2022-2023學年山東省濟南市槐蔭區九年級（上）期末數學試卷

一、選擇題（本大題共10小題，共40.0分。在每小題列出的選項中，選出符合題目的一項）

1.已知2x=羊0）,則下列比例式成立的是（）

AX_3X_yx_2y=3

A.彳__B.3_TC._—TD.~

2y32y3x2

2.反比例函數y=?經過經過下面哪一個點（）

A.(4,-3)B.(-2,-6)C.(2,-6)D.(1,-12)

3.如圖，在△48C中，4c=90。，AC=3,BC=4,則tcuM的值A

4.二次函數y=-3（x+l）2-7得頂點坐標是（

A.(1,7)B.(1,-7)C.(-1,7)D.(-1,-7)

反比例函數y=5的圖象經過點（—2,1）,則下列說法錯誤的是（

A.fc=-2B.函數圖象分布在第二、四象限

C.當x>0時，y隨x的增大而增大D.當x<0時，y隨x的增大而減小

6.如圖，若4B是。。的直徑，CC是。。的弦，^ABD=50°,則4BCD

的度數為（）（

A.40°~^-7

B.50°C.

C.35°

D.55°

7.若兩個相似三角形的面積比是1：9,則它們對應邊的中線之比為（）

A.1：9B.3：1C.1：3D.1：81

8.如圖所示，若AZMC?△ABC,則需滿足（）A

CDB

A.CD2AD-DB

B.AC2=BC?CD

CACAB

C.—=—

CDBC

CD__BC_

'DA~AC

9.下列關于拋物線?=然+2刀-3的說法正確的是

①開口方向向上：

②對稱軸是直線x=-2；

③當》<-1時，y隨x的增大而減??；

④當x<-1或x>3時，y>0.（）

A.①③B.①④C.①③④D.①②③④

10.如圖，AACB中，CA=CB=4,44cB=90。，點P為CA上的A

動點，連BP,過點4作AM_LBP于M.當點P從點C運動到點4時，線A

段BM的中點N運動的路徑長為（）

B.1^兀

C.y/~3n

D.27r

二、填空題（本大題共6小題，共24.0分）

11.已知銳角a滿足cosa=；,則銳角a的度數是度.

12.如圖，。。的內接四邊形4BCD中，ND=50。，則NB的度數為.D

13.將拋物線y=%2向下平移3個單位長度，再向左平移2個單位長度后，得到的拋物線的解

析式為.

14.如圖是反比例函數y=|和y=g(k>3)在第一象限的

圖象，直線軸，并分別交兩條雙曲線于AB兩點，若

S^AOB~%則k=----------

15.如圖，48是。。的切線，B為切點，。4與。0交于點C,以點4為圓心、以0C的長為半

徑作京，分別交AB,AC于點E,艮若0C=2,AB=4,則圖中陰影部分的面積為.

16.如圖，已知拋物線y=gx2-3%與直線y=2x交于。，A兩點.點B是個

拋物線上0,4之間的一個動點，過點B分別作兩條坐標軸的平行線，與直

線。4交于點C,E,以BC,BE為邊構造矩形BCDE,設點。的坐標為(m,n),

則小關于n的函數關系式是.

三、計算題(本大題共1小題，共6.0分)

17.計算：tan45°—sin30°cos60°—cos245°.

四、解答題(本大題共9小題，共80.0分。解答應寫出文字說明，證明過程或演算步驟)

18.(本小題6.0分)

已知一個二次函數y=x2+bx+c的圖象經過點(2,2)和(1,5).

(1)求這個二次函數的解析式；

(2)求這個二次函數圖象的頂點坐標.

19.(本小題6.0分)

如圖，在△4BC中，BC=8,AC=4,。是BC邊上和點，CO=2.求證：AB=2AD.

20.（本小題8.0分）

如圖所示的拱橋，用?表示橋拱.

（1）若觸所在圓的圓心為。，EF是弦CD的垂直平分線，請你利用尺規作圖，找出圓心0.（不寫

作法，但要保留作圖

痕跡）

（2）若拱橋的跨度（弦4B的長）為16巾,拱高（?的中點到弦力B的距離）為4m,求拱橋的半徑R.

