專題10尺規作圖（解析版）1．（2022·福建·統考中考真題）如圖，BD是矩形ABCD的對角線．(1)求作⊙A，使得⊙A與BD相切（要求：尺規作圖，不寫作法，保留作圖痕跡）；(2)在（1）的條件下，設BD與⊙A相切于點E，CF⊥BD，垂足為F．若直線CF與⊙A相切于點G，求tan∠ADB【答案】(1)作圖見解析(2)5【分析】（1）先過點A作BD的垂線，進而找出半徑，即可作出圖形；（2）根據題意，作出圖形，設∠ADB=α，⊙A的半徑為r，先判斷出BE＝DE，進而得出四邊形AEFG是正方形，然后在Rt△ABE中，根據勾股定理建立方程求解BE=rtanα，再判定△ABE≌△CDF，根據BE=DF=rtanα，DE=DF+EF=rtanα+r，在Rt△ADE中，利用tan【詳解】（1）解：如圖所示，⊙A即為所求作：（2）解：根據題意，作出圖形如下：設∠ADB=α，⊙A的半徑為r，∵BD與⊙A相切于點E，CF與⊙A相切于點G，∴AE⊥BD，AG⊥CG，即∠AEF＝∠AGF＝90°，∵CF⊥BD，∴∠EFG＝90°，∴四邊形AEFG是矩形，又AE=AG=r，∴四邊形AEFG是正方形，∴EF=AE=r，在Rt△AEB和Rt△DAB中，∠BAE+∠ABD=90°，∠ADB+∠ABD=90°，∴∠BAE=∠ADB=α，在Rt△ABE中，tan∠BAE=∴BE=rtan∵四邊形ABCD是矩形，∴AB∥CD，AB＝∴∠ABE=∠CDF，又∠AEB=∠CFD=90°，∴△ABE≌∴BE=DF=rtan∴DE=DF+EF=rtan在Rt△ADE中，tan∠ADE=AEDE∴rtanα+rtan∵tanα>0∴tanα=5-12，即tan∠【點睛】此題是圓的綜合題，主要考查了尺規作圖，切線的性質，全等三角形的判定和性質，正方形的判定與性質，矩形的判定與性質，勾股定理，銳角三角函數，利用三角函數得出線段長建立方程是解決問題的關鍵．2．（2021·福建·統考中考真題）如圖，已知線段MN=a,AR⊥AK，垂足為a．（1）求作四邊形ABCD，使得點B，D分別在射線AK,AR上，且AB=BC=a，∠ABC=60°，CD//（2）設P，Q分別為（1）中四邊形ABCD的邊AB,CD的中點，求證：直線AD,BC,PQ相交于同一點．【答案】（1）作圖見解析；（2）證明見解析【分析】（1）根據AB=a，點B在射線AK上，過點A作AB=a；根據等邊三角形性質，得AB=BC=AC，分別過點A、B，a為半徑畫圓弧，交點即為點C；再根據等邊三角形的性質作CD，即可得到答案；（2）設直線BC與AD相交于點S、直線PQ與AD相交于點S'，根據平行線和相似三角形的性質，得ADS'【詳解】（1）作圖如下：四邊形ABCD是所求作的四邊形；（2）設直線BC與AD相交于點S，∵DC//∴△SBA∽△SCD，∴SA設直線PQ與AD相交于點S'同理S'∵P，Q分別為AB,CD的中點，∴PA=12∴PA∴S'∴S'∴ADS∴S'∴點S與S'重合，即三條直線AD,BC,PQ【點睛】本題考查了尺規作圖、等邊三角形、直角三角形、平行線、相似三角形等基礎知識，解題的關鍵是熟練掌握推理能力、空間觀念、化歸與轉化思想，從而完成求解．3．（2020·福建·統考中考真題）如圖，C為線段AB外一點．