2020-2021學(xué)年重慶二外高一（下）期末數(shù)學(xué)試卷

一、選擇題（共8小題，每小題5分，共40分）.

1.設(shè)式，司為平面向量的一組基底，則下面四組向量組中不能作為基底的是（）

A.和曰1一22B.4e]+2日2和222—4日]

C.2e1+e2和%+2%D.%-2巳2和4日2一26]

2.在△A8C中，若A=105°,C=30°,b=2如，則邊c=（）

A.2B.5/3C.y/2D.1

3.已知圓錐的體積為返冗，且它的側(cè)面展開圖是一個半圓，則它的母線長為（）

3

A.4B.3C.2D.1

4.某高中在校學(xué)生2000人，高一級與高二級人數(shù)相同并都比高三級多1人.為了響應(yīng)“陽

光體育運動”號召，學(xué)校舉行了“元旦”跑步和登山比賽活動.每人都參加而且只參與

了其中一項比賽，各年級參與比賽人數(shù)情況如下表，其中a：b,c=2：3：5,

高一級高二級高三級

跑步abc

登山xyZ

全校參與登山的人數(shù)占總?cè)藬?shù)的■!.為了了解學(xué)生對本次活動的滿意程度，從中抽取一

5

個200人的樣本進(jìn)行調(diào)查，則高二級參與跑步的學(xué)生中應(yīng)抽取（）

A.36人B.60人C.24人D.30人

5.天氣預(yù)報說，在今后的三天中，每一天下雨的概率均為40%,用數(shù)字0,1,2,3表示

下雨，數(shù)字4,5,6,7,8,9表示不下雨，由計算機(jī)產(chǎn)生如下20組隨機(jī)數(shù):

977,864,191,925,271,932,812,458,569,683,

431,257,394,027,556,488,730,113,537,908.

由此估計今后三天中至少有一天下雨的概率為（）

A.0.6B.0.7C.0.75D.0.8

6.己知復(fù)數(shù)z=cose+isinO（i為虛數(shù)單位），則|z-2i|的最大值為（）

A.1B.2C.3D.4

7.要測量電視塔AB的高度，在C點測得塔頂?shù)难鼋鞘?5°,在。點測得塔頂?shù)难鼋鞘?/p>

30°,并測得水平面上的NBCQ=120°,CD=40/n,則電視塔的高度是（)

A.30/nB.40根C.40A/3/MD-

8.如圖，在四棱錐P-ABC。中，底面4BCD為菱形，ND48=60°,側(cè)面PAD為正三角

形，且平面PAOJ_平面ABCZ）,則下列說法正確的是（）

A.平面P4B_L平面PBC

B.在棱4。上存在點M使得A。，平面PMB

C.二面角P-BC-A的大小為60°

D.異面直線A。與PB所成的角為60°

二、多項選擇題：本題共4小題，每小題5分，共20分.在每小題給出的選項中，有多項符

合題目要求.全部選對得5分，有選錯的得0分，部分選對得3分.