21.（本小題8.0分）

無人機低空遙感技術已廣泛應用于農作物監測.如圖，某農業特色品牌示范基地用無人機對一

塊試驗田進行監測作業時，在距地面高度為135nl的4處測得試驗田右側邊界N處俯角為43。,

無人機垂直下降40nl至B處，又測得試驗田左側邊界M處俯角為35。，求MN的長.

（參考數據:tan43°?0.9,sin43°?0.7,cos35°?0.8,tan35°?0.7,結果保留整數）

22.（本小題8.0分）

某商店經銷一種健身球，已知這種健身球的成本價為每個20元，市場調查發現，該種健身球

每天的銷售量y（個）與銷售單價％（元）有如下關系：y=-2x+80（20<x<40）,設這種健身

球每天的銷售利潤為W元

(1)如果銷售單價定為25元，那么健身球每天的銷售量是個；

(2)求w與x之間的函數關系式；

(3)該種健身球銷售單價定為多少元時，每天的銷售利潤最大？最大利潤是多少元？

23.(本小題10.0分)

如圖，4B為。0的直徑，DE切于點E,BD1DE于點D,交。。于點C,連接BE.

⑴求證：BE平分“BC；

(2)若4B=10,BC=6,求CD的長.

24.(本小題10.0分)

已知4(一4,2)、B(n,-4)兩點是一次函數、=kx+b和反比例函數y=三的圖象的兩個交點，點

P的坐標為(p,0).

(1)求一次函數和反比例函數的解析式；

(2)求AAOB的面積.

(3)觀察圖象，直接寫出不等式h+6-9>0的解集；

(4)若44BP是以AB為直角邊的直角三角形時，請直接寫出p的值.

25.(本小題12.0分)

【問題呈現】

如圖1,△ABC和△4DE都是等邊三角形，連接BD,CE.易知味=______.

CE

【類比探究】

如圖2,AABC和△4CE都是等腰直角三角形，N4BC=N4DE=90。.連接BD,CE.則空=

【拓展提升】

如圖3,△力BC和AADE都是直角三角形，乙4BC=乙4DE=90。，且箓=禁=*,連接BD,

CE.

圖1圖2圖3

(1)求號的值；

(2)延長CE交BD于點F,交4B于點G.求sin/BFC的值.

26.(本小題12.0分)

若二次函數y=a/+bx+c的圖象經過點4(-2,0),8(0,-4),其對稱軸為直線x=1,與x軸

的另一交點為C.

(1)求二次函數的表達式；

(2)若點M在直線4B上，且在第四象限，過點M作MNLx軸于點N.

①若點N在線段OC上，且MN=3NC,求點M的坐標；

②以MN為對角線作正方形MPNQ(點P在MN右側)，當點P在拋物線上時，求點M的坐標.

答案和解析

1.【答案】B

【解析】解：根據等式性質2,可判斷出只有B選項正確.

故選:B.

根據等式的兩邊同時乘以或除以同一個不為0的數或字母等式仍成立即可解決.

本題考查的是等式的性質：

等式性質1：等式的兩邊加（或減）同一個數（或式子）結果仍相等；

等式性質2：等式的兩邊同乘（或除以）同一個數（除數不為0）結果仍相等.

2.【答案】B

【解析】解：當X=4時，y=￥=3,

故4選項不符合題意；

當無——2時，y=3=-6,

故8選項符合題意；

當x=2時，y=y=6,

故C選項不符合題意；

當x=l時，y=Y=12,

故。選項不符合題意；

故選：B.

將橫坐標分別代入函數解析式求出縱坐標，進一步比較即可.

本題考查了反比例函數圖象上點的坐標特征，熟練掌握反比例函數圖象上點的坐標特征是解題的

關鍵.

3.【答案】D

【解析】解：???AC=3,BC=4,4c=90。，

故選：D.

根據銳角三角函數的定義得出ta加4=益，再代入求出答案即可.

AC

本題考查了銳角三角函數的定義，能熟記銳角三角函數的定義是解此題的關鍵.

4.【答案】D

【解析】解：?.?二次函數解析式為：y=-3(X+1)2—7,

二頂點坐標(-1,-7),

故選：D.