（1）求作四邊形ABCD，使得CD//AB，且CD=2AB；（要求：尺規作圖，不寫作法，保留作圖痕跡）（2）在（1）的四邊形ABCD中，AC，BD相交于點P，AB，CD的中點分別為M,N，求證：M,P,N三點在同一條直線上．【答案】（1）詳見解析；（2）詳見解析【分析】（1）按要求進行尺規作圖即可；(2)通過證明角度之間的大小關系，得到∠CPN+∠CPM=180°，即可說明M,P,N三點在同一條直線上．【詳解】解：（1）則四邊形ABCD就是所求作的四邊形．（2）∵AB∥CD，∴∠ABP=∠CDP，∠BAP=∠DCP，∴ΔABP∽ΔCDP，∴ABCD∵M,N分別為AB，CD的中點，∴AB=2AM，CD=2CN，∴AMCN連接MP，NP，又∵∠BAP=∠DCP，∴ΔAPM∽ΔCPN，∴∠APM=∠CPN，∵點P在AC上∴∠APM+∠CPM=180°，∴∠CPN+∠CPM=180°，∴M,P,N三點在同一條直線上．【點睛】本題考查尺規作圖、平行線的判定與性質、相似三角形的性質與判定等基礎知識，考查推理能力、空間觀念與幾何直觀，考查化歸與轉化思想．4．（2019·福建·統考中考真題）如圖，已知△ABC為和點A'.(1)以點A'為頂點求作△A'B'C',使△A'B'C'∽△ABC，S△A'B'C'=4S△ABC;(尺規作圖，保留作圖痕跡，不寫作法)(2)設D、E、F分別是△ABC三邊AB、BC、AC的中點，D'、E'、F'分別是你所作的△A'B'C'三邊A'B'、B'C'、A'C'的中點，求證：△DEF∽△D'E'F'.【答案】（1）作圖見解析；（2）證明見解析.【分析】（1）分別作A'C'＝2AC、A'B'＝2AB、B'C'＝2BC得△A'B'C'即可．（2）根據中位線定理易得△DEF∽△CAB，△D'E'F'∽△C'A'B'，故可得△DEF∽△D'E'F'.【詳解】解：（1）作線段A'C'＝2AC、A'B'＝2AB、B'C'＝2BC，得△A'B'C'即為所求．證明：∵A'C'＝2AC、A'B'＝2AB、B'C'＝2BC，∴△ABC∽△A′B′C′，∴S△A'B'C'（2）證明：∵D、E、F分別是△ABC三邊AB、BC、AC的中點，∴DE＝12AC，DF＝12BC，EF＝1∴△DEF∽△CAB，同理：△D'E'F'∽△C'A'B'，由（1）可知：△ABC∽△A′B′C′，∴△DEF∽△D'E'F'．【點睛】本題考查了相似三角形的判定和性質及三角形的中位線定理，解答本題的關鍵是掌握相似三角形的判定方法．5．（2018·福建·統考中考真題）求證：相似三角形對應邊上的中線之比等于相似比．要求：①根據給出的△ABC及線段A'B′，∠A′（∠A′=∠A），以線段A′B′為一邊，在給出的圖形上用尺規作出△A'B′C′，使得△A'B′C′∽△ABC，不寫作法，保留作圖痕跡；②在已有的圖形上畫出一組對應中線，并據此寫出已知、求證和證明過程．【答案】（1）作圖見解析；（2）證明見解析．