2022-2023學年北京市順義區高二（下）期末數學試卷

一、單選題（本大題共10小題，共40.0分。在每小題列出的選項中，選出符合題目的一項）

1.已知集合4={x|l<x<4],B={x\—2<x<2},則4D8=()

A.[-2,1)B.[-2,4)C.[1,2)D.[-2J]

2.命題“VxER,x+|x|>0^的否定是()

A.3%ER,x+\x\>0B.3%G/?,%4-|%|<0

C.Vxe/?,%+|x|>0D.Vxe/?,x+|x|<0

3.是的()

A.充分不必要條件B.必要不充分條件

C.充分必要條件D.既不充分也不必要條件

4.數列｛a｝是等差數列，若。3=3,；+；=*則的“5=（）

nU1u5D

A.|B.5C.9D.15

5.某班一天上午有4節課，下午有2節課.現要安排該班一天中語文、數學、政治、英語、體

育、藝術6堂課的課程表，要求數學課排在上午，體育課排在下午，不同排法種數有（）

A.48種B.96種C.144種D.192種

6.下列給出四個求導的運算：①（x-乎=譬;②（ln（2x-1））'=七;③（/靖）'=2叱；

④。。92工）'=六.其中運算結果正確的個數是（）

A.1個B.2個C.3個D.4個

7.在5道試題中有3道代數題和2道幾何題，每次從中隨機抽出1道題，抽出的題不再放回.在

第1次抽到代數題的條件下，第2次抽到幾何題的概率是（）

1333

--_-

A.254

10

8.已知｛an｝為等比數列，下面結論中正確的是（）

A,.右=。4，則。2=。3B.右。3>Q］，則>02

C.筆%>a3D.吆齒>成

」2-J

9.設函數“X）在R上可導，其導函數為/且函數y=（x+2）f（x）

的圖象如圖所示，則下列結論中一定成立的是（）

A.當x=-2時，函數f(x)取得極大值

B.當x=-2時，函數取得極小值

C.當久=1時，函數/(久)取得極大值

D.當尤=1時，函數f(x)取得極小值

10.某銀行在1998年給出的大額存款的年利率為5%,某人存入的元(大額存款)，按照復利，

10年后得到的本利和為由0,下列各數中與誓最接近的是()

A.1.5B,1.6C.1.7D,1.8

二、填空題(本大題共5小題，共25.0分)

11.計算：10g21+10g39=.(用數字作答)

12.函數〃%)=軍”的定義域是.

13.二項式(x+》6的展開式中常數項的值為.

14.若基函數/(%)=”在@+8)上單調遞減，g(x)=針在(0,+8)上單調遞增，則使y=

/(%)+g(x)是奇函數的一組整數機，幾的值依次是.

15.已知k€R,函數/'(x)=3°’2給出下列四個結論：

①當k=l,函數/(X)無零點；

②當上＜0時，函數/(%)恰有一個零點；

③存在實數k,使得函數f(x)有兩個零點；

④存在實數匕使得函數f(x)有三個零點.

其中所有正確結論的序號是.

三、解答題(本大題共6小題，共85.0分。解答應寫出文字說明，證明過程或演算步驟)

16.(本小題13.0分)

2345

已知(1+2x)s=劭+aiX+a2x+a3x+a4x+a5x.

(1)求他的值;

(2)求%+的值.

17.(本小題14.0分)

已知函數/'(x)=^x3-4x+4.

(1)求曲線y=f(x)在點(l,f(1))處的切線方程；

(2)求函數f(x)在區間［0,3］上的最大值與最小值.

18.(本小題15.0分)

A,B兩組各有7位病人，他們服用某種藥物后的康復時間(單位：天)記錄如下:

力組：10,11,12,13,14,15,16

B組：12,13,14,15,16,17,20

假設所有病人的康復時間互相獨立，從4B兩組隨機各選1人，4組選出的人記為甲，B組選

出的人記為乙.

(1)求甲的康復時間不多于14天的概率；

(2)若康復時間大于14天，則認為康復效果不佳,設X表示甲、乙2人中的康復效果不佳的人數，

求X的分布列及數學期望；

(3)4組病人康復時間的方差為DQ4),B組病人康復時間的方差為。(B),試判斷DQ4)與D(B)的

大小.(結論不要求證明)

19.(本小題13.0分)

已知5｝為等差數列，Sn為其前n項和.若%=矣2=。3,設垢=4%

(1)求證：數列｛%｝是等比數列；

(2)設Q=an+bn,求數列｛%｝的前n項和

20.(本小題15.0分)

-1

已知函數/(%)=Inx+79(%)=x-Inx.