根據二次函數解析式的頂點式，即可直接求得.

本題主要考查了利用二次函數頂點式求頂點坐標，頂點式y=a(x-h)2+k,其頂點坐標是(h,k).

5.【答案】D

【解析】解一?反比例函數y=g的圖象經過點(-2,1),

:.k=-2x1=-2.

故A正確；

vk=-2<0,

???雙曲線y=-：分布在第二、四象限，

故8選項正確；

?.當k=-2<0時，反比例函數y=在每一個象限內y隨x的增大而增大，

即當x>0或x<0時，y隨x的增大而增大.

故C選項正確，。選項錯誤，

綜上，說法錯誤的是D,

故選：D.

利用待定系數法求得k的值，再利用反比例函數圖象的性質對每個選項進行逐一判斷即可.

本題主要考查了反比例函數圖象上點的坐標的特征，待定系數法確定函數的解析式，反比例函數

圖象的性質.利用待定系數法求得k的值是解題的關鍵.

6.【答案】a

D

［解析］解：―O/lB

vZcF

如圖，連接AC,

為直徑，

4ACB=90°,

vZ.ABD=50°,

???AACD=乙ABD=50°,

???乙BCD=Z.ACB-Z.ACD=90°-50°=40°,

故選：A.

連接4C,由圓周角定理可求得N4CB=90。，^ACD=^ABD,則可求得答案.

本題主要考查圓周角定理，掌握直徑所對的圓周角為直角、同圓或等圓中同弧所對的圓周角相等

是解題的關鍵.

7.【答案】C

【解析】解：???兩個相似三角形的面積之比是對應邊上的中線之比的平方，

兩個相似三角形的面積之比為1：9,

二它們對應邊上的中線之比為1：3.

故選：C.

根據兩個相似三角形的面積之比是對應邊上的中線之比的平方.

本題主要考查了相似三角形的性質，掌握兩個相似三角形的面積之比是對應邊上的中線之比的平

方，開平方是解題關鍵.

8.【答案】B

【解析】解：由可得CD：AD=BD-.CD,由此得不出結論；

由4c2=CD,可得AC：BC=CD-.AC,

???Z.C—/.C,

：.j\ABC-^DAC,故B選項正確；

由需=槳得不出結論；

CDDC

由照=器及NB4C=4>DC=90?？傻媒Y論，但題目中未提及.

故選:B.

根據相似三角形的判定定理依次判斷即可.

本題主要考查相似三角形的性質和判定，熟知相關判定定理是解題關鍵.

9.【答案】a

【解析】解：?.?拋物線y=M+2x-3=(x+I/-4,

a=1,該拋物線開口向上，故①正確；

其圖象的對稱軸是直線x=-l,故②錯誤；

當<一1,y隨X的增大而減小，故③正確；

y=x2+2x-3=(x+3)(x-1),

???拋物線與x軸的交點為(―3,0)(1,0)，

???拋物線開口向上，

二當x<-3或無>1時，y>0,故④錯誤；

故選：A.

根據題目中拋物線y=/+2x-3=(x+1)2—4和二次函數的性質，圖象與x軸的交點可以判斷

各個選項中的結論是否正確，從而可以解答本題.

本題考查二次函數的性質，拋物線與x軸的交點，解答本題的關鍵是明確題意，利用二次函數的性

質解答.

10.【答案】A

【解析】解：設AB的中點為Q,連接NQ,如圖所示：工

???N為BM的中點，Q為48的中點，/

NQ為XB4M的中位線，\

AQN1BN,

：.乙QNB=90°,

.??點N的路徑是以QB的中點。為圓心，長為半徑的圓交CB于0的矽,

vCA=CB=4,Z.ACB=90°,

AB=\T2CA=4/7.“BD=45°,

/.DOQ=90°,

⑥為OO的加長,

???線段的中點N運動的路徑長為：%；產=￡2

1802

故選：A.

設AB的中點為Q,連接NQ,易證NQ為ABAM的中位線，由力MJ.BP,得出QNLBN,即/QNB=

90°,則點N的路徑是以QB的中點。為圓心，AB長的上為半徑的?，由等腰直角三角形的性質得出

AB=y/~2CA=4<2，^QBD=45°,由圓周角定理得出4DOQ=90。，則⑥為。。的;周長，即

可得出結果.