【分析】（1）作∠A'B'C=∠ABC，即可得到△A'B′C′；（2）依據D是AB的中點，D'是A'B'的中點，即可得到A'D'AD=A'B'AB，根據△ABC∽△A'B'C'，即可得到A'B'AB=A'C'AC，∠A'=∠A，進而得出△A'【詳解】（1）如圖所示，△A'B′C′即為所求；（2）已知，如圖，△ABC∽△A'B'C'，A'B'AB=B'C'BC=A'C'AC=k，D是AB的中點，D求證：C'D'CD=k證明：∵D是AB的中點，D'是A'B'的中點，∴AD=12AB，A'D'=12A'B∴A'D'AD∵△ABC∽△A'B'C'，∴A'B'AB=A'C'AC，∠∵A'D'AD=A'C'AC，∠∴△A'C'D'∽△ACD，∴C'D'CD=A'C'【點睛】本題考查了相似三角形的性質與判定，主要利用了相似三角形的性質，相似三角形對應邊成比例的性質，以及兩三角形相似的判定方法，要注意文字敘述性命題的證明格式．1．（2023·福建莆田·校考一模）如圖，在△ABC中，CA=CB(1)求作⊙C，使⊙C與AB相切，切點為D，⊙C與AC，BC分別相交于點E，F；（要求：尺規作圖，標明字母，保留作圖痕跡，不寫作法）(2)若∠A=30°，AB=6，求AE的長．【答案】(1)見解析；(2)AE=3【分析】（1）作AB的垂直平分線，連接CD，再以CD為半徑畫圓即可；（2）利用等腰三角形的性質得到AD=BD=12AB=3，再利用∠A=30°求出CD(1)解：如圖，⊙C為所作；(2)解：∵⊙C與AB相切，切點為D，∴CD⊥AB，∵CA=CB，∴AD=BD=1∵∠A=30°，∴CE=CD=33AD=∴AE=AC-CE=23【點睛】本題考查等腰三角形性質，畫圓，解直角三角形．解題的關鍵是根據等腰三角形“三線合一”的性質求出AD=BD=12AB=3，再解直角三角形求出AC2．（2023·福建廈門·統考一模）如圖，在△ABC中，AB=AC，∠B=22.5°．以點C為圓心，CA為半徑作圓，延長BA交⊙O于點D．

(1)請在圖中作出點C關于直線BD的對稱點C1(2)在（1）的條件下，連接C1D，證明：直線C1【答案】(1)見解析(2)見解析【分析】（1）作線段AD的垂直平分線即可；（2）連接CC1，DC1，CC【詳解】（1）解：如圖點C1作線段AD的垂直平分線，利用對稱軸垂直平分對應點所連線段即可得到點C關于直線BD的對稱點C1

（2）證明：連接CC1，DC1，CC

∵AB=AC，∴∠B=∠ACB=22.5°，又∵∠CAD是△ABC的外角，∴∠CAD=2∠B=45°，在⊙C中，CA=CD，∴∠CDA=∠CAD=45°，由（1）得，DA垂直平分CC∴DC∴在△C1DC中，DE∴∠C即C1∴直線C1D與【點睛】本題考查了尺規作圖和切線的性質，正確作出輔助線是解題的關鍵．3．（2023·福建南平·統考一模）我們規定：在一個三角形中，如果一個內角的度數是另一個內角度數的3倍，那么這樣的三角形稱為“3倍角三角形”．如圖，△ABC為銳角三角形，AB＝AC，CD∥AB．（1）當∠BAC＝40°時，判斷△ABC是否為“3倍角三角形”；（2）用直尺和圓規作出線段BP，使得點P在直線CD上，且∠ABP＝12∠BAC，將AC與BP的交點記為點E，若△PEC為“3倍角三角形”，求∠BAC【答案】（1）不是；（2）作圖見解析，∠BAC=60°【分析】（1）先求解出∠B與∠ACB，根據定義判斷即可得出結論；（2）先作出線段AB的垂直平分線，交AC于M點，則∠BAC=∠ABM，再作∠ABM的角平分線交AC于E點，交CD于P點，則∠ABP=12∠BAC；結合作圖過程中得出的數量關系，在△PCE中求出∠P，從而得出∠BAC【詳解】（1）∵AB＝AC，當∠BAC＝40°時，∴∠B=∠ACB=(180°-40°)÷2=70°，∵∠B