六道菜要求依次而上，其中“東

坡肉方”和“雞汁煮干絲”不能接連相鄰上菜，則不同的上菜順序種數(shù)為（）

A.240B.480C.384D.1440

【解題思路】利用插空法求解.

【解答過程】鮑魚濃汁四寶、蟹粉獅子頭、清炒翡翠蝦仁和全家福依次而上有A*種排列方式，

此時(shí)形成5個(gè)空位，選出2個(gè)空位將東坡肉方和雞汁煮干絲分別插入進(jìn)去，共有髭A5種排列方式，

由乘法原理可知不同的上菜順序種數(shù)為A2C出芻=480,

故選：B.

6.（5分）（2024?湖北?二模）若aetana=3；：；°，貝Usin（2a—；）=（）

4A/6+74V6-74V2+7V3c4V2-7V3

A.-----D.----------C.------L）.---------------------------------

18181818

【解題思路】首先根據(jù)公式tana=四絲化解條件等式，再結(jié)合二倍角和兩角差的正弦公式，即可化解求值.

cosa

【解答過程】由條件等式可知，四竺=/一,

cosa3-sina

整理為3sina=sin2a+cos2a=1,貝！Jsina=

又a6（一］,；）cosa=V1—sin2a=乎，

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所以sin2a=2sinacosa=2x-x—=—,cos2a=1—2sin2a=

3399

所以sin(2a-f=sin2acos；-cos2asin|

_4A/217V3_4V2-7V3

=-----X---------X——--------------.

929218

故選：D.

7.(5分)(2024?廣東江門?一模)設(shè)必尸2為雙曲線。：9一卷=1(a>0,6>0)的左、右焦點(diǎn)，點(diǎn)2為雙

曲線的左頂點(diǎn)，以&&為直徑的圓交雙曲線C的漸近線于M、N兩點(diǎn)，且點(diǎn)"、N分別在第一、三象限，若

NM4V=|TT,則雙曲線的離心率為()

A.—B.V21C.—D.V15

33

【解題思路】先求出點(diǎn)M,N的坐標(biāo)，再利用余弦定理求出a,c之間的關(guān)系，即可得出雙曲線的離心率.

【解答過程】由題意得圓的方程為/+y2=。2,不妨設(shè)雙曲線的漸近線為y=《x.

設(shè)點(diǎn)M的坐標(biāo)為Oo,y0),則點(diǎn)N的坐標(biāo)為(一萬0,—y0),

rb

由[二):1又，=必+「解得猿/或{>[>

M{a,b),N(—a,—b).

又4(—a,0),

\AM\=J(a+a)2+b2,\AN\=y/[—a—(—ci)]2+b2=y/~b^,

在AMAN中，NM4N=|IT,

由余弦定理得|MN『=\AM\2+\AN\2-2\AM\\AN\cos^

即4c2=(a+a)2+b2+b2—2J(a+a)2+爐,bcosg,

化簡(jiǎn)得7a2=3C2,

.V21

??6=--.

3

故選：c.

8.(5分)(2024.全國.模擬預(yù)測(cè))已知函數(shù)f(%)=)/，">,若函數(shù)g(%)=-有兩個(gè)不

Vxex,x<1

同的零點(diǎn)，則實(shí)數(shù)。的取值范圍為()

A，卜))u存,e)B.[o,?U{e}

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C-{一：}u(0,=)U(e,+8)D.{-;}u(0,^)

【解題思路】根據(jù)題意，先判斷/(X)在(-8,1］和(1,+8)上的單調(diào)性和最值，再作出函數(shù)/(X)的大致圖象,

將函數(shù)的零點(diǎn)問題轉(zhuǎn)化為方程根的問題，從而數(shù)形結(jié)合得結(jié)果.

【解答過程】當(dāng)工工1時(shí)，//(x)=(%+l)ex,當(dāng)％E(-8,-1)時(shí)，f(x)<0,

當(dāng)?shù)跁r(shí)，f\x)>0,所以/⑺在(一8,-1)上單調(diào)遞減，在(—1,1］上單調(diào)遞增，且f(%)min=/(-1)=

—當(dāng)％<0時(shí)，/(%)=xex<0.