9.經(jīng)過簡單隨機(jī)抽樣獲得的樣本數(shù)據(jù)為X”X2,…，尤"，則下列說法正確的是（）

A.若數(shù)據(jù)Xi,X2,…，x?,方差$2=0,則所有的數(shù)據(jù)Xi（i=l,2,…，〃）相同

B.若數(shù)據(jù)xi,X2,???,x?,的均值為3,則數(shù)據(jù)》=2%,+1（i=l,2,,,,,n）的均值為6

C.若數(shù)據(jù)xi,及，的中位數(shù)為90,則可以估計總體中有至少有50%的數(shù)據(jù)不大

于90

D.若數(shù)據(jù)及，…，X”，的眾數(shù)為78,則可以說總體中的眾數(shù)為78

10.如圖，已知長方形ABC。中，AB=3,AD—2,而=入正（0＜入＜1）,則下列結(jié)論正

確的是（）

B.當(dāng)入=反時，cos（標(biāo)，Bg）

C.對任意入e（0,1）,同，血不成立

D.I油的最小值為4

11.在△ABC中，角A,B,C所對的邊分別為a,b,c,且（a+b）：（a+c）：（b+c）=

9：10：11,則下列結(jié)論正確的是（）

A.sinA：sinB：sinC=4：5：6

B.△ABC是鈍角三角形

C.△ABC的最大內(nèi)角是最小內(nèi)角的2倍

D.若c=6,則△ABC外接圓半徑為生巨

7

12.如圖，在正方體ABC。-45CQi中，E是棱的中點，P是線段AC（不含端點）

上的一個動點，那么在點P的運動過程中，下列說法中正確的有（）

A.存在某一位置，使得直線尸E和直線8團(tuán)相交

B.存在某一位置，使得BC〃平面4EP

C.點4與點B到平面P8E的距離總相等

D.三棱錐Ci-PBE的體積不變

三、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分

13.設(shè)i為虛數(shù)單位，則目的虛部是_____.

1+1

14.某人5次上班途中所花的時間（單位：分鐘）分別為x,?10,11,9.已知這組數(shù)據(jù)

的平均數(shù)為10,方差為2,則|x-y|的值為.

15.己知三棱錐。-A8C的四個頂點都在球。的球面上，若。C,平面ABC,ZACB=60°,

A8=3&,0c=2?,則球。的表面積為.

16.在四面體P-ABC中，PA_L底面ABC,PA=1,ZkABC、△PBC、△PAC、△P4B均為

直角三角形，若該四面體最大棱長等于3,貝I：

（1）該四面體外接球的表面積為；

（2）該四面體體積的最大值為

四、解答題：本題共6個小題，共70分.應(yīng)寫出文字說明，演算步驟或證明過程.

17.已知向量二1滿足|曰=1，￡1=2，且之與己不共線.

(1)若向量；+左工與憶彳+2芯為方向相反的向量，求實數(shù)k的值；

(2)若向量1與E的夾角為60°,求27+芯與之-E的夾角&

18.如圖，四棱錐尸-ABC。中，底面A8CZ)為菱形，PAL平面ABCQ,8。交4c于點E,

尸是線段PC中點，G為線段EC中點.

(I)求證：尸G〃平面PBD；

(II)求證：BDLFG.

19.袋中裝有6個形狀、大小完全相同的球，其中標(biāo)有數(shù)字“1”的球有3個，標(biāo)有數(shù)字“2”

的球有2個，標(biāo)有數(shù)字“3”的球有1個.規(guī)定取出一個標(biāo)有數(shù)字“1”的球記1分，取

出一個標(biāo)有數(shù)字“2”的球記2分，取出一個標(biāo)有數(shù)字“3”的球記3分.在無法看到球

上面數(shù)字的情況下，首先由甲取出3個球，并不再將它們放回原袋中，然后由乙取出剩

余的3球.規(guī)定取出球的總積分多者獲勝.

(1)求甲、乙平局的概率；

(2)從概率的角度分析先后取球的順序是否影響比賽的公平性.

20.在①sin2C=J^cosC,②c(2+cosB)=J"§fesinC,③6sirL4+FacosB=0這三個條件中

任選一個，補(bǔ)充在下面的問題中，若問題中的三角形存在，求該三角形的面積；若問題

中的三角形不存在，說明理由.

問題：是否存在△ABC,它的內(nèi)角A,B,C所對的邊分別為a,b,c,且匕=7,c=5,

?