=∠ACB≠3∠A，∴△ABC不是“3倍角三角形”；（2）如圖所示，①作線段AB的垂直平分線，交AC于M點，則∠BAC=∠ABM，②作∠ABM的角平分線交AC于E點，交CD于P點，則∠ABP=12∠ABM=12∠∵CD∥AB，∴∠A=∠PCA，即：∠PCA=2∠P，∴若△PEC為“3倍角三角形”，則∠PEC=3∠P，∵在△PEC中，∠P+∠PCE+∠PEC=180°，∴∠P+2∠P+3∠P=180°，∴∠P=30°，∴∠BAC=2∠P=60°．【點睛】本題考查新定義問題，以及基本作圖-作中垂線與角平分線等，理解題干中描述的定義，熟練掌握幾種基本作圖，并且理清題中的數量關系是解題關鍵．4．（2023·福建龍巖·統考模擬預測）如圖，點C是線段AB上一點，直線l⊥AB，垂足為點C．

(1)在直線l上作一點P，使∠APB=90°（要求尺規作圖，保留作圖痕跡，不寫作法）；(2)在（1）的條件下，連接PA、PB，若BC=AP，求【答案】(1)見解析(2)sin【分析】（1）作出AB的垂直平分線與AB交于點O，然后以O為圓心，OA為半徑畫圓，于l交于點P即可；（2）解法一：設BC=AP=m，AC=x，然后證明出∴△ACP∽△APB，根據相似三角形的性質得到xm=m解法二：設BC=AP=m，AC=x，由∴cos∠B=ACAP=【詳解】（1）如圖所示，點P即為所求．

（2）解法一：設BC=AP=m，AC=x，由（1）可知，∠ACP=∠APC=90°，∴∠APC+∠A=90°，∠A+∠B=90°，∴∠APC=∠B，∴△ACP∽△APB，∴ACAP=整理得，x2解得，x=-1+sin∠B=解法二：設BC=AP=m，AC=x，由（1）可知，∠ACP=∠APC=90°，∴cos∠B=AC整理得，x2解得，x=-1+sin∠B=【點睛】此題考查了圓直徑的性質，相似三角形的性質和判定，解一元二次方程，求正弦值等知識，解題的關鍵是熟練掌握以上知識點．5．（2023春·福建泉州·九年級統考學業考試）如圖，在△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝4，BC＝3．（1）求AB的長；（2）已知點O在BC邊上，求作⊙O，使⊙O過點C且與AB相切（要求：尺規作圖，不寫作法，保留作圖痕跡），并求⊙O的半徑．【答案】（1）AB＝5；（2）作圖見解析；⊙O的半徑為43【分析】（1）根據勾股定理求解即可；（2）作∠BAC的角平分線，以Ｏ為圓心，OC為半徑畫圓，與AB相切于點D，在直角三角形中，利用勾股定理即可求得半徑．【詳解】（1）∵∠ACB＝90°，AC＝4，BC＝3，∴AB＝BC2+AC2（2）如圖，⊙O為所作；設⊙O的半徑為r，⊙O與AB相切于點D，連接OD，如圖，∴OD⊥AB，∵OC⊥AC，∴AC為⊙O的切線，∴AD＝AC＝4，∴BD＝AB﹣AD＝1，在Rt△OBD中，12+r2＝（3﹣r）2，解得r=4即⊙O的半徑為43【點睛】本題考查切線的畫法，直角三角形中勾股定理等相關知識點，根據定理內容解題是關鍵．6．