當(dāng)%>1時(shí)廣(%)=,當(dāng)％e(1,2)時(shí),廣(工)<0,

當(dāng)久e(2,+8)時(shí)，尸(第)>0,所以/(%)在(1,2)上單調(diào)遞減，在(2,+8)上單調(diào)遞增，且/QOmin=/(2)=V.

4

由圖象可知，x=0是函數(shù)/(x)的零點(diǎn)，要使函數(shù)g(x)=［/(%)］2-a/(x)有兩個(gè)不同的零點(diǎn)，則方程［/(為產(chǎn)-

af(x)=0有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，等價(jià)于久支)=a有1個(gè)非零實(shí)數(shù)根.

由圖可知a=—：或0<a<彳或a>e,即ae{-1}U(0,f)U(e,+oo).

故選：C.

二、多項(xiàng)選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分，在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目的

要求，全部選對(duì)的得6分，部分選對(duì)的得部分分，有選錯(cuò)的得0分。

9.(6分)(2024?新疆烏魯木齊.一模)已知函數(shù)/'(%)=sin(a)x+s)(3>0,-彳<⑴<；)的部分圖像如

A.f(x)在(0,J)上單調(diào)遞增

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B.〃久)在(0,6)上有4個(gè)零點(diǎn)

C.明=與

D.將曠=sinx的圖象向右平移個(gè)單位，可得y=/(X)的圖象

6

【解題思路】結(jié)合圖象，得到函數(shù)f(x)=sin(2久-》，根據(jù)正弦函數(shù)圖象和性質(zhì)，以及圖象變化判斷四個(gè)

6

選項(xiàng)即可.

【解答過程】由圖知，f(0)=sing=—,所以0=-----F2kn,k6Z或g=---F2k.n,k,GZ,

266

又一：<9<泉所以9=一也所以/O)=sin(3%—?又因?yàn)閳D象過(一工,0),

且為下降零點(diǎn)，所以一空3-乙=TC+2/CTT,co>0,故3=—+2/c),kWZ,k40,

1265\6/

結(jié)合圖象”瑞，即0V3V*所以e=2,

所以/(%)=sin(2x-》，

6

對(duì)于A選項(xiàng)，當(dāng)0<x<；,0<2%-^<p結(jié)合正弦函數(shù)圖像可知，〃%)在(0，習(xí)上單調(diào)遞增，故A正

確；

對(duì)于B選項(xiàng)，當(dāng)0<x<6時(shí)，一？<2萬一巳<12-3其中3Tt<12—2<4m

6666

結(jié)合正弦函數(shù)圖像可知，/(%)在(0,6)上有4個(gè)零點(diǎn)，故B正確；

對(duì)于C選項(xiàng)，當(dāng)/(')=工時(shí)，即sin(2%即2%—-=-+2kn,kGZ或2%—-=—+2kn,k6Z,

2626666

結(jié)合圖象可知，/如=5所以|4B|=W=?故c正確；

對(duì)于D選項(xiàng)，將丫=sin%的圖象向右平移J個(gè)單位，得37=5也(%-^)，而f(%)=sin(2;r-g),故D錯(cuò)誤，

故選：ABC.

10.(6分)(2024.山東泰安.一模)已知復(fù)數(shù)z,w,則下列說法正確的是()

A.若z=w,則2=w

B.若z=3+i,w=-2i,貝|z+w在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)在第二象限

C.若z2=1,貝!|z=z

D.若|z-2|=1,復(fù)數(shù)z在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)為Z,則直線。Z(。為原點(diǎn))斜率的取值范圍為卜今印

【解題思路】根據(jù)題意，由復(fù)數(shù)的運(yùn)算以及其幾何意義，對(duì)選項(xiàng)逐一判斷，即可得到結(jié)果.