21.習(xí)近平總書記指出：“要健全社會心理服務(wù)體系和疏導(dǎo)機(jī)制、危機(jī)干預(yù)機(jī)制，塑造自尊

自信、理性平和、親善友愛的社會心態(tài).”在2020年新冠肺炎疫情防控阻擊戰(zhàn)中，心理

醫(yī)生的相關(guān)心理疏導(dǎo)起到了重要作用某心理調(diào)查機(jī)構(gòu)為了解市民在疫情期的心理健康狀

況，隨機(jī)抽取"位市民進(jìn)行心理健康問卷調(diào)查，按所得評分(滿分100分)從低到高將

心理健康狀況分為四個等級：

調(diào)查評分[40,50)[50,60)[60,70)[70,80)[80,90)[90,100]

心理等級有隱患一般良好優(yōu)秀

并繪制如圖所示的頻率分布直方圖已知調(diào)查評分在[70,80)的市民為400人.

(1)求〃的值及頻率分布直方圖中f的值；

(2)在抽取的心理等級為“有隱患”的市民中，按照調(diào)查評分分層抽取3人，進(jìn)行心理

疏導(dǎo)據(jù)以往數(shù)據(jù)統(tǒng)計，經(jīng)過心理疏導(dǎo)后，調(diào)查評分在[40,50)的市民心理等級轉(zhuǎn)為“良

好”的概率為,，調(diào)查評分在[50,60)的市民心理等級轉(zhuǎn)為“良好”的概率為日，若經(jīng)

過心理疏導(dǎo)后的恢復(fù)情況相互獨立，試問在抽取的3人中，經(jīng)過心理疏導(dǎo)后，至少有一

人心理等級轉(zhuǎn)為“良好”的概率為多少？

(3)心理調(diào)查機(jī)構(gòu)與該市管理部門設(shè)定的預(yù)案是以抽取的樣本作為參考，若市民心理健

康指數(shù)平均值不低于0.8,則只需發(fā)放心理指導(dǎo)資料，否則需要舉辦心理健康大講堂.根

據(jù)你所學(xué)的統(tǒng)計知識，判斷該市是否需要舉辦心理健康大講堂，并說明理由.(每組數(shù)

據(jù)以區(qū)間的中點值代替，心理健康指數(shù)=問卷調(diào)查評分/100)

22.在梯形ABC。中，AD//BC,NABC=90°，點M、N分別在邊A8、BC±,沿直線

MD、DN、NM,分別將△AMD、△CfW、折起，點A,B,C重合于一點P.

(1)證明：平面平面PM9；

(2)若cosN￡WP="^,PD=5,求直線尸。與平面。A/N所成角的正弦值.

5

參考答案

一、選擇題（共8小題，每小題5分,共40分）.

1.設(shè)e2為平面向量的一組基底，則下面四組向量組中不能作為基底的是（）

-

A.eje2和e「e2B.4ej+2e2W2e24e

C.2e]+e2和e[+2e2D.%-2e?和4@2-2e[

解：由題意可知，一「，最是不共線的兩個向量，

可以判斷選項A，B,C都可以做基底，

選項力，e/2e2=^（4e2-2ei），故選項。不能做基底.

故選：D.

2.在aABC中，若A=105°,C=30°,b=2&，則邊c=（）

A.2B.如C.&D.1

解：因為A=105°,C=30°,所以8=45°,

2憶c

則.與=,即加-1,解得c=2,

sinosLmC―

故選:A.

3.已知圓錐的體積為返兀，且它的側(cè)面展開圖是一個半圓，則它的母線長為（）

3

A.4B.3C.2D,1

解：設(shè)圓錐的底面半徑為八母線長為/,

因為它的側(cè)面展開圖是一個半圓，則2nr=ir/,即/=2r,

2

又圓錐的體積為]■nrX&2_「2平兀，

解得r=l,1=2,

故母線長為2.

故選：C.

4.某高中在校學(xué)生2000人，高一級與高二級人數(shù)相同并都比高三級多1人.為了響應(yīng)“陽

光體育運動”號召，學(xué)校舉行了“元旦”跑步和登山比賽活動.每人都參加而且只參與

了其中一項比賽，各年級參與比賽人數(shù)情況如下表，其中。：b,c=2：3：5,

高一級高二級高三級

跑步bc

登山xyz

全校參與登山的人數(shù)占總?cè)藬?shù)的色.為了了解學(xué)生對本次活動的滿意程度，從中抽取一

5

個200人的樣本進(jìn)行調(diào)查，則高二級參與跑步的學(xué)生中應(yīng)抽取（）

A.36人B.60人C.24人D.30人

解:全校參與跑步有2000義三=1200人，高二級參與跑步的學(xué)生=1200義丁3二%當(dāng)紗

52+3+52000

=36.