(1)若對任意工€(0,+8)時，f(%)2Q成立，求實數Q的最大值；

(2)若％6(l,4-oo),求證：/(x)<g(x)；

(3)若存在%1>%2?使得g(%i)=g(%2)成立，求證：石?打<L

21.(本小題15.0分)

Qn+lg為奇數1

已知整數數列｛Qn｝滿足：@^>3；②冊+i號,冊為偶數，n=1,23”、

(I)若。4=1，求的；

(H)求證：數列｛an｝中總包含無窮多等于1的項；

(HI)若Qm為｛Q九｝中第一個等于1的項，求證：1+log2a14TH<2+2/og2al.

答案和解析

I.【答案】c

【解析】解：因為4={x|lWx<4},B=(x\-2<x<2},

所以4nB={x|l<x<2}=[1,2).

故選：C.

根據集合交集運算可得.

本題主要考查交集及其運算，屬于基礎題.

2.【答案】B

【解析】解：命題為全稱命題，則命題的否定為x+|%|<0.

故選：B.

根據含有量詞的命題的否定即可得到結論.

本題主要考查含有量詞的命題的否定，比較基礎.

3.【答案】A

【解析】

【分析】

直接利用充分條件和必要條件的判斷方法判斷即可.

本題考查充分條件和必要條件的判定，基本知識的考查，注意條件與結論的判斷.

【解答】

解：因為“X>1"=>1”，而，，/>1”推不出“X>1”，

所以“x>1”是“/>r充分不必要條件.

故選：A.

4.【答案】B

【解析】解：因為數列{an}為等差數列，且。3=3,

所以a1+=2a3=6,

因為3+3=2

ala55

所以警=今

ala55

所以慫=5,所以為"=5.

故選：B.

利用等差數列的性質結合已知條件求解.

本題主要考查了等差數列的性質的應用，屬于基礎題.

5.【答案】D

【解析】解：由題意，要求數學課排在上午，體育課排在下午，有戲?=8種,

再排其余4節，有邪=24種,

根據乘法原理，共有8x24=192種方法.

故選：D.

先排數學、體育，再排其余4節，利用乘法原理，即可得到結論.

本題考查排列組合的運用，考查運算求解能力，屬于基礎題.

6.【答案】C

【解析】解：①(乂_》，=1+a=譬，故正確；

②(ln(2x-1))'=2x=5P故正確；

x2x

③("e%)'=2xe+xef故錯誤；

④(1。92乃'=焉，故正確?

故選：C.

根據題意，由導數的運算法則以及復合函數的求導運算，即可得到結果.

本題主要考查導數的運算，屬于基礎題.

7.【答案】A

【解析】解：設事件4=”第1次抽到代數題”，事件B="第2次抽到幾何題”，

3

所以P(A)=PQ4B)=|X|=高則P(B|A)=需=乎=1

□□*T1VI)—4>

故選：A.

根據題意，由條件概率的計算公式，代入計算，即可得到結果.

本題主要考查條件概率公式，屬于基礎題.

8.【答案】D

【解析】解：設等比數列的公式為q,

對于4若g=。4，則。19=。送3,得q2=1,所以q=l或q=-l,

所以。2=。3或。2=-。3，所以A錯誤；

對于8,若則即Qi(q2—1)>0,

所以。4一。2=—%q=%q(q2一I),則其正負由q的正負確定，所以3錯誤；

對于C,空馬=史巴，當。3,q同正時，。2+。4_臂+。3「>2J號gq一,當且僅當q=i時取等

2一2-2__&3

號，當。3>0,q<o時空<。3,所以c錯誤；

對于D,因為境+W_第2+(。34.2j(詈)2.Qq)2_曖當且僅當q2=1時取等號，所以。正確.

故選：D.

對于4B,利用等比數列的通項公式分析判斷，對于CD,利用等比數列的通項公式結合基本不等

式分析判斷即可.

本題主要考查了等比數列的性質，屬于中檔題.

