專題14思想方法專題：線段與角計算中的思想方法壓軸題四種模型全攻略【考點導航】目錄TOC\o"1-3"\h\u【典型例題】 1【考點一分類討論思想在線段的計算中的應用】 1【考點二分類討論思想在角的計算中的應用】 4【考點三整體思想及從特殊到一般的思想解決線段和差問題】 8【考點四整體思想及從特殊到一般的思想解決角和差問題】 12【過關檢測】 17【典型例題】【考點一分類討論思想在線段的計算中的應用】例題：（2023秋·云南昆明·七年級統考期末）有、兩根木條，長度分別為24cm、18cm，將它們的一端重合且放在同一條直線上，此時、兩根木條中點之間的距離為cm．【答案】3或21【分析】假設端點B和端點D重合，分兩種情況如圖：①不在上時，，②在上時，，分別代入數據進行計算即可得解．【詳解】解：假設端點B和端點D重合如圖，設較長的木條為，較短的木條為，∵M、N分別為、的中點，∴，，①如圖1，不在上時，（cm），②如圖2，在上時，（cm），綜上所述，兩根木條的中點間的距離是21cm或3cm，故答案為：3或21．【點睛】本題考查了兩點間的距離，主要利用了線段的中點定義，解題的關鍵是在于要分情況討論，作出圖形更形象直觀．【變式訓練】1．（2023秋·云南昭通·七年級統考期末）已知線段，點為線段的中點，點是直線上的一點，且，則線段的長是（

）A．1cm B．5cm C．1cm或5cm D．4cm或5cm【答案】C【分析】根據題意畫出圖形，由于點的位置不能確定，故應分兩種情況進行討論．【詳解】解：∵線段，為的中點，∴當點如圖1所示時，，；當點如圖2所示時，∴線段的長為1cm或5cm.故選：．【點睛】本題考查的是兩點間的距離，在解答此題時要注意進行分類討論，不要漏解．2．（2023春·山東青島·七年級統考開學考試）如圖，有兩根木條，一根長為，另一根長為，在它們的中點處各有一個小圓孔（圓孔直徑忽略不計，抽象成兩個點），將它們的一端重合，放置在同一條直線上，此時兩根木條的小圓孔之間的距離是．【答案】或【分析】分兩種情況畫出圖形求解即可．【詳解】解：（1）當A、C（或B、D）重合，且剩余兩端點在重合點同側時，

（厘米）；（2）當B、C（或A、C）重合，且剩余兩端點在重合點兩側時，

（厘米）．所以兩根木條的小圓孔之間的距離是或．故答案為：或．【點睛】此題考查了兩點之間的距離問題，正確畫圖很重要，本題滲透了分類討論的思想，體現了思維的嚴密性，在今后解決類似的問題時，要防止漏解．3．（2023秋·江西吉安·七年級校考期末）在同一直線上有不重合的四個點，，則的長為．【答案】6或10或16【分析】由于沒有圖形，故四點相對位置不確定，分：點C在B的左側、右側，點D在C的左側、右側等，不同情況畫圖分別求解即可．【詳解】解：I．當點C在B的右側，點D在C的左側時，如圖：

，，，，II．當點C在B的右側，點D在C的右側時，如圖：

，III．當點C在B的左側，點D在C的左側時，如圖：

，點A、D重合，不合題意，IV．當點C在B的左側，點D在C的右側時，如圖：

，點A、D重合，不合題意，綜上所述：的長為6或10或16故答案為：6或10或16．【點睛】本題主要考查兩點間的距離，解題的關鍵是根據點的不同位置進行分類討論、利用線段之間的和差關系得到的長度．【考點二分類討論思想在角的計算中的應用】例題：（2023秋·七年級課時練習）已知，，平分，則等于．【答案】或【分析】分兩種情況：利用角平分線的定義即可求解．【詳解】解：當如圖所示時：