故選：A.

5.天氣預(yù)報說，在今后的三天中，每一天下雨的概率均為40%,用數(shù)字0,1,2,3表示

下雨，數(shù)字4,5,6,7,8,9表示不下雨，由計算機(jī)產(chǎn)生如下20組隨機(jī)數(shù)：

977,864,191,925,271,932,812,458,569,683,

431,257,394,027,556,488,730,113,537,908.

由此估計今后三天中至少有一天下雨的概率為（）

A.0.6B.0.7C.0.75D.0.8

解：根據(jù)題意，在20組隨機(jī)數(shù)中，表示今后三天中至少有一天下雨的有191,925,271,

932,812,683,

431,257,394,027,730,113,537,908；共有14個，

則今后三天中至少有一天下雨的概率P=￡=0.7；

20

故選：

6.已知復(fù)數(shù)z=cos8+isin。（，為虛數(shù)單位），則|z-2i|的最大值為（）

A.1B.2C.3D.4

解：,:z=cos0+/sin0,

???|z-2i|的幾何意義為（cos0,sin0）與（0,2）兩點間的距離，

又（cos6,sinO）在單位圓上，

???|z-2i|的最大值為2+1=3.

故選：C.

7.要測量電視塔AB的高度，在C點測得塔頂?shù)难鼋鞘?5。，在。點測得塔頂?shù)难鼋鞘?/p>

30°,并測得水平面上的/BCQ=120°,CD=40m,則電視塔的高度是（）

A.307nB.40mC.D.4Ch/2/n

解：由題題意，設(shè)AB=x,則8。=舟，BC=x

在△OBC中，ZBCD=nO°,CD=40,

.?.根據(jù)余弦定理，得BD^uBC+Ciy-2BC，CD，cosNDCB

即：（V^）2-（40）2+x2-2X40*x,cosl20°

整理得N-20x-800=0,解之得x=40或x=-20（舍）

即所求電視塔的高度為40米.

故選：B.

8.如圖，在四棱錐P-ABC。中，底面ABC。為菱形，ZDAB=60°,側(cè)面PAD為正三角

形，且平面PAD,平面ABCZ）,則下列說法正確的是（）

A.平面PAB_L平面P3C

B.在棱4。上存在點例使得平面PMB

C.二面角P-8C-A的大小為60。

D.異面直線與PB所成的角為60°

解：對于2：取的中點M,連PM,BM,

?.,側(cè)面PAD為正三角形，...PMLA。,

又底面48CD是/OA8=60°的菱形,

二三角形ABD是等邊三角形,

C.ADLBM,

\"PMQBM=M,PMu平面P8M,BMu平面P8M,

；.AD_L平面PBM,故8正確；

對于。：：AQ_L平面PBM,：.ADLPB,

即異面直線AQ與P2所成的角為90°,故。錯誤；

對于C：?.,底面4BC。為菱形，ND4B=60°,平面PAOJ_平面A8C￡>,

平面PBM,AD//BC,

:.BCLPB,BC1.BM,

則NPBM是二面角P-8C-A的平面角，

設(shè)AB=1，則PM=^，

在直角三角形P8M中，tan/PBM^=l，

DM

即NPBM=45°,故二面角尸-BC-A的大小為45°,故C錯誤;

對于A：?.?AD_L平面PBM,AD//BC,

所以8CJ_平面尸BCu平面PBC,

所以面P8C，平面PBM,顯然平面PAB與平面尸8c不垂直，故A錯誤;

故選：B.