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【解答過程】對(duì)于A,設(shè)2=a+bi(a,bER),則5=a—?dú)v，若2=訪，則江=a+bi,

則卬=。—?dú)v，所以，=w,故A正確；

對(duì)于B,若z=3+i,w=-2i,貝!Jz+w=3-i,所以z+w在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)

在第四象限，故B錯(cuò)誤；

對(duì)于C,設(shè)2=a+bi(a,beR),由z?=1,可得(M—序)+2abi=i,

則a=±l,b=O,即2=±1,則Z=，，故C正確；

對(duì)于D,設(shè)z=1+yi(a,bWR),則z—2=(%—2)+yi,若|z—2|=1,

則(％—2)2+y2=i,即點(diǎn)Z在以(2,0)為圓心，1為半徑的圓上，

設(shè)過原點(diǎn)與圓相切的直線為y=kx,即k%-y=0,

則圓心到切線的距離d=-y===1，解得k=±鼻

所以直線OZ(0為原點(diǎn))斜率的取值范圍為卜子,?],故D正確.

故選：ACD.

11.(6分)(2024.全國.模擬預(yù)測(cè))已知函數(shù)/(%)=(Ina+6衣-c^ex,其中e為自然對(duì)數(shù)的底數(shù)，則()

A.若/(久)為減函數(shù)，則f(0)<0B.若/(久)存在極值，貝Uae。〉1

C.若/(1)=0,貝l|6>ln2D.若/(x)20,則b2a

【解題思路】對(duì)f⑺求導(dǎo)可得尸(x)=(Ina+b)ex-a2e,當(dāng)f(0)=0時(shí),f(x)也為減函數(shù),可得A錯(cuò)誤；

若/⑺存在極值可知/'(x)存在“變號(hào)”零點(diǎn)，可得B正確；由/⑴=。可得b=a2-Ina,構(gòu)造g(x)=x2-Inx

并判斷單調(diào)性可得b>ln2,C正確；由/(x)20可得Ina+62咚，易知與W1,可得22a—小，構(gòu)造函

exexaa

數(shù)h(%)=x——,x>0并判斷單調(diào)性即可求得b>a,D正確.

X

【解答過程】因?yàn)?(%)=(Ina+b)e"-a2ex,所以/'(%)=(Ina+Z?)ex-a2e,

所以當(dāng)71(0)=Ina+b=0時(shí)，/'(%)=-Me<0,/(%)為減函數(shù)，A錯(cuò)誤.

若/(久)存在極值，則尸(%)=(Ina+b)ex-Me存在“變號(hào)”零點(diǎn).

因?yàn)?'(%)=0可得(Ina+b)ex=a2e,所以Ina+b>0,即ae>>1,B正確.

若f(1)=0,則(Ina+b)e—a2e=0,即b=a2—Ina.

令g(%)=x2—Inx,貝Ug'Q)=2%—：=———~,x>0,

所以當(dāng)0<%v/時(shí)，“(黑)<o,當(dāng)％〉子時(shí)，grM>o,

所以g(x)在(0,?)上為減函數(shù)，在(日,+8)上是增函數(shù)，

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所以g(%)min=g(?)=(-也曰=((1+1112),所以bN1(l+ln2)>ln2,C正確.

若/(%)20,即Ina+bN學(xué)^.由e%N%+l,得41之工，即能41,

所以Ina+bNa?,易知a>0,所以&Na—皿.

aa

設(shè)9(%)=%2—1+\nx,x>0,“(%)=2%+^>0,所以0(%)在(0,+8)上單調(diào)遞增,

結(jié)合0(1)=0,當(dāng)0<x<1時(shí),<p(x)<0,//(%)<0,h(%)在(0,1)上單調(diào)遞減；

當(dāng)%>1時(shí),(p(x)>0,"(%)>0,九(%)在(1,+8)上單調(diào)遞增.

所以/l(%)min=九(1)=L所以即bna,D正確.

故選：BCD.

第口卷（非選擇題）

三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分。

12.（5分）（2024?河南信陽?二模）已知集合/={x\y=V%+y/1—x],B={y[y=_j,那么CRQ4nB）=

{%[%Hl}

【解題思路】首先由函數(shù)定義域化簡(jiǎn)集合4求復(fù)雜分式、根式函數(shù)的值域得集合結(jié)合集合的交集、補(bǔ)

集概念即可求解.