平分，，，，當如圖所示時：

平分，，，．故答案為：或.【點睛】本題考查了角平分線的定義，熟練掌握角平分線的定義，利用分類討論解決問題是解題的關鍵．【變式訓練】1．（2022春·黑龍江哈爾濱·六年級統考期末）已知，，則的度數是．【答案】或【分析】分兩種情況討論：①當在的內部時；②當在的外部時，分別求解即可得到答案．【詳解】解：①如圖，當在的內部時，

，，，；②如圖，當在的外部時，

，，，；綜上可知，的度數為或，故答案為：或．【點睛】本題考查了角度的和差計算，利用分類討論的思想解決問題是解題關鍵．2．（2022春·黑龍江哈爾濱·六年級校考期中）已知，平分，射線與所形成的角度是，那么的度數是【答案】或/50或30【分析】分兩種情況：射線在的上方和射線在的下方，根據角平分線的定義和角的和差分別計算即可．【詳解】解：如圖1，

∵，平分，∴，∵射線與所形成的角度是，∴，∴；如圖2，

∵，平分，∴，∵射線與所形成的角度是，∴，∴；綜上可知的度數是或．故答案為：或．【點睛】此題考查了角平分線的定義和角的和差計算，分類討論是解題的關鍵．3．（2022春·黑龍江哈爾濱·六年級校考期中）已知射線是的三等分線，射線為的平分線，若，則．【答案】或【分析】根據三等分線的定義可得或，畫出圖形，進行分類討論即可．【詳解】解：∵射線是的三等分線，∴或，當時，如圖：∵，，∴，∵射線為的平分線，∴，∴；

當時，如圖：∵，，∴，∵射線為的平分線，∴，∴；

故答案為：或．【點睛】本題主要考查了角的三等分線和角平分線，解題的關鍵是掌握角的三等分線有兩條．【考點三整體思想及從特殊到一般的思想解決線段和差問題】例題：（2022秋·河南南陽·七年級統考期末）（1）如圖，已知線段，點C是線段上一點，點M、N分別是線段，的中點．①若，則線段的長度是_________；②若，，求線段的長度(結果用含a、b的代數式表示)；（2）在（1）中，把點C是線段上一點改為：點C是直線上一點，，．其它條件不變，則線段的長度是___________（結果用含a、b的代數式表示）【答案】（1）①4，②，（2）或或【分析】（1）①根據線段中點的定義可得，即可求解；②，即可求解；（2）根據題意進行分類討論即可：當點C在線段上時，當點C在點A的左邊時，當點C在點B的右邊時．【詳解】（1）解：①∵點M、N分別是線段，的中點，，∴，∴，故答案為：4；②∵點M、N分別是線段，的中點，，∴，∴；（2）當點C在線段上時，由（1）可得：；當點C在A左邊時，，∵點M、N分別是線段，的中點，，∴，∴；當點C在點B右邊時，∵點M、N分別是線段，的中點，，∴，∴；綜上：或或．故答案為：或或．【點睛】本題主要考查了線段中點的性質，線段的和差計算，解題的關鍵是掌握線段中點的定義，具有分類討論的思想．【變式訓練】1．（2022秋·全國·七年級專題練習）如圖，點在線段上，點、分別是、的中點．(1)若線段，，則線段的長為(2)若為線段上任一點，滿足，其它條件不變，求的長；(3)若原題中改為點在直線上，滿足，，，其它條件不變，求的長．【答案】(1)(2)(3)【分析】（1）先求出，再由點、分別是、的中點，可得，，再由，即可求解；（2）由點、分別是、的中點，可得，，再由，即可求解；（3）分三種情況討論：當點在線段上時，當點在的延長線上時，當點在的延長線上時，即可求解．【詳解】（1）解：，，，又點、分別是、的中點，，，；故答案為：；（2）解：點、分別是、的中點，，，；（3）解：當點在線段上時，點、分別是、的中點，，，；當點在的延長線上時，點、分別是、的中點，，，；當點在的延長線上時，點、分別是、的中點，，，．【點睛】本題主要考查了有關線段中點的計算，根據題意，準確得到線段之間的數量關系是解題的關鍵．2．（2022秋·河北石家莊·七年級石家莊市第四十一中學校考期中）（1）如圖1，點C在線段上，M，N分別是，的中點,若，，求的長．（2）設，C是線段上任意一點（不與點A，B重合）．①如圖2，當M，N分別是，的中點時，的長是___________；②如圖3，若M，N分別是，的三等分點，即，，請直接寫出線段的長．【答案】（1）6