二、多項選擇題：本題共4小題，每小題5分，共20分.在每小題給出的選項中，有多項符

合題目要求.全部選對得5分，有選錯的得0分，部分選對得3分.

9.經(jīng)過簡單隨機(jī)抽樣獲得的樣本數(shù)據(jù)為》,X2,…，X,”則下列說法正確的是()

A.若數(shù)據(jù)X”X2,…，X,,,方差$2=0,則所有的數(shù)據(jù)汨(/=1,2,??-,”)相同

B.若數(shù)據(jù)為，及，…，xn,的均值為3,則數(shù)據(jù)％=2%計1(i=l,2,???,n)的均值為6

C.若數(shù)據(jù)xi,及，…，X,”的中位數(shù)為90,則可以估計總體中有至少有50%的數(shù)據(jù)不大

于90

D.若數(shù)據(jù)XI,X2,…，x.,的眾數(shù)為78,則可以說總體中的眾數(shù)為78

解：對于4,數(shù)據(jù)X”X2,…，X"的方差為$2=0,則所有的數(shù)據(jù)Xi(i=l,2,―,〃)相

同，即X1=X2=-=X",所以選項A正確；

對于8,數(shù)據(jù)即，及，…，X”的均值為3,則數(shù)據(jù)(i=l,2,n)的均值為1

=2X3+1=7,所以選項B錯誤；

對于C,數(shù)據(jù)X”及，…，X”的中位數(shù)為90,則可以估計總體中有至少有50%的數(shù)據(jù)不

大于90,符合百分位數(shù)的定義，選項C正確；

對于。，樣本數(shù)據(jù)具有隨機(jī)性，所以樣本的眾數(shù)不一定是總體的眾數(shù)，選項。錯誤.

故選：AC.

10.如圖，已知長方形ABC。中，AB=3,AD=2,而=入比(0<人<1),則下列結(jié)論正

確的是()

A.當(dāng)人=["時,AD='7-AE+'1'BE

Ooo

B.當(dāng)人=2時，cos(標(biāo)，RR)

3DE，10

C.對任意入6(0,1),瓦_(dá)L瓦不成立

D.|油■靛|的最小值為4

解：建立坐標(biāo)系如圖：則A(0,0),8(3,0),C(3,2),

因為農(nóng)=人比(0<A<l),所以E(3入，2),

對A：當(dāng)入■時，E=(1,2),則標(biāo)=(1,2),gg=(-2,2),標(biāo)=(0,2),

設(shè)通=加噩+〃靛,即(。，2)=m(1,2)+〃(-2,2),則卜”八°,解得相=蔣,

12m+2n=23

故前=■!■曲■■麗,故人錯誤；

oOO

對B：當(dāng)人=看時，E=(2,2),則蜃=(2,2),麗=(-,1,2),故cosV蜃,

o

AE?BE—2+4

故3正確;

BE>IAEI-IBEI2A/2XV510'

對C：若標(biāo)J_麗，即至?前=3入(3入-3)+4=9入2-9入+4=0,

因為對于方程9入2-9入+4=0,A=81-144<0,故不存在人使得標(biāo)_1_施，故C正確;

對AE+BE=（6入-3,4），所以無+而==（6入-3）2+162%當(dāng)僅當(dāng)入=，■時取

等號，故。正確，

故選：BCD.

11.在△ABC中，角A,B,C所對的邊分別為a,b,c,且(a+b)：(a+c)：(b+c)=

9：10：11,則下列結(jié)論正確的是（）

A.sirtA：sinB：sinC=4：5：6

B.△ABC是鈍角三角形

C.ZVIBC的最大內(nèi)角是最小內(nèi)角的2倍

D.若c=6,則△A8C外接圓半徑為號近

7

解：(a+b)：(a+c)：(b+c)=9：10：1L可設(shè)。+6=9f,a+c=10t,b+c=llt,

解得Q=43h=5t9c=6tfr>0,

可得sinA：sinB：sinC=〃：b：c=4：5：6,故4正確；

由c為最大邊，可得cosC=y2也216t2+25t2-36t2=」>0,即C為銳角，

2ab2,4t?5t8

故B錯誤；

2

由cosA="_+￡-二2E=+36t士,由COS2A=2COSA-1=2x2-1=

2bc2*5tw6t416

1_「

8

由2A,ce(0,7T),可得24=C,故C正確；

若c=6,可得2毛=—^=/$1―畢,/XABC外接圓半徑為色巨，故O正確.

s】nC蟲**7

故選：ACD.