9.【答案】D

【解析】解：由圖可得，》<—2時，f(x)<0,f(x)單調遞減，

-2<x<1時，f(x)<0,f(x)單調遞減,

x>1時，-。)>0,f(x)單調遞增，

故當工=1時，函數/(X)取得極小值.

故選：D.

由圖分段討論可得/'(X)的正負，從而得到/(x)的單調性，進而找到極值點.

本題考查利用導數研究函數的單調性和極值，考查數形結合思想，屬于基礎題.

10.【答案】B

【解析】解：存入的元(大額存款)，按照復利，

可得每年末本利和是以劭為首項，1+5%為公比的等比數列，

10102

所以劭(1+5%)=a”，可得胃=(1+5%)=Cf0+盤。X0.05+仃°X0.05+-+或x

O.O510工1.6.

故選：B.

利用等比數列的通項公式、二項展開式計算可得答案.

本題主要考查數列的應用，屬于基礎題.

11.【答案】2

【解析】解：原式=0+2=2.

故答案為：2.

根據題意，由對數的運算，即可得到結果.

本題主要考查了對數的運算性質，屬于基礎題.

12.【答案】(1,2)U(2,+8)

【解析】解：由題意得：

產一M2解得：X>1BLX^2,

故答案為：(1,2)U(2,+8).

根據對數函數以及分母不是0,得到關于x的不等式，解出即可.

本題考查了對數函數的性質，考查求函數的定義域問題，是一道基礎題.

13.【答案】20

【解析】

【分析】

本題考查二項展開式的通項公式是解決二項展開式的特定項問題的工具，屬于基礎題.

求出二項展開式的通項公式，令》的指數為0,即可求出常數項.

【解答】

62r

解：(X+；)6展開式的通項為彩+1=C^X-,

令6-2r=0得r=3,

故展開式的常數項為7；=髭=20.

故答案為：20.

14.【答案】一3、3(答案不唯一)

【解析】解:因為基函數/(%)=在(0,+8)上單調遞減，g(x)=/在(0,+8)上單調遞增，

所以m<0,n>0,又因為y=/(%)+g(%)是奇函數，

所以zn,九需要滿足血為小于0的奇數，九為大于0的奇數.

故答案為：-3、3(答案不唯一).

根據題意，由基函數的性質即可得到結果.

本題主要考查了累函數的性質，屬于基礎題.

15.【答案】①②③

【解析】解：對于①，當k=1,當％<0,/(%)=%2-%+1,f(x)=2%-1<0,/(%)單調遞

減，

當％>0,f(x)=ex—x,/'(%)=ex-1>0,/(%)單調遞增，

又/(0)=1,且當％—0-，f(x)t1-1+1=1,所以此時函數/(%)無零點，①正確；

對于②，當kV0,當％V0,/(x)=kx2—%+1,/z(x)=2kx—1,

令r(x)=2kx-1=0,得％=白，當久工會f'(x)>0,f(%)單調遞增,

當/<“<0,//(%)<0,f(x)單調遞減，

當％之0,/(%)=ex-kx,f\x)=ex-k>0,/(%)單調遞增，

由于f(0)=1,且當％->0~,/(%)1+1=1,當％T-8,/(%)T-oo,

所以此時函數f(x)只有一個零點，②正確；

對于③，不妨令k=2e,

當％<0,/(%)=e2x2-%+1,f(x)=2e2x-1<0,/(%)單調遞減，

由于當％t。-,f。)—1-1+1=1,所以當％<0,函數f(x)無零點，

當％>0,/(%)=ex—e2x,/'(%)=ex—e2,令/'(%)=ex—e2=0,得％=2,

當0WxW2,ff(x)=ex—e2<0,f(x)單調遞減，

當》>2,f(x)=ex—e2>0,/(x)單調遞增，

又/⑵=e2-2e2=-e2<0,/(0)=1,

所以當％NO,函數/(%)有2個零點，③正確；

對于④，當k=0,顯然函數f(x)沒有零點，

結合前面分析可知，只有當k>0,函數f(x)可能有3個零點，

當k>0,當％<0,/(x)=kx2—%4-1,/(%)=2kx—1<0,/(%)單調遞減，

由于當％T(T,/(%)—1-1+1=1,所以當XV0,函數/(%)無零點，

xxx

當％>0,/(%)=e-kx9/'(%)=e—k,令/'(%)=e—k=0,得％=Ink,

fx

若kWl,f(x)=e-k>0f/(x)單調遞增，

x

若k>1,令/(%)=e—k=0f得％=Ink,

x

當0<x<Ink,f(x)=e—k<0f/(%)單調遞減，

當%>Ink,/'(X)=ex—k>0,/(%)單調遞增,

可見此時函數/(%)至多2個零點，④錯誤.