（2）①

②【分析】（1）由，得，根據M，N分別是，的中點，即得，故；（2）①由M，N分別是，的中點，知，即得，故；②由，知，即得,故；【詳解】解：（1）M，N分別是，的中點故答案為：6（2）①M，N分別是，的中點故答案為：②故答案為：【點睛】本題考查線段的中點、線段的和差，解題的關鍵是掌握線段中點的定義及線段和差運算．【考點四整體思想及從特殊到一般的思想解決角和差問題】例題：（2023秋·全國·七年級課堂例題）已知：如圖，在的內部，平分平分．

(1)當時，___________；(2)當時，___________；(3)當時，___________；(4)猜想：不論和的度數是多少，的度數總等于________的度數的一半．【答案】(1)(2)40(3)40(4)【分析】（1）（2）（3）利用角平分線的定義求得和的度數，再求得，進一步計算即可求解；（4）由（1）（2）（3）可得出結論；【詳解】（1）解：∵，∴，∵平分，∴，∴，又∵平分，∴，∴，故答案為：45；（2）解：∵，∴，∵平分，∴，∴，又∵平分，∴，∴，故答案為：40；（3）解：∵，∴，∵平分，∴，∴，又∵平分，∴，∴，故答案為：40；（4）解：由以上（1）（2）（3）得出結論，即不論和的度數是多少，的度數總等于的度數的一半．故答案為：．【點睛】此題考查了角平分線的定義、角的計算，關鍵是根據角平分線定義得出所求角與已知角的關系轉化求解．【變式訓練】1．（2023秋·重慶開州·七年級統考期末）已知為直線AB上一點，將一直角三角板OMN的直角頂點放在點處．射線平分．

(1)如圖1，若，求的度數；(2)在圖1中，若，直接寫出的度數（用含的代數式表示）；(3)將圖1中的直角三角板繞頂點順時針旋轉至圖2的位置，當時，求的度數．【答案】(1)20°(2)(3)144°【分析】（1）根據角平分線的定義和余角的性質即可得到結論；（2）根據角平分線的定義和余角的性質即可得到結論；（3）設，依次表示出，，，，最后根據列方程即可得到結論．【詳解】（1）因為為直線上一點，且，所以，因為射線平分所以因為所以

（2）因為為直線上一點，且，所以，因為射線平分所以因為所以（3）設，則，，因為所以因為所以解得因為所以.【點睛】本題主要考查角平分線的定義，余角的性質，靈活運用余角的性質是解題的關鍵．2．（2023春·山東濟南·六年級統考期末）解答下列問題如圖1，射線在的內部，圖中共有3個角：和，若其中有一個角的度數是另一個角度數的兩倍，則稱射線是的“巧分線”．(1)一個角的平分線這個角的“巧分線”，（填“是”或“不是”）．(2)如圖2，若，且射線是的“巧分線”，則（表示出所有可能的結果探索新知）．(3)如圖3，若，且射線是的“巧分線”，則（用含α的代數式表示出所有可能的結果）．

【答案】(1)是(2)30°，20°或40°(3)或或【分析】（1）根據“巧分線”定義，一個角的平分線將一個角均分成兩個等角，大角是這兩個角的兩倍即可解答；(2)根據“巧分線”定義，分、、三種情況求解即可；(3)根據“巧分線”定義，分、、三種情況求解即可．【詳解】（1）解：如圖1：∵平分，∴,∴根據巧分線定義可得是這個角的“巧分線”．故答案為：是．