12.如圖，在正方體4BCD-4BiGA中，E是棱的中點，P是線段4c（不含端點）

上的一個動點，那么在點尸的運動過程中，下列說法中正確的有（)

A.存在某一位置，使得直線PE和直線相交

B.存在某一位置，使得BC〃平面AEP

C.點4與點到平面PBE的距離總相等

D.三棱錐Ci-PBE的體積不變

解：選項4P是線段4c（不含端點）上的一個動點，PEC1平面ABBi4=E,

而E走BBi,由異面直線的判定定理可知PE與直線異面，

所以不存在某一位置，使得直線PE和直線8辦相交，故選項A不正確；

選項3,連接交AC于點尸,，面APE即為面AOE,止匕時8C〃A￡）,

而8CC平面4OE,AOu面AOE,所以BC〃平面AOE,即8c〃平面AEP,故選項8正

確；

選項C：如圖過點4與點Bi作平面PBE的垂線,垂足分布為H,Hi，有空

所以即點4與點B到平面PBE的距離總相等，故選項C正確；

選項￡＞：因為"C.-PEE=Vp-c.BE，SzkC/E為定值，連接BC交BG于點F,連接EF,

ifHAJC/ZEF,A1CC平面C18E,EFu平面CiBE,

所以4c〃平面CiBE,所以P到平面CiBE的距離為定值，

所以三棱錐Ci-PBE的體積不變，故選項。正確.

故選：BCD.

三、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分

13.設(shè)，■為虛數(shù)單位，則上工的虛部是-1

1+1

解.=-i

'1+i

二!二的虛部是-1，

1+1

故答案為：-1.

14.某人5次上班途中所花的時間（單位：分鐘）分別為x,?10,11,9.已知這組數(shù)據(jù)

的平均數(shù)為10,方差為2,則lx-M的值為4.

解：由題意可得：

x+y=20,(x-10)2+(y-10)2=8,

設(shè)x=10+r,y=10-f,則2f2=8,解得f=±2,

二卜-），|=2h=4,

故答案為：4.

15.已知三棱錐D-ABC的四個頂點都在球O的球面上，若OC,平面ABC,ZACB=60°,

A8=3&,0c=2?,則球。的表面積為36TT.

解：如圖，

即「=五，再設(shè)三棱錐ABC的外接球的球心為O,半徑為R,

貝陀2=（胡）2+,）2=g.

，球O的表面積為4TTR2=36TT.

故答案為：36n.

16.在四面體P-A8C中，PA_L底面ABC,P4=l,△ABC、△PBC、△PAC、APAB均為

直角三角形，若該四面體最大棱長等于3,貝的

(1)該四面體外接球的表面積為91T

(2)該四面體體積的最大值為第.

一31

9

,該四面體外接球的表面積為4兀R2=4兀X博/田兀；(1)9ir；(2)—；

3

(2)AC2=PC2-PA2=32-卜=8,

222

AC=S=AB+BC^2AB^BCf得A3?3CW4,當(dāng)且僅當(dāng)A8=5C=2時等號成立.

??Wc4SAABC-PA=1'f'AB'BC，PA<iX4Xl=f

.??該四面體體積的最大值為?1.

O

9

故答案為：(1)9n；(2)y.

四、解答題：本題共6個小題，共70分.應(yīng)寫出文字說明，演算步驟或證明過程.

17.已知向量二3滿足|』=1,|]|=2,且之與芯不共線.