本題考查了三角形中位線的判定與性質、等腰直角三角形的性質、圓周角定理、圓弧的計算等知

識；通過三角形中位線，判斷出點N的運動路徑是解題的關鍵.

11.【答案】60

【解析】【分析】

本題考查了特殊角的三角函數值，熟記特殊角三角函數值是解題關鍵.

根據特殊角三角函數值，可得答案.

【解答】解：由銳角a滿足cosa=E，則銳角a的度數是60度，

故答案為60.

12.【答案】130°

【解析】解：?.?四邊形4BC0是。。的內接四邊形，

/.D+Z.B=180°,

???4。=50°,

乙B=180°-50°=130°,

故答案為：130。.

根據圓內接四邊形的對角互補計算即可.

本題考查的是圓內接四邊形的性質，掌握圓內接四邊形的對角互補是解題的關鍵.

13.【答案】y=(x+2)2-3

【解析】解：將拋物線y=/向下平移3個單位長度，再向左平移2個單位長度后，得到的拋物線

的解析式為：y=(%+2)2—3.

故答案為：y=(x+2)2-3.

根據“左加右減、上加下減”的原則進行解答即可.

此題主要考查了二次函數圖象與幾何變換，要求熟練掌握平移的規律：左加右減，上加下減.

14.【答案】11

【解析】解：如圖，設直線ZB與y軸交于點C,

由反比例函數比例系數k的幾何意義可知,

SABOC=2%

SAAOC=2'

ShBOC-S?AOC=SfOB=4,

13

f-4

2-c-2-

???k=11.

故答案為：11.

應用反比例函數比例系數k的幾何意義，表示4B0C、△AOC的面積，利用SABOC-S.oc=SAAOB

構造方程即可.

本題考查了反比例函數比例系數k的幾何意義，解答時注意觀察圖中三角形面積關系以構造方程.

15.【答案】4-TT

【解析】【分析】

連接。8,根據切線的性質可得N0B4=90。，從而可得48。4+=90。，根據題意可得。8=

OC=AE=AF=2,然后利用陰影部分的面積=△AOB的面積一（扇形BOC的面積+扇形EA尸的面

積），進行計算即可解答.

本題考查了切線的性質，扇形面積的計算，熟練掌握切線的性質，以及扇形面積的計算是解題的

關鍵.

【解答】

解：連接OB,

E

???48是。。的切線，B為切點,

???/,OBA=90°,

???Z-BOA+4力=90°,

由題意得：

OB=OC=AE=AF=2,

???陰影部分的面積5/lOB的面積-(扇形BOC的面積+扇形EAF的面積)

1907rx2?

=2AB0B―一360-

X4x2-71

=4—7T,

故答案為：4—71.

16.【答案】m=-^n2-^n

1O4

【解析】解：如圖，???直線OA的解析式為：y=2x,點。的坐標為(巾,九),

，點E的坐標為0&九)，點。的坐標為(m,2m),

.?.點B的坐標為弓耳2zn),

把點B(gn,2m)代入y=^x2—3x,可得m=^n2—1n>

二m、n之間的關系式為m=白小—"，

ID4

故答案為：？n=白/一

io4

根據點。的坐標，可得出點E的坐標，點C的坐標，繼而確定點B的坐標，將點B的坐標代入拋物線

解析式可求出m,ri之間的關系式.

本題考查了二次函數綜合題，需要掌握矩形的性質、二次函數圖象上點的坐標特征的知識，解答

本題需要同學們能理解矩形四個頂點的坐標之間的關系.

17.【答案】解：原式=1—2義：一(殍)2

42

_1

-4,

【解析】把特殊角的三角函數值代入原式，計算即可.

本題考查的是特殊角的三角函數值，熟記特殊角的三角函數值是解題的關健.

18.【答案】解：(1)由題意得

解這個方程組得｛，;消，

所以所求二次函數的解析式是y=X2-6X+10；

(2)y=x2-6x+10=(x-3)2+l,

所以頂點坐標是(3,1).