故答案為：①②③.

利用導數即可研究函數單調性、最值，分類討論結合命題依次判斷即可.

本題主要考查函數的單調性和最值，屬中檔題.

52345

16.【答案】解:(1)v(1+2%)=%+atx+a2x+a3x+a4x+a5x,

令％=0,可得劭=1.

5

(2)由二項式定理，得(1+2爐=eg+c式2%)+《(2x)2+盤(2%產+仁(2x)4+Cs(2x)

=14-10x4-40x2+80x3+80x4+32x5.①

2345

因為(1+2x)5=a。+arx+a2x+a3x+a4x+a5x,(2)

由①②可得的=1。，。3=80，a5=32.

所以％+。3+=122.

【解析】(1)在所給的等式中，令％=0,可得劭的值.

(2)由題意利用二項展開式的通項公式，求得由、。3、。5的值，可得要求式子的值.

本題主要考查二項式定理的應用，二項展開式的通項公式，屬于中檔題.

17.【答案】解：(1);函數/0)=：/一4%+4,

1

???/(I)=

又/'(x)=x2-4,

"(1)=-3，

曲線y=/(x)在點(1,7(1))處的切線方程為y-1=-3(x-1),即3x+y-y=0；

(2)??"'(%)=%2-4,

???令/'(%)>0，解得%>2或不<-2,

當％變化時，(。)，f(x)的變化情況如表所示:

X(—8,—2)-2(-2,2)2(2,+8)

/'(%)+0—0+

284

/(X)單調遞增單調遞減單調遞增

3-3

又x=0時，/(0)=4,x=3時，/(3)=1,

.??當％=0時，f(%)在［0,3］上的最大值為f(0)=4,

當x=2時，/⑶在［0,3］上的最小值為/(2)=一去

【解析】(1)根據導函數在x=l的值，可求出切線斜率，根據點斜式寫出切線方程；

(2)根據導函數，確定單調區間，進而可得最值.

本題考查導數的幾何意義，考查利用導數研究函數的單調性及最值，考查運算求解能力，屬于基

礎題.

18.【答案】解：(1)設甲的康復時間不多于14天為事件C,

???4組中的數據共有7個，二基本事件共有7種，且相互獨立，

又???4組中的數據不多于14天的有5個，即事件C中包含的基本事件有5個,

???甲的康復時間不多于14天的概率P(C)號

(2)甲康復效果不佳的概率Pi方，

乙康復效果不佳的概率P2=$

???X表示甲、乙2人中的康復效果不佳的人數，

二X的可能取值是0,1,2,

X=0表示甲、乙2人中的康復效果不佳的人數為0,

P(X=0)=(1-Pi)(l-P2)=篇，

X=1表示甲、乙2人中的康復效果不佳的人數為1,

???PQ=1)=(1-POP2+匕(1一「2)=H，

X=2表示甲、乙2人中的康復效果不佳的人數為2,

-PQ=2)=PB=

?1?X的分布列為:

X012

p1526

494949

，X的數學期望為EX=OX^|+1X^+2>^=3

(3)0(4)<0(8).

根據4組：10,11,12,13,14,15,16,B組：12,13,14,15,16,17,20,

B組數據波動性較大，所以。(4)<0(B).

【解析】(1)根據古典概型公式計算即可；

(2)根據步驟求出離散型隨機變量的分布列及數學期望；

(3)結合數據應用波動情況判斷方差的大小.

本題考查古典概型的概率公式的應用，離散型隨機變量的分布列與期望的求解，屬中檔題.

19.【答案】解：(1)證明：設等差數列｛斯｝的公差為d,

則通項公式為On=%+(n-l)d,

vS?=，

???2al+d=Qi+2d,

1

???Qi-

d=：,

???an=1+(n-l)|=5-

又既=4a",

則b”+i=4%+T，

=4an+1~an~2,

4

即數列｛匕｝是等比數列,公比為2,首項瓦=4%=2.