【解答過程】要使得y=?+VI』有意義，貝解得OWxWL即集合2={x|0WxWl}，

若'有意義，則F-V1-%0,X<1且X豐0,

1—x>0

而第二>o且VT二^*1,所以1一VT77%<1且1-VT^7%*0,

所以B={y\y<0或y21},從而4nS={1},CR（Xn5）=（x\x1）.

故答案為：{x|xKl}.

13.（5分）（2024?黑龍江哈爾濱?一模）已知圓G：久2+y2=3,圓C2：（久—1尸+（y-2）2=3,直線Z:y=

x+2.若直線2與圓Q交于4B兩點(diǎn)，與圓。2交于D,E兩點(diǎn)，M,N分別為2B,DE的中點(diǎn)，則|MN|=

-V2

【解題思路】利用點(diǎn)到直線的距離公式，以及兩點(diǎn)之間的距離公式，結(jié)合幾何關(guān)系，即可求得結(jié)果.

【解答過程】設(shè)圓Ci，Q的半徑為勺k2，由題可得：Q（0,0）,C2（l，2）,q=七=百，

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22rr

故IG.C2I=Vl+2=V5,滿足0=\rr—r2\<?QI<\i+i\=2V3,故兩圓相交,

連接C2MC1M,過。2作垂足為H,如下圖所示：

由點(diǎn)到直線的距離公式可得GM=t=爭(zhēng)CM=3=&，

則|GH|=\CrM\-\C2N\=乎,又?C2I=V5,

在直角三角形。2口6中，

由勾股定理可得|MN|=\C2H\=，|的。2『-|的m2=/5-|=當(dāng).

故答案為：|V2.

14.(5分)(2024.全國.模擬預(yù)測(cè))函數(shù)/(久)=的?在區(qū)間［一上的最大值與最小值之和為

a+b(a>0,b>0),則工+1的最小值為遍+2.

ab

【解題思路】將解析式變形為f(x)=l+的y?令g(x)=m(e：e-?利用奇偶性即可得a+6=2,然后

妙用“1”求解即可.

2xxx-xxx-x

【解答過程】/(%)=ln(e+l)_lne(e+e)_lne+ln(e+e)

XXX

%+ln(ex+e-x)_1+ln(ex+e-x)

XX

_皿e%+eT)

令gG)xG[—e,—

x

因?yàn)槎x域關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，且g(-O="⑹")=—gQ),

—x

所以g(x)為奇函數(shù)，所以g(x)在區(qū)間U［l,e］上的最大值與最小值之和為0,

則函數(shù)八%)在區(qū)間［-e,—1］U［l,e］上的最大值與最小值之和為2,即a+b=2.

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又a>0,b>0,

所以3+合乂5+枳。+6)=乂4+>工)=2+乂：+工)

-2+1X2JF1=V3+2,

當(dāng)且僅當(dāng)"停a+b=2,即”遮-1,小3-。等號(hào)成立.

故答案為：V3+2.

四、解答題：本題共5小題，共77分，解答應(yīng)寫出必要的文字說明、證明過程及驗(yàn)算步驟。

15.(13分)(2024?北京平谷?模擬預(yù)測(cè))設(shè)函數(shù)fO)=(x+2)ln(x+l)-a;c,曲線y=f(x)在點(diǎn)(0"(0))

處的切線斜率為1.

⑴求。的值；

(2)設(shè)函數(shù)g(x)=fr(x),求g(x)的單調(diào)區(qū)間；

(3)求證：%/(%)>0.

【解題思路】

(1)求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，根據(jù)導(dǎo)數(shù)的幾何意義，即可求得答案；

(2)求出g(x)的導(dǎo)數(shù)，判斷導(dǎo)數(shù)的正負(fù)，即可求得單調(diào)區(qū)間；

(3)結(jié)合(2),可得/(X)在(—1,+8)為增函數(shù)，結(jié)合函數(shù)值的正負(fù)，即可證明結(jié)論.

【解答過程】(1)

由題意得/'(x)的定義域?yàn)?一1,4-00),f'(x)=ln(x+1)+譽(yù)-a,

因?yàn)槭?0)=1.所以lnl+2-a=l,解得a=1.