(1)若向量；+%芯與上1+23為方向相反的向量，求實數(shù)k的值；

(2)若向量W與4的夾角為60。，求27+E與之-3的夾角

解：(1)?.?向量；+kE與kZ+2E的方向相反，

...存在實數(shù)入<0,使a+kb=入(ka+2b)，且a,自、共線,

解得入=八但或入qS(舍去)，

lk=2X22

；?k=-&；

⑵?a*b=l,a=1,b=4，

12之+E|=747+R、+E2=<4+4+4=2匾,|a-b|=V^2-2l-b+b2=Vl-2+4

_rr-?————2-*—?-*2

—73,(2a+b)*(a-b)=2a-a*b-b=2T-4=-3'

A_(2a+b)*(a-b)-31

CS==且ee[O,TT],

°l2；+bll；-bl2V3XV3^

，n2兀

3,

18.如圖，四棱錐P-A8CD中，底面ABC。為菱形，PA_L平面ABC。，BD交AC于點、E,

尸是線段PC中點，G為線段EC中點.

(I)求證：FG〃平面PBQ；

(II)求證：BDVFG.

【解答】證明：(I)連接PE,G、F為EC和尸C的中點,

J.FG//PE,FGC平面PB。，PEu平面PBQ,

；.FG〃平面尸8￡>…

(II)?菱形ABC。，：.BDLAC,

又PA_L面ABC。，8Ou平面A8CQ,

：.BDLPA,

：PAu平面PAC,ACu平面PAC,且PAAAC=A,

.?.BD_L平面PAC,FGu平面PAC,

J.BDLFG-

19.袋中裝有6個形狀、大小完全相同的球，其中標(biāo)有數(shù)字“1”的球有3個，標(biāo)有數(shù)字“2”

的球有2個，標(biāo)有數(shù)字“3”的球有1個.規(guī)定取出一個標(biāo)有數(shù)字“1”的球記1分，取

出一個標(biāo)有數(shù)字“2”的球記2分，取出一個標(biāo)有數(shù)字“3”的球記3分.在無法看到球

上面數(shù)字的情況下，首先由甲取出3個球，并不再將它們放回原袋中，然后由乙取出剩

余的3球.規(guī)定取出球的總積分多者獲勝.

(1)求甲、乙平局的概率；

(2)從概率的角度分析先后取球的順序是否影響比賽的公平性.

解：(1)記標(biāo)有數(shù)字“1”的球為小b,c,標(biāo)有數(shù)字“2”的球為d,e,標(biāo)有數(shù)字“3”

的球為力

則甲取球的所有情況為：

abe,abd,abe,abf,acd,ace,acf,ade,adf,aef,bed,bee,bef,bde,bdf,bef,cde,

cdf,cef,def,共20種，

由于6個小球總分為3X1+2X2+1X3=10分，故甲、乙平局時都得5分，

此時，甲取出的三個小球中有1個標(biāo)有數(shù)字“1”的球和2個標(biāo)有數(shù)字“2”的球，

或有2個標(biāo)有數(shù)字“1”的球和1個標(biāo)有數(shù)字“3”的球，共有6種情況，

故平局的概率Pi4々.

12010

(2)由甲先取球時，若甲獲勝，得分只能是7分或6分，

即取出的三個小球中有1個標(biāo)有數(shù)字“3”的球和2個標(biāo)有數(shù)字“2”的球，

或有1個標(biāo)有數(shù)字“3”的球和1個標(biāo)有數(shù)字“2”的球和1個標(biāo)有數(shù)字“1”的球共7種

情況，

故甲獲勝的概率「2哧?.由(D可得平局的概率P1*,

所以甲輸，即乙獲勝的概率PQ=1卷士旦.

所以甲、乙獲勝的概率相同.

同理，由乙先取球時，甲、乙獲勝的概率也相同.

故先后取球的順序不影響比賽的公平性.