（2）解：如圖3：①當時，則；②當，則，解得：；③當，則，解得：．綜上，可以為．（3）解：如圖3：①當時，則；②當，則，解得：；③當，則，解得：．綜上，可以為．

【點睛】本題主要考查了新定義下的計算、角平分線的定義等知識點，讀懂題意、理解“巧分線”的定義是解題的關鍵．【過關檢測】一、單選題1．（2023秋·河北廊坊·七年級統考期末）已知線段，點是直線上一點，，若是的中點，則線段的長度為（

）A． B． C．或 D．以上都不對【答案】C【分析】分點在點的左邊和點的右邊兩種情況，分別畫出圖形，結合線段中點的性質即可求解．【詳解】解：點在點的右邊時，如圖所示，∵，∴，∵是的中點，∴，∴，點在點的左邊時，如圖所示，∵，∴，∵是的中點，∴，∴，故選：C．【點睛】本題考查了線段的和差關系，線段的中點的性質，分類討論，數形結合是解題的關鍵．2．（2023春·六年級單元測試）已知，平分，，則的度數為（

）A． B．C．或 D．或【答案】D【分析】分兩種情況畫出圖形，根據角平分線的定義結合圖形求出的度數即可．【詳解】解：當在的外部時，如圖所示：∵，平分，∴，∵，∴；當在的內部時，如圖所示：∵，平分，∴，∵，∴；綜上分析可知，的度數為或，故D正確．故選：D．【點睛】本題主要考出了角平分線的定義，幾何圖形中角的計算，解題的關鍵是根據題意畫出圖形，注意分類討論．3．（2023秋·山西大同·七年級統考期末）在的內部作射線，射線把分成兩個角，分別為和，若或，則稱射線為的三等分線．若，射線為的三等分線，則的度數為（）A． B． C．或 D．或【答案】C【分析】根據題意得出或，再根據角之間的數量關系，得出，綜合即可得出答案．【詳解】解：∵，射線為的三等分線．∴或，∴，∴的度數為或．故選：C．【點睛】本題考查了角度的計算，理解題意，分類討論是解本題的關鍵．二、填空題4．（2023秋·七年級課時練習）已知線段，在直線上作線段，使得，若D是線段的中點，則線段的長為．【答案】1或3【分析】根據題意可分為兩種情況，①點C在線段上，可計算出的長，再由D是線段的中點，即可得出答案；②在線段的延長線上，可計算出的長，再由D是線段的中點，即可得出答案．【詳解】解：根據題意分兩種情況，①如圖1，∵，，∴，∵D是線段的中點，∴；②如圖2，∵，，∴，∵D是線段的中點，∴．∴線段的長為1或3．故答案為：1或3．【點睛】本題主要考查了兩點之間的距離，正確理解題目并進行分情況進行計算是解決本題的關鍵．5．（2023秋·山東棗莊·七年級統考期末）若線段，點C是線段的中點，點D是線段的三等分點，則線段的長為．【答案】或【分析】根據線段中點的定義和線段三等分點的定義即可得到結論．【詳解】解：是線段的中點，，，點是線段的三等分點，①當時，如圖，；②當時，如圖，．所以線段的長為或．故答案為：或．【點睛】本題考查了兩點間的距離，線段中點的定義，分類討論思想的運用是解題的關鍵．6．（2022秋·河北·七年級校聯考期末）定義：從一個角的頂點出發，把這個角分成兩個部分的射線，叫做這個角的三分線，一個角的三分線有兩條．如圖1，，則OB是的一條三分線．（1）如圖1，若，則；（2）如圖2，若，，是的兩條三分線，且．①則；②若以點為中心，將順時針旋轉（）得到，當恰好是的三分線時，的值為．【答案】/度/度或【分析】（1）根據三分線的定義計算即可；（2）①根據三分線的定義計算即可；②根據三分線的定義可得，由旋轉得，然后分兩種情況：當是的三分線，且時；當是的三分線，且時，分別求出和的值即可．【詳解】（1）解：∵，則是的一條三分線．∵∴,故答案為：（2）①∵，是的兩條三分線，，∴，故答案為：；②∵，，是的兩條三分線，∴，由旋轉得：，分兩種情況：當是的三分線，且時，可得，∴，∴，即；當是的三分線，且時，可得，∴，即；故答案為：或．【點睛】本題屬于新定義類型的問題，主要考查了角的計算，解決問題的關鍵是掌握角的三分線的定義，解題時注意分類思想的運用，分類時不能重復，也不能遺漏．三、解答題7．（2023春·云南楚雄·七年級統考期末）如圖，是線段上的兩點，且是的中點，若．