(2)

因?yàn)間(x)=f'(x)=ln(x+1)+--1,g(x)的定義域?yàn)?一1,+8),

9口)=擊1_X

(x+l)2—(%+1)2’

令g'(x)=0,得x=0,

g(%)與g'(%)在區(qū)間(o,+8)上的情況如下:

X(-1,0)0(0,+00)

g'(x)-0+

g(x)遞減極小遞增

第10頁共16頁

所以g(x)的單調(diào)遞減區(qū)間為(-1,0),單調(diào)遞增區(qū)間為(0,+8)；

(3)

證明：由(2)得，在％=0時(shí)，g(x)取得最小值1,所以尸(%)>0恒成立，

所以八%)在(一1,+8)為增函數(shù)，又因?yàn)閒(0)=0,

當(dāng)—1<x<0時(shí)，/(%)<0,所以W(x)>0；

當(dāng)x>0時(shí)，/(%)>0,所以x/(x)>0,

當(dāng)x=0時(shí)，%/(%)=0,

綜上，x/(x)>0.

16.(15分)(2024?陜西安康?模擬預(yù)測(cè))2024年“元旦檔”，某連鎖購物中心在2023年12月31日隆重開

業(yè)，該購物中心隨機(jī)調(diào)查統(tǒng)計(jì)了連續(xù)8天的客流量y(單位：百人)，如下表：

日期12月31日1月1日1月2日1月3日1月4日1月5日1月6日1月7日

日期代碼久12345678

客流量y16.618.82224.928.633.138.946.3

(1)由表中數(shù)據(jù)，知可用線性回歸模型擬合y與尤之間的關(guān)系，請(qǐng)用相關(guān)系數(shù)加以說明；(結(jié)果精確到0.01)

(2)求y關(guān)于久的線性回歸方程夕=+a(系數(shù)精確到0.01,并用精確后的6的值計(jì)算a的值)，并預(yù)測(cè)i月

9日的客流量.(預(yù)測(cè)結(jié)果精確到0.1)

參考公式：相關(guān)系數(shù)丁二2二8-初尢一歹)=,線性回歸方程y=+a中斜率和截距的最小二乘估計(jì)公

式分別為B=生爐鋁毋=y-bx.

2

Zi=1(xi-x)

參考數(shù)據(jù)：9=28.65,雪=陽—君2=42,2：=式%—切2=736.9,鄧=1?—君(%—歹)=172.7,<2?

2.05,77369?85.84.

【解題思路】(1)先計(jì)算相關(guān)系數(shù)，再根據(jù)近似值判斷說明即可；

(2)先根據(jù)公式計(jì)算式，后得出回歸直線，再根據(jù)回歸直線預(yù)測(cè)即得.

【解答過程】(1)由題意，知元=；x筆理=；,

822

所以相關(guān)系數(shù)r二產(chǎn)陽網(wǎng)(gg_172.7_172.7?172.7?

70.98.

,42X736.9—'4.2X7369~2.05x85.84~

2；=1(%_為2

因?yàn)閥與％的相關(guān)系數(shù)丁X0.98,接近于1,

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所以y與x的線性相關(guān)程度很高，可用線性回歸模型擬合y與％之間的關(guān)系.

（2）因?yàn)?=羽土達(dá)包=上。4.11,

2葭3-守42

a^y-bx^28.65-4.1110.16,所以y關(guān)于x的線性回歸方程為夕=4.11%+10.16.

又1月9日對(duì)應(yīng)的日期代碼x=10,

當(dāng)x=10時(shí)，y=4.11X10+10.16=51.26?51.3,所以預(yù)測(cè)1月9日的客流量約為51.3百人.

17.（15分）（2024?四川?模擬預(yù)測(cè)）如圖，多面體4BCDEF中，四邊形4BCD為菱形，^BAD=gBD=DE=

2BF=2,DELAC,BF//DE.

（1）求證：平面4CF_L平面BDEF；

（2）當(dāng)BF1CD時(shí)，求直線AE與平面2CF所成角的正弦值.

【解題思路】（1）根據(jù)題意，由線面垂直的判定定理可證4C，平面BDEF,再由面面垂直的判定定理即可

證明；

（2）根據(jù)題意，建立空間直角坐標(biāo)系，結(jié)合空間向量的坐標(biāo)運(yùn)算，代入計(jì)算，即可得到結(jié)果.