（2023·福建泉州·統考一模）如圖，在△ABC中，∠ABC是鈍角(1)求作⊙O，使得圓心O在邊AC上，且⊙O經過點B,C（要求：尺規作圖，不寫作法，保留作圖痕跡）(2)在（1）的條件下，設AC與⊙O的另一個交點為D，且AC=2AB=4AD求證：AB是⊙O的切線【答案】(1)見解析(2)見解析【分析】（1）由⊙O經過點B,C可知圓心O到點B,C的距離相等，因此線段BC的垂直平分線與AC的交點即為圓心O，由此可解；（2）連接OB，設AC=8k(k>0)，則AB=4k，AD=2k，利用勾股定理的逆定理判斷∠ABO=90°，即可證明AB是⊙O的切線．【詳解】（1）解：如圖1，⊙O是所求作的圓：圖1（2）證明：如圖2，連接OB，圖2設AC=8k(k>0)，則AB=4k，AD=2k，∴CD=AC-AD=8k-2k=6k，∴OC=OB=OD=1AO=AD+OD=2k+3k=5k．在△ABO中，OB2+A∴OB∴∠ABO=90°，即AB⊥BO．∵點B在⊙O上，∴AB是⊙O的切線．【點睛】本題考查線段垂直平分線的作法及性質，圓的基本性質，勾股定理的逆定理，切線的判定等，難度不大，解題的關鍵是正確作出輔助線，綜合運用上述知識點．7．（2023·福建福州·福建省福州華僑中學校考模擬預測）如圖，△ABC，△ADE均為等腰直角三角形，∠CAB=∠EAD=90°，AC=AB，AD=AE，H為BC的中點，連接BD．(1)尺規作圖：求作點F，使得BD=BF，BD⊥BF，點F在BD下方；(2)在（1）的條件下，求證：E，H，F三點共線．【答案】(1)見解析(2)見解析【分析】（1）延長DB，在其延長線上取BD=BG，作線段DG的垂直平分線，在BM上且在BD下方截取BD=BF，即可求得答案；（2）連接CE，EH，FH，可證△CAE≌△BADSAS，可得CE=BD=BF，∠ACE=∠ABD=α，再證∠ECH=∠FBH，CH=BH，即可證得△ECH≌△FBHSAS，可知∠EHC=∠FHB，由∠EHC+∠EHB=180°，可知∠FHB+∠EHB=180°，即可證得E，H，【詳解】（1）解：延長DB，在其延長線上取BD=BG，以點D，點G為圓心，適當長為半徑畫弧交于一點M，連接BM，可知BM為線段DG的垂直平分線，在BM上且在BD下方截取BD=BF，

如圖，點F即為所求；（2）證明：連接CE，EH，FH，∵∠CAB=∠EAD=90°，AC=AB，AD=AE，則∠CAB-∠CAD=∠EAD-∠CAD，∠ACB=∠ABC=45°，∴∠CAE=∠BAD，∴△CAE≌△BADSAS∴CE=BD=BF，∠ACE=∠ABD=α，∴∠ECH=∠ACE+∠ACB=45°+α，∠DBC=∠ABC-∠ABD=45°-α，∵BD⊥BF，∴∠DBF=90°，則∠FBH=∠DBF-∠DBC=90°-45°-α∴∠ECH=∠FBH，又∵H為CB的中點，∴CH=BH，∴△ECH≌△FBHSAS∴∠EHC=∠FHB，又∵∠EHC+∠EHB=180°，∴∠FHB+∠EHB=180°，∴E，H，F三點共線．【點睛】本題考查尺規作圖，等腰直角三角形的性質，全等三角形的判定及性質，作出圖形，掌握相關性質是解決問題的關鍵．8．（2023·福建寧德·模擬預測）如圖，Rt△ABC中，∠BCA=90°，AD平分∠BAC交BC于D

(1)尺規作圖：求作⊙O，使得圓心O在AB上，且⊙O經過A、D兩點；(2)求證：直線BC是⊙O的切線．【答案】(1)見解析(2)證明見解析【分析】（1）先作AD的垂直平分線交AB于點O，以O為圓心，AO為半徑作圓，即可；（2）連接OD．根據OA=OD，可得∠OAD=∠ODA，即可得∠CAD=∠ADO，則有AC∥OD，進而有∠ODB=∠C=90°，問題隨之得證．【詳解】（1）如圖，