【解析】(1)利用待定系數法確定二次函數的解析式；

(2)把(1)中得到的解析式配成頂點式，然后根據二次函數的性質確定頂點坐標和對稱軸.

本題考查了用待定系數法求二次函數的解析式.在利用待定系數法求二次函數關系式時，要根據

題目給定的條件，選擇恰當的方法設出關系式，從而代入數值求解.一般地，當己知拋物線上三

點時，常選擇一般式，用待定系數法列三元一次方程組來求解；當已知拋物線的頂點或對稱軸時，

常設其解析式為頂點式來求解；當已知拋物線與x軸有兩個交點時，可選擇設其解析式為交點式來

求解.

19.【答案】證明：?.?BC=8,AC=4,CD=2,

:.—AC=—4=cz,B—e=—8=Nc,

DC2AC4

tAC_B￡

'~DC=ACf

又「Z.ACD=乙BCA,

*'.△BCAi

ABACc

:.—=—=2,

ADDC

???AB=2AD.

【解析】根據兩邊成比例，夾角相等，證明△4COSABC4根據相似三角形的性質即可得證.

本題考查了相似三角形的性質與判定，掌握相似三角形的性質與判定是解題的關鍵.

20.【答案】解：（1）作弦4B的垂直平分線,

交于G,交AB于點H,交CD的垂直平分線EF

于點。，則點。即為所求作的圓心.（如圖

1）（2分）

（2）連接04（如圖2）

由（1）中的作圖可知：AAOH為直角三角形，H是4B的中點，GH=4,

???AH=；AB=8.(3分)

vGH=4,

???OH=R-4.

在R2AOH中，由勾股定理得，。爐=4"2+?！?,

AR2=82+（R-4）2.（4分）

解得：R=10.（5分）

二拱橋的半徑R為10m.

【解析】（1）作弦4B的垂直平分線，交于G,交AB于點交CD的垂直平分線E尸于點。，則點。即

為所求作的圓心；

（2）首先連接。4由（1）可得：△AOH為直角三角形，，是4B的中點，GH=4,即可求得4"的長，

然后在Rt/iAOH中，由勾股定理得，CM?=4“2+?！?,即可求得拱橋的半徑R.

此題考查了垂徑定理的應用.此題難度不大，解題的關鍵是方程思想與數形結合思想的應用.

21.【答案】解：由題意得：

乙ANO=43°,乙BM0=35°,AO1MN,

在收△AON中，AO=135m,

八z人。135"、

??=^^",=r1500n），

???AB=40m,

??.8。=4。-48=95(巾)，

MO=?135.7(m),

tan350.7v,

???MN=NO+MO=150+135.7°286(m),

MN的長約為286nl.

【解析】根據題意可得：乙4NO=43。，NBMO=35。，AOA.MN,然后在RtAAON中，利用銳角

三角函數的定義求出N。的長，再利用線段的和差關系求出B。的長，最后在RtAMBO中，利用銳

角三角函數的定義求出MO的長，進行計算即可解答.

本題考查了解直角三角形的應用-仰角俯角問題，熟練掌握銳角三角函數的定義是解題的關鍵.

22.【答案】解:(1)30

(2)根據題意得：iv=(x-20)(-2x4-80)=-2x2+120x-1600,

w與x之間的函數關系式為w=-2x2+120%-1600：

(3)w=-2x2+120%-1600=-2(x-30)2+200,

,**—2<0,

.?.當x=30時，w取最大值，最大值為200,

答：該種健身球銷售單價定為30元時，每天的銷售利潤最大，最大利潤是200元.

【解析】解：(1)在y=-2x+80中，令x=25,得：

y=-2X25+80=30,

故答案為：30：

(2)見答案;

(3)見答案.

(1)在、=-2尤+80中，令x=25可得y的值，即可得到答案；

(2)根據總利潤=每個健身球利潤X銷售量即可列出w與％之間的函數關系式；

(3)結合(2)的函數關系式，根據二次函數性質可得答案；

本題考查二次函數的應用，解題的關鍵是讀懂題意，能列出函數關系式.