【解答過程】（1）因?yàn)锽/7/DE,所以點(diǎn)四點(diǎn)共面，

又四邊形2BCD為菱形，所以力C1BD,

因?yàn)镈EJ.4C,BDCDE=D,u平面BOEF,

所以4C1平面BDEF,又ACu平面4CF,

所以平面2CF1平面BDEF.

Ez木

（2）TAy

因?yàn)锽F1CD,所以DE1CD,又因?yàn)镈E1AC,CDClAC=C,

所以DE_L平面2BCD,設(shè)BD交AC于0,則以。4為x軸，

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OB為y軸，過點(diǎn)。且平行于DE的方向?yàn)閦軸，

建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系。-xyz,

因?yàn)?1,四邊形48CD為菱形，Z.BAD=成

則=AD=BD=DE=2,AC=2后

所以有0,0),F(0,l,l),￡(0,-1,2),C(-V3,0,0),

則前=(-2V3,0,0),CF=(遮,1,1),族=(-V3,-1.2),

不妨設(shè)平面4CF的法向量為沅=(%,y,z),

貝0一七‘二28"=°,取y=i,得記=(o,i,_i),

(m-CF=V3x+y+z=0

設(shè)直線/E與平面/CF所成角為仇

則sin6=Icos<AE,m>\=〔紇嗎=「=2

11\AE\-\m\V2X2V24

故直線/E與平面ZCF所成角的正弦值為;.

4

22

18.(17分)(2024?江西?二模)已知橢圓C的方程為各+9=l(a>6>0),由其3個(gè)頂點(diǎn)確定的三角形的

面積為4,點(diǎn)P(2,l)在C上，4B為直線久=4上關(guān)于x軸對(duì)稱的兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)，直線AP,BP與C的另一個(gè)交點(diǎn)分別

為M,N.

(1)求C的標(biāo)準(zhǔn)方程；

(2)證明：直線MN經(jīng)過定點(diǎn)；

(3)0為坐標(biāo)原點(diǎn)，求AMON面積的最大值.

【解題思路】(1)由題意得到關(guān)于a,b方程組求解即可；

(2)設(shè)直線MN的方程為y=kx+n,與橢圓聯(lián)立，得韋達(dá)定理，設(shè)PM,PN方程得4,8坐標(biāo)，利用以+犯=。

將韋達(dá)定理代入化簡(jiǎn)得n+4fc=0,得到定點(diǎn)坐標(biāo)；

(3)由弦長公式及點(diǎn)到線的距離公式得面積表達(dá)式，換元法求最值.

(=4__

【解答過程】(1)由題意知41_結(jié)合橢圓參數(shù)關(guān)系，解得a=2&,b=V2,

1我+記一1

22

所以橢圓C的方程為3+9=1.

o2

(2)直線MN的斜率必存在，設(shè)其方程為y=kx+n.

y=kx-Vn

x2必_］消去y得(1+4fc2)%2+Snkx+4n2—8=0,

{82~

222

由A>0得(8TI/C)2-4x(1+4k2)x4(n-2)>0=?n<8fc+2.

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設(shè)M（Xi，yi）,N（%2，y2），則/+乂2=-石市，/刀2=77^，（*）

直線PM的方程為y-1=矢(x-2),

令％=4,得以=1+竽同理、B=1+學(xué)”，

由％+=°n2+^p+z：?二i)=0,又％=fc%1+n,y2=kx2+n,

代入整理得(2k+1)%1%2+(n—2k—3)(xt+x2)+8-4n=0,

將(*)式代入并整理得"+(6k-l)n+81_4k=0今(九+4k)(n+2k-1)=0.

因?yàn)橹本€MN不過P(2,l),故n+2k-1=0不成立，所以n+4k=0,

此時(shí)直線MN的方程為y=k(x-4),經(jīng)過定點(diǎn)(4,0).