⊙O即為所求；（2）證明：連接OD．∵根據作答圖可知點O在線段AD的垂直平分線上，∴OA=OD，∴∠OAD=∠ODA，∵AD平分∠CAB，∴∠CAD=∠DAO，∴∠CAD=∠ADO，∴AC∥OD，∴∠ODB=∠C=90°，∴OD⊥BC，∵OD是半徑，∴BC是⊙O的切線．【點睛】本題考查了垂直平分線的尺規作圖，切線的判定以及平行線的判與性質等知識，按要求作出符合要求的圓是解答本題的關鍵．9．（2023·福建福州·福建省福州第一中學校考模擬預測）如圖，在△ABC中，AB=AC，∠CAE是△ABC的一個外角．（1）用尺規作圖方法，按要求作圖：（保留作圖痕跡，不寫作法和證明）①作△ABC的高AD；②作∠CAE的平分線AM；（2）判斷（1）中的AM與BC的位置關系，并證明你的結論．【答案】（1）①見解析；②見解析；（2）AM//【分析】（1）①根據過直線外一點做已知直線垂線的方法作高AD；②根據角平分線的作法作∠CAE的平分線AM；（2）根據等腰三角形的性質可得∠CAD=12∠BAC，根據角平分線的性質可得∠CAM=【詳解】解：（1）如圖：①AD為所作的△ABC的高；②射線AM為所作的∠CAE的平分線．（2）AM//證明如下：∵AB=AC，AD⊥BC，∴∠CAD=1∵AM是∠CAE的平分線，∴∠CAM=1∴∠CAD+∠CAM=1∴AD⊥AM，∴AM//【點睛】此題主要考查了復雜作圖，以及平行線的判定，關鍵是掌握角平分線和過直線外一點做已知直線垂線的作圖方法．10．（2023·福建泉州·統考二模）如圖，在銳角△ABC中，AB＝2cm，AC＝3cm．（1）尺規作圖：作BC邊的垂直平分線分別交AC，BC于點D、E（保留作圖痕跡，不要求寫作法）；（2）在（1）的條件下，連結BD，求△ABD的周長．【答案】（1）作圖見解析；（2）△ABD的周長為【詳解】分析：（1）利用基本作圖（作已知線段的垂直平分線）作DE垂直平分BC；（2）利用線段垂直平分線的性質得到DB=DC，則利用等量代換得到△ABD的周長=AB+AC，然后把AB=2cm，AC=3cm代入計算計算．詳解：（1）如圖，DE為所作；（2）∵DE垂直平分BC，∴DB=DC，∴△ABD的周長=AB+BD+AD=AB+CD+AD=AB+AC=2+3=5（cm）．點睛：本題考查了基本作圖：熟練掌握基本作圖（作一條線段等于已知線段；作一個角等于已知角；作已知線段的垂直平分線；作已知角的角平分線；過一點作已知直線的垂線）．11．（2023·福建龍巖·統考一模）如圖，證明：三角形一內角平分線分對邊所得的兩條線段和這個角的兩邊對應成比例．（要求：在給出的△ABC中用尺規作出∠A的角平分線AD交BC于D，保留作圖痕跡，不要求寫出作法，并根據圖形寫出已知、求證和證明．【答案】見解析【分析】先按要求作出圖形，過C作CE//DA，交BA的延長線于E，根據平行的性質和角平分線的性質得到∠3＝∠E，得到AC＝AE，再根據平行線分線段成比例定理即可得到答案；【詳解】如圖所示，AD即為所求已知：△ABC中，∠BAC的平分線AD交BC于點D求證：ABAC=證明：過C作CE//DA，交BA的延長線于E，∴∠1＝∠E，∠2＝∠3，∵AD是角平分線，∴∠1＝∠2．∴∠3＝∠E（等量替換），∴AC＝AE