23.【答案】解：(1)如圖，

???DE切。。于點E,

OE1ED,

BD1.DE,

??.OE//BD,

:.Z-OEB=乙EBD,

vOB=OE,

???Z-OEB=乙OBE,

???乙EBD=Z-OBE,

???BE平分“BC；

(2)連接AC,過點E作EM1AB于點M,

vBE平分N4B。，

???ED=EM,

???AB是。。的直徑，

???Z.ACD=NO=乙DEF=90°,

四邊形CDEF是矩形，

DE=CF=^AC,

vAB=10,BC=6,

AC=VAB2-BC2=V102-62=8-

則EM=ED=CF=AF=-AC=4.

OF=VOA2-AF2=752-42=3，

EF=OE-OF=2,

:.CD=EF=2.

【解析】(1)由DE切。。于點E知。ELED,結合BDICE于點。知OE〃BD,從而得NOEB=

乙EBD=NOBE,即可得證；

(2)作DEEM1AB,由(1)中角平分線知EO=EM,連接AC,證四邊形CHDF是矩形可得DE=CF=

lAC,根據勾股定理求得4C,進而求出。F,即可得出答案.

本題主要考查切線的性質、圓周角定理、垂徑定理及矩形的判定和性質，熟練掌握切線的性質、

圓周角定理、垂徑定理等知識點是解題的關鍵.

24.【答案】解：(1)把4(—4,2)代入y=￡,

得m=2x(-4)=-8,

則反比例函數解析式為y=-§

把B(n,-4)代入y=

得一4n=-8,解得n=2,則B點坐標為(2,-4),

把做-4,2)、8(2,-4)代入、=依+匕得，

C-4/c+b=2

l2k+b=-4'

解得憶多

則一次函數解析式為y=-%-2.

(2)直線與％軸的交點為C,在y=—%-2中，令y=0,則％=—2,

即直線y=-%-2與％軸交于點C(-2,0),

:.OC=2.

S^AOB=S^AOC+S^BOC=2X2X2+-X2X4=6.

⑶由圖可得，不等式依+b-^>0解集范圍是x<—4或0<x<2.

(4)?.?p(p,0),4(—4,2),8(2,-4),

AB2=(2+4)2+(-4-2)2=72,

PA2=(p+4)2+22=p2+8p+20,

PB2=(p-2)2+42=p2-4p+20,

①當4P是斜邊時，AB2+PB2=PA2,

：722+p2-4p+20=p2+8p+20,

解得：p=6,

②當BP是斜邊時，PA2+AB2=PB2,

?■p2+8m+20+722=p2—4p+20,

解得：p=—6,

p的值為：一6,6.

【解析】(1)先把4點坐標代入y=￡，求出m可得到反比例函數解析式，再利用反比例函數解析式

確定B點坐標，然后利用待定系數法即可求出一次函數解析式；

(2)根據x軸上點的坐標特征確定C點坐標，然后根據三角形面積公式，由S-OB=SA.OC+SAB℃進

行計算即可；

(3)觀察函數圖象找出直線在雙曲線的上方時所對應的自變量取值范圍，即可寫出不等式依+b-

5>0的解集；

(4)分情況討論，利用勾股定理即可得答案.

本題考查了反比例函數與一次函數的交點問題：反比例函數與一次函數的交點坐標滿足兩函數的

解析式.解決問題的關鍵是掌握用待定系數法確定一次函數的解析式.

25.【答案】1冬

【解析】【問題呈現】證明：???△4BC和都是等邊三角形，

：.AD=AE,AB=ACfZ,DAE=Z.BAC=60°,

*,?Z-DAE—乙BAE=Z-BAC-Z-BAE,

:.乙BAD=Z.CAE,

???△840wZkC/E(SaS),

.?.BD=CE,

陛=1.

CE

故答案為：1;

【類比探究】解：「△ABC和△4DE都是等腰直角三角形,

.、器=臆=盍'W4E=NB4C=45。，

:.Z.DAE-Z.BAE=乙BAC—Z.BAE,

，Z.BAD=Z-CAE，

*，.△BAD^LCAE,

,_B_D_A_B___1__y[_~2

CE~AC~>T2~2

故答案為：

【拓展提升】解：(1)嚏嚕/4ABe=4ADE=9°。,

ABC~AADE,