(3)由n2<8/+2今軌2<1,X1+x2=--i,X1X2=--I

2

所以|MN|=Vl+k\xr—x2\=A/1++冷/一4%1第2=---七還----

又點(diǎn)。到直線MN的距離為d=畀，

vl+fc2

1J14V2V1+/C2V1-4/C2|4k|門K|fc|Vl-4fc2

mShM0N^-\MN\d=-x—百一x訴=8/

2

令t=1+4k2,l<t<2,則SAMON=4或『？2T）=472^-2Q-j）+^<2,

當(dāng);=：,即卜2=視時(shí)取等，所以AMON的面積的最大值為2.

t412

19.（17分）（2024?河南信陽.一模）定義：max{a,b}={片■:'min{a,b）=《'真:'已知數(shù)列{&J滿足

an+min{an+1,on+2]=max{an+1,an+2）.

（1）右"a2—2,CI3—3,求a]，的值;

（2）若WnGN*,mkEN*,使得斯W以恒成立.探究：是否存在正整數(shù)p,使得4=0,若存在，求出p的

可能取值構(gòu)成的集合；若不存在，請(qǐng)說明理由；

（3）若數(shù)列{廝}為正項(xiàng)數(shù)列，證明：不存在實(shí)數(shù)A,使得Vn67*,即W人

【解題思路】（1）根據(jù)題意，由定義代入計(jì)算，即可得到結(jié)果；

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(2)根據(jù)題意，將問題轉(zhuǎn)化為以工maxSk+i，%+2}《以，即可得到結(jié)果；

(3)根據(jù)題意，分S=0與SW0討論，當(dāng)SW0時(shí)，再分S為有限集與S為無限集討論，即可證明.

【解答過程】(1)依題意，廝=max{a九+i，a九+2}-min{a九+i，a九+2卜顯然M之0；

故的=max{a2,a3}—min{a2/^3}=1；

a2=max{a3,a4]—min{a3,a4}=2,

即CI3—(Z4——。3=2,則。4==5.

(2)???max{an+llan+2}>min{an+1/an+2},

???an=max{an+llan+2}-min{an+1/an+2]>0,

,?*an<以對(duì)V九EN*恒成立，

aaaa

k+i<k>k+2-k>max{afc+1,ak+2}<cck.

???ak=max{/+1,%+2}-mn{ak+lfak+2}<max{afc+1/ak+2}

???ak<max{a九+1，%+2}<ak,

???max{ak+llak+2]=ak,/.min{ak+1/afc+2]=0,

①以+1=°，。上+2H0時(shí)，

ak=max{ak+1，Q1+2}-111山{(1上+1，以+2}=。k+2。。

tt/c-i=max{%，/+J-min{%，以+J=ak=ak+2*0

cik_2=max{(Zk_],ak}miri￡(z^_Q/c}=0/c0k=0

aa

k-3=maxfa^-2,^-1}—min{a/c_2/=以—。=以=k+2*。

?，?當(dāng)p=k+3m—2,mEZ,且p>0時(shí),Qp=0.

???p的集合為{pIp=/c+3m—2,m6Z且p>0}

②以+2=°，縱+1工。時(shí)，

以=max{ak+1/ak+2}-min{afe+llak+2}=ak+1W0,

ak-i=max{ak，/+i}-min{a力Q—I}=%+i—%+i=°，

ctk_2=_i，Q/c}iriin{ak_],。之}=a/c+iH0，

???當(dāng)p=k+3m—l,mEZ,且p>0時(shí)，ap=0.

p的集合為{pIp=k+3m—l,meZ且p>0}

③以+1=。且以+2=°時(shí)，ak=0,P的集合為N*

(3)cin=max{a九+1，a九+2}—min{a九+~a九+2}>0,。九+iH。九+2；

設(shè)S={n\an>an+1,nEN*},

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a

①若S=0,則與<a2?i<Qi+iU2J6N*),

對(duì)任意/>0,取九1=嚀]①+2(印表示不超過x的最大整數(shù))，

當(dāng)71>電時(shí),dn=(Un—。九一])+(dn-i-Cln_2)+…+一02)+=。九一2+0九一3+…+%+02-(九一

1)的>(n±-l)an=(琪+1)的>(.%=/；

②若SH0,

i)若S為有限集，設(shè)m=max{n|an>an+lfnEN*},am+i<am+i+1(iEN*),

對(duì)任意