20.在①sin2C=J^cosC,②c(2+cosB)=③bsirL4+?<zcos8=0這三個條件中

任選一個，補(bǔ)充在下面的問題中，若問題中的三角形存在，求該三角形的面積；若問題

中的三角形不存在，說明理由.

問題：是否存在△ABC,它的內(nèi)角A,B,C所對的邊分別為小b,c,且b=7,c=5,

解：選①sin2C=?cosC,

即2sinCcosC=^/3cosC,

因為c<b,

故C<B,

IT

所以cosCWO,

所以sinC=返，

2_

根據(jù)正弦定理得，sin8=晅近=上叵>1,不符合題意，此時三角形不存在；

C10

選②c(2+cosB)=V§bsinC,

由正弦定理得，sinC(2+cosB)=?sin8sinC,

因為sinCWO,

故2+cosB=J§sinB,

K

所以sin(B------)=1,

6

因為8為三角形內(nèi)角，

所以8=等，

3

由余弦定理得，b2=a2+c2+ac,

把6=7,c=5代入整理得，a2+5a-24=0,

解得。=3,

SMBc=yacsinB=--X3X5X9=工于.；

2224

選③加inA+^§acos8=0,

由正弦定理得，sin8sinA+?sinAcosB=0,

因為sinA>0,

所以sin8+ycosB=0,故lan8=-晶，

因為8為三角形內(nèi)角，

所以8=衛(wèi)二

3

由余弦定理得，^—a^c^+ac,

把人=7,c=5代入整理得，“2+5a-24=0,

解得。=3,

SA4Bc=yacsinB=-^-X3X5X^=^^-

2224

21.習(xí)近平總書記指出：“要健全社會心理服務(wù)體系和疏導(dǎo)機(jī)制、危機(jī)干預(yù)機(jī)制，塑造自尊

自信、理性平和、親善友愛的社會心態(tài).”在2020年新冠肺炎疫情防控阻擊戰(zhàn)中，心理

醫(yī)生的相關(guān)心理疏導(dǎo)起到了重要作用某心理調(diào)查機(jī)構(gòu)為了解市民在疫情期的心理健康狀

況，隨機(jī)抽取〃位市民進(jìn)行心理健康問卷調(diào)查，按所得評分（滿分100分）從低到高將

心理健康狀況分為四個等級：

調(diào)查評分[40,50）[50,60）[60,70）[70,80）[80,90）[90,100]

心理等級有隱患一般良好優(yōu)秀

并繪制如圖所示的頻率分布直方圖已知調(diào)查評分在[70,80）的市民為400人.

（1）求"的值及頻率分布直方圖中，的值；

（2）在抽取的心理等級為“有隱患”的市民中，按照調(diào)查評分分層抽取3人，進(jìn)行心理

疏導(dǎo)據(jù)以往數(shù)據(jù)統(tǒng)計，經(jīng)過心理疏導(dǎo)后，調(diào)查評分在[40,50）的市民心理等級轉(zhuǎn)為“良

好”的概率為t，調(diào)查評分在[50,60）的市民心理等級轉(zhuǎn)為“良好”的概率為,，若經(jīng)

過心理疏導(dǎo)后的恢復(fù)情況相互獨立，試問在抽取的3人中，經(jīng)過心理疏導(dǎo)后，至少有一

人心理等級轉(zhuǎn)為“良好”的概率為多少？

（3）心理調(diào)查機(jī)構(gòu)與該市管理部門設(shè)定的預(yù)案是以抽取的樣本作為參考，若市民心理健

康指數(shù)平均值不低于0.8,則只需發(fā)放心理指導(dǎo)資料，否則需要舉辦心理健康大講堂.根

據(jù)你所學(xué)的統(tǒng)計知識，判斷該市是否需要舉辦心理健康大講堂，并說明理由.（每組數(shù)

據(jù)以區(qū)間的中點值代替，心理健康指數(shù)=問卷調(diào)查評分/100）

解：（1）;調(diào)查評分在[70,80）的市民為4