又∵AD∥CE，∴ABAE∴ABAC【點睛】本題主要考查了平行的性質以及角平分線的性質、平行線分線段成比例定理，掌握平行線分線段成比例定理是解題的關鍵．12．（2023·福建廈門·福建省廈門第二中學校考二模）如圖，在△ABC中，CD平分∠ACB，∠B=70．（1）尺規作圖：作∠BAC的平分線AE，交CD于點E；(要求：不寫作法，保留作圖痕跡)（2）求∠AEC的度數．【答案】（1）見解析；（2）125°【分析】（1）根據角平分線的畫法直接作圖即可；（2）利用角的等量代換運算求解即可．【詳解】（1）解：如圖所示：圖即為所求；（2）∵∠ABC+∠BAC+∠ACB=180°，∠ABC=70°∴∠BAC+∠ACB=180°-70°=110°∵∠EAC=12∴∠EAC+∠ECA=∴∠AEC=180°-(∠EAC+∠ECA)=180°-55°=125°【點睛】本題主要考查了尺規作圖，角平分線的性質，三角形內角和等知識點，熟練運用角的等量代換是解題的關鍵．13．（2023·福建·模擬預測）如圖，已知△ABC．(1)求作一點O，使得△ABC繞點O不論旋轉多少度，得到的△A'B(2)在（1）的條件下，求證：△ABC關于點O的中心對稱圖形也內接于△ABC的外接圓．【答案】(1)見解析(2)見解析【分析】（1）根據題意作出△ABC的外心點O，即可求解；（2）根據圓的半徑處處相等，即可得證．【詳解】（1）解：如圖所示，作AB,BC的垂直平分線交于點O，點O即為所求，（2）解：如圖所示，△A'B'C證明：∵△A'B'C設⊙O的半徑為r，∴OA=OA1∴△ABC關于點O的中心對稱圖形也內接于△ABC的外接圓．【點睛】本題考查了作三角形的外心，中心對稱的性質，掌握基本作圖是解題的關鍵．14．（2023·福建·模擬預測）如圖，點P是等邊三角形ABC內一點，連接PA，PB，PC，將△PAB繞點B逆時針旋轉60°得到△ODB，其中點P的對應點是Q．(1)請畫出△QDB（要求：尺規作圖，保留作圖痕跡，不寫作法）；(2)若AB=2，求PA+PB+PC的最小值．【答案】(1)見解析(2)2【分析】（1）以點B與點P為圓心，以BP長為半徑畫弧，交于點Q，同理，以點B與點A為圓心，以BA長為半徑畫弧，交于點D，連接BD，BQ，DQ，則△QDB為所求三角形；（2）過點D作BC的垂線，垂足為E，連接PQ，CD，由題可知△PAB≌△QDB，即可證得△PBQ是等邊三角形，根據△ABC是等邊三角形，即可得到BE、CE的長，繼而根據勾股定理求得DE、CD的長，于是根據由兩點之間，線段最短可得DQ+QP+PC≥CD，故當C，P，Q，D四點共線時，即可得到【詳解】（1）解：如圖所示，△QDB即為所求作的三角形．（2）解：過點D作BC的垂線，垂足為E，連接PQ，CD，∴∠BED=90°．∵△PAB繞點B逆時針旋轉60°得到△QDB，其中點P的對應點是Q，∴△PAB≌△QDB，∴PA=DQ，PB=QB，BD=AB=2，∴△PBQ是等邊三角形，∴PB=QP．∵△ABC是等邊三角形，∴∠ABC=60°，BC=AB=2．