(2)由(1)知數列｛源｝是等比數列,公比為2,首項瓦=2,

n

an+bn=]+2,nEN*,

二數列｛%｝的前n項和7；=j+|+…+5+2+22+…+2"

=^^-+2n+1-2,neN*.

【解析】(1)設等差數列｛⑥?｝的公差為d,則由的=：力2=。3可求出公差小從而可求得即，則可

得刈=4頷，然后計算鏟即可得結論；

°n

n

(2)由(1)可得"=an+bn=1+2,n&N\然后利用分組求和法可求得7；.

本題考查等比數列的判斷以及分組求和法的運用，考查運算求解能力，屬于基礎題.

20.【答案】解：(l)/(x)=mx+：,x€(O,+8),

二，(無)=;一或=9,

二令((%)>0,解得x>1,

???/(%)在(0,1)單減，在(1,+8)上單增，

???/(%)在％=1取得極小值，也是最小值f(1)=1,

■:XE(0,+8)時，/(%)>Q成立.

?,?只需Q<1即可，

，實數。的最大值為1.

(2)證明：設九(％)=/(%)-g(%)=2lnx+—%,xG(1,4-oo),

h'dx)=---4-1=2丫-尸2=一些乎!<0-

vyXx￡XL

1

???/i(x)=2"式+；—%在％6(1,+8)上單調遞減，

/i(x)=2lnx+g—%<九(1)=0,

:./i(x)=Inx+g-g(x)<0,

即/(%)<g(x).

(3)法一:

證明：??,存在%i>不時，便得g(》i)=g(%2)成立，

xr—lnxr=x2—lnx2,

???-%2=^nXl-^nx2=In4,

令^=J&由"1>%2>0可知t>1，

由(2)知h(x)=2lnx+：-%在％6(L+8)上單調遞減，

??.九?<僅1)即2//1+/1一/1<°，

即喧〈徐，

…一亞=嗚<璋,

由％1>%2>0,知％1—血>0，

.??技^>1,即=X「X2<1,

???勺?&<1.

法二：v^(x)=x-Inx,x6(0,+oo),

?1?g'(x)=1-：=p,g，(x)>0nx>1,

???g(x)在(0,1)上單調遞減，在(1,+8)上單調遞增.

?.?存在的>&時，使得g(%i)=g(%2)成立，

???—lnx=x—lnx,且>1>x>0,—>1,

r222“2

???gQi)-g(3=xi~仇-(已一1吟)=上一仇-(1-in1)=%2--21nx2,

令(p(x)=%—i—2lnx,x6(0,+oo),

ifx[i12X2—2x+l(%—l)2

???9(%)=1+K一]=-—=七十20，

:.(p(x)=%-：-2"%在％G(0,+8)上單調遞增，

又「0V久2V1，

?,??P(^2)=x2-^-2lnx2<<p(l)=0,即gOi)-g($<0,即gQi)<g($,

"右,；6(l,+8),g(x)在(l,+8)上單調遞增，

?e,xiV即％i,%2VL

【解析】(1)根據題意，求導得到極值，即可得到結果；

(2)根據題意，構造九(%)=/(%)-g(x),%G(l,+oo),然后求導得到h(x)<0,即可證明；

(3)方法一：由條件可得X1-％2="與一"g=In,,令￡=仔，然后結合(2)中的結論即可證

明；

方法二：結合條件可得g(xi)-9(~)=x2~~~2)犯，然后令W(x)=%一(—2Znx,xG(0,+00),

然后由函數次x)的單調性即可證明.

本題主要考查了利用導數研究函數的單調性與極值，以及利用導數證明不等式問題，難度較難,

解答本題的關鍵在于構造出合適的函數，然后利用導數去研究.

21.【答案】解：(I)由題意可知若a4=1，則。3=2，a2e｛1,4｝,

若=L則=2,不符合題意，

所以a2=4,此時有%=3或%=8；

(U)證明：由于數列｛5｝為整數數列，且即23,

根據數列｛即｝的遞推規律可知an為正整數，

設t為數列｛〃｝的最小值，則t為奇數，

由于與^e｛an｝,所以有tW與工，即tW1,

又而的取值為正整數，所以t=l，

當出現第一個以=1