江蘇省蘇州蘇州星海中學2024屆數學高一下期末考試試題考生請注意：1．答題前請將考場、試室號、座位號、考生號、姓名寫在試卷密封線內，不得在試卷上作任何標記。2．第一部分選擇題每小題選出答案后，需將答案寫在試卷指定的括號內，第二部分非選擇題答案寫在試卷題目指定的位置上。3．考生必須保證答題卡的整潔。考試結束后，請將本試卷和答題卡一并交回。一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每個小題給出的四個選項中，恰有一項是符合題目要求的1．設，若3是與的等比中項，則的最小值為（）.A． B． C． D．2．已知某地區中小學生人數和近視情況分別如圖1和圖2所示，為了了解該地區中小學生的近視形成原因，按學段用分層抽樣的方法抽取該地區的學生進行調查，則樣本容量和抽取的初中生中近視人數分別為（）A．， B．， C．， D．，3．已知直線與互相垂直，垂足坐標為，且，則的最小值為（）A．1 B．4 C．8 D．94．一個幾何體的三視圖如圖所示，則這個幾何體的體積等于（）A． B．或 C．或 D．5．在中，，，，是外接圓上一動點，若，則的最大值是（）A．1 B． C． D．26．設函數，則是()A．最小正周期為的奇函數 B．最小正周期為的偶函數C．最小正周期為的奇函數 D．最小正周期為的偶函數7．若，則（）A．－ B． C． D．8．△ABC中，三個內角A，B，C所對應的邊分別為a，b，c，若c＝，b＝1，∠B＝，則△ABC的形狀為（）A．等腰直角三角形 B．直角三角形C．等邊三角形 D．等腰三角形或直角三角形9．已知=(2,3)，=(3，t)，=1，則=A．-3 B．-2C．2 D．310．平面向量與的夾角為，，，則A． B．12 C．4 D．二、填空題：本大題共6小題，每小題5分，共30分。11．若，則__________.（結果用反三角函數表示）12．如圖是一個算法的流程圖，則輸出的的值是________.13．已知向量、滿足，，且，則與的夾角為________.14．如果函數的圖象關于直線對稱，那么該函數在上的最小值為_______________．15．定義運算，如果，并且不等式對任意實數x恒成立，則實數m的范圍是______.16．化簡sin2α＋sin2β－sin2αsin2β＋cos2αcos2β＝______.三、解答題：本大題共5小題，共70分。解答時應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．某學校高一年級學生某次身體素質體能測試的原始成績采用百分制，已知所有這些學生的原始成績均分布在內，發布成績使用等級制.各等級劃分標準見下表.規定：三級為合格等級，D為不合格等級.為了解該校高一年級學生身體素質情況，從中抽取了名學生的原始成績作為樣本進行統計.按照的分組作出頻率分布直方圖如圖1所示，樣本中分數在80分及以上的所有數據的莖葉圖如圖2所示.（I）求和頻率分布直方圖中的的值，并估計該校高一年級學生成績是合格等級的概率；（II）在選取的樣本中，從兩個等級的學生中隨機抽取2名學生進行調研，求至少有一名學生是等級的概率．18．已知△ABC中，A（1，﹣4），B（6，6），C（﹣2，0）．求（1）過點A且平行于BC邊的直線的方程；（2）BC邊的中線所在直線的方程．19．定義：對于任意，滿足條件且（是與無關的常數）的無窮數列稱為數列.（1）若，證明：數列是數列；（2）設數列的通項為，且數列是數列，求常數的取值范圍；（3）設數列，若數列是數列，求的取值范圍.20．設函數和都是定義在集合上的函數，對于任意的，都有成立，稱函數與在上互為“互換函數”．（1）函數與在上互為“互換函數”，求集合；（2）若函數（且）與在集合上互為“互換函數”，求證：；（3）函數與在集合且上互為“互換函數”，當時,，且在上是偶函數,求函數在集合上的解析式．21．在平面直角坐標系中，直線截以原點為圓心的圓所得的弦長為．（1）求圓的方程；（2）若直線與圓切于第一象限，且與坐標軸交于點，當長最小時，求直線的方程；（3）設是圓上任意兩點，點關于軸的對稱點，若直線分別交軸于點和，問是否為定值？若是，請求出該定值；若不是，請說明理由．