∵∠ABC+∠ABD+∠DBE=180°，∴∠DBE=60°，∴∠BDE=30°，∴BE=12BD=1，在Rt△BDE中，DE=在Rt△CDE中，CD=由兩點之間，線段最短可得DQ+QP+PC≥CD，當且僅當C，P，Q，D四點共線時，等號成立，∴DQ+QP+PC≥23，即PA+PB+PC≥2∴PA+PB+PC的最小值是23【點睛】本題主要考查等邊三角形的判定與性質，勾股定理，旋轉的性質，尺規作三角形，掌握相關性質以及定理是解題的關鍵．15．（2023·福建福州·校考模擬預測）如圖，矩形ABCD的對角線AC、BD相交于點O．(1)作⊙O，使其與線段AB、CD分別相切于點E、F（尺規作圖，保留作圖痕跡）；(2)⊙O與OD相交于點G，連接AG，若AG與⊙O相切，求tan∠ACB【答案】(1)見解析(2)tan【分析】（1）過點O作EF⊥AB于E，交CD于F，以點O為圓心，OE為半徑作⊙O，即可；（2）證明∠ACB=60°，可得結論．【詳解】（1）解：如圖所示，⊙O即為所求；（2）解：如圖，∵AB，AG與⊙O分別相切于E，G，且OG為半徑，∴OG⊥AG于G，∠OAE=∠OAG，∴∠AGB=90°，∵四邊形ABCD為矩形，∴∠BAD=∠ABC=90°，AC=BD=2OA=2OB，∴OA=OB，∴∠OAE=∠OBE=∠OAG，又∠OAE+∠OBE+∠OAG=∠GAB+∠GBA=90°．∴∠OAE=30°，∴∠ACB=90°-∠OAE=60°，∴tan∠ACB=【點睛】本題考查作圖-復雜作圖，切線的性質，解直角三角形等知識，解題的關鍵是理解題意，靈活運用所學知識解決問題．16．（2023·福建福州·校考一模）如圖，在△ABC中，∠ACB=90°．（1）在AB上求作點D，使△CDB∽△ACB；（要求：尺規作圖，不寫作法，保留作圖痕跡）（2）在（1）的條件下，若BC=5，AC=12，求BD長．【答案】（1）見解析；（2）BD=【分析】（1）已知△ACB是直角三角形，要使△CDB∽△ACB，則△CDB也是直角三角形，因此我們需要作D點，使得CD⊥AB；（2）根據勾股定理先求出AB的長度，再根據第（1）問的結論，結合相似三角形的性質，列出等式BCAB=BDBC【詳解】（1）當∠ADC=∠ACB=90°，∠B=∠B時，△CDB∽△ACB．如圖1所示，過點C作CD⊥AB，垂足為D，則點D就是所求作的點．（2）證明：∵BC=5，AC=12，∠ACB=90o，∴AB=A∵△CDB∽△ACB，∴BCAB∴BD=B【點評】本題主要考查了相似三角形的判定與性質的綜合應用和尺規作圖．解本題的關鍵要掌握相似三角形的判定和性質、勾股定理、以及作圖方法．17．（2023·福建廈門·中考模擬）如圖，△ABC中，∠BAC＝90°．（1）尺規作圖：在BC上求作E點，使得△ABE與△ABC相似；（保留作圖痕跡，不寫作法）（2）在（1）的條件下，AC＝3，AB＝4，求△AEC的周長．【答案】（1）見解析；（2）△AEC的周長＝36【分析】（1）過點A作BC的垂線即可；（2）在直角三角形ABC中，根據勾股定理可求出BC長，由（1）知，△ABE與△ABC相似，相似三角形對應線段成比例，由此，可求出AE,CE長，即知△AEC的周長.【詳解】解：（1）如圖所示，點E即為所求；（2）由（1）可得，△ABE∽△CBA，∵∠BAC＝90°，AC＝3，AB＝4，∴BC＝5，∴AE＝125，CE＝9∴△AEC的周長＝3+125+95＝【點睛】本題主要考查了相似三角形的性質，確定相似三角形成比例的線段是解題的關鍵.18．（2023·福建漳州·模擬預測）如圖