(1)求線段的長度．(2)若是線段上一點，滿足，求線段的長度．【答案】(1)18(2)6或10【分析】（1）設，則，則，根據中點可得，根據，列出方程求解即可；（2）先求出，．再分以下種情況：①當點在線段上時，②當點在線段上時．【詳解】（1）解：設，則．是的中點，．，由題意得，解得，．（2）解：由（1）可知，．分以下兩種情況：①當點在線段上時，；②當點在線段上時，．綜上所述，線段的長度為6或10．【點睛】本題主要考查了線段中點的定義，線段之間的和差關系，解題的關鍵是根據圖形和題目所給數量關系，得出．8．（2021秋·黑龍江哈爾濱·七年級校考階段練習）如圖，已知點O為直線上一點，，是的平分線．

(1)如圖1，若，求的度數；(2)如圖2，是的平分線，求的度數；(3)在（2）的條件下，是的一條三等分線，若，求的度數．【答案】(1)(2)(3)或【分析】（1）由互余得度數，進而由角平分線得到度數，根據可得度數；（2）由角平分線得出，，繼而由得出結論．（3），結合已知和可求，再由，再根據是的一條三等分線，分兩種情況來討論，即可解答．【詳解】（1）解：，，，是的平分線，，；答：的度數為．（2）解：是的平分線．，是的平分線，，，，答：的度數為．（3）解：由（2）得，，又，，，，，，，當，，；當，，【點睛】本題考查了角平分線的定義、平角的定義及角的和與差，能根據圖形確定所求角和已知各角的關系是解此題的關鍵．9．（2022秋·遼寧丹東·七年級統考期末）小明在學習了比較線段的長短時對下面一道問題產生了探究的興趣：如圖1，點C在線段AB上，M，N分別是AC，BC的中點．若AB＝12，AC＝8，求MN的長．(1)根據題意，小明求得MN＝___________；(2)小明在求解（1）的過程中，發現MN的長度具有一個特殊性質，于是他先將題中的條件一般化，并開始深入探究．設AB＝a，C是線段AB上任意一點（不與點A，B重合），小明提出了如下三個問題，請你幫助小明解答．①如圖1，M，N分別是AC，BC的中點，則MN＝______________；②如圖2，M，N分別是AC，BC的三等分點，即，，求MN的長；③若M，N分別是AC，BC的n等分點，即，，則MN＝___________；【答案】(1)6(2)①；②；③【分析】（1）由AB=12，AC=8，得BC=AB-AC=4，根據M，N分別是AC，BC的中點，即得CM=AC=4，CN=BC=2，故MN=CM+CN=6；（2）①由M，N分別是AC，BC的中點，知CM=AC，CN=BC，即得MN=AC+BC=AB，故MN=a；②由AM=AC，BN=BC，知CM=AC，CN=BC，即得MN=CM+CN=AC+BC=AB，故MN=a；③由AM=AC，BN=BC，知CM=AC，CN=BC，即得MN=CM+CN=AC+BC=AB，故MN=a．【詳解】（1）解：∵AB=12，AC=8，∴BC=AB-AC=4，∵M，N分別是AC，BC的中點，∴CM=AC=4，CN=BC=2，∴MN=CM+CN=6；故答案為：6；（2）解：①∵M，N分別是AC，BC的中點，∴CM=AC，CN=BC，∴MN=AC+BC=AB，∵AB=a，∴MN=a；