參考答案一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每個小題給出的四個選項中，恰有一項是符合題目要求的1、C【解析】

由3是與的等比中項，可得，再利用不等式知識可得的最小值.【詳解】解：3是與的等比中項，，，=，故選C.【點睛】本題考查了指數式和對數式的互化，及均值不等式求最值的運用，考查了計算變通能力.2、A【解析】

根據分層抽樣的定義建立比例關系即可得到結論。【詳解】由圖1得樣本容量為，抽取的初中生人數為人，則初中生近視人數為人，故選．【點睛】本題主要考查分層抽樣的應用。3、B【解析】

代入垂足坐標，可得，然后根據基本不等式，可得結果.【詳解】由兩條直線的交點坐標為所以代入可得，即又，所以即當且僅當，即時，取等號故選：B【點睛】本題主要考查基本不等式，屬基礎題.4、D【解析】

作出幾何體的直觀圖，可知幾何體為正方體切一角所得的組合體，計算出正方體的體積和所切去三棱錐的體積，相減可得答案．【詳解】幾何體的直觀圖如下圖所示：可知幾何體為正方體切一角所得的組合體，因此，該幾何體的體積為.故選：D.【點睛】本題考查的知識點是由三視圖求體積，其中根據三視圖作出幾何體的直觀圖是解答的關鍵，考查空間想象能力與計算能力，屬于中等題.5、C【解析】

以的中點為原點，建立如圖所示的平面直角坐標系，設M的坐標為，，求出點的坐標，得到，根據正弦函數的圖象和性質即可求出答案.【詳解】以的中點O為原點，以為x軸，建立如圖所示的平面直角坐標系，則外接圓的方程為，設M的坐標為，，過點作垂直軸，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，其中，，當時，有最大值，最大值為，故選C．【點睛】本題考查了向量的坐標運算和向量的數乘運算和正弦函數的圖象和性質，以及直角三角形的問題，考查了學生的分析解決問題的能力，屬于難題．6、D【解析】函數，化簡可得f（x）=–cos2x，∴f（x）是偶函數．最小正周期T==π，∴f（x）最小正周期為π的偶函數．故選D．7、B【解析】

首先觀察兩個角之間的關系：，因此兩邊同時取余弦值即可．【詳解】因為所以所以，選B.【點睛】本題主要考查了三角函的誘導公式．解決此題的關鍵在于拼湊出，再利用誘導公式（奇變偶不變、符號看象限）即可．8、D【解析】試題分析：在中，由正弦定理可得，因為，所以或，所以或，所以的形狀一定為等腰三角形或直角三角形，故選D．考點：正弦定理．9、C【解析】

根據向量三角形法則求出t，再求出向量的數量積.【詳解】由，，得，則，．故選C．【點睛】本題考點為平面向量的數量積，側重基礎知識和基本技能，難度不大．10、D【解析】

根據，利用向量數量積的定義和運算律即可求得結果.【詳解】由題意得：，本題正確選項：【點睛】本題考查向量模長的求解，關鍵是能夠通過平方運算將問題轉化為平面向量數量積的求解問題，屬于常考題型.二、填空題：本大題共6小題，每小題5分，共30分。11、；【解析】

由條件利用反三角函數的定義和性質即可求解.【詳解】，則，故答案為：【點睛】本題考查了反三角函數的定義和性質，屬于基礎題.12、【解析】由程序框圖，得運行過程如下：；，結束循環，即輸出的的值是7.13、【解析】

直接應用數量積的運算，求出與的夾角．【詳解】設向量、的夾角為；∵，∴，∵，∴.故答案為：．【點睛】本題考查向量的夾角計算，考查函數與方程思想、轉化與化歸思想，考查邏輯推理能力和運算求解能力，屬于基礎題.14、【解析】

根據三角公式得輔助角公式，結合三角函數的對稱性求出值，再利用的取值范圍求出函數的最小值.【詳解】解：，令，則，則.因為函數的圖象關于直線對稱，所以，即，則，平方得.整理可得，則，所以函數.因為，所以，當時，即，函數有最小值為.故答案為：.【點睛】本題主要考查三角函數最值求解，結合輔助角公式和利用三角函數的對稱性建立方程是解決本題的關鍵.15、【解析】

先由題意得到，根據題意求出的最大值，即可得出結果.【詳解】由題意得到，其中，因為，所以，又不等式對任意實數x恒成立，所以.故答案【點睛】本題主要考查由不等式恒成立求參數的問題，熟記三角函數的性質即可，屬于常考題型.16、1【解析】原式＝sin2α(1－sin2β)＋sin2β＋cos2αcos2β＝sin2αcos2β＋cos2αcos2β＋sin2β＝cos2β(sin2α＋cos2α)＋sin2β＝1.三、解答題：本大題共5小題，共70分。解答時應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、（I），；（II）.【解析】試題分析：(I)根據頻率直方圖的相關概率易求，依據樣本估計總體的思想可得該校高一年級學生成績是合格等級的概率；（II）記“至少有一名學生是等級”事件為，求事件對立事件的的概率，可得.試題解析：（I）由題意可知，樣本容量因為成績是合格等級人數為：人，抽取的50人中成績是合格等級的頻率為，依據樣本估計總體的思想，所以，該校高一年級學生成績是合格等級的概率為（II）由莖葉圖知，等級的學生共有3人，等級學生共有人，記等級的學生為，等級學生為，則從8名學生中隨機抽取2名學生的所有情況為：共28個基本事件記“至少有一名學生是等級”事件為，則事件的可能結果為共10種因此考點：1、頻率分布直方圖；2、古典概型.18、（1）3x﹣4y﹣19＝1（2）7x﹣y﹣11＝1【解析】

（1）先求出BC的斜率，再用點斜式求出過點A且平行于BC邊的直線方程；

（2）先求出BC的中點為D的坐標，再用兩點式求出直線AD的方程．【詳解】（1）△ABC中，∵A（1，﹣4），B（6，6），C（﹣2，1），故BC的斜率為，故過點A且平行于BC邊的直線的方程為y+4（x﹣1），即3x﹣4y﹣19＝1．（2）BC的中點為D（2，3），由兩點式求出BC邊的中線所在直線AD的方程為，即7x﹣y﹣11＝1．【點睛】本題主要考查直線的斜率公式，用點斜式、兩點式求直線的方程，屬于基礎題．19、（1）證明見解析；（2）；（3）.【解析】

（1）根據題中的新定義代入即可證出.（2）設，，，代入通項解不等式組，使即可求解.（3）首先根據可求時，，當時，，根據題中新定義求出成立，可得，再驗證恒成立即可求解.【詳解】（1），且，則滿足，則數列是數列.綜上所述，結論是：數列是數列.（2）設，，則，得，，，則數列的最大值為，則（3），當時，當時，，由，得，當時，恒成立，則要使數列是數列，則的取值范圍為.【點睛】本題考查數列的性質和應用，解題時要認真審題，仔細解答，注意合理地進行等價轉化.20、（1）（2）見解析（3），【解析】

（1）利用列方程，并用二倍角公式進行化簡，求得或，進而求得集合.（2）由，得（且），化簡后根據的取值范圍，求得的取值范圍.（3）首先根據為偶函數，求得當時，的解析式，從而求得當時，的解析式.依題意“當，恒成立”，化簡得到，根據函數解析式的求法，求得時，以及，進而求得函數在集合上的解析式.【詳解】（1）由得化簡得，，所以或．由解得或，，即或，．又由解得，．所以集合，或，即集合．（2）證明：由，得（且）．變形得，所以．因為，則，所以．（3）因為函數在上是偶函數，則．當，則，所以．所以，因此當時，．由于與函數在集合上“互換函數”，所以當，恒成立．即對于任意的恒成立．即．于是有，，．上述等式相加得，即．當（）時,，所以．而，，所以當時，，【點睛】本小題主要考查新定義函數的理解和運用，考查二倍角公式和特殊角的三角函數值，考查指數運算和指數函數的值域，考查根據函數的奇偶性求函數的解析式，考查化歸與轉化的數學思想方法，考查分析、思考與解決問題的能力，屬于難題.21、（1）；（1）；（3）定